第十章 10.1 10.1.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．若事件A，B是互斥事件，则( D )
A．P(A∪B)<1
B．P(A∪B)＝1
C．P(A∪B)>1
D．P(A∪B)≤1
[解析] ∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1．(当事件A，B对立时，P(A∪B)＝1．
2．从一箱苹果中任取一个，如果其质量小于200
g的概率为0.2，质量在200～300
g内的概率为0.5，那么质量超过300
g的概率为( B )
A．0.2
B．0.3
C．0.7
D．0.8
[解析] 质量超过300
g的概率为1－0.2－0.5＝0.3．
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8，4.85)内的概率是( B )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
[解析] 利用对立事件的概率公式可得
P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38．
4．(2020·山东潍坊高一期末测试)甲队和乙队进行足球比赛，两队踢成平局的概率是，乙队获胜的概率是，则甲队不输的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 甲队获胜的概率为1－－＝，
∴甲队不输的概率为＋＝.
5．(多选)在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别是0.2,0.3,0.5，则下列说法错误的是( ABC )
A．A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件
B．A1∪A2∪A3是必然事件
C．P(A2∪A3)＝0.8
D．P(A1∪A2)≤0.5
[解析] 三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1，A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件.
二、填空题
6．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为____.
[解析] 商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用互斥事件的概率加法公式可解.
记“当天商品销售量为0件”为事件A，“当天商品销售量为1件”为事件B，“当天商店不进货”为事件C，则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
7．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.若生产中出现乙级产品的概率为0.03，出现丙级产品的概率为0.01，抽查一件产品，该产品为正品的概率为__0.96__.
[解析] 设“抽得正品”为事件A，“抽得乙级产品”为事件B，“抽得丙级产品”为事件C，由题意，P(A)＝1－[P(B)＋P(C)]＝1－(0.03＋0.01)＝0.96．
8．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝__0.3__.
[解析] ∵A，B为互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，
∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3．
三、解答题
9．已知围棋盒子中有多枚黑子和多枚白子，从中取出2枚都是黑子的概率是，从中取出2枚都是白子的概率是.现从中任意取出2枚，恰好是同一色的概率是多少？
[解析] 设事件A＝“从中取出2枚都是黑子”，事件B＝“从中取出2枚都是白子”，事件C＝“任意取出2枚恰好是同一色”，则C＝A∪B，事件A与B互斥.
则P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，
即任意取出2枚恰好是同一色的概率是.
10．某医院一天要派出医生下乡义诊，派出的医生人数及其概率如下表所示：
人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.2
0.2
0.04
(1)求派出医生至多2人的概率；
(2)求派出医生至少2人的概率.
[解析] 设事件A＝“不派出医生”，事件B＝“派出1名医生”，事件C＝“派出2名医生”，事件D＝“派出3名医生”，事件E＝“派出4名医生”，事件F＝“派出5名及5名以上医生”，事件A，B，C，D，E，F彼此互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.16，P(C)＝0.3，P(D)＝0.2，P(E)＝0.2，P(F)＝0.04．
(1)“派出医生至多2人”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)方法一：“派出医生至少2人”的概率为P(C∪D∪E∪F)＝P(C)＋P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.2＋0.2＋0.04＝0.74．
方法二：“派出医生至少2人”的概率为1－P(A∪B)＝1－0.1－0.16＝0.74．
B 组·素养提升
一、选择题
1．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求概率为＝.
2．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.2,0.3,0.1．则此射手在一次射击中不够8环的概率为( A )
A．0.4
B．0.3
C．0.6
D．0.9
[解析] 不够8环的概率为1－0.2－0.3－0.1＝0.4．
3．(2018·全国卷Ⅲ文，5)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
[解析] 由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4．故选B．
4．某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为；则电话在响前四声内被接的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设“电话响第一声被接”为事件A，“电话响第二声被接”为事件B，“电话响第三声被接”为事件C，“电话响第四声被接”为事件D，则A，B，C，D两两互斥，从而P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.
二、填空题
5．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球单打冠军的概率为____.
[解析] 由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以由互斥事件概率的加法公式得，中国队夺得女子乒乓球冠军的概率为＋＝.
6．事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为，则P()＝____.
