第九章 9.1 9.1.2 9.1.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是( D )
A．简单随机抽样
B．抽签法
C．随机数表法
D．分层随机抽样
[解析] 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.
2．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则老年人、中年人、青年人分别应抽取的人数是( D )
A．7,11,18
B．6,12,18
C．6,13,17
D．7,14,21
[解析] 由题意，老年人、中年人、青年人比例为1︰2︰3．
由分层随机抽样的规则知，老年人应抽取的人数为×42＝7(人)，中年人应抽取的人数为×42＝14(人)，青年人应抽取的人数为×42＝21(人).
3．某单位有职工160人，其中业务员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用比例分配的分层随机抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员有( B )
A．3人
B．4人
C．7人
D．12人
[解析] 由＝，设抽取管理人员x人，则＝，得x＝4．故选B．
4．一批灯泡400只，其中20
W、40
W、60
W的数目之比是4︰3︰1，现用分层随机抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为( A )
A．20,15,5
B．4,3,1
C．16,12,4
D．8,6,2
[解析] 三种灯泡依次抽取的个数为40×＝20,40×＝15,40×＝5．故选A．
5．(多选)下列问题中，不适合用分层随机抽样法抽样的是( ABD )
A．某会堂有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40，有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈
B．从10台冰箱中抽去3台进行质量检查
C．某地农田有山地8
000亩，丘陵12
000亩，平地24
000亩，洼地4
000亩，现抽取农田480亩估计该地农田平均产量
D．从50个零件中抽取5个做质量检验
[解析] 选项A的总体中的个体无明显差异，且总体容量较大，故不宜采用分层随机抽样法；选项B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；选项C总体容量较大，且各类农田的产量有差别，宜采用分层随机抽样法；选项D与选项B类似，采用简单随机抽样比较方便.故选ABD．
二、填空题
6．一个公司共有1
000名员工，下设一些部门，要采用分层随机抽样法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的员工人数是__10__.
[解析] 从该部门抽取的员工人数是×200＝10．
7．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4︰5︰5︰6，则应从一年级本科生中抽取__60__名学生.
[解析] 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为×300＝60．
8．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3
000件，根据分层随机抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量/件
1
300
样本量
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本量比C产品的样本量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是__800__件.
[解析] 设样本量为x，则×1
300＝130．∴x＝300．
∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170(件).
设C产品的样本量为y，则y＋y＋10＝170，∴y＝80．
∴C产品的数量为×80＝800(件).
三、解答题
9．某学校为了了解2019年高考语文的考试成绩，计划在高考后对1
200名学生进行抽样调查，其中有300名文科考生，600名理科考生，200名艺术类考生，70名体育类考生，30名外语类考生，若要抽出120名考生作为调查分析对象，则按科目应分别抽取多少名考生？
[解析] 从1
200名考生中抽取120名调查，由于各科目的考生人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层随机抽样，抽样时每层所抽人数按1︰10抽取.
所以300×＝30,600×＝60,200×＝20,70×＝7,30×＝3．
所以抽取的文科考生、理科考生、艺术类考生、体育类考生、外语类考生分别是30名、60名、20名、7名、3名.
10．某校500名学生中，有200人的血型为O型，有125人的血型为A型，有125人的血型为B型，有50人的血型为AB型.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本.怎样抽取样本？
[解析] 用分层随机抽样抽取样本.
∵＝，即抽样比为，
∴200×＝8,125×＝5,50×＝2．
故O型血抽取8人，A型血抽取5人，B型血抽取5人，AB型血抽取2人.
