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第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)
2．理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)
1．类比集合的有关概念来认识样本空间.
2．类比集合与集合之间的关系来认识随机事件.
必备知识·探新知
1．随机试验的概念和特点
(1)随机试验：我们把对___________的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.
(2)随机试验的特点：
①试验可以在相同条件下_______进行；
②试验的所有可能结果是___________的，并且不止一个；
③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
随机试验及样本空间
知识点1
随机现象
重复
明确可知
2．样本点和样本空间
?
定义
字母表示
样本点
我们把随机试验E的_____________________称为样本点
用____表示样本点
样本
空间
全体_________的集合称为试验E的样本空间
用____表示样本空间
有限样
本空间
如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，wn，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，wn}为有限样本空间
Ω＝{w1，w2，…，wn}
每个可能的基本结果
w
样本点
Ω
三种事件的定义
知识点2
随机
事件
我们将样本空间Ω的_______称为随机事件，简称事件，并把只包含_______样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然
事件
Ω作为自身的子集，包含了_________样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能
事件
空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件
子集
一个
所有的
[知识解读] 1．随机试验的三个特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2．关于样本点和样本空间
(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；
(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.
3．事件与基本事件
(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.
(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.
关键能力·攻重难
在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？
(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；
(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；
(3)没有水分，种子发芽；
(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；
(5)在标准大气压下，水的温度达到50
℃时会沸腾；
(6)同性电荷相互排斥.
题型探究
题型一
事件类型的判断
典例
1
[分析] 依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.
[解析] 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.
(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.
(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.
(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.
(5)在标准大气压下，水的温度达到100
℃时，开始沸腾，水温达到50
℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.
(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.
[归纳提升] 判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).
【对点练习】? 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：
(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；
(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；
(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.
[解析] (1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.
(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.
(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件.
下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.
(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；
(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；
(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.
题型二
确定试验的样本空间
典例
2
[解析] (1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.
(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.
(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.
[归纳提升] 不重不漏地列举试验的所有样本点的方法
(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.
(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.
【对点练习】? 袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球.
[解析] (1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.
(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.
一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)一共有多少个样本点？
(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.
[解析] (1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].
(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.
题型三
随机事件的表示
典例
3
[归纳提升] 1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.
2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.
【对点练习】? 做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；
(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.
[解析] (1)这个试验的样本空间Ω为
{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
(2)这个试验的结果的个数为36．
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．
(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.
已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.
(1)写出这个试验的基本事件空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数.
[错解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}.
(2)这个试验的基本事件的总数是6．
易错警示
典例
4
忽视试验结果与顺序的关系而致误
[错因分析] 题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3).
[正解] (1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}.
(2)这个试验的基本事件的总数是12．
【对点练习】? 同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是
( )
A．3
B．4
C．5
D．6
[解析] (1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第十章 10.1 10.1.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( C )
①方程ax＋b＝0有一个实数根；
②2019年5月1日，来中国旅游的人数为1万；
③在常温下，锡块熔化；
④若a>b，那么ac>bc.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] ①②④是随机事件，③是不可能事件，故选C．
2．下列事件中，必然事件是( D )
A．10人中至少有2人生日在同一个月
B．11人中至少有2人生日在同一个月
C．12人中至少有2人生日在同一个月
D．13人中至少有2人生日在同一个月
[解析] 一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日.本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D．
3．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这3个数字的和大于6”这一事件是( C )
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．以上选项均不正确
[解析] 从10个数字中任取3个数字，这3个数字的和可能等于6，也可能大于6，所以是否大于6需要取出数字才知道，故“这3个数字的和大于6”这一事件是随机事件.
4．将一枚质地均匀的硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是( B )
A．必然事件
B．随机事件
C．不可能事件
D．无法确定
[解析] 由于抛掷硬币时，正面朝上和朝下是不确定的，故抛掷10次，正面朝上的次数也是不确定的，故将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是随机事件.
5．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，那么“这2个数的和大于4”包含的样本点数为( C )
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
[解析] 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}.其中“这2个数的和大于4”包含的样本点有：(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个.
二、填空题
6．连续掷一枚骰子两次，出现事件“向上的点数之和为5”的样本点为__(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)__.
7．从1,2,3,4中任取2个数，样本空间为__{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}__，事件A“恰好一个奇数，一个偶数”用集合表示为__A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}__.
