第八章 8.6 8.6.2 第2课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．直线a与直线b垂直，b平行于平面α，则a与α的位置关系是( D )
A．a⊥α
B．a∥α
C．a?α或a∥α
D．不确定
[解析] 当b∥α时，可存在直线a?α，a⊥α，a∥α，故关系不确定.
2．空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是( B )
A．平行
B．垂直
C．相交
D．不确定
[解析] 因为直线l和三角形所在的平面垂直，三角形的边AB在这个平面内，所以l⊥AB.
3．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( D )
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上皆有可能
[解析] 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面.故选D．
4．如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( B )
A．①与②
B．①与③
C．②与③
D．③与④
[解析] 由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B．
5．(多选)如图所示，PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系正确的是( ABD )
A．PA⊥BC
B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB
D．PC⊥BC
[解析] 由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，B，D均正确.
二、填空题
6．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有__1或无数__个.
[解析] 设平面外的点为A，平面内的点为B，过点A作平面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β.
7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD，则EF与AA1的位置关系是__平行__.
[解析] ∵AA1⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，∴AA1∥EF.
8．如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝__6__.
[解析] ∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6．
三、解答题
9．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝.
(1)证明：PC⊥BD；
(2)若E为PA的中点，求三棱锥P－BCE的体积.
[解析] (1)证明：连接AC交BD于点O，连接PO.∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，BO＝DO.
又∵PB＝PD，∴PO⊥BD.
∵AC∩PO＝O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，∴BD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴BD⊥AC.
(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，
∴BO＝AB＝1．
又∵PD＝PB＝2，∴PO＝.
∵AO＝AC＝，PA＝，∴PA2＝PO2＋AO2，
∴△PAO是等腰直角三角形，且∠POA＝90°.
又∵E是PA的中点，∴S△PEC＝S△PAC＝·AC·PO＝××2×＝，∴VP－BEC＝VB－PEC＝·S△PEC·BO＝××1＝.
10．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1(侧棱垂直于底面的棱柱)中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，DE⊥平面BCC1B1，求证：AB＝AC.
题图 答图
[证明] 如图，取BC的中点F，连接EF，
则EF∥B1B且EF＝B1B.
从而EF∥DA且EF＝DA.
连接AF，则四边形ADEF为平行四边形，从而AF∥DE.
又DE⊥平面BCC1B1，故AF⊥平面BCC1B1．
从而AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，
又F为BC中点，故AB＝AC.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2019·安徽蚌埠高二检测)如图所示，PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是( A )
A．PD⊥BD
B．PD⊥CD
C．PB⊥BC
D．PA⊥BD
[解析] 若PD⊥BD，则BD⊥平面PAD，
又BA⊥平面PAD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确.
因为PA⊥矩形ABCD，所以PA⊥CD，AD⊥CD，
所以CD⊥平面PAD，所以PD⊥CD，
同理可证PB⊥BC.
因为PA⊥矩形ABCD，
所以由直线与平面垂直的性质得PA⊥BD.
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中的真命题是( B )
①若m⊥n，n?α，则m⊥α；②若m⊥α，n?α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m?α，n?β，α∥β，则m∥n.
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．①和④
3．已知直线l∩平面α＝点O，A∈l，B∈l，A?α，B?α，且OA＝AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC＝1，则BD＝( A )
A．2
B．1
C．
D．
[解析] 由相似比得BD＝2．
4．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( B )
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
[解析] 因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.故选B．
二、填空题
5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是__菱形__.
[解析] 易知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC.又四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD一定是菱形.
6．在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件__BD⊥AC__时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况).
[解析] 当BD⊥AC时，BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C，又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1．
三、解答题
7．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.
求证：l∥AE.
[证明] 因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.
因为PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，
所以CD⊥平面PAD.
又AE?平面PAD，所以AE⊥DC.
因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
所以AE⊥平面PCD.
因为l⊥平面PCD，
所以l∥AE.
8．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1．
[证明] 如图，连接A1C1，C1D，BD，B1D1．
易知AC∥A1C1，∵EF⊥AC，∴EF⊥A1C1．
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，∴EF⊥平面A1C1D.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1．
又A1C1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，
∴A1C1⊥平面BDD1B1，而BD1?平面BB1D1D，
∴A1C1⊥BD1．同理DC1⊥BD1，又A1C1∩DC1＝C1，
∴BD1⊥平面A1C1D.∴EF∥BD1．第八章 8.6 8.6.2 第1课时
A 组·素养自测
一、选择题
1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( B )
A．(0°，90°)
B．[0°，90°]
C．(0°，90°]
D．[0°，180°]
[解析] 由线面角的定义知B正确.
