第八章 8.6 8.6.3 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( C )
A．有1个
B．有2个
C．有无数个
D．不存在
[解析] 经过l的平面都与α垂直，而经过l的平面有无数个，故选C．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图所示，连接AC交BD于O，连接A1O，∠A1OA为二面角A1－BD－A的平面角.设A1A＝a，则AO＝a，所以tan∠A1OA＝＝.
3．在棱长都相等的四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是( C )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
[解析] 可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故B成立；又DF?平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故D成立.
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是( B )
A．AC
B．BD
C．A1D1
D．A1A
[解析] 在正方体中，AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD.
又正方形ABCD中，BD⊥AC，且AA1∩AC＝A，
∴BD⊥平面AA1C1C.
∵E∈A1C1，∴E∈平面AA1C1C，
∴CE?平面AA1C1C，∴BD⊥CE.
5．(多选)在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中正确的是( ABD )
A．平面PAB⊥平面PAD
B．平面PAB⊥平面PBC
C．平面PBC⊥平面PCD
D．平面PCD⊥平面PAD
[解析] 对于A选项，AB⊥PA，AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD；对于B选项，由BC⊥AB，BC⊥PA，且AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB；对于D选项，CD⊥AD，CD⊥PA，且PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又CD?平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.
二、填空题
6．如果规定：x＝y，y＝z，则x＝z，叫做x，y，z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面α，β，γ关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是__平行__.
[解析] 由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.
7．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，如右图所示，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有__3__对.
[解析] ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，
∵PA?平面PAB，PA?平面PAC，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.同理可证：平面PAB⊥平面PAC.
8．在三棱锥S－ABC中，AC⊥平面SBC，已知SC＝a，BC＝a，SB＝2a，则二面角S－AC－B的大小为__90°__.
[解析] 因为AC⊥平面SBC，SC，BC?平面SBC，
∴AC⊥SC，AC⊥BC，∴二面角S－AC－B的平面角为∠SCB.又SC＝a，BC＝a，SB＝2a，所以SB2＝SC2＋BC2，故△SCB为直角三角形，∴∠SCB＝90°.
三、解答题
9．如图所示，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝AC＝2BD，M是AE的中点.
(1)求证：DE＝DA；
(2)求证：平面BDM⊥平面ECA.
[解析] (1)取EC的中点F，连接DF.
∵CE⊥平面ABC，
∴CE⊥BC.易知DF∥BC，∴CE⊥DF.
∵BD∥CE，∴BD⊥平面ABC.
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
EF＝CE＝DB，DF＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA.故DE＝DA.
(2)取AC的中点N，连接MN、BN，则
MNCF.
∵BDCF，∴MNBD，∴N∈平面BDM.
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN.
又∵AC⊥BN，EC∩AC＝C，∴BN⊥平面ECA.
又∵BN?平面BDM，∴平面BDM⊥平面ECA.
10．(2020·河北衡水中学高一联考)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠PAB＝120°，DC＝PC＝2，PA＝AB＝BC＝1．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBC.
(2)求四棱锥P－ABCD的体积.
[解析] (1)证明：在△PAB中，由PA＝AB＝1，∠PAB＝120°，得PB＝.
因为PC＝2，BC＝1，
所以PB2＋BC2＝PC2，即BC⊥PB.
因为∠ABC＝90°，所以BC⊥AB.
因为PB∩AB＝B，PB?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
又BC?平面PBC，
所以平面PAB⊥平面PBC.
(2)在平面PAB内，过点P作PE⊥AB，交BA的延长线于点E，如图所示.
由(1)知BC⊥平面PAB，所以BC⊥PE.
因为AB∩BC＝B，所以PE⊥平面ABCD.
因为在Rt△PEA中，PA＝1，∠PAE＝60°，
所以PE＝.
因为四边形ABCD是直角梯形，所以四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝××(1＋2)×1×＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．下列命题中正确的是( C )
A．若平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β
[解析] 当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确.
2．(2020·大连海湾高级中学高一检测)已知m，n是两条不重合的直线，α，β是不重合的平面，下面四个结论中正确的是( D )
A．若m?α，n?β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C．若m⊥n，m⊥β，则n∥β
D．若m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β
[解析] A中，m⊥n可得α与β相交，故A错；B中，m∥α，m⊥n，可得n⊥α或n?α，故B错；C中，m⊥n，m⊥β，则n∥β或n?β，故C错；D中，m⊥α，m∥n，n⊥β，则α∥β，故D正确.
3．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于B，BC⊥平面α于C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为( D )
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
[解析] 如图，∵AB⊥β，
∴AB⊥l，∵BC⊥α，
∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，
设平面ABC∩l＝D，
则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或补角，
∵AB＝6，BC＝3，
∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，
∴二面角大小为60°或120°.
