第九章 9.2 9.2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：
组号
1
2
3
4
5
6
7
8
频数
10
13
x
14
15
13
12
9
第三组的频数和频率分别是( A )
A．14和0.14
B．0.14和14
C．和0.14
D．和
[解析] x＝100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝100－86＝14，第三组的频率为＝0.14．
2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在[50,60)内的汽车有( C )
A．30辆
B．40辆
C．60辆
D．80辆
[解析]
因为小长方形的面积即为对应的频率，时速在[50,60)内的频率为0.3，所以有200×0.3＝60(辆).
3．某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)的数据，绘制了下面的折线图.
则根据折线图，下列结论错误的是( D )
A．最高气温高于25
℃的月份有3个
B．10月的最高气温不低于5月的最高气温
C．月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月
D．最低气温低于0
℃的月份有4个
[解析] 在A中，最高气温高于25
℃的月份有3个，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0
℃的月份有3个，故D错误.故选D．
4．观察新生婴儿的体重(单位：g)，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿的体重在[2
700,3
000)内的频率为( D )
A．0.001
B．0.01
C．0.003
D．0.3
[解析] 频率＝×组距，组距＝3
000－2
700＝300，＝0.001，∴频率＝0.001×300＝0.3．
5．(多选)为组织好“市运会”，组委会征集了800名志愿者，现对他们的年龄进行抽样统计后，得到如图所示的频率分布直方图，但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失.则( AD )
A．年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为0.04
B．年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为0.2
C．这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为400
D．这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为440
[解析] 年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为×[1－(5×0.01＋5×0.07＋5×0.06＋5×0.02)]＝0.04．年龄在[25,35)内的频率为0.04×5＋0.07×5＝0.55，故所求人数为0.55×800＝440．故选AD．
二、填空题
6．一个容量为n的样本，分成若干组，已知甲组的频数和频率分别为36和，则容量n＝__144__，频率为的乙组的频数x＝__24__.
[解析] 由题意得＝，所以n＝36×4＝144，同理＝，x＝24．
7．某校高一(1)班有50名学生，综合素质评价“运动与健康”方面的等级统计如图所示，则该班“运动与健康”评价等级为A的人数是__19__.
[解析] 由扇形图可知：评价等级为A的人数占总人数的38%，由此可知高一(1)班的50名学生中有50×38%＝19人在该等级中.
8．为了解某地居民的月收入情况，一个社会调查机构调查了20
000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示(最后一组包含两端值，其他组包含最小值，不包含最大值).现按月收入分层，用分层随机抽样的方法在这20
000人中抽出200人进一步调查，则月收入在[3
000，4
000)(单位：元)内的应抽取__40__人.
[解析] 月收入在[3
000,4
000)的频率为1－(0.000
1＋0.000
25×2＋0.000
15＋0.000
05)×1
000＝0.2，故应抽取200×0.2＝40(人).
三、解答题
9．为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小矩形的面积之比为2︰4︰17︰15︰9︰3，第二小组的频数为12．
(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？
[解析] (1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，
因此第二小组的频率为＝0.08．
又因为第二小组的频率＝，所以样本量＝＝＝150．
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为×100%＝88%.
10．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段(单位：分)：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，然后画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率；
(2)补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率(60分及以上为及格).
[解析] (1)根据各小组的频率之和等于1，可得第四小组的频率为1－(0.025＋0.015×2＋0.01＋0.005)×10＝0.3．
(2)补全直方图如图.
根据题意知，考试得60分及以上的分数在第三、四、五、六小组，频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以抽取学生的成绩的及格率为75%，据此估计这次考试的及格率为75%.
