第十章 10.2
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，否则记为C，那么事件A与B，A与C的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立
B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥
D．A与B互斥，A与C相互独立
[解析] 由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥，故选A．
2．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] p＝××＝.
3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译出的概率为，，，则此密码能译出的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 用A，B，C分别表示甲、乙、丙三人破译出密码，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，
∵P()＝P()·P()·P()＝××＝.
∴此密码破译出的概率为1－＝.
4．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝__0.65__.
[解析] ∵A、B相互独立，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65．
5．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，求P(A)和P().
[解析] ∵A、B是相互独立事件，
∴A与，与也是相互独立事件.
又∵P(A)＝，P(B)＝，
故P()＝，P()＝1－＝，
∴P(A)＝P(A)×P()＝×＝；
P()＝P()×P()＝×＝.第十章 10.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝“既有正面向上又有反面向上”，B＝“至多有一个反面向上”，则A与B的关系是( C )
A．互斥事件
B．对立事件
C．相互独立事件
D．不相互独立事件
[解析] 由于A中的事件发生与否对于B中的事件是否发生不产生影响，故A与B是相互独立的.
2．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为0.9，则他连续做对第1题和第2题的概率是( C )
A．0.64
B．0.56
C．0.81
D．0.99
[解析] 设Ai表示“第i题做对”，i＝1,2，由题意知，A1，A2相互独立，则P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81．
3．事件A，B是相互独立的，P(A)＝0.4，P(B)＝0.3，下列四个式子：①P(AB)＝0.12；②P(B)＝0.18；③P(A)＝0.28；④P( )＝0.42．其中正确的有( A )
A．4个
B．2个
C．3个
D．1个
[解析] 事件A，B是相互独立的，由P(A)＝0.4，P(B)＝0.3知：在①中，P(AB)＝P(A)P(B)＝0.4×0.3＝0.12，故①正确；在②中，P(B)＝P()P(B)＝0.6×0.3＝0.18，故②正确；在③中，P(A)＝P(A)P()＝0.4×0.7＝0.28，故③正确；在④中，P(
)＝P()P()＝0.6×0.7＝0.42，故④正确.
4．甲、乙两队进行排球决赛.现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军.若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 甲要获得冠军共分为两种情况：
(1)第一场取胜，这种情况的概率为.
(2)第一场失败，第二场取胜，这种情况的概率为×＝，则甲获得冠军的概率为＋＝.
5．(多选)设M，N为两个随机事件，给出以下命题正确的是( ABD )
A．若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
B．若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
C．若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，则M，N为相互独立事件
D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则M，N为相互独立事件
[解析] 在A中，若P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，则由相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故A正确；在B中，若P()＝，P(N)＝，P(MN)＝，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故B正确；在C中，若P(M)＝，P()＝，P(MN)＝，当M，N为相互独立事件时，P(MN)＝×＝，故C错误；D．若P(M)＝，P(N)＝，P()＝，则由对立事件概率计算公式和相互独立事件乘法公式知M，N为相互独立事件，故D正确.
二、填空题
6．有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为____，问题得到解决的概率为____.
[解析] 甲、乙两人都未能解决的概率为×＝×＝，问题得到解决就是至少有1人能解决问题，
∴P＝1－＝.
7．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝____；P()＝____.
[解析] ∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.∴P(A)＝P(A)P()＝×＝，P()＝P()P()＝×＝.
8．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是__0.24__，三人中至少有一人达标的概率是__0.96__.
[解析] 由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96．
三、解答题
9．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局.在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.
(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；
(2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
[解析] (1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P(A)＝××＝.
(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B∪C，
则P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝×＋×＋×＝＋＝.
10．在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.设每人回答问题正确与否是相互独立的.
(1)求乙答对这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.
[解析] (1)记事件A＝“甲答对这道题”，事件B＝“乙答对这道题”，事件C＝“丙答对这道题”.设乙答对这道题的概率P(B)＝x.
由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件.
由题意，根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P( )＝P()·P()＝×(1－x)＝，
解得x＝，所以乙答对这道题的概率P(B)＝.
(2)设事件M＝“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”，丙答对这道题的概率P(C)＝y.
根据相互独立事件同时发生的概率公式，
得P(BC)＝P(B)·P(C)＝×y＝，解得y＝.
甲、乙、丙三人都回答错误的概率P( )＝P()·P()·P()＝××＝.
因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件，所以所求事件概率P(M)＝1－＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为( B )
A．0.504
B．0.994
C．0.496
D．0.064
[解析] 由题意可知，系统的可靠性为1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.006＝0.994．
2．某机械零件由2道工序组成，第一道工序的废品率为a，第二道工序的废品率为b，假设这两道工序生产出废品是彼此无关的，那么产品的合格率为( A )
A．ab－a－b＋1
B．1－a－b
C．1－ab
D．1－2ab
[解析] 由题意，两道工序生产出正品的概率分别是1－a,1－b，又这两道工序生产出废品是彼此无关的，故产品的合格率为(1－a)×(1－b)＝ab－a－b＋1．故选A．
3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立，则至少有一种新产品研发成功的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记E＝“甲组研发新产品成功”，F＝“乙组研发新产品成功”，由题设知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E与F，E与，与F，与都相互独立.
