第九章 9.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．甲、乙两中学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是( C )
A．因为他们的平均分相等，所以学一样
B．成绩虽然一样，方差较大，说明潜力大，学习态度踏实
C．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定
D．平均分相等，方差不等，说明学不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低
[解析] 方差小说明成绩稳定，方差大说明成绩不稳定，忽高忽低.故选C．
2．在某次测量中得到的A样本数据如下：42,43,46,52,42,50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( B )
A．平均数
B．标准差
C．众数
D．中位数
[解析] 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B．
3．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为( D )
A．9.4,0.484
B．9.4,0.016
C．9.5,0.04
D．9.5,0.016
[解析] ＝＝9.5，s2＝(0.12×4＋0.22)＝0.016．
4．甲、乙、丙、丁四名射手在选拔赛中所得的平均环数及其方差s2如表所示，则选送决赛的最佳人选应是( B )
项目
甲
乙
丙
丁
7
8
8
7
s2
6.3
6.3
7
8.7
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
[解析] 因为乙＝丙>甲＝丁，且s＝s所以应选择乙进入决赛.
5．(多选)已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N
)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则在这n＋1个数据中，下列说法正确的是( ABC )
A．年收入平均数大大增大
B．中位数可能不变
C．方差变大
D．方差可能不变
[解析] 插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为加入此数据更加分散而变大.
二、填空题
6．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则：(1)平均命中环数为__7__；
(2)命中环数的标准差为__2__.
[解析] (1)＝＝7．
(2)∵s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，
∴s＝2．
7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则 xy＝__91__.
[解析] 由题意得
即
解得或所以xy＝91．
8．已知某省二、三、四线城市数量之比为1︰3︰6,2019年8月份调查得知该省二、三、四线所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.7万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为10,8，则二线城市的房价的方差为__117.98__.
[解析] 设二线城市的房价的方差为s2，由题意可知
20＝[s2＋(2.4－1.2)2]＋[10＋(1.8－1.2)2]＋[8＋(0.7－1.2)2]，解得s2＝117.98，
即二线城市的房价的方差为117.98．
三、解答题
9．甲、乙两机床同时加工直径为100
cm的零件，为检验质量，从中各抽取6件测量，数据为
甲：99 100 98 100 100 103
乙：99 100 102 99 100 100
(1)分别计算两组数据的平均数及方差；
(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定.
[解析] (1)甲＝(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，
乙＝(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100．
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝，
s＝[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1．
(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，
又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定.
10．某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果：(a，b)，(a，)，(a，b)，(，b)，(，)，(a，b)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，)，(，)，(a，b)，(a，)，(，b)，(a，b).
其中，a，分别表示甲组研发成功和失败；b，分别表示乙组研发成功和失败.
若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.
试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平.
[解析] 甲组研发新产品的成绩分别为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，
其平均数甲＝＝，
方差s＝×＝.
乙组研发新产品的成绩分别为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数乙＝＝，
方差s＝×＝.
因为甲>乙，sB 组·素养提升
一、选择题
1．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级
人数
平均分数
方差
甲
20
甲
2
乙
30
乙
3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( C )
A．3
B．2
C．2.6
D．2.5
[解析] 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为
s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]
＝×2＋×3＝2.6．
2．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为s甲，s乙，则( C )
A．甲<乙，s甲B．甲<乙，s甲>s乙
C．甲>乙，s甲D．甲>乙，s甲>s乙
[解析] 由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知甲>乙.图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故s甲3．有一份统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( A )
A．6
B．
C．66
D．6.5
[解析] ∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5．
方差s2＝＝＝6．
4．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的分数登错了，甲实得80分，却记了50分，乙实得70分却记了100分，更正后平均分和方差分别是( B )
A．70,75
B．70,50
C．75,1.04
D．65,2.35
[解析] 因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s2，则由题意可得s2＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x48－70)2]，而更正前的方差为75＝[(x1－70)2＋(x2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x48－70)2]，化简整理得s2＝50．
二、填空题
5．已知甲、乙两地人口之比为2︰3，其中甲地人均年收入为8万元，乙地人均年收入为10万元，则甲乙两地的人均年收入为__9.2__万元.
[解析] ＝×8＋×10＝3.2＋6＝9.2．
6．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：
餐费(元)
6
7
8
人数
10
20
20
这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是__7.2__， __0.56__.
[解析] 根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是
＝×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，
方差是s2＝×[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝0.56．
三、解答题
7．某培训机构在假期招收了A，B两个数学补习班，A班10人，B班30人，经过一周的补习后进行了一次测试，在该测试中，A班的平均成绩为130分，方差为115，B班的平均成绩为110分，方差为215．求在这次测试中全体学生的平均成绩和方差.
[解析] 依题意A＝130，s＝115，
B＝110，s＝215，
∴＝×130＋×110＝115，
∴全体学生的平均成绩为115分.
全体学生成绩的方差为
s2＝wA[s＋(A－)2]＋wB[s＋(B－)2]
＝×(115＋225)＋×(215＋25)＝85＋180＝265．
8．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
[75,85)
[85,95)
[95,105)
[105,115)
[115,125]
频数
6
26
38
22
8
(1)作出这些数据的频率分布直方图；
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？
[解析] (1)频率分布直方图如图所示：
(2)质量指标值的样本平均数为：
＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100．
质量指标值的样本方差为：
s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104．
所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68．由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.第九章 9.3
1．已知一组数据1,3,2,5,4，那么这组数据的标准差为( A )
A．
B．
C．2
D．3
[解析] ∵样本容量n＝5，∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
＝.
