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第十章
概率
章末知识梳理
核心知识归纳
要点专项突破
知识体系构建
知识体系构建
核心知识归纳
1．随机试验的特点
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
2．有限样本空间与随机事件
(1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间.
(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称?为不可能事件.
3．事件的关系与运算
事件关系或运算
含义
符号表示
包含
A发生导致B发生
A?B
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
互斥(互不相容)
A与B不能同时发生
A∩B＝?
互为对立
A与B有且仅有一个发生
A∩B＝?，且A∪B＝Ω
性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性质5 如果A?B，那么P(A)≤P(B)；
性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B).
6．事件的相互独立性
对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立.
7．频率与概率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A).
要点专项突破
从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是
( )
A．①
B．②④
C．③
D．①③
要点一
互斥事件、对立事件与相互独立事件
典例
1
C
[解析] ③中“至少有一个是奇数”，即“两个奇数或一奇一偶”，而从1～7中任取两个数，根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，易知其余都不是对立事件.
[归纳提升] 1．互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.
2．掌握互斥事件和对立事件的概率公式及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.
A
(2)下列事件A，B是相互独立事件的是
( )
A．一枚硬币掷两次，A表示“第一次为正面”，B表示“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A表示“掷出点数为奇数”，B表示“掷出点数为偶数”
D．有一个灯泡，A表示“灯泡能用1
000小时”，B表示“灯泡能用2
000小时”
A
(2019·全国Ⅱ卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
( )
要点二
古典概型
典例
2
B
要点三
相互独立事件概率的求法
典例
3
[归纳提升] 计算相互独立事件同时发生的概率，一般分为以下几步：
(1)先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件，把这些事件分为若干个彼此互斥的事件的和；(2)根据相互独立事件的概率公式计算出这些彼此互斥的事件的概率；(3)根据互斥事件的概率加法公式求出结果.
【对点练习】? 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125．
(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率；
(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.
[解析] 记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照顾分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立.
(1)由题意得
P(AB)＝P(A)P(B)＝0.05，
P(AC)＝P(A)P(C)＝0.1，
P(BC)＝P(B)P(C)＝0.125，
∴P(A)＝0.2，P(B)＝0.25，P(C)＝0.5，
∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照顾的概率分别为0.2,0.25,0.5．
某学校为了解高一新生的体质健康状况，对学生的体质进行了测试.现从男、女生中各随机抽取20人，把他们的测试数据，按照《国家学生体质健康标准》整理如下表.规定：数据≥60，体质健康为合格.
要点四
频率与概率
典例
4
(1)从样本中随机选取一名学生，求这名学生体质健康为合格的概率；
(2)从男生样本和女生样本中各随机选取一人，求恰有一人的体质健康等级是优秀的概率.
等级
数据范围
男生人数
男生平均分
女生人数
女生平均分
优秀
[90,100]
5
91.3
2
91
良好
[80,89]
4
83.9
4
84.1
及格
[60,79]
8
70
11
70.2
不及格
60以下
3
49.6
3
49.1
合计
－－
20
75.0
20
71.9
【对点练习】? (2019·全国Ⅰ卷)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4︰1获胜的概率是_______.
0.18
[解析] 甲队以4︰1获胜，甲队在第5场(主场)获胜，前4场中有一场输.
若在主场输一场，则概率为2×0.6×0.4×0.5×0.5×0.6；
若在客场输一场，则概率为2×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6．
∴甲队以4︰1获胜的概率
P＝2×0.6×0.5×0.5×(0.6＋0.4)×0.6＝0.18．第十章 概 率
考试时间120分钟，满分150分.
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列事件是随机事件的是( C )
①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数.
A．①③
B．①④
C．②④
D．③④
[解析] ②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件.
2．甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第一名的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 甲、乙都不可能是第一名，第一名只可能是丙、丁、戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是.
3．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 如图，共有AOB、AOC、AOD、BOC、BOD、COD、ABC、ABD、BCD、ACD，共10种方案，选择AOD、BOC时符合题意.所以P＝＝.
4．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”，则P(A∪B)等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由古典概型的概率公式得P(A)＝，P(B)＝＝.又事件A与B为互斥事件，由互斥事件的概率和公式得P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
5．中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，如图，现将一个勾三股四弦五的三角形放入平面直角坐标系xOy中，在坐标系中任取一点M(x，y)，其中x∈{0,1,2,3,4}，y∈{0,1,2,3}，则点M落在该三角形内(含边界)的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 依题意可知点M的个数为20个，落在三角形内的有11个，故概率为.
