第九章 9.2 9.2.2 9.2.3
A 组·素养自测
一、选择题
1.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的90%分位数是( C )
A．8
B．9
C．9.5
D．10
[解析] 90%分位数可取为第9个数和第10个数的算术平均值，即＝9.5．故选C．
2．(2020·武汉期末)已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，则该组数据的平均数、中位数和众数的大小关系是( D )
A．平均数>中位数>众数
B．平均数<中位数<众数
C．中位数<众数<平均数
D．平均数＝中位数＝众数
[解析] ∵平均数为×(20＋30＋40＋50＋50＋60＋70＋80)＝50，中位数为×(50＋50)＝50，众数为50，∴它们的大小关系是平均数＝中位数＝众数.
3．已知100个数据的第75百分位数是9.3，则下列说法正确的是( C )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数
[解析] 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为第75百分位数，是9.3，选C．
4．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( C )
A．85、85、85
B．87、85、86
C．87、85、85
D．87、85、90
[解析] 从小到大列出所有数学成绩(单位：分)：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87．
5．(多选)在某次考试中，10名同学的得分如下：84,77,84,83,68,78,70,85,79,95，则下列说法正确的是( AC )
A．这组数据的众数是84
B．这组数据的众数是85
C．这组数据的平均数是80.3
D．这组数据的平均数是80.4
[解析] 这组数据中出现次数最多的数据是84，故众数是84，平均数＝×(84＋77＋84＋83＋68＋78＋70＋85＋79＋95)＝80.3．故选AC．
二、填空题
6．一个样本按从小到大的顺序排列为10,12,13，x,17,19,21,24，其中位数为16，则x＝__15__.
[解析] 由中位数的定义知＝16，
∴x＝15．
7．高一(1)班数学兴趣小组8名同学的数学竞赛成绩(单位：分)分别为：80,68,90,70,88,96,89,98，则该数学成绩的15%和50%分位数分别为__70
88.5__.
[解析] 把数据按照从小到大的顺序排列为：68,70,80,88,89,90,96,98，
因为8×15%＝1.2，所以该数学成绩的15%百分位数为70,8×50%＝4，所以该数学成绩的50%分位数为＝88.5．
8．某学校为了了解学生课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某天内课外阅读所用时间的数据，结果用条形统计图表示如下，根据条形统计图估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为__0.9__h.
[解析] 由条形统计图可得，这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为
＝0.9(h)，
因此估计该校全体学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9
h.
三、解答题
9．计算下表中甲、乙两组数的75%分位数.
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
甲组
1
2
2
2
2
3
3
3
5
5
6
6
8
8
9
10
10
12
13
13
乙组
0
0
0
0
1
1
2
3
4
5
6
6
7
7
10
14
14
14
14
15
[解析] 因为甲、乙两组数的个数为20，且20×75%＝15．
因此，甲组数的75%分位数为＝9.5，
乙组数的75%分位数为＝12，
所以甲、乙两组数据的75%分位数分别为9.5,12．
10．某校为了解学生对食堂伙食的满意程度，组织学生给食堂打分(分数为整数，满分为100分)，从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40,100]内.现将这些分数分成以下6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并画出了样本的频率分布直方图，部分图形如图所示.观察图形，回答下列问题：
(1)算出第三组[60,70)的频数，并补全频率分布直方图；
(2)请根据频率分布直方图，估计样本的众数和平均数.
[解析] (1)因为各组的频率之和等于1，所以分数在[60,70)内的频率为f＝1－(0.005＋0.015＋0.030＋0.025＋0.010)×10＝0.15．
所以第三组[60,70)的频数为120×0.15＝18(人).
完整的频率分布直方图如图.
(2)因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分.
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：
45×(10×0.005)＋55×(10×0.015)＋65×(10×0.015)＋75×(10×0.03)＋85×(10×0.025)＋95×(10×0.01)＝73.5．
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分.