[解析] ∵事件A，B互斥，且P(A)＝2P(B)，它们都不发生的概率为，∴1－P(A)－P(B)＝1－2P(B)－P(B)＝，解得P(B)＝，∴P(A)＝2P(B)＝，∴P()＝1－P(A)＝1－＝.
三、解答题
7．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4．
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)求他不乘轮船去的概率；
(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？
[解析] (1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥.
所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)
＝0.3＋0.4＝0.7．
即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7．
(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则
P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，
所以，他不乘轮船去的概率为0.8．
(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，
P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去.
8．某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1
000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
(1)P(A)、P(B)、P(
C)；
(2)1张奖券的中奖概率；
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
[解析] (1)P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝.
故事件A，B，C的概率分别为，，.
(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.
设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＝.
故1张奖券的中奖概率为.
(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”互为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－(＋)＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(共32张PPT)
第十章
概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．熟练掌握性质1，性质2．(数学抽象)
2．会判断两个事件的互斥与对立关系.(逻辑推理)
3．能够利用性质3(互斥事件的概率公式)，性质4(对立事件的概率公式)求解概率问题.(数学运算)
4．能够解决实际生活中的概率问题.(数据分析)
当直接求某一事件的概率较为复杂时，可转化为求几个互斥事件的概率之和或其对立事件的概率，体验了正难则反的思想.
必备知识·探新知
性质1 对任意的事件A，都有__________.
性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝____，P(?)＝____.
性质3 如果事件A和事件B互斥，那么P(A∪B)＝_____________.
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝__________，P(A)＝__________.
性质5 如果A?B，那么P(A)_____P(B).
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝______________________.
概率的基本性质
知识点
P(A)≥0
1
0
P(A)＋P(B)
1－P(A)
1－P(B)
≤
P(A)＋P(B)－P(A∩B)
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
互斥事件概率公式的应用
典例
1
[归纳提升] (1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有当A、B两事件互斥时才能使用，如果A、B不互斥，就不能应用这一公式；(2)解决本题的关键是正确理解“A∪B”的意义.
[解析] 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，
所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．
(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，
所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．
法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．
甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.
题型二
概率一般加法公式(性质6)的应用
典例
2
[归纳提升] (1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制条件上的区别：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助图形理解.
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的关键在于理解两个事件A，B的交事件A∩B的含义，准确求出其概率.
【对点练习】? 在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).
[解析] P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6．
题型三
利用互斥与对立的概率公式多角度求解
典例
3
[归纳提升] 对于较复杂事件的概率在求解时通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.
[解析] 记“射击一次命中k环”的事件为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥.
(1)记“射击一次命中9环或10环”为事件A，则当A9或A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10).因此命中9环或10环的概率为0.60．
(2)方法一：由于事件“射击一次命中不足7环”是“射击一次至少命中7环”的对立事件，故所求的概率为P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7环的概率为0.10．
方法二：由题意可知“命中环数不足7环”即“命中环数为6环及以下”，故P＝0.10．
易错警示
典例
4
忽略概率加法公式的应用前提
[错因分析] 造成错解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥.此题的两个事件A，B不是互斥事件，如出现的点数为1或3时，事件A，B同时发生，故此题应用性质6．
[误区警示] 在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，一定要注意公式成立的前提，即事件A与事件B互斥.若事件A，B不互斥，则应用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB).
【对点练习】? 甲、乙两人各射击一次，命中率分别为0.8和0.5，两人都命中的概率为0.4，求甲、乙两人至少有一人命中的概率.
[解析] 至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”这两个事件的并事件.设事件A为“甲命中”，事件B为“乙命中”，则“甲、乙两人至少有一人命中”为事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9．
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第十章 10.1 10.1.4
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是( A )
A．[0,0.9]
B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9]
D．[0,1]
[解析] 由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9．故选A．
2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是( D )
A．60%
B．30%
C．10%
D．50%
[解析] “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.
3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为( A )
A．，
B．，
C．，
D．，
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.故选A．
4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.3,0.25，则未命中靶的概率是__0.1__.
[解析] 令事件A＝“命中Ⅰ”，事件B＝“命中Ⅱ”，事件C＝“命中Ⅲ”，事件D＝“未命中靶”，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.3＋0.25＝0.9．
因为中靶和不中靶是对立事件，所以未命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.9＝0.1．
5．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率P
其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50[解析] 所求概率为＋＋＝.