4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有( A )
A．AH⊥△EFH所在平面
B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
[解析] 由平面图得：AH⊥HE，AH⊥HF，∴AH⊥平面HEF，∴选A．
二、填空题
5．在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝2，则二面角P－AB－C的大小为__60°__.
[解析] 取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角.
在△PAB中，PM＝＝1，
同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足__BM⊥PC(其他合理即可)__时，平面MBD⊥平面PCD.(注：只要填写一个你认为正确的条件即可)
[解析] ∵四边形ABCD的边长相等，
∴四边形ABCD为菱形.∵AC⊥BD，
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
若PC⊥平面BMD，则PC垂直于平面BMD中两条相交直线.
∴当BM⊥PC时，PC⊥平面BDM.
∴平面PCD⊥平面BDM.
三、解答题
7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点.证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
[解析] 由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，
又BM?平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.
又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1．
在Rt△B1C1M中，B1M＝＝，
同理BM＝＝，
又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，
从而BM⊥B1M.
又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，
因为BM?平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.
8．(2019·全国卷Ⅰ文，19)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离.
[解析] (1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED.
又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离.
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，故CH＝.从而点C到平面C1DE的距离为.(共32张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握面面垂直的性质定理.(直观想象)
2．能利用面面垂直得到线面垂直.(逻辑推理)
面面垂直的性质定理中的条件“有一直线垂直于这两个平面的交线”既为证明指明了方向，又有很强的约束性，因此使用定理时，一定要注意定理的条件.
必备知识·探新知
平面与平面垂直的性质定理
知识点
交线
垂直
a?α
a⊥l
[知识解读] 对面面垂直的性质定理的理解
(1)定理成立的条件有三个：
①两个平面互相垂直；
②直线在其中一个平面内；
③直线与两平面的交线垂直.
(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.
(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.
关键能力·攻重难
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点.求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
题型探究
题型一
平面与平面垂直的性质及应用
典例
1
[证明] (1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，∴PG⊥平面ABCD，由BG?平面ABCD，∴PG⊥BG.
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.
又AD∩PG＝G，AD，PG?平面PAD，∴BG⊥平面PAD.
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，BG，PG?平面PBG，所以AD⊥平面PBG，又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.
[归纳提升] 若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意三点：①两个平面垂直是前提条件；②直线必须在其中一个平面内；③直线必须垂直于它们的交线.
【对点练习】? 如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
[证明] (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD.
则AB∥EF.
∵AB?平面ABC，EF?平面ABC，∴EF∥平面ABC.
(2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC?平面BCD，∴BC⊥平面ABD.
∵AD?平面ABD，∴BC⊥AD.
∵AB⊥AD，BC，AB?平面ABC，BC∩AB＝B，
∴AD⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AD⊥AC.
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点.
求证：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
题型二
线线、线面、面面垂直的综合
典例
2
[证明] (1)∵AD∥BC，BC?平面PBC，
AD?平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中点，∴点M为PC的中点.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，
∴PE⊥AD，又∵PE∩BE＝E，
∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB?平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB?平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
[归纳提升] 垂直关系的转化
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
【对点练习】? 如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足.
求证：(1)PA⊥平面ABC；
(2)当E为△PBC的垂心时，△ABC是直角三角形.
[证明] (1)在平面ABC内任取一点D，作DF⊥AC于点F，作DG⊥AB于点G.∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，
∴DF⊥平面PAC.
∵PA?平面PAC，∴DF⊥PA.
同理可证，DG⊥PA.
∵DG∩DF＝D，
∴PA⊥平面ABC.
(2)连接BE并延长交PC于点H.
∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH.
又∵AE是平面PBC的垂线，∴PC⊥AE.
∵BH∩AE＝E，∴PC⊥平面ABE，
∴PC⊥AB.
又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB.
∵PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC.
∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形.
已知两个平面垂直，有下列命题：
①一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确命题的个数是
( )
A．3
B．2
C．1
D．0
易错警示
典例
3
对面面垂直的条件把握不准确致误
C
[错解] B
[错因分析] ④中过一个平面内任意一点作交线的垂线，并没有说明这一垂线一定在平面内.
[正解] 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1D1D⊥平面ABCD.
对于①，AD1?平面AA1D1D，BD?平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故①错误；②显然正确；
对于③，AD1?平面AA1D1D，但AD1与平面ABCD不垂直，故③错误；
对于④，D∈平面AA1D1D，平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，
过点D作AD的垂线，假设为C1D，易证C1D⊥AD，而C1D⊥平面ABCD显然不成立，故④错误.
综上，正确命题的个数为1．
[误区警示] 对于④，很容易认为是正确的而错选B“两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直”与“两个平面垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线与另一个平面垂直”是不同的，关键是过一点作的直线不一定在平面内.