B 组·素养提升
一、选择题
1．为了解某年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，结果如下(单位：cm)：
149 159 142 160 156 163 145 150 148 151
156 144 148 149 153 143 168 168 152 155
在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4
cm，那么组数为( D )
A．4
B．5
C．6
D．7
[解析] 由于组距为4
cm，故可分组为142～146,146～150,150～154,154～158,158～162,162～166,166～170．
2．某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分布直方图，样本数据分组为[76,78)，[78,80)，…，[84,86).若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( D )
A．12
B．18
C．25
D．90
[解析] 净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90．故选D．
3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( A )
A．200,20
B．100,20
C．200,10
D．100,10
[解析] 该地区中小学生总人数为3
500＋2
000＋4
500＝10
000，则样本量为10
000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2
000×2%×50%＝20．
4．在抽查某产品尺寸的过程中，将其尺寸分成若干组，[a，b]是其中一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m，该组直方图的高为h，则|a－b|的值等于( B )
A．h·m
B．
C．
D．与m，h无关
[解析] 小长方形的高＝，|a－b|＝＝.
二、填空题
5．如图是将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出的频率分布直方图，则此班的优秀率(120分及以上为优秀)为__30%__.
[解析] 优秀率为10×(0.022
5＋0.005＋0.002
5)＝0.3＝30%.
6．为了了解某校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图(如图所示).已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的学生人数为__48__.
[解析] 前3个小组的频率和为1－0.037
5×5－0.012
5×5＝0.75．又因为前3个小组的频率之比为1︰2︰3，所以第2小组的频率为×0.75＝0.25．又知第2小组的频数为12，则＝48，即为所抽样本的人数.
三、解答题
7．某省有关部门要求各中小学要把“每天锻炼一小时”写入课程表，为了响应这一号召，某校围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么？(只写一项)”的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，从而得到一组数据.图1是根据这组数据绘制的条形统计图.请结合统计图回答下列问题：
(1)该校对多少名学生进行了抽样调查？
(2)本次抽样调查中，最喜欢篮球活动的有多少人？占被调查人数的百分比是多少？
(3)若该校九年级共有200名学生，图2是根据各年级学生人数占全校学生总人数的百分比绘制的扇形统计图，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少？
[解析] (1)由图1知4＋8＋10＋18＋10＝50(名).即该校对50名学生进行了抽样调查.
(2)本次调查中，最喜欢篮球活动的有18人，×100%＝36%.
即最喜欢篮球活动的人数占被调查人数的36%.
(3)1－(30%＋26%＋24%)＝20%,200÷20%＝1
000(人)，×1
000＝160(人).
即估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为160人.
8．为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：
分组(单位：岁)
频数
频率
[20,25)
5
0.05
[25,30)
①
0.20
[30,35)
35
②
[35,40)
30
0.30
[40,45)
10
0.10
合计
100
1.00
(1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？
(2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数.
[解析] (1)设年龄在[25,30)岁的频数为x，年龄在[30,35)岁的频率为y.
根据题意可得＝0.20，
＝y，解得x＝20，y＝0.35，
故①处应填20，②处应填0.35．
(2)由题中频率分布表知年龄在[25,30)岁的频率是0.20，组距是5，所以＝＝0.04．
补全频率分布直方图如图.(共41张PPT)
第九章
统计
9.2 用样本估计总体
9.2.1 总体取值规律的估计
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．能选择恰当的统计图表对数据进行可视化描述，体会合理使用统计图表的重要性.(数据分析)
2．结合实例，能用样本估计总体的取值规律.(数据分析)
1．在初中条形图作图的基础上，进一步感受数据处理过程中，用频率分布直方图的必要性.
2．通过具体的案例感受制作频率分布表和频率分布直方图的全过程(流程).
3．通过具体案例感受分组与组数对数据整理后信息分析的影响.
必备知识·探新知
1．求极差：极差是一组数据中_________与_________的差.
2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成________组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.
3．将数据分组.
4．列频率分布表：一般分四列，即分组、___________、频数、_______.其中频数合计应是样本容量，频率合计是____.
