第十章 10.3 10.3.1 10.3.2
1．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明( D )
A．该厂生产的10
000件产品中不合格的产品一定有1件
B．该厂生产的10
000件产品中合格的产品一定有9
999件
C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10
000件产品中没有不合格产品
D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%
[解析] 合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小，即合格的概率.
2．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有( D )
A．f(n)与某个常数相等
B．f(n)与某个常数的差逐渐减小
C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小
D．f(n)在某个常数的附近摆动并趋于稳定
[解析] 随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系.
3．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为( B )
A．0.35
B．0.25
C．0.20
D．0.15
[解析] 易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率约为＝0.25．
4．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a到整数b之间的每个整数出现的可能性是____.
[解析] [a，b]中共有b－a＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是.
5．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n
10
20
50
100
200
500
击中靶心次数m
8
19
44
92
178
455
击中靶心的频率
(1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
(3)这个射手连续射击两次(第一次是否击中靶心对第二次没有影响)，恰有一次击中靶心的概率约为多少？
[解析] (1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88，0.92，0.89,0.91．
(2)由于频率稳定在常数0.9附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9．
(3)由(2)可知连续射击两次，恰有一次击中靶心的概率约为0.9×(1－0.9)＋(1－0.9)×0.9＝0.18．(共37张PPT)
第十章
概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性
10.3.2 随机模拟
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.(数学抽象)
2．理解概率的意义，利用概率知识正确求解现实生活中的实际问题.(数学运算)
3．理解概率的意义及频率与概率的区别.(逻辑推理)
4．能够利用古典概型或蒙特卡洛法进行求解.(数据分析)
1．体会试验次数对频率的影响，感受频率的随机性.
2．感受随着次数增加频率趋于稳定的特点.
3．把握频率估计概率的特征.
必备知识·探新知
1．频率的稳定性
大量的试验证明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有_________.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会_______，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的_________.因此我们可以用频率fn(A)估计___________.
知识点
频率的稳定性与随机模拟
随机性
缩小
稳定性
概率P(A)
2．随机数的产生
(1)标号：把n个_____________相同的小球分别标上1,2,3，…，n.
(2)搅拌：放入一个袋中，把它们___________.
(3)摸取：从中摸出_______.
这个球上的数就称为从1～n之间的随机整数，简称随机数.
大小、形状
充分搅拌
一个
3．伪随机数的产生
(1)规则：依照确定的算法.
(2)特点：具有周期性(周期很长).
(3)性质：它们具有类似_________的性质.
计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数，我们称为___________.
4．产生随机数的常用方法
①_______________；②_______________；③_________.
随机数
伪随机数
用计算器产生
用计算机产生
抽签法
5．随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算机或计算器产生的随机数来做模拟试验，通过模拟试验得到的_______来估计_______，这种用计算机或计算器模拟试验的方法称为随机模拟方法或蒙特卡洛方法.
频率
概率
[知识解读] 1．频率与概率的关系
概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小.
说明：(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关.
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
2．用随机模拟法估计概率
(1)随机模拟法估计概率的思想
随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率.
(2)随机模拟法的优点
不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域中去.
(3)随机模拟法的步骤
①建立概率模型；
②进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；
③统计试验结果.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
频率与概率的关系
典例
1
④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；
⑤概率是频率的稳定值.
A．①④⑤
B．①②
C．②③
D．②③⑤
[答案]
A
[解析] 根据频率与概率的定义，可知①正确；概率不是频率，而②中所给的是事件A发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知，概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确.故选A．
[归纳提升] (1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定.
(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关.
D
[解析] A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是多次试验的稳定值，与试验次数无关.
某公司在过去几年内使用某种型号的灯管共1
000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
(1)将各组的频率填入表中；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率.
题型二
用随机事件的频率估计其概率
典例
2
分组
频数
频率
[700,900)
48
?
[900,1
100)
121
?
[1
100,1
300)
208
?
[1
300,1
500)
223
?
[1
500,1
700)
193
?
[1
700,1
900)
165
?
[1
900，＋∞)
42
?
[解析] (1)利用频率的定义可得：[700,900)的频率是0.048；[900,1
100)的频率是0.121；[1
100,1
300)的频率是0.208；[1
300,1
500)的频率是0.223；[1
500,1
700)的频率是0.193；[1
700,1
900)的频率是0.165；[1
900，＋∞)的频率是0.042．
所以频率依次是0.048,0.121,0.208,0.223,0.193，0.165，0.042．
(2)样本中使用寿命不足1
500小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
所以估计灯管使用寿命不足1
500小时的概率是0.6．
[归纳提升] 由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生.从而对某些事情作出决策.当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率.
【对点练习】? 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如图所示：
(1)估计甲品牌产品寿命小于200
h的概率；
(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200
h，试估计该产品是甲品牌的概率.
一份测试题包括6道选择题，每题4个选项且只有一个选项是正确的，如果一个学生对每一道题都随机猜一个答案，用随机模拟方法估计该学生至少答对3道题的概率.(已知计算机或计算器做模拟试验可以模拟每次猜对的概率是25%)
题型三
简单的随机模拟试验的应用
典例
3
[解析] 我们通过设计模拟试验的方法来解决问题，利用计算机或计算器可以产生0到3之间取整数值的随机数，我们用0表示猜的选项正确，1,2,3表示猜的选项错误，这样可以体现猜对的概率是25%，因为共猜6道题，所以每6个随机数作为一组，例如，产生25组随机数：
330130 302220 133020 022011 313121
222330 231022 001003 213322 030032
100211 022210 231330 321202 031210
232111 210010 212020 230331 112000
102330 200313 303321 012033 321230
[归纳提升] 用随机数模拟法求事件概率的方法
在使用整数随机数模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果.