记H＝“至少有一种新产品研发成功”，则＝∩，于是P()＝P()×P()＝×＝，故所求的概率P(H)＝1－P()＝1－＝.故选D．
4．甲、乙两名同学参加学校“吉祥物设计”大赛，甲能获得一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，则甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由于甲能获得一等奖的概率是，乙能获得一等奖的概率是，甲、乙两人是否获得一等奖互不影响，
∴甲、乙两人中至少有一人获得一等奖的概率为P＝1－＝.
二、填空题
5．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__.
[解析] 记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128．
6．(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为____；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为____.
[解析] 甲、乙两球落入盒子的概率分别为，，且两球是否落入盒子互不影响，
所以甲、乙都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.
三、解答题
7．台风在危害人类的同时，也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7,0.9，各卫星间相互独立，求在同一时刻至少有两颗预报准确的概率.
[解析] 设“甲、乙、丙预报准确”分别为事件A，B，C，不准确记为，，，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥.
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902．
8．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13
s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检验，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大.
[解析] 设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为pk(k＝0,1,2,3).
(1)三人都合格的概率：
p3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
p0＝P( )＝P()P()P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
p2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝
××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
p1＝1－p0－p2－p3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知p1最大.
所以出现恰有一人合格的概率最大.(共39张PPT)
第十章
概率
10.2 事件的相互独立性
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．弄清相互独立事件的概念与意义.(数学抽象)
2．能够利用相互独立事件的概率公式求解简单的概率问题.(数学运算)
3．能够解决实际问题中的概率问题.(数学建模)
1．在概率论中，独立性也是极其重要的概念，它的主要作用是简化概率计算.
2．注意区分两个事件相互独立与两个事件互斥这两个概念.
3．学会并掌握如何用事件的独立性计算随机事件的概率.
必备知识·探新知
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝___________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
相互独立事件的定义
知识点1
P(A)P(B)
当事件A，B相互独立时，则事件____与事件_____相互独立，事件_____与事件____相互独立，事件_____与事件_____相互独立.
相互独立事件的性质
知识点2
A
B
[知识解读] 1．公式的推广
如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An).
2．两个事件独立与互斥的区别
两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响.
一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提.
3．相互独立事件与互斥事件的概率计算
关键能力·攻重难
下列每对事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件？
(1)1
000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖；
(2)甲，乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张，甲中奖与乙中奖；
题型探究
题型一
相互独立事件的判断
典例
1
(3)甲组3名男生、2名女生，乙组2名男生、3名女生，现从甲，乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(4)容器内盛有5个白球和3个黄球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.
[解析] (1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖，即这两个事件不可能同时发生，故它们是互斥事件.
(2)由双色球的中奖规则可知，甲是否中奖对乙是否中奖没有影响，反之亦然，故它们是相互独立事件.
(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，反之亦然，所以它们是相互独立事件.
[归纳提升] 两种方法判断两事件是否具有独立性
(1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响.
(2)公式法：检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立.
【对点练习】? (1)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B
( )
A．相互独立但不互斥
B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥
D．既不相互独立也不互斥
(2)掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是
( )
A．互斥但不相互独立
B．相互独立但不互斥
C．互斥且相互独立
D．既不相互独立也不互斥
A
B
题型二
相互独立事件的概率计算
典例
2
[归纳提升] 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件之间是相互独立的；
(2)确定这些事件可以同时发生；
(3)求出每个事件的概率，再求积.
2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生.
3．明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.
【对点练习】? 某机械厂制造一种汽车零件，已知甲机床的正品率是0.96，乙机床的次品率是0.05，现从它们制造的产品中各任意抽取一件，试求：
(1)两件产品都是正品的概率；
(2)恰有一件是正品的概率；
(3)至少有一件是正品的概率.
题型三
相互独立事件概率的综合应用
典例
3
(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
[归纳提升] 求较为复杂事件的概率的方法
(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；
(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；
(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；
(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.
甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？
[错解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，则P(两人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825．
易错警示
典例
4
混淆互斥事件和独立事件的概念
[错因分析] 错误地把相互独立事件当成互斥事件来考虑，将“两人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”与B＝“乙恰好命中2次”的概率之和.
[正解] 记A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B为相互独立事件，两人恰好都命中2次的概率为P(AB)，则P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169．
[误区警示] 首先理解清楚互斥事件与相互独立事件的概念，并且区分计算概率的公式.A，B为互斥事件时，有概率公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B为独立事件时，有概率公式为P(AB)＝P(A)P(B).
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
