第十章 10.1 10.1.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列不是古典概型的是( C )
A．从10名同学中，选出3人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和大于7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．8个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
[解析] 不满足等可能性.
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.故选C．
3．(2020·河南开封十中高一月考)四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段构成一个三角形的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从长度分别是1,3,5,7的四条线段中任取三条，所得基本事件有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)共4个，所取出的三条线段能构成一个三角形的基本事件有(3,5,7)，∴所求概率为.
4．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选两种花种在一个花坛中，余下的两种花种在另一个花坛中，所有不同的种法有(红，黄)，(红，白)，(红，紫)，(黄，白)，(黄，紫)，(白，紫)，共6种方法，其中，红色和紫色的花不在同一花坛的种法有(红，黄)，(红，白)，(黄，紫)，(白，紫)4种方法，所以所求的概率为＝.
5．(多选)下列关于古典概型的说法中正确的是( ACD )
A．试验中所有可能出现的样本点只有有限个
B．每个事件出现的可能性相等
C．每个样本点出现的可能性相等
D．样本点的总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则P(A)＝
[解析] 根据古典概型的特征与公式进行判断，A、C、D正确，B不正确，故选ACD．
二、填空题
6．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为____.
[解析] 设数学书为A、B，语文书为C，则不同的排法共有(A，B，C)，(A，C，B)，(B，C，A)，(B，A，C)，(C，A，B)，(C，B，A)共6种排列方法，其中2本数学书相邻的情况有4种情况，故所求概率为P＝＝.
7．(2018·江苏，6)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为____.
[解析] 设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.
8．(2019·江苏，6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是____.
[解析] 设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.
同方法1，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1－＝.
三、解答题
9．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，观察向上的点数.
(1)求点数之和是5的概率；
(2)设a，b分别是将一枚骰子先后抛掷两次向上的点数，求等式2a－b＝1成立的概率.
[解析] 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次的样本点总数为N＝6×6＝36．
(1)因为事件“点数之和是5”包含(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4个样本点，所以事件“点数之和是5”的概率p1＝＝.
(2)因为事件“2a－b＝1”相当于事件“a＝b”，包含(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，共6个样本点，所以事件“2a－b＝1”的概率p2＝＝.
10．甲、乙两组各4名同学参加学校组织的“抗日战争历史知识知多少”抢答比赛，他们答对的题目个数用茎叶图表示，如图，中间一列的数字表示答对题目个数的十位数，两边的数字表示答对题目个数的个位数.
(1)求甲组同学答对题目个数的平均数和方差；
(2)分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，求这两名同学答对题目个数之和为20的概率.
[解析] (1)由题图可得，甲组同学答对题目的个数分别为：8,9,11,12，
∴甲＝＝10，
s＝×[(8－10)2＋(9－10)2＋(11－10)2＋(12－10)2]＝.
(2)由题图可得，乙组同学答对题目的个数分别为：8,8,9,11．分别从甲、乙两组中各抽取一名同学，设“这两名同学答对题目个数之和为20”为事件A，以(x，y)记录甲、乙两组同学答对题目的个数，基本事件有：(8,8)，(8,8)，(8,9)，(8,11)，(9,8)，(9,8)，(9,9)，(9,11)，(11,8)，(11,8)，(11,9)，(11,11)，(12,8)，(12,8)，(12,9)，(12,11)，共16个.
事件A包含的基本事件有：(9,11)，(11,9)，(12,8)，(12,8)，共4个.故P(A)＝＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，这个集合恰好是集合{a，b，c}的子集的概率是( C )
A．1
B．
C．
D．
[解析] 集合{a，b，c，d，e}的所有子集有25＝32，集合{a，b，c}的所有子集有23＝8，故所求概率为＝.
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个.
记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个，因此P(A)＝＝.
3．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( D )
A
B．
C．
D．
[解析] 从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
∴所求概率P＝＝.
4．(2020·河北邢台高三月考)A，B，C三人同时参加一场活动，活动前A，B，C三人都把手机放在了A的包里.活动结束后B，C两人去拿手机，发现三人手机外观看上去都一样，于是这两人每人随机拿出一部，则这两人中只有一人拿到自己手机的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设A，B，C三人的手机分别为A′，B′，C′，则B，C两人拿到的手机的可能情况为(B－A′，C－B′)，(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，(B－B′，C－C′)，(B－C′，C－A′)，(B－C′，C－B′)，共6种.这两人中只有一人拿到自己手机的情况有(B－A′，C－C′)，(B－B′，C－A′)，共2种.故所求概率为＝，故选B．
二、填空题
5．下列概率模型中，是古典概型的有__②__(只填序号).