【对点练习】? 设两个平面互相垂直，则
( )
A．一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面
B．过交线上一点垂直于一个平面的直线必在另一个平面内
C．过交线上一点垂直于交线的直线，必垂直于另一个平面
D．分别在两个平面内的两条直线互相垂直
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.6 8.6.3 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是( D )
A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l?b⊥β
B．α⊥β，α∩β＝l，b?α?b⊥β
C．α⊥β，b?α，b⊥l?b⊥β
D．α⊥β，α∩β＝l，b?α，b⊥l?b⊥β
[解析] 根据面面垂直的性质定理知，D正确.
2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( D )
A．平行
B．EF?平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
[解析] 由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF⊥平面A1B1C1D1相交且垂直.
3．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则( B )
A．PD?平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
[解析] ∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.
又∵平面ABC⊥平面PAB，PD?平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.
4．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n?α，要使n⊥β，则应增加的条件是( B )
A．m∥n
B．n⊥m
C．n∥α
D．n⊥α
[解析] 由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.
5．(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论错误的是( ABC )
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
[解析] 由平面图形易知∠BDC＝90°.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，且CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC.
二、填空题
6．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直线m⊥α，则直线m与n的位置关系是__平行__.
[解析] 因为α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
7．如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝____.
[解析] ∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，
∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
∴PB＝＝＝.
8．如图，在三棱锥C－ABD内，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为__6__.
[解析] ∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形.∴图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个.
三、解答题
9．如图，在三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
[证明] ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，
∴平面PAB⊥平面PBC.
10．(2018·北京文，18)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
(1)求证：PE⊥BC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；
(3)求证：EF∥平面PCD.
[解析] (1)∵PA＝PD，且E为AD的中点，
∴PE⊥AD.
∵底面ABCD为矩形，∴BC∥AD，∴PE⊥BC.
(2)∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.
∴AB⊥PD.又PA⊥PD，AB∩PA＝A
∵PD⊥平面PAB，PD?平面PCD∴平面PAB⊥平面PCD.
(3)如图，取PC中点G，连接FG，GD.
∵F，G分别为PB和PC的中点，
∴FG∥BC，且FG＝BC.
∵四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，
∴ED∥BC，DE＝BC，∴ED∥FG，且ED＝FG，
∴四边形EFGD为平行四边形，∴EF∥GD.
又EF?平面PCD，GD?平面PCD，∴EF∥平面PCD.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在( A )
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
[解析] 连接AC1．∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1．又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A．
2．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( C )
A．平行
B．共面
C．垂直
D．不垂直
[解析] 如图所示
，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．
3．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( D )
A．PE⊥AC
B．PE⊥BC
C．平面PBE⊥平面ABCD
D．平面PBE⊥平面PAD
[解析] 因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A、B成立.又PE?平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D．
4．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB︰A′B′等于( A )
A．2︰1
B．3︰1
C．3︰2
D．4︰3
[解析] 由已知条件可知∠BAB′＝，
∠ABA′＝，设AB＝2a，
则BB′＝2asin＝a，A′B＝2acos＝a，
∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴AB︰A′B′＝2︰1．
二、填空题
5．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于____.
[解析] 如图，取CD的中点G，连接MG，NG
.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，平面ABCD∩平面DCEF＝CD，MG?平面ABCD，
所以MG⊥平面DCEF，又NG?平面DCEF，所以MG⊥NG，所以MN＝＝.
6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos
α︰cos
β＝__︰2__.
[解析] 由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cosα＝＝，cosβ＝，所以cosα∶cosβ＝︰2．
三、解答题
7．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4
cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3
cm，BD＝12
cm，求线段CD的长.
[解析] ∵AC⊥l，AC＝3
cm，AB＝4
cm，
∴BC＝5
cm.
∵BD⊥l，α∩β＝l，α⊥β，BD?β，
∴BD⊥α.
又BC?α，∴BD⊥BC.
在Rt△BDC中，DC＝＝13
cm.
8．如图，已知四棱锥P?ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直于底面ABCD，线段PD的中点为F.
(1)求证：EF∥平面PBC；
(2)求证：BD⊥PC.
[证明] (1)∵ABCD为菱形，∴BE＝DE，
又PD的中点为F，∴EF为△PBD的中位线，
∴EF∥PB，
又EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF∥平面PBC.
(2)在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，
∴BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BD⊥PC.(共43张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．通过直观感知，归纳出平面与平面的判定定理.(直观想象)
2．会用平面与平面的判定定理证明平面与平面垂直.(逻辑推理)
1．平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从二面角的平面角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证.
2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径.
必备知识·探新知
二面角的概念
知识点1
两个半平面
棱
面
α－l－β
α－AB－β
P－l－Q
垂直于
∠AOB
0°≤α≤180°
面面垂直的定义
知识点2
直二面角
α⊥β
垂直
[知识解读] 1．二面角与平面几何中的角的对比
2．剖析平面与平面垂直
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况.例如正方体中任意相邻两个面都是互相垂直的.