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是( B )
A．1
B．2
C．3
D．6
[解析] 仅有平面AC和平面A1C1与直线AA1垂直.
3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.
?BC⊥平面PAB?BC⊥PB
由?CD⊥平面PAD?CD⊥PD.
∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形.
4．下列说法中，正确的是( B )
A．垂直于同一直线的两条直线互相平行
B．垂直于同一平面的两条直线互相平行
C．垂直于同一平面的两个平面互相平行
D．平行于同一平面的两条直线互相平行
[解析] A中两直线可相交、异面、平行，故A错；B中l⊥α，m⊥α则l∥m，正确；C中两平面可平行、相交，故C错；D中两直线可平行、相交、异面，故D错.
5．(多选)如图，六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，则下列结论正确的是( BCD )
A．CF⊥平面PAD
B．DF⊥平面PAF
C．CF∥平面PAB
D．CD∥平面PAF
[解析] ∵六棱锥P?ABCDEF的底面是正六边形，∴AF∥CD，由线面平行的判定定理，可得CD∥平面PAF，故D正确；
∵DF⊥AF，DF⊥PA，又AF∩PA＝A，
∴DF⊥平面PAF，故B正确；
由正六边形的性质可知，CF∥AB，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面PAB，故C正确；
∵CF与AD不垂直，∴CF⊥平面PAD不正确.故选BCD．
二、填空题
6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为____.
[解析] 如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan∠FEB＝.
7．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__外心__.(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)
[解析] P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心.
8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__45°__.
[解析] 如图，设C在平面α内的射影为O点，
连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角.
设AC＝BC＝1，则AB＝，
∴CM＝，CO＝.∴sin∠CMO＝＝，∴∠CMO＝45°.
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2．
(1)求证：AC⊥B1D；
(2)求三棱锥C－BDB1的体积.
[解析] (1)证明：如图，
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴BB1⊥平面ABCD.
∵AC?平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵底面ABCD为正方形，
∴AC⊥BD.
∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDB1．
∵B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.
(2)VC－BDB1＝VB1－BDC.
∵B1B⊥平面ABCD，
∴B1B是三棱锥B1－BDC的高.
∵VB1－BDC＝S△BDC·BB1＝××2×2×2＝.
∴三棱锥C－BDB1的体积为.
10．(2019～2020·湖南张家界高一期末)如图，在棱长均为1的直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点.
(1)求证：AD⊥平面BCC1B1；
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
[解析] (1)证明：直三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，
∴BB1⊥AD，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.又BC∩BB1＝B，
∴AD⊥平面BCC1B1．
(2)连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1，
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.
在Rt△AC1D中，AD＝，AC1＝，sin∠AC1D＝＝，
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有( D )
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC.
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故①正确；
由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，
又PA＝AB，D是PB的中点，
∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC?平面PBC，
∴AD⊥平面PBC，∴AD⊥PC，故②正确；
由AD⊥平面PBC，∴③正确，故选D．
2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( C )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
[解析] 取BD中点O，连接AO、CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．
3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的( C )
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
[解析] ∵PC⊥PA，PC⊥PB，
PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.
又∵AB?平面PAB，∴AB⊥PC.
又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.
又∵CH?平面PCH，∴AB⊥CH.
同理BC⊥AH，AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.
4．(2018·全国卷Ⅰ文，10)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( C )
A．8
B．6
C．8
D．8
[解析] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接BC1，
根据线面角的定义可知∠AC1B＝30°，
因为AB＝2，所以BC1＝2，从而求得CC1＝2，
所以该长方体的体积为V＝2×2×2＝8，故选C．
二、填空题
5．(2019·北京卷文，13)已知l，m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断：
①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__②③?①__.
[解析] 证明如下：∵m∥α，∴根据线面平行的性质定理，知存在n?α，使得m∥n.
又∵l⊥α，∴l⊥n，∴l⊥m.
6．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__[2，＋∞)__.
[解析] 因为PA⊥平面AC，QD?平面AC，∴PA⊥QD.
又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，
∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.