6．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示.设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元.从条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天，日销售量为20个的3天记为a，b，c，日销售量为21个的2天记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P＝，故选B．
7．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1
200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1
600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( B )
A．10名
B．18名
C．24名
D．32名
[解析] 设需要志愿者x名，由题意可得，＝x，解得x＝18．
8．已知某运动员每次投篮命中的概率是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191,932,271共3组随机数，故所求概率为.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法不正确的是( ABC )
A．合格产品少于8件
B．合格产品多于8件
C．合格产品正好是8件
D．合格产品可能是8件
[解析] 某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，合格产品可能是8件.故选ABC．
10．掷一枚均匀的硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，则有( AD )
A．A与B相互独立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥
D．P(AB)＝
[解析] 对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B的发生没有影响，所以A与B相互独立，所以A正确；对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，故选项B，C不正确；对于选项D，由于A与B相互独立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＝，所以D正确.故选AD．
11．下列说法不正确的是( ABC )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗，结果有380人有明显疗效，现有胃溃疡的病人服用此药，则估计其会有明显疗效的可能性为76%
[解析] 概率只是说明事件发生的可能性大小，其发生具有随机性.
12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中公平的是( ACD )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
[解析] 对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7与点数之和小于7的概率相等，但点数之和等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．一个口袋内装有大小相同的10个白球，5个黑球，5个红球，从中任取一球是白球或黑球的概率为____.
[解析] 记“任取一球为白球”为事件A，“任取一球为黑球”为事件B，
则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.
14．如图所示，有一个正十二面体，12个面上分别写有1～12这12个整数，投掷这个正十二面体一次，则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为____.
[解析] 由题意可知，所有的样本点数为12，其中为2或3的倍数的是2,3,4,6,8,9,10,12，共8个，故所求的概率为＝.
15．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为____.
[解析] 如下表所示，表中的点横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
总计有25种情况，满足条件的有10种，所以所求概率为＝.
16．甲射击命中目标的概率是，乙射击命中目标的概率是，丙射击命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为____.
[解析] 设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生.又P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)]·[1－P(B)]·[1－P(C)]
＝××＝.
故目标被击中的概率
P＝1－P()＝.
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)用表中字母列举出所有可能的结果.
(2)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率.
[解析] (1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15种.
(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6种.
因此，事件M发生的概率P(M)＝＝.
18．(本小题满分12分)在甲、乙等5位学生参加的一次社区专场演唱会中，每位学生的节目集中安排在一起演出，采用抽签的方法随机确定各位学生的演出顺序(序号为1,2,3,4,5).
(1)甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数的概率；
(2)甲、乙两人的演出序号不相邻的概率.
[解析] 样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，共10个样本点.
其中甲、乙两人至少有一人被安排在偶数号的样本点有：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(4,5)，共7个.甲、乙两人被安排在不相邻的演出序号的样本点有：(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,5)，共6个.
(1)事件A＝记“甲、乙两人的演出序号至少有一个为偶数”，则P(A)＝.
(2)事件B＝记“甲、乙两人的演出序号不相邻”，
则P(B)＝＝.
19．(本小题满分12分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率.
[解析] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，
则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)易知事件A，B，C相互独立，
所以恰有一名同学当选的概率为
P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.
20．(本小题满分12分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人)
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值.
(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
[解析] (1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20．
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9(分钟).
(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率，得P(A1)＝＝，P(A2)＝＝.
P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－－＝.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
21．(本小题满分12分)为了研究某种理财工具的使用情况，对[20,70]年龄段的人员进行了调查研究，将各年龄段人数分成5组：[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]，并整理得到频率分布直方图如图：
(1)求直方图中a的值；
(2)采用分层随机抽样的方法，从第二组、第三组、第四组中共抽取8人，则三个组中各抽取多少人？
(3)在(2)中抽取的8人中，随机抽取2人，则这2人都来自第三组的概率是多少？
[解析] (1)由频率分布直方图的性质，可得(0.040＋2a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.020．
(2)由频率分布直方图知第二组、第三组、第四组的频率比为1︰2︰1，
∴三个组依次抽取的人数为2,4,2．
(3)记第二组两人分别为A1，A2，第三组四人分别为B1，B2，B3，B4，第四组两人分别为C1，C2．
样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)}，共28个样本点，而都来自第三组的为(C1，C2)，故其概率为P＝.
22．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚.先在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人会迟到，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元)
50
100
150
200
迟到的人数y
50
40
20
0
若用表中数据所得频率代替概率.
(1)当处罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？
(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为；B类是其他员工.现对会迟到的员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？
[解析] (1)设“当罚金定为100元时，员工迟到的行为”为事件A，则P(A)＝＝，不处罚时，迟到的概率为＝.所以当罚金定为100元时，比不制定处罚，员工迟到的概率会降低.
(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽取两人.
设从A类员工抽取的两人分别为A1，A2，从B类员工抽取的两人分别为B1，B2，
设“从A类与B类员工按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6种，同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24种.
设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4种，所以P(N)＝＝，所以抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.