(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的.
3．详解平面与平面垂直的判定定理
(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直.
(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决.
关键能力·攻重难
下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
其中正确的是
( )
A．①③
B．②④
C．③④
D．①②
题型探究
题型一
二面角及其平面角的概念的理解
典例
1
B
[解析] 由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B．
[归纳提升] 1．要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
2．要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面内的角的联系与区别.
3．可利用实物模型，作图帮助判断.
【对点练习】? 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角
( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．关系无法确定
[解析] 如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当
平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂
直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角
H－DG－F的大小不确定.
D
四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度数；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度数；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度数；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度数.
[分析] 求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解.
题型二
求二面角的大小
典例
2
[解析] (1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.
(2)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD为二面角B－PA－D的平面角.又由题意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC为二面角B－PA－C的平面角.
又四边形ABCD为正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.
(4)作BE⊥PC于E，连接DE、BD，且BD与AC交于点O，连接EO，如图.由题意知△PBC≌△PDC，则∠BPE＝∠DPE，从而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，且BE＝DE.
所以∠BED为二面角B－PC－D的平面角.
如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角.
【对点练习】? 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
[解析] 取A1C1的中点O，连接B1O、BO.由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，
OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1．
题型三
平面与平面垂直的证明
典例
3
[分析] (1)根据已知的线段长度，证明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理证得结论.(2)根据(1)问得到PD⊥平面ABCD，从而有PD⊥AC，然后结合底面ABCD为正方形得到AC⊥BD，从而找出平面PDB的垂线AC，最后利用判定定理证得结论.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PDB.
同时，AC?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBD.
[归纳提升] 证明平面与平面垂直的方法：
(1)定义法：根据面面垂直的定义判定两平面垂直实质上是把问题转化为求二面角的平面角为直角.
(2)判定定理：判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直就要转化为证线面垂直，其关键是在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.
(3)利用“两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面”.
【对点练习】? (1)如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.
[解析] (1)由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.
又PC?平面PAC∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
如图所示，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，试问截面ACB1与对角面BB1D1D垂直吗？试说明理由.
易错警示
典例
4
判断面面位置关系时主观臆断
[错解] 由题意可知，D1B1与AB1不垂直，D1B1与B1C不垂直，所以D1B1与平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D与平面ACB1不垂直.
[错因分析] 判断两个平面垂直，只需说明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，判断线面、面面位置关系时，必须给出严格的推理过程，不能只凭图形直观妄加判断，要全面理解垂直关系的实质.
[正解] 因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，
因为BB1⊥底面ABCD，AC?底面ABCD，
所以AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
所以AC⊥平面BB1D1D，又AC?截面ACB1，
所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
【对点练习】? 如图所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有_________对
( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
[解析] ∵AB⊥平面BCD，且AB?平面ABC和AB?平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵CD?平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
故图中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.6 8.6.3 第2课时
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( D )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直
D．以上都有可能
2．在空间中，下列命题正确的是( D )
A．垂直于同一条直线的两直线平行
B．平行于同一条直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
[解析] A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.
3．已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( C )
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
[解析] 因为α∩β＝l，所以l?β，又n⊥β，所以n⊥l.
4．如图所示，三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，则△ABC是__直角__三角形.
[解析] 设P在平面ABC上的射影为O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.
∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中点，
∴△ABC是直角三角形.
5．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
求证：BC⊥AC.
[证明] 如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D，
∵平面PAC⊥平面PBC，AD?平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
∴AD⊥平面PBC，
又∵BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，
∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC，
∵AC?平面PAC，∴BC⊥AC.第八章 8.6 8.6.3 第1课时
1．二面角是指( C )
A．一个平面绕这个平面内的一条直线旋转所组成的图形
B．一个半平面与另一个半平面组成的图形
C．从一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个相交的平行四边形组成的图形
[解析] 根据二面角的定义可知，选C．
2．如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( C )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析] ∵AB＝CB，且E是AC的中点，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC内，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故选C．
3．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为__60°__.
[解析] 设正四棱锥为S－ABCD，
如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，
∴a2＝12．
又a2h＝12，∴h＝＝3．
设O为S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角.
tan∠SEO＝＝＝，∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
4．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E，F，G分别是CD，DA，AC的中点，求证：平面BEF⊥平面BGD.
[证明] ∵AB＝BC，G为AC中点，所以AC⊥BG.同理可证AC⊥DG.
又∵BG∩DG＝G，BG，DG?平面BGD，
∴AC⊥平面BGD.
∵E，F分别为CD，DA的中点，∴EF∥AC，
∴EF⊥平面BGD.
又∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD.