B 组·素养提升
一、选择题
1．某学校共有师生4
000人，现用分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为200的样本，调查师生对学校食堂餐饮问题的建议，已知从学生中抽取的人数为190，那么该校的教师人数为( C )
A．100
B．150
C．200
D．250
[解析] 设教师人数为x，由题意知，
＝，解得x＝200，故选C．
2．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128,192，x人中，采用分层随机抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x为( D )
A．64
B．96
C．144
D．160
[解析] 60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128,192，x人中共抽取30人，每个个体被抽到的概率等于，
∵在60～70岁这个年龄段中抽查了8人，可知128×＝8，
解得x＝160．
3．某学校在校学生2
000人，为了学生的“德、智、体”全面发展，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
跑步人数
a
b
c
登山人数
x
y
z
其中a︰b︰c＝2︰5︰3，全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高三年级参与跑步的学生中抽取( D )
A．15人
B．30人
C．40人
D．45人
[解析] 全校参与登山的人数是2
000×＝500(人)，所以全校参与跑步的人数是1
500人，所以抽取全校参与跑步的人数为×200＝150(人)，则从高三年级参与跑步的学生中抽取人数为150×＝45(人).故选D．
4．已知一种腌菜食品按行业生产标准分为A，B，C三个等级，现针对某加工厂的同一批次的三个等级420箱腌菜进行质量检测，采用分层随机抽样的方法进行抽取.设从三个等级A，B，C中抽取的箱数分别为m，n，t，若2t＝m＋n，则420箱腌菜中等级为C级的箱数为( D )
A．110
B．120
C．130
D．140
[解析] 由2t＝m＋n，可知等级为C级的腌菜占全部箱数的，
故420箱腌菜中等级为C级的箱数为420×＝140．
二、填空题
5．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁及以上的人，用分层随机抽样的方法从中抽取20人，则不到35岁的抽取__9__人，50岁及以上的抽取__6__人.
[解析] 样本量与总体中个体数的比为20︰100＝1︰5，则在不到35岁，35岁到49岁，50岁及以上中的抽取人数依次为45×＝9,25×＝5,20－9－5＝6．故不到35岁的抽取9人，50岁及以上的抽取6人.
6．某学院的A，B，C三个专业共有1
200名学生，为了调
查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取__40__名学生.
[解析] 由题意，C专业有1
200－380－420＝400(人)，所以应抽取的人数为400×＝40．
三、解答题
7．某市化工厂三个车间共有工人1
000名，各车间男、女工人数如下表：
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15．
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
[解析] (1)由＝0.15，得x＝150．
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350(人)，第二车间的工人数是100＋150＝250(人)，
∴第三车间的工人数是1
000－350－250＝400(人).
设应从第三车间抽取m名工人，则由＝，
得m＝20．
∴应在第三车间抽取20名工人.
8．(2020·北京市海淀区期末)某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12
000人，其中持各种态度的人数如下表所示：
很喜爱
喜爱
一般
不喜爱
2
435
4
567
3
926
1
072
电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？
[解析] 采用分层随机抽样的方法，抽样比为＝.
持“很喜爱”态度的有2
435人，应抽取2
435×≈12(人)；
持“喜爱”态度的有4
567人，应抽取4
567×≈23(人)；
持“一般”态度的有3
926人，应抽取3
926×≈20(人)；
持“不喜爱”态度的有1
072人，应抽取1
072×≈5(人).
因此，采用分层随机抽样的方法在“很喜爱”“喜爱”“一般”“不喜爱”的人中应分别抽取12人、23人、20人、5人.(共41张PPT)
第九章
统计
9.1 随机抽样
9.1.2 分层随机抽样
9.1.3 获取数据的途径
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解分层随机抽样的特点和适用范围.(数学抽象)
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.(数据分析)
3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.(数学运算)
4．知道获取数据的基本途径，包括：统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.(数据分析)
1．对比简单随机抽样的特点，感受分层随机抽样中“层”的含义.
2．通过具体的案例，体会层次的差异性，并感受“层”与“层”之间的异同以及比例分配的必要性.
3．在简单随机抽样的基础上，深化对分层随机抽样样本平均数的理解.
必备知识·探新知
一般地，按_____________变量把总体划分成若干个_________，每个个体_______________一个子总体，在每个子总体中独立地进行_______________，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为_________，这样的抽样方法称为分层随机抽样.
