第八章 8.6 8.6.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则直线B′M与CN( C )
A．平行
B．相交且垂直
C．异面且垂直
D．异面但不垂直
[解析] 由题意画出图后，直线B′M与CN为异面直线且B′M⊥CN.
2．设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b( D )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
[解析] 空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有( D )
A．2条
B．4条
C．6条
D．8条
[解析] 在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条.
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( D )
A．梯形
B．矩形
C．平行四边形
D．正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图.
∴FGEHBD，HGEFAC，
又∵BD⊥AC且BD＝AC，
∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形.
5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( A )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中
∠EFH＝90°，
HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A．
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是__90°__；
(2)AC和D1C1所成的角是__45°__；
(3)AC和B1D1所成的角是__90°__；
(4)AC和A1B所成的角是__60°__.
[解析] (1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，由正方体的性质得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，所以AC和A1B所成的角是60°.
7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有__AB，A1B1__.
[解析] 由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1．
8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成的角大小为__60°__.
[解析] 连接BC1，A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线A1B与AD1所成的角即为直线A1B与BC1所成的角(或其补角).在△A1BC1中，A1B＝BC1＝A1C1，∴∠A1BC1＝60°，即异面直线A1B与AD1所成的角为60°.
三、解答题
9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC和棱CC1的中点，求异面直线AC和EF所成的角.
[解析] 连接BC1，A1C1，A1B，如图所示.
根据正方体的结构特征，可得EF∥BC1，AC∥A1C1，
则∠A1C1B即为异面直线AC和EF所成的角(或其补角).
∵BC1＝A1C1＝A1B，
∴△A1C1B为等边三角形，故∠A1C1B＝60°，即异面直线AC和EF所成的角为60°.
10．如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2．求EF的长度.
[解析] 取BC的中点M，连接ME，MF，如图.则ME∥AC，MF∥BD，
∴ME与MF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC，BD所成的角为60°，
∴∠EMF＝60°或∠EMF＝120°.
当∠EMF＝60°时，
EF＝ME＝MF＝BD＝1；
当∠EMF＝120°时，
取EF的中点N，则MN⊥EF，
∴EF＝2EN＝2EM·sin∠EMN＝2×1×＝.
故EF的长度为1或.
B 组·素养提升
一、选择题
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( C )
A．60°
B．75°
C．90°
D．105°
[解析] 解法1：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
解法2：补成四棱柱亦得.
2．如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角或其补角.连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，在△A1BC1中，由余弦定理得
cos∠A1BC1＝＝.
3．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为( D )
A．60°
B．45°
C．30°
D．90°
[解析] 如图，取PB的中点G，连接EG、FG，
则EGAB，GFPC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝AB＝3，FG＝PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.
4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于( A )
A．5
B．6
C．8
D．10
[解析] 如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．
二、填空题
5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有__1__条.
[解析] 与AD1异面的面对角线分别为：A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
6．(2020·广东省肇庆市期中)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为__60°__.
[解析] 依题意，得BC∥B1C1，故异面直线A1C与B1C1所成的角即BC与A1C所成的角.连接A1B，在△A1BC中，BC＝A1C＝A1B＝，故∠A1CB＝60°，即异面直线A1C与B1C1所成的角为60°.
三、解答题
7．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中.
(1)求A1C1与B1C所成角的大小；
(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.
[解析] (1)如图所示，连接AC，AB1．
由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，
∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角.
在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，
即A1C1与B1C所成的角为60°.
(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，
∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角.
∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.
又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，
即A1C1与EF所成的角为90°.
8．如图所示，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
[解析] (1)如题图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形.
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角.
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点.
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.(共28张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线线垂直的定义，了解常见线线垂直的形式.(数学抽象)
2．会求异面直线所成的角.(数学运算)
对比平面中线线位置关系，利用基本模型认识异面直线间的垂直关系及其所成的角.
必备知识·探新知
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线______与______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：_______________.
异面直线所成的角
知识点1
a′
b′
0°≤α≤90°
如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作_______.
空间两直线垂直
知识点2
直角
a⊥b
[知识解读] 对异面直线所成的角的认识理解的注意点
(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关.
(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算.
(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
异面直线所成的角
典例
1
90°
[归纳提升] 求两异面直线所成的角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
C
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求证：AC⊥BC1．
题型二
直线与直线垂直的证明
典例
2
则A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因为AC∥A1C1，所以∠A1C1B就是直线AC与BC1所成的角，
所以AC⊥BC1．
[归纳提升] (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直的定义，证明这两条异面直线所成的角为90°.
(2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似，一般也是通过平移法找到与之平行的直线.
【对点练习】? 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：AC⊥B1D.
[证明] 如图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E，
连接OE，则OE∥DB1，
所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角.
连接AE，CE，易证AE＝CE，
又O是AC的中点，所以AC⊥OE，所以AC⊥B1D.
(2020·湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD中，AD＝BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，求BC与AD所成的角.
易错警示
典例
3
忽略异面直线所成的角的范围致误
[错解] 如图2，连接BD，并取其中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角，∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角.由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC与AD所成的角为120°.
[错因分析] 解本题时易忽略异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°，从而由∠MEN＝120°直接得出BC与AD所成的角为120°这一错解.事实上，在未判断出∠MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能断定它就是两条异面直线所成的角，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.
[正解] 以上解答同错解；
∵异面直角所成角θ∈(0,90°]，
∴BC与AD所成的角为60°.
[误区警示] 求异面直线所成的角θ的时候，要注意它的取值范围是0°<θ≤90°.
两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角.
【对点练习】? 若∠AOB＝135°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为_______.
45°
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.6 8.6.1
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直线与直线BA1垂直的条数为( A )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线BA1垂直的直线有AD，A1D1，B1C1，BC，共4条.
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( A )
A．有无数条
B．有两条
C．至多有两条
D．有一条
[解析] 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为____.
[解析] 设棱长为1，因为A1B1∥C1D1，所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.在△AED1中，cos∠AED1＝＝＝.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点.求异面直线A1M与DN所成的角的大小.
[解析] 如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角).
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