①当0
②当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD；
③当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
三、解答题
7．如图，在锥体P－ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，PA＝PD，E，F分别是BC，PC的中点.
求证：AD⊥平面DEF.
[证明] 取AD的中点G，连接PG，BG.因为PA＝PD，
所以AD⊥PG.
设菱形ABCD边长为1．
在△ABG中，因为∠GAB＝60°，AG＝，AB＝1，
所以∠AGB＝90°，即AD⊥GB.
又PG∩GB＝G，所以AD⊥平面PGB，
从而AD⊥PB.
因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF∥PB，从而AD⊥EF.
易证DE∥GB，且AD⊥GB，
所以AD⊥DE，因为DE∩EF＝E，
所以AD⊥平面DEF.
8．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E⊥平面AB1F.
[解析] 当F为CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.
连接A1B、CD1，则A1B⊥AB1，A1D1⊥AB1，
又A1D1∩A1B＝A1，∴AB1⊥面A1BCD1，
又D1E?面A1BCD1，∴AB1⊥D1E.
又DD1⊥平面BD，
∴AF⊥DD1．
又AF⊥DE，∴AF⊥平面D1DE，
∴AF⊥D1E.
∴D1E⊥平面AB1F.
即当点F是CD的中点时，D1E⊥平面AB1F.(共32张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的性质定理.(直观想象)
2．能利用线面垂直性质定理解决一些垂直和平行的证明.(逻辑推理)
充分利用长方体模型或所在空间(如教室)认识线面垂直的性质定理.
必备知识·探新知
直线与平面垂直的性质定理
直线与平面垂直的性质
知识点1
平行
a∥b
1．直线与平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上___________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2．两个平行平面间的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都_______，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
直线、平面间的距离
知识点2
任意一点
相等
[知识解读] 1．剖析直线与平面垂直的性质定理
(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.
(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).
(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
(4)定理的推证过程采用了反证法.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
对直线与平面垂直的性质定理的理解
典例
1
其中正确命题的序号是
( )
A．②③
B．③④
C．①②
D．①②③④
[答案] A
[解析] ①中n，α可能平行或n在平面α内；②③正确；④两直线m，n平行或异面，故选A．
[归纳提升] 判定两条直线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【对点练习】? 已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面.下列命题中正确的个数为
( )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；
③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.
A．1
B．2
C．3
D．0
B
[解析] 对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m与α斜交，即③错误.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1．
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．
题型二
直线与平面垂直性质的应用
典例
2
[归纳提升] (1)若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直.
(2)在证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.
【对点练习】? 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.
求证：a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB.
题型三
线与面垂直的判定与性质的综合
典例
3
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
[归纳提升] 线线、线面垂直问题的解题策略
(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面.
(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来.
【对点练习】? 本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？
[证明] 因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因为AE?平面SAB，所以BC⊥AE.
又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，
所以SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.
易错警示
典例
4
考虑不周全而致误
[正解] ①当点A，B在平面α的同侧时，由题意知直线AB与平面α所成的角为30°.
②当点A，B位于平面α的两侧时，如图，过点A，B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB与平面α相交于点C，A1B1为AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角.
在Rt△BCB1中，BB1＝2．在Rt△ACA1中，AA1＝1．
【对点练习】? 在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝_____.
13
课堂检测·固双基
素养作业·提技能(共38张PPT)
第八章
立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握线面垂直的定义、判定定理.(直观想象)
2．会证明线面垂直，能利用线面垂直得到线线垂直关系.(逻辑推理)
充分利用所在空间(如教室及其中物品)认识线面垂直的定义、判定定理及其模型特征.
必备知识·探新知
1．直线与平面垂直的定义
直线与平面垂直的定义与判定定理
知识点1
定义
一般地，如果直线l与平面α内的___________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
_______
有关
概念
直线l叫做平面α的_______，平面α叫做直线l的_______，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做_______
画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边_______
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
垂直
垂足
长度
2．直线与平面垂直的判定定理
两条相交直线
a∩b
直线与平面所成的角
直线与平面所成的角
知识点2
相交
垂直
交点
垂线
有关概念
对应图形
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的_______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是_______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______.
直线与平面所成的角θ的取值范围是_______________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
[知识解读] 1．对直线与平面垂直的几点说明
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形.
(3)由直线与平面垂直的定义，得如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线.这是判断两条直线垂直的一种重要方法.