画频率分布直方图的步骤
知识点1
最大值
最小值
5～12
频数累计
频率
1
频率
其它统计图表
知识点2
统计图表
主要应用
扇形图
直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图
直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图
描述数据随时间的变化趋势
2．条形图、折线图及扇形图
(1)条形图：建立直角坐标系，用横轴(横轴上的数字)表示样本数据类型，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据每个样本(或某个范围内的样本)的数量多少画出长短不同的等宽矩形，然后把这些矩形按照一定的顺序排列起来，这样一种表达和分析数据的统计图称为条形图.
(2)折线图：建立直角坐标系，用横轴上的数字表示样本值，用纵轴上的单位长度表示一定的数量，根据样本值和数量的多少描出相应各点，然后把各点用线段顺次连接，得到一条折线，用这种折线表示出样本数据的情况，这样的一种表示和分析数据的统计图称为折线图.
(3)扇形图：用一个圆表示总体，圆中各扇形分别代表总体中的不同部分，每个扇形的大小反映所表示的那部分占总体的百分比的大小，这样的一种表示和分析数据的统计图称为扇形图.
关键能力·攻重难
为了检测某种产品的质量，抽取了一个样本量为100的样本，数据的分组如下：
[10.75,10.85)，3；[10.85,10.95)，9；[10.95,11.05)，13；[11.05,11.15)，16；[11.15,11.25)，26；[11.25,11.35)，20；[11.35,11.45)，7；[11.45,11.55)，4；[11.55,11.65]，2．
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图.
题型探究
题型一
频率分布直方图作法
典例
1
[分析] 题目要求列出样本的频率分布表、画出频率分布直方图，应注意到已知条件中虽未提供原始数据，但组距、组数及频数都已给出，可由此来列表、画图.
[解析] (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[10.75,10.85)
3
0.03
[10.85,10.95)
9
0.09
[10.95,11.05)
13
0.13
[11.05,11.15)
16
0.16
[11.15,11.25)
26
0.26
[11.25,11.35)
20
0.20
[11.35,11.45)
7
0.07
[11.45,11.55)
4
0.04
[11.55,11.65]
2
0.02
合计
100
1.00
(2)频率分布直方图如图
(2)数据要合理分组，组距要选取恰当，一般尽量取整，数据为30～100个左右时，应分成5～12组，在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于各组的频率，小长方形的高与频数成正比，各组频数之和等于样本量，频率之和为1．
【对点练习】? 在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤细的一种量)共有100个数据，将数据分组如下表：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
?
[1.34,1.38)
25
?
[1.38,1.42)
30
?
[1.42,1.46)
29
?
[1.46,1.50)
10
?
[1.50,1.54]
2
?
合计
100
?
(1)完成频率分布表，并画出频率分布直方图；
(2)估计纤度落在[1.38,1.50)内的可能性及纤度小于1.42的可能性各是多少？
[解析] (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[1.30,1.34)
4
0.04
[1.34,1.38)
25
0.25
[1.38,1.42)
30
0.30
[1.42,1.46)
29
0.29
[1.46,1.50)
10
0.10
[1.50,1.54]
2
0.02
合计
100
1.00
频率分布直方图如图所示.
(2)利用样本估计总体，则纤度落在[1.38,1.50)的可能性即为纤度落在[1.38,1.50)的频率，即为0.30＋0.29＋0.10＝0.69＝69%.
纤度小于1.42的可能性即为纤度小于1.42的频率，即为0.04＋0.25＋0.30＝0.59＝59%.
从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示.
题型二
频率分布直方图的应用
典例
2
(1)求直方图中x的值；
(2)在这些用户中，求用电量落在区间[100,250)内的户数.
【对点练习】? 如图是样本量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计，下列说法正确的是
( )
A．样本数据落在[6,10)内的频数为64，数据落在[2,10)内的百分比为0.4
B．样本数据落在[6,10)内的频数为16，
数据落在[2,10)内的百分比为0.1
C．样本数据落在[10,14)内的频数为18，
数据落在[6,14)内的百分比为0.68
D．样本数据落在[14,22]内的频数为48，
数据落在[10,18)内的百分比为0.12
A
如图是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，试根据折线统计图反映的信息，绘制该市3月1日到10日最低气温(单位：℃)的扇形统计图和条形统计图.