8．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为__Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}__，满足“它是偶数”样本点的个数为__5__.
[解析] 样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中满足“它是偶数”样本点有：2,4,6,8,10，共有5个.
三、解答题
9．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况.
(1)写出该试验的样本空间；
(2)“三人出拳相同”包含的样本点有哪些？
[解析] 以(J，S，B)表示三人中甲出剪刀、乙出石头、丙出布.
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}.
(2)“三人出拳相同”包含下列三个基本事件：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B).
10．从A，B，C，D，E，F
6名学生中选出4人参加数学竞赛.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)用集合表示事件M：A没被选中.
[解析] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}.
(2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为15．
(3)M＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}.
B 组·素养提升
一、选择题
1．“一名同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是( D )
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
[解析] 掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小.
2．先后抛掷均匀的1分、2分硬币各一枚，观察落地后硬币的正、反面情况，则下列事件包含3个样本点的是( A )
A．至少一枚硬币正面向上
B．只有一枚硬币正面向上
C．两枚硬币都是正面向上
D．两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上
[解析] “至少一枚硬币正面向上”包括“1分硬币正面向上，2分硬币正面向下”“1分硬币正面向下，2分硬币正面向上”“1分、2分硬币正面都向上”三个样本点.故选A．
3．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的样本点共有( D )
A．6个
B．12个
C．24个
D．36个
[解析] 试验的全部样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36个.
4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是( C )
A．3件都是正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．恰有1件正品
[解析] 25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品，则“3件都是次品”是不可能事件.
二、填空题
5．一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，在第k次首次摸出红球，则k的最大值为__16__.
[解析] 至多摸完黑球和白球需15次，则下一次必摸出红球，即k的最大值为16．
6．写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)__Ω＝{胜，平，负}__；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数__Ω＝{0,1,2,3,4}__.
三、解答题
7．同时转动如图的两个转盘，记转盘(1)得到的数为x，转盘(2)得到的数为y，结果为(x，y).
(1)写出这个试验的样本空间.
(2)求这个试验的样本点的总数.
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？
(4)用集合A表示事件：xy＝4；用集合B表示事件：x＝y.
[解析] (1)这个试验的样本空间为Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}.
(2)由(1)可知，这个试验的样本点的总数为16．
(3)“x＋y＝5”包含的样本点为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1).
“x<3且y>1”包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4).
(4)A＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}.
B＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)}.
8．现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者，要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且x(1)共有多少个基本事件？并列举出来；
(2)列举出抽取的两名记者编号之和小于17，但不小于11的基本事件.
[解析] (1)共有36个基本事件，列举如下：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)，(1,9)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(2,8)，(2,9)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(3,8)，(3,9)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，(8,9)共36个.
(2)抽取的两名记者编号之和小于17但不小于11的基本事件有15个，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9).第十章 10.1 10.1.1
1．下列事件不是随机事件的是( B )
A．东边日出西边雨
B．下雪不冷化雪冷
C．清明时节雨纷纷
D．梅子黄时日日晴
[解析] “下雪不冷化雪冷”是必然事件，A、C、D选项中的事件均为随机事件.
2．一个家庭有两个小孩儿，则可能的结果为( C )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[解析] 随机试验的所有结果要保证等可能性.两个小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点.
3．在50件泰迪熊毛绒玩具中，有2件次品，从中任取3件泰迪熊毛绒玩具，则下列事件是不可能事件的为( C )
A．至少有1件正品
B．至少有1件次品
C．3件都是次品
D．3件都是正品
[解析] 因为50件泰迪熊毛绒玩具中只有2件次品，所以不可能取出3件次品.故选C．
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x轴上”包含的样本点共有( C )
A．7个
B．8个
C．9个
D．10个
[解析] 点落在x轴上所包含的样本点为(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共9个.
5．(1)“某人投篮3次，其中投中4次”是__不可能__事件；
(2)“抛掷一枚硬币，落地时正面朝上”是__随机__事件；
(3)“三角形的内角和为180°”是__必然__事件.
[解析] (1)共投篮3次，不可能投中4次，投中4次是一个不可能事件.(2)硬币落地时正面和反面朝上都有可能，是一个随机事件.(3)三角形的内角和等于180°，是一个必然事件.
