第十章 10.1 10.1.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( B )
A．A?B
B．A∩B＝{出现的点数为2}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
[解析] 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6．故A∩B＝{出现的点数为2}.
2．某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( C )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
[解析] 由于事件“至少有一次中靶”和“两次都不中靶”的交事件是不可能事件，所以它们互为互斥事件.
3．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是( D )
A．取出2个红球和1个白球
B．取出的3个球全是红球
C．取出的3个球中既有白球也有红球
D．取出的3个球不止一个红球
[解析] 从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D．
4．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( D )
A．A?D
B．B∩D＝?
C．A∪C＝D
D．A∪B＝B∪D
[解析] “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
5．(多选)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( BD )
A．至少有1个红球与都是红球
B．至少有2个红球与都是白球
C．至少有1个红球与至少有1个白球
D．恰有1个红球与恰有2个红球
[解析] A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，则它们是互斥事件，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以B项符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意.
二、填空题
6．给出以下三个命题：
(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；
(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；
(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是__1__.
[解析] 命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题.对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次发现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件.
7．若掷红、蓝两颗骰子，事件A＝“红骰子点数大于3”，事件B＝“蓝骰子点数大于3”，则A∩B＝__{(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}__.(记在点的坐标(x，y)中，x表示红骰子出现的点数，y表示蓝骰子出现的点数)
8．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A，B，C，D，E，则事件取出的是理科书可记为__B∪D∪E__.
[解析] 由题意可知事件“取到理科书”可记为B∪D∪E.
三、解答题
9．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.
[解析] (1)是互斥事件，不是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件，又是对立事件.理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件.
(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件.理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.
10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”.
(1)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
(2)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
[解析] (1)因为R?R1，所以事件R1包含事件R；
因为R∩G＝?，所以事件R与事件G互斥；
因为M∪N＝Ω，M∩N＝?，所以事件M与事件N互为对立事件.
(2)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；
因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件.
B 组·素养提升
一、选择题
1．某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是( D )
A．A与B为对立事件
B．B与C为互斥事件
C．C与D为对立事件
D．B与D为互斥事件
[解析] “击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”不能同时发生，所以为互斥事件.
2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( B )
A．A∪B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．与一定不互斥
[解析] 利用集合Venn图可知B正确.
3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为( B )
A．H＋E＋F
B．H＋E＋
F
C．HE＋HF＋EF
D．＋＋
[解析] “恰有一个发生”是指三个事件中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B．
4．(2020·福建省宁德市期末)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语，必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.已知某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )
A．是互斥事件，不是对立事件
B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件
D．既不是互斥事件也不是对立事件
[解析] 事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确.
二、填空题
5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”.其中是互斥事件的是__A，B__，是对立事件的是__A，B__.
[解析] A，B既是互斥事件，也是对立事件.
6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}.请根据这些事件，判断下列事件的关系：
(1)B__?__H；(2)D__?__J；
(3)E__?__I；(4)A__＝__G.
[解析] 当事件B发生时，H必然发生，故B?H；同理D?J，E?I，而事件A与G相等，即A＝G.
三、解答题
7．设A，B，C代表随机事件，记它们的对立事件分别为，，，试用这些事件表示下列事件.
(1)A与B发生，C不发生；
(2)A，B，C恰好有两个发生；
(3)A，B，C至少有两个发生.
[解析] (1)事件A与B同时发生，C不发生，则A，B，同时发生，故所求事件为AB.
(2)A，B，C恰好有两个发生，分为三种情况：A，B发生，C不发生；A，C发生，B不发生；B，C发生，A不发生.分别求解每种情况，然后求和.故所求事件可以表示为AB＋AC＋BC.
(3)A，B，C至少有两个发生，较第(2)问多一种情况，即A，B，C同时发生，因此所求事件可以表示为AB＋AC＋BC＋ABC.
8．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}.
(1)说明以上4个事件的关系；
(2)求两两运算的结果.
[解析] 在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6).则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．
(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件.
(2)A∩B＝?，A∩C＝A，A∩D＝?.
B∩C＝A3＝{出现点数3}，
B∩D＝A4＝{出现点数4}.C∩D＝?
A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，
A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，
A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}.
B∪C＝{出现点数1或3或4或5}.
B∪D＝{出现点数2或3或4或6}.
C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}.(共33张PPT)
第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.2 事件的关系和运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)
2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)
本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.
必备知识·探新知
事件的运算
知识点1
事件A与事件B至少有一个发生
A∪B
A＋B
事件A与事件B同时发生
A∩B
AB
事件的关系
知识点2
一定发生
B?A
A?B
不能同时发生
A∩B＝?
有且仅有一个发生
A∩B＝?
[知识解读] 1．互斥事件与对立事件的区别与联系
(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.
而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.
(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.
2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
关键能力·攻重难
(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是
( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有一次中靶
题型探究
题型一
互斥事件、对立事件的判定
典例
1
A
(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
( )
A．恰有一次击中
B．三次都没击中
C．三次都击中
D．至多击中一次
[解析] (1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.
(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.
D
[归纳提升] 判断事件间关系的方法
(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.
(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.
【对点练习】? 有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是
( )
A．互斥但非对立事件
B．对立事件
C．非互斥事件
D．以上都不对
[解析] 由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.
A
在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：
(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；
(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.
题型二
事件的运算
典例
2
[解析] (1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1?D3，C2?D3，C3?D3，C4?D3．
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．
且易知事件C1与事件D1相等，
即C1＝D1．
(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5．
[归纳提升] 事件运算应注意的2个问题
(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.
(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.
【对点练习】? 盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.
问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？
[解析] (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B?C，E?C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.
设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.
(1)三个事件都发生；
(2)三个事件至少有一个发生；
(3)A发生，B，C不发生；
(4)A，B都发生，C不发生；
(5)A，B至少有一个发生，C不发生；
(6)A，B，C中恰好有两个发生.
题型三
用集合运算表示随机事件
典例
3
[归纳提升] 利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题
.
进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：
(1)“出现1点”与“出现2点”；
(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；
(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.
其中是对立事件的组数是
( )
A．0
B．1
C．2
D．3
易错警示
典例
4
不能正确区分对立事件和互斥事件致错
B
[错解] C
[错因分析] 错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.
[正解] B
[误区警示] 对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.
【对点练习】? (2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是
( )
A．“甲站排头”与“乙站排头”
B．“甲站排头”与“乙站排尾”
C．“甲站排头”与“乙不站排头”
D．“甲不站排头”与“乙不站排头”
[解析] 根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第十章 10.1 10.1.2
1．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是( D )
A．不可能事件
B．必然事件
C．对立事件
D．互斥但不对立事件
[解析] 把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人，每人1张，事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”不可能同时发生，但事件A：“甲得红卡”不发生时，事件B：“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生；所以事件A：“甲得红卡”与事件B：“乙得红卡”是互斥但不对立事件.
2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( B )
A．至多有2件次品
B．至多有1件次品
C．至多有2件正品
D．至少有2件正品
3．设M，N，P是三个事件，则M，N至少有一个不发生且P发生可表示为( A )
A．(∪)P
B．()P
C．(∪)∪P
D．(N)∪(M)
4．甲、乙两人破译同一个密码，令甲、乙破译出密码分别为事件A，B，则B∪A表示的含义是__只有一人破译密码__，事件“密码被破译”可表示为__B∪A∪AB__.
5．从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个不重复的两位数.事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为__{10,20,30,40,50,32,42,52,54}__.