题型三
折线图、条形图、扇形图及应用
典例
3
其中最低气温为－3
℃的有1天，占10%，最低气温为－2
℃的有1天，占10%，最低气温为－1
℃的有2天，占20%，最低气温为0
℃的有2天，占20%，最低气温为1
℃的有1天，占10%，最低气温为2
℃的有3天，占30%，扇形统计图如图所示.
条形统计图如下图所示：
[归纳提升] 1．条形图是用一个单位长度表示一定的数量或频率，根据数量的多少或频率的大小画成长短不同的矩形条，条形图能清楚地表示出每个项目的具体数目或频率.
2．扇形图是用整个圆面积表示总数(100%)，用圆内的扇形面积表示各个部分所占总数的百分数.
3．在画折线图时，要注意明确横轴、纵轴的实际含义.
【对点练习】? 如图是甲、乙、丙、丁四组人数的扇形统计图的部分结果，根据扇形统计图的情况可以知道丙、丁两组人数和为
( )
A．250
B．150
C．400
D．300
A
中小学生的视力状况受到社会的广泛关注.某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取400名
学生，对他们的视力状况进行一次调查
统计，将所得到的有关数据绘制成频率
分布直方图，如图.从左至右五个小组
的频率之比为5︰7︰12︰10︰6，
则该市6万名高一学生中视力在[3.95,4.25)内的学生约有多少人？
易错警示
典例
4
误将频率分布直方图中的纵坐标当作频率
【对点练习】? 如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图中的数据可知，样本落在[15,20]内的频数为
( )
A．20
B．30
C．40
D．50
[解析] 样本数据落在[15,20]内的
频数为100×[1－5×(0.04＋0.1)]＝30．
B
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第九章 9.2 9.2.1
1．把过期的药品随意丢弃，会造成对土壤和水体的污染，危害人们的健康.如何处理过期药品，有关机构随机对若干家庭进行调查，调查结果如图，其中对过期药品处理不正确的家庭达到( D )
A．79%
B．80%
C．18%
D．82%
[解析] 79%＋1%＋2%＝82%.
2.200辆汽车经过某一雷达地区，时速的频率分布直方图如图所示，则时速超过60
km/h(含60
km/h)的汽车数量为( B )
A．65辆
B．76辆
C．88辆
D．95辆
[解析] 由频率分布直方图可得数据落在[60,80)内的频率是(0.028＋0.010)×10＝0.38，故时速超过60
km/h(含60
km/h)的汽车数量为200×0.38＝76(辆).
3．甲、乙两个城市2018年4月中旬每天的最高气温统计图如图所示，则这9天里，气温比较稳定的是__甲__城市(填“甲”“乙”).
[解析] 从折线统计图可以很清楚地看到乙城市的气温变化较大，而甲城市气温相对来说较稳定，变化基本不大.
4．某班计划开展一些课外活动，全班有40名学生报名参加，他们就乒乓球、足球、跳绳、羽毛球4项活动的参加人数做了统计，绘制了条形统计图(如图所示)，那么参加羽毛球活动的人数的频率是__0.1__.
[解析] 参加羽毛球活动的人数是4，则频率是＝0.1．
5．如图所示是总体的一个样本频率分布直方图，且在[15,18)内的频数为8．
(1)求样本在[15,18)内的频率；
(2)求样本容量；
(3)若在[12,15)内的小矩形面积为0.06，求在[18,33]内的频数.
[解析] 由样本频率分布直方图可知组距为3．
(1)由样本频率分布直方图得样本在[15,18)内的频率等于×3＝.
(2)样本在[15,18)内频数为8，由(1)可知，样本容量为＝8×＝50．
(3)∵在[12,15)内的小矩形面积为0.06，
∴样本在[12,15)内的频率为0.06，
故样本在[15,33]内的频数为50×(1－0.06)＝47，
又∵在[15,18)内的频数为8，
∴在[18,33]内的频数为47－8＝39．