(1)试验的基本结果是等可能时，样本点的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个样本点.
(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
【对点练习】? 一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率.
[解析] 用1,2,3,4,5,6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间(包括1和7)取整数值的随机数.因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组.如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571 561 156 567 732 375
716 116 614 445 117 573 552 274 114 662
某同学掷一枚质地均匀的硬币10次，共有8次反面向上，于是他指出：“掷一枚质地均匀的硬币，出现反面向上的概率应为0.8”.你认为他的结论正确吗？为什么？
易错警示
典例
4
对频率与概率的关系理解不清
[错因分析] 得出概率为0.8，显然是对概率的统计性定义的曲解.事实上，概率定义中用频率的近似值刻画概率，要求试验次数足够多.
[正解] 不正确.因为概率是事物的本质属性，不随试验次数的改变而改变，用频率的近似值刻画概率时，要求试验次数足够多.
[误区警示] 随着试验次数的增加，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，即称为这一事件发生的概率的近似值，而概率是一个确定的常数，与试验的次数无关.
D
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第十章 10.3 10.3.1 10.3.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是( A )
A．P(A)≈
B．P(A)<
C．P(A)>
D．P(A)＝
2．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( D )
A．任意买1张电影票，座位号是奇数
B．掷1枚骰子，点数小于等于2
C．有10
000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球
[解析] P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( A )
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防
B．小概率事件很少发生，不用怕
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生
D．大概率事件就是必然事件，一定发生
[解析] 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A．
4．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是，某家长说：“要是都不会做，每道题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( B )
A．正确
B．错误
C．不一定
D．无法解释
[解析] 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是，说明答对的可能性大小是.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定能答对3道题，也可能都答错或答对1道题、2道题、4道题，……甚至12道题.
5．(多选)下列说法正确的是( AB )
A．掷一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大
B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大
C．某彩票中奖的概率是1%，买100张一定有1张中奖
D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论
[解析] 掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5(钉尖朝上的概率比较大)，所以A对；射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性是非常大的，所以B对；概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，所以C错；只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错.故选AB．
二、填空题
6．把一枚质地均匀的硬币连续掷1
000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为__0.5__.
[解析] 通过做大量重复试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币正面朝上的概率是0.5．
7．采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，这三天中均下雨的概率为__0.1__.
[解析] 根据题中随机数表中的数据，这三天均下雨的随机数组有431,113，则估计这三天均下雨的概率为＝0.1．
8．种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验.在统计的2
000粒种子中有1
962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是__0.981__，若用户需要该批可发芽的稻谷种100
000粒，需采购该批稻谷种子__3__千克(每千克约35
000粒).(结果取整数)
[解析] “种子发芽”这个事件发生的频率为＝0.981；若用户需要该批可发芽的稻谷种100
000粒，则需采购该批稻谷种子100
000×(粒)，故需要购买该批稻谷种子100
000×÷35
000≈3(千克).
三、解答题
9．为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
[解析] 设保护区中天鹅的数量为n，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A＝{捕到带有记号的天鹅}，
则P(A)＝.
从保护区中捕出150只天鹅，
其中有20只带有记号，
由概率的定义可知P(A)≈.
由≈，解得n≈1
500，
所以该自然保护区中天鹅的数量约为1
500只.
10．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
天气
晴
雨
阴
阴
阴
雨
阴
晴
晴
晴
日期
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
天气
阴
晴
晴
晴
晴
晴
阴
雨
阴
阴
日期
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
天气
晴
阴
晴
晴
晴
阴
晴
晴
晴
雨
(1)在4月份任取一天，估计该市在该天不下雨的概率；
(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，用频率估计概率，4月份任选一天，该市在该天不下雨的概率约是＝.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率约为＝，用频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·江西省上饶市统考)数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2
018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为( B )
A．222石
B．224石
C．230石
D．232石
[解析] 以样本的频率＝为概率，可算得谷约为2
018×≈224石.
2．(2020·郑州一中高三模拟)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( A )
A．这100个铜板两面是一样的
B．这100个铜板两面是不同的
C．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面不是相同的
[解析] 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大.
3．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
游戏1
游戏2
游戏3
3个黑球和1个白球
1个黑球和1个白球
2个黑球和2个白球
取1个球，再取1个球
取1个球
取1个球，再取1个球
取出的两个球同色→甲胜
取出的球是黑球→甲胜
取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜
取出的球是白球→乙胜
取出的两个球不同色→乙胜
问其中不公平的游戏是( D )
A．游戏1
B．游戏1和游戏3
C．游戏2
D．游戏3
[解析] 游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白).所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2).所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的.故选D．
4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3
000辆帕萨特出租车；乙公司有3
000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( B )
A．甲公司
B．乙公司
C．甲、乙公司均可
D．以上都对
[解析] 由题意得肇事车是甲公司的概率为＝，是乙公司的概率为＝，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理.故选B．
二、填空题
5．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为 __64__，估计数据落在[2,10)内的概率约为__0.4__.
[解析] 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4．
6．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110
321 120 122 321 221 230 132 322 130
由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为____.
[解析] 经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数.所以恰好第三次就停止的概率为＝.
三、解答题
7．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率.
[解析] 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组.例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为
n，则至少投中3次的概率近似值为.
8．某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值.
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值.
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
[解析] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2．
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故P(A)的估计值为0.55．
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，
故P(B)的估计值为0.3．
(3)由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192
5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192
5a.