B 组·素养提升
一、选择题
1．某校举行歌咏比赛，7位评委给各班演出的节目评分，去掉一个最高分，再去掉一个最低分后，所得平均数作为该班节目的实际得分.对于某班的演出，7位评委的评分分别为：9.65,9.70,9.68,9.75,9.72,9.63,9.78，则这个班节目的实际得分是( B )
A．9.66
B．9.70
C．9.65
D．9.67
[解析] ＝(9.65＋9.70＋9.68＋9.75＋9.72)＝9.70．
2．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数
D．甲的成绩的极差大于乙的成绩的极差
[解析] 由图可得，甲＝＝6，
乙＝＝6，A项错误；
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，B项错误；
甲的成绩的第80百分位数＝7.5，乙的成绩的第80百分位数＝7.5，所以二者相等，所以C项正确；
甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项不正确.
3．是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则下列各式正确的是( A )
A．＝a＋b
B．＝a＋b
C．＝a＋b
D．＝
[解析] 因为a是x1，x2，…，x40的平均数，
所以x1＋x2＋…＋x40＝40a，
同理x41＋x42＋…＋x100＝60b，
则有＝＝a＋b.故选A．
4．期中考试后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均分为N，那么M︰N为( B )
A．
B．1
C．
D．2
[解析] 设40位同学的成绩为xi(i＝1,2，…，40)，则M＝，N＝＝＝M.故M︰N＝1．
二、填空题
5．已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，利用组中值计算200辆汽车的平均时速为__67__km/h.
[解析] 平均时速为0.1×50＋0.2×80＋0.3×60＋0.4×70＝67(km/h).
6．某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1︰2︰1，用分层随机抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980
h,1
020
h，1
032
h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为 __1_013__h.
[解析] ＝1
013．
三、解答题
7．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40,0.15,0.10,0.05．
求：(1)高一参赛学生成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩.
[解析] (1)用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为65，又∵第一个小矩形的面积为0.3，设中位数为x，则0.3＋(x－60)×0.040＝0.5，解得x＝65．
(2)依题意，平均成绩为55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以平均成绩约为67分.
8．某中学开展演讲比赛活动，高一(1)、高一(2)班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩(满分为100分)如下图所示.
(1)根据上图填写下表：
平均分(分)
中位数(分)
众数(分)
高一(1)班
85
__85__
85
高一(2)班
85
80
__100__
(2)结合两班复赛成绩的平均数和中位数，分析哪个班级的复赛成绩较好；
(3)如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的实力更强一些？说明理由.
[解析] (2)∵两班的平均数相同，高一(1)班的中位数高，
∴高一(1)班的复赛成绩好些；
(3)∵高一(1)、高一(2)班前两名选手的平均分分别为92.5分，100分，∴在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，高一(2)班的实力更强一些.第九章 9.2 9.2.2 9.2.3
1．下列一组数据的第25百分位数是( A )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A．3.2
B．3.0
C．4.4
D．2.5
[解析] 由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数.
2．数据7.0,8.4,8.4,8.4,8.6,8.7,9.0,9.1的第30百分位数是__8.4__.
[解析] 因为8×30%＝2.4，故30%分位数是第三项数据8.4．
3．(2020·江苏卷)已知一组数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，则a的值是__2__.
[解析] ∵数据4,2a,3－a,5,6的平均数为4，
∴4＋2a＋3－a＋5＋6＝20，即a＝2．
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示.
求：(1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数；
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数；
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数.
[解析] (1)这20名工人中一天生产该产品的数量在[55,75)的人数为(0.04×10＋0.025×10)×20＝13．
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5．
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为
0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．(共36张PPT)
第九章
统计
9.2 用样本估计总体
9.2.2 总体百分位数的估计
9.2.3 总体集中趋势的估计
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．学会计算样本百分位数，会对总体百分位数做出合理估计.(数学运算)
2．理解平均数、众数、中位数的定义，会从已知数据中获得上述特征数值.(数据分析)
1．对比中位数，感受百分位数的含义，进一步体会四分位数的特征和价值.