①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；
②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；
③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；
④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率.
[解析] 根据古典概型的定义判断，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型.④中硬币不均匀，则“正面朝上”和“反面朝上”出现的可能性不相等，因此不是古典概型.
6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选1人表演节目，若选到男教师的概率为，则参加联欢会的教师共有__120__人.
[解析] 设参加联欢会的男教师有n人，则女教师有(n＋12)人，依题意有＝，解得n＝54．因此参加联欢会的教师共有120人.
三、解答题
7．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件.
(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
[解析] (1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的.
设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(A)＝4，
从而P(A)＝＝＝.
(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成.由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的.设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝{(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)}，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.
8．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18．现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6．现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛.
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率.
[解析] (1)抽样比为＝，所以应从甲、乙、丙这三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2．
(2)①从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛，所有可能的结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种.
②编号为A5，A6的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共9种，所以事件A发生的概率P(A)＝＝.第十章 10.1 10.1.3
1．下列试验中是古典概型的是( B )
A．在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽
B．口袋里有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，从中任取一球
C．向一个圆面内随机地投一个点，该点落在圆内任意一点都是等可能的
D．射击运动员向一靶心进行射击，试验结果为命中10环，命中9环，…，命中0环
[解析] 根据古典概型的特点，A项中，种子发芽与否的概率不相等；B项中，摸到每个球的概率相等，且只有4球；C项中，点落在圆内的结果数量是无限的；D项中，射击命中环数的概率也不一定相等.故只有B项是古典概型.
2．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 三名同学站成一排，共包含6种基本结果，甲站在中间有2种结果，所以P＝＝.
3．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝.
4．甲、乙、丙三人玩传球游戏，开始由甲发球，传球三次后，球又回到甲手中的概率是____.
[解析] 画出树状图如图.由图知，样本点共有8个，其中传球三次后，球又回到甲手中的样本点有2个，故所求概率p＝＝＝.
5．抛掷两粒均匀的骰子，求：
(1)点数之和为5的概率；
(2)点数之和为7的概率；
(3)出现两个4点的概率.
[解析] 在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果.两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点.
(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝＝.
(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝＝.
(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝.(共38张PPT)
第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．古典概型的计算方法.(数学抽象)
2．运用古典概型计算概率.(数学运算)
3．在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)
1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题.
2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少).
必备知识·探新知
对随机事件发生_____________的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用_______表示.
随机事件的概率
知识点1
可能性大小
P(A)
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有_________；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性_______.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为___________模型，简称___________.
古典概型
知识点2
有限个
相等
古典概率
古典概型
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包
含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝_____＝_____.
古典概型的概率公式
知识点3
[知识解读] (1)随机试验E中的样本点
①任何两个样本点都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和.
(2)求解古典概型问题的一般思路
①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；
②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；
③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
关键能力·攻重难
下列试验是古典概型的是_________.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；
②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.
题型探究
题型一
古典概型的判断
典例
1
①②④
[分析] 紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.
[解析] ①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.
[归纳提升] 判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.
【对点练习】? 下列是古典概型的是
( )
A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止
[解析] A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.
C
甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
题型二
古典概型的概率计算
典例
2
[分析] (1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.
(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件.
[解析] (1)甲校2名男教师分别用A，B表示，1名女教师用C表示；乙校1名男教师用D表示，2名女教师分别用E，F表示.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，共9种.
在运用公式计算时，关键在于求出m、n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.
3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可.
【对点练习】? 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.
[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15个.
某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
题型三
较复杂的古典概型的概率计算
典例
3
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶.
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.
[归纳提升] 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：
(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.
(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.
【对点练习】? 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.
(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；
(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.
易错警示
典例
4
对“有序”与“无序”判断不准而致错
[错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20．
[误区警示] 在计算基本事件的总数时，若分不清“有序”和“无序”，将会出现“重算”或“漏算”的错误.突破这一思维障碍的方法是交换次序，看是否对结果造成影响，有影响是“有序”，无影响是“无序”.
【对点练习】? 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道.
(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；
(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