2．理解直线与平面垂直的判定定理
不能用“一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直”.实际上，由基本事实4可知，平行具有“传递性”，因此一条直线与平面内的一条直线垂直，那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直，但不能保证与其他直线平行.
3．判定定理所体现的数学思想
直线与平面垂直的判定定理体现了“转化”的数学思想，即将线面垂直转化为线线垂直.
4．直线与平面所成的角的理解和判断
(1)对斜线和平面所成的角的定义的理解
斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角.
(2)判断方法
首先，判断直线和平面的位置，若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°.
其次，若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解.
关键能力·攻重难
下列说法正确的有_____(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.
题型探究
题型一
直线与平面垂直的定义及判定定理的理解
典例
1
②
[解析] 因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.
由线面垂直的定义可得，②正确.
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.
如图，l与α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正确.
[归纳提升] (1)对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.
(2)判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.
【对点练习】? (1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于
( )
A．平面OAB
B．平面OAC
C．平面OBC
D．平面ABC
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
C
B
[解析] (1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB?平面OBC，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
(2)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.
如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[分析] 本题是证线面垂直问题，要多观察题目中的一些“垂直”关系，看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，这些垂直关系我们需要哪个呢？我们需要的是PA⊥BC，联系已知，问题得证.
题型二
线面垂直的判定
典例
2
[解析] (1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，
∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
[归纳提升] 线面垂直的判定方法：
(1)证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义.
②线面垂直的判定定理.
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.
(2)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤：
①在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直；
②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；
③根据判定定理得出结论.
(3)利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧：
证明线面垂直时要注意分析几何图形，寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系，进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形底边的中线、高；菱形、正方形的对角线、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找线线垂直的方法.
【对点练习】? 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
[解析] (1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，
又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
[分析] (1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线.(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求.
题型三
直线与平面所成的角
典例
3
[归纳提升] 求线面角的方法：
(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等.
【对点练习】? 如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中点，连接CD.求证：CD⊥平面ABB1A1．
[错解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴CD⊥AA1．
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1．
易错警示
典例
4
逻辑推理不严密致误
[错因分析] 错解中AA1和BB1是平面ABB1A1内的两条平行直线，不是相交直线，故不满足直线与平面垂直的判定定理的条件.
[正解] ∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．
又AC＝BC，D是AB的中点，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1．
[误区警示] 用判定定理证明线面垂直时，必须要找全条件，这些条件必须是已知的、或明显成立的、或已经证明的.
【对点练习】? 直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是
( )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α内
D．不能确定
[解析] 如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能.故选D．
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第八章 8.6 8.6.2 第2课时
1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l( C )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．互为异面直线
[解析] 在平面α内必有直线m和直线l所成的角为90°，所以二者垂直.
2．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( D )
A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行
B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行
C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线
D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面
[解析] A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m?α，α∩β＝n，m∥n，若m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故选D．
3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是__平行__.
[解析] 由线面垂直的性质定理可得.
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3
m，4
m，1
m，则P与墙角B的距离为____m.
[解析] P与墙角B的距离为＝.
5．在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，求PM的最小值.
[解析] 连接CM，如图所示.因为PC⊥平面ABC，CM?平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.第八章 8.6 8.6.2 第1课时
1．直线l⊥平面α，直线m?α，则l与m不可能( A )
A．平行
B．相交
C．异面
D．垂直
[解析] ∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m?α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行.
2．如果一条直线垂直于一个平面内的：
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
则能保证该直线与平面垂直的序号有( A )
A．①③
B．①②
C．②④
D．①④
[解析] 三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.
3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵AA1⊥平面A1B1C1D1，
∴∠AC1A1为直线AC1与平面A1B1C1D1所成角，
∵AA1＝1，AB＝BC＝2，∴AC1＝3，
∴sin∠AC1A1＝＝.
4．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有__4__个.
[解析] ∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
∴△PAB、△PAC为直角三角形.
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.
∴△ABC、△PBC为直角三角形.
5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.求证：EF⊥平面PCD.
[解析] 如图，取PD的中点H，连接AH、HF.
∴FHCD，
∴FHAE，∴四边形AEFH是平行四边形，∴AH∥EF.
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD.
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.
又∵AH?平面PAD，∴CD⊥AH.
又∵PA＝AD，∴AH⊥PD，PD∩CD＝D，
∴AH⊥平面PCD，
又∵AH∥EF，∴EF⊥平面PCD.