2．要始终基于具体的案例体会数据向均值集中的趋势.
必备知识·探新知
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
百分位数
知识点1
p%
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按___________排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的_________.
3．四分位数
25%,50%,75%这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数.
从小到大
平均数
(1)众数：一组数据中_______________的数.
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于_______位置的数.如果个数是偶数，则取_______两个数据的平均数.
(3)平均数：一组数据的_____除以数据个数所得到的数.
众数、中位数和平均数的定义
知识点2
出现次数最多
中间
中间
和
[知识解读] 1．众数、中位数、平均数的理解
(1)一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数.
说明：如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数.
2．众数、中位数和平均数的比较
名称
优点
缺点
众数
体现了样本数据的最大集中点
众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感
中位数
不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响
对极端值不敏感
平均数
与中位数相比，平均数反映出样本数据中更多的信息，对样本中的极端值更加敏感
任何一个数据的改变都会引起平均数的改变，数据越“离群”，对平均数的影响越大
关键能力·攻重难
从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0．
(1)分别求出这组数据的第25,50,95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准.
题型探究
题型一
百分位数的计算
典例
1
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9．
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9．
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15
g，第50百分位数为8.5
g，第95百分位数是9.9
g，所以质量小于或等于8.15
g的珍珠为次品，质量大于8.15
g且小于或等于8.5
g的珍珠为合格品，质量大于8.5
g且小于或等于9.9
g的珍珠为优等品，质量大于9.9
g的珍珠为特优品.
[归纳提升] 1．计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤：
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)算i：计算i＝n×p%；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
2．根据频率分布直方图计算样本数据的百分位数，首先要理解频率分布直方图中各组数据频率的计算，其次估计百分位数在哪一组，再应用方程的思想方法，设出百分位数，解方程可得.
【对点练习】? (1)求下列数据的四分位数.
13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．
(2)某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间.将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图.如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1︰3︰7︰6︰3，那么成绩的70%分位数约为_______秒.
16.5
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,6,6,6,6,56．
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
题型二
众数、中位数、平均数的计算
典例
2
[归纳提升] 平均数、众数、中位数的计算方法
平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.
【对点练习】? 某班甲、乙两位同学在5次阶段性检测中的数学成绩(百分制)如下所示，
甲的成绩是75,83,85,85,92，
乙的成绩是74,84,84,85,98，
甲、乙两位同学得分的中位数分别为x1，x2，得分的平均数分别为y1，y2，则下列结论正确的是
( )
A．x1B．x1y2
C．x1>x2，y1>y2
D．x1>x2，y1D
某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示.
(1)求这次测试数学成绩的
众数、中位数、平均分；
(2)估计该校参加高二年级
学业水平测试的学生的众数、
中位数和平均数.
题型三
总体集中趋势的估计
典例
3
[归纳提升] 用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数.
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.
【对点练习】? 某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为
( )
A．20
B．25
C．22.5
D．22.75
[解析] 产品的中位数出现在概率是0.5的地方.自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4，…，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·(x－20)＝0.5，得x＝22.5，故选C．
C
下列判断正确的是
( )
A．样本平均数一定小于总体平均数
B．样本平均数一定大于总体平均数
C．样本平均数一定等于总体平均数
D．样本量越大，样本平均数越接近于总体平均数
[错解] A或B或C．
易错警示
典例
4
不能正确理解平均数的含义
D
[错因分析] 错解的原因是对样本平均数与总体平均数之间关系的理解不到位.对用样本数据估计总体要有一个辩证的理解，即要考虑到它有时会出现偏差，要解决这一问题，可适度增加样本量，样本量越大，它与总体的接近程度就越大，可信度也就越大.
[正解] D
[误区警示] 对于样本平均数与总体平均数，若样本的选取较为合理，能够代替总体，则它们间的平均数差距较小，否则样本与总体之间不具备可比性.
【对点练习】? 判断：
样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.
( )
×
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