(1)每一个子总体称为层，在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为___________.
分层随机抽样
知识点1
一个或多个
子总体
属于且仅属于
简单随机抽样
总样本
比例分配
获取数据的基本途径有_________________、_________________、___________________、___________________等.
获取数据的途径
知识点2
通过调查获取数据
通过试验获取数据
通过观察获取数据
通过查询获得数据
[知识解读] 1．分层随机抽样的实施步骤
第一步，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体；
第二步，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样；
第三步，把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本.
2．分层随机抽样适用于总体中个体之间差异较大的情形
4．分层随机抽样下总体平均数的估计
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n.我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则第1层的总体平均数和样本平均数分别为
关键能力·攻重难
(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适
( )
A．抽签法
B．随机数
C．简单随机抽样
D．分层随机抽样
题型探究
题型一
对分层随机抽样概念的理解
典例
1
D
(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行
( )
A．每层等可能抽样
B．每层可以不等可能抽样
C．所有层按同一抽样比等可能抽样
D．所有层抽取的个体数量相同
C
[分析] 是否适合用分层随机抽样，首先判断总体是否可以“分层”.
[解析] (1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.
(2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
[归纳提升] 1．使用分层抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.
2．使用分层随机抽样应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
【对点练习】? 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是
( )
A．从10名同学中抽取3人参加座谈会
B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C．从1
000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
B
[解析] A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异但个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.
一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
[解析] 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
(1)分层.按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
题型二
分层随机抽样的应用
典例
2
[归纳提升] 分层随机抽样的步骤
【对点练习】? 某市的3个区共有高中学生20
000人，且3个区的高中学生人数之比为2︰3︰5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.
(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为
( )
A．101
B．808
C．1
212
D．2
012
题型三
分类抽样的相关计算
典例
3
B
(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5︰3︰2，若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取_____个个体.
(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为____.
20
6
【对点练习】? (1)某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1
200辆，6
000辆和2
000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____辆、_____辆、_____辆.
(2)在本例(2)中，若A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为_______.
6
30
10
20.5
某单位有老年人28人、中年人54人、青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个样本量为36的样本，则下列抽样方法适合的是_____.
①简单随机抽样；
②直接运用分层随机抽样；
③先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样.
[错解] ③
易错警示
典例
4
忽略抽样的公平性致错
②
[误区警示] 分层随机抽样的一个很重要的特点是每个个体被抽到的机会是相等的.当按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值.若四舍五入后得到的样本量与要求的不尽相同，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，并未改变分层随机抽样的本质.
【对点练习】? 为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是
( )
A．简单随机抽样
B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样
D．随机数法抽样
[解析] 依据题意，了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，且男女生视力情况差异不大，故要了解该地区学生的视力情况，应按学段分层随机抽样.故选C．
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第九章 9.1 9.1.2 9.1.3
1．分层随机抽样适合的总体是( C )
A．总体容量较多
B．样本量较多
C．总体中个体有差异
D．任何总体
[解析] 分层随机抽样适合总体中个体有差异的总体.故选C．
2．某市场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为( C )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 若采用分层随机抽样的方法，则植物油类与果蔬类食品应分别抽取×10＝2(种)，×20＝4(种)，故抽取的两种食品种数之和为6．
3．为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( D )
A．通过调查获取数据
B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据
D．通过查询获得数据
[解析] 因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据.
4．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3︰4︰7．现在按分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本，样本中A号产品有15件，那么样本量n为( C )
A．50
B．60
C．70
D．80
[解析] 由分层随机抽样定义知＝，
∴n＝70，故选C．
5．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为170.2
cm，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为162.0
cm，则该校高一学生的平均身高的估计值为__166.4
cm__.
[解析] 由题意可知，＝170.2，＝162.0且M＝320，N＝280
所以样本平均数＝＋＝×170.2＋×162.0≈166.4(cm)
故该校高一学生的平均身高的估计值为166.4
cm.