2．若样本x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数为10，其方差为2，则对于样本2x1＋2,2x2＋2，…，2xn＋2，下列结论正确的是( A )
A．平均数为20，方差为8
B．平均数为20，方差为10
C．平均数为21，方差为8
D．平均数为21，方差为10
[解析] 由题意得，样本2x1＋2,2x2＋2，…，2xn＋2的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8．故选A．
3．(2020·山东高一期末)将10名小学生的身高(单位：cm)分成了甲、乙两组数据，甲组：115,122,105,111,109；乙组：125,132,115,121,119．两组数据中相等的数字特征是( C )
A．中位数、极差
B．平均数、方差
C．方差、极差
D．极差、平均数
[解析] 甲组数据由小到大依次排列为105,109,111,115,122，故极差为17，平均数为112.4，中位数为111，方差为33.44；
乙组数据由小到大依次排列为115,119,121,125,132，故极差为17，平均数为122.4，中位数为121，方差为33.44．
因此，两组数据相等的是极差和方差.故选C．
4．(2020·安徽高二期中)已知甲、乙两名同学在五次数学测验中的得分如下：
甲：85,91,90,89,95；
乙：95,80,98,82,95．
则甲、乙两名同学数学成绩( A )
A．甲比乙稳定
B．甲、乙稳定程度相同
C．乙比甲稳定
D．无法确定
[解析] 甲＝×(85＋91＋90＋89＋95)＝90，
s＝×[(85－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(95－90)2]＝10.4，
乙＝×(95＋80＋98＋82＋95)＝90，
s＝×[(95－90)2＋(80－90)2＋(98－90)2＋(82－90)2＋(95－90)2]＝55.6．
∵甲＝乙，s5．(2020·安徽定远二中高二期末)已知样本数据为40,42,40，a,43,44，且这个样本的平均数为43，则该样本的标准差为____.
[解析] 由平均数的公式，可得×(40＋42＋40＋a＋43＋44)＝43，解得a＝49．所以方差s2＝×[(40－43)2＋(42－43)2＋(40－43)2＋(49－43)2＋(43－43)2＋(44－43)2]＝，所以样本的标准差s＝.(共45张PPT)
第九章
统计
9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差.(数学运算)
2．掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.(数据分析，数学运算)
要始终基于具体的案例体会数据总体的离散程度的特点.
必备知识·探新知
数据x1，x2，…，xn的方差为________________＝______________，
标准差为______________________.
一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
知识点1
总体方差和标准差
知识点2
样本方差和标准差
知识点3
标准差刻画了数据的___________或___________，标准差越大，数据的离散程度越_____；标准差越小，数据的离散程度越_____.
标准差的意义
知识点4
离散程度
波动幅度
大
小
分层随机抽样的方差
知识点5
[知识解读] 对方差、标准差的理解
(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞).
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
关键能力·攻重难
从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40．
问：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
题型探究
题型一
标准差、方差的计算与应用
典例
1
[归纳提升] 用样本的标准差、方差估计总体的方法
用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体平均数、标准差的近似.在实际应用中，常常把平均数与方差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下，比较标准差以确定稳定性.
A
2
在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差.(精确到0.1)
题型二
分层随机抽样的方差
典例
2
【对点练习】? 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60
kg，方差为200，乙队体重的平均数为70
kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1︰4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？
(2020·浙江省宁波市期末)甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图所示.
题型三
其他统计图表中反映的集中趋势与离散程度
典例
3
[解析] (1)由图可知，甲打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7，乙打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10．
则可求得，甲的成绩的平均数为7，方差为1.2，中位数是7，命中9环及9环以上的次数为1；乙的成绩的平均数为7，方差为5.4，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数为3．如下表：
?
平均数
方差
中位数
命中9环及9环以上的次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5.4
7.5
3
(2)①甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定.
②甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些.
③甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩好些.
④从折线图上看，乙基本上呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力.
B
甲、乙两种冬小麦实验品种连续5年平均单位面积产量如下(单位：t/km2)：
易错警示
典例
4
忽略方差的统计意义致错
[误区警示] 平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差反映了样本的波动、离散程度.对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题目，除比较数据的平均值外，还应该比较方差或标准差的大小，以作出更为公正、合理的判断.
【对点练习】? (2019·河南高一期中)在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.6，全年比赛失球个数的标准差为1.2；二队每场比赛平均失球数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.5．下列说法正确的有
( )
①平均来说一队比二队防守技术好；
②二队比一队技术水平更稳定；
③一队有时表现很差，有时表现又非常好；
④二队很少不失球.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
D
[解析] 对于①，一队每场比赛平均失球数是1.6，二队每场比赛平均失球数是2.2，所以平均来说一队比二队防守技术好，故①正确；对于②，一队全年比赛失球个数的标准差为1.2，二队全年比赛失球个数的标准差是0.5，所以二队比一队技术水平更稳定，故②正确；对于③，一队全年比赛失球个数的标准差为1.2，二队全年比赛失球个数的标准差是0.5，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，故③正确；对于④，二队每场比赛平均失球数是2.2，全年比赛失球个数的标准差是0.5，所以二队很少不失球，故④正确.故选D．
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
