第六章 6.3 6.3.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是( B )
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
[解析] 3e1－2e2与4e2－6e1是共线向量，不能作为一组基底.
2．如图所示，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，则等于( A )
A．(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1)
D．(5e2－3e1)
[解析] ＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2).
3．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2＝，＝＋λ，则λ等于( A )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝.
方法二 因为A，B，D三点共线，＝＋λ，
所以＋λ＝1，所以λ＝.
4．如图所示，||＝||＝1，|OC|＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，设＝x＋y，则( B )
A．x＝－2，y＝－1
B．x＝－2，y＝1
C．x＝2，y＝－1
D．x＝2，y＝1
[解析] 解法1：过点C作CD∥OB交AO的延长线于点D，连接BC(图略).由||＝1，||＝，∠AOB＝60°，OB⊥OC，知∠COD＝30°.在Rt△OCD中，可得OD＝2CD＝2，则＝＋＝－2＋.∴x＝－2，y＝1．
解法2：画图知x<0且y>0，所以选B．
5．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则( A )
A．－
B．－
C．＋
D．＋
[解析] ＝＋＝－＋＝－×(＋)＋＝－.
二、填空题
6．如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，M是DC的中点，以a、b为基底表示向量＝__b＋a__.
[解析] ＝＋＝＋＝＋＝b＋a.
7．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋3b平行，则实数λ＝____.
[解析] 依据平行向量基本定理列方程组求解.
∵λa＋b与a＋3b平行，
∴可设λa＋b＝t(a＋3b)，
即λa＋b＝ta＋3tb，
∴解得
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝__a－b__.
[解析] 设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，
∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2．
∵e1与e2不共线，∴
∴∴e1＋e2＝a－b.
三、解答题
9．如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点.若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，
E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴＝＝2，＝＝2，
∴＝＝b，
＝＝＝－＝－a.
∴＝＋＋＝－＋＋
＝－b＋a＋b＝a－b，
＝＋＝＋＝b－a.
10．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝2e1－3e2，试用a，b表示c.
[解析] 设c＝xa＋yb，则2e1－3e2＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)，
即(3x－2y)e1＋(y－2x)e2＝2e1－3e2．
又e1，e2是平面内两个不共线的向量，
所以解得
所以c＝4a＋5b.
B 组·素养提升
一、选择题
1．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则＝( B )
A．2
B．4
C．5
D．7
[解析] 以如图所示的两互相垂直的单位向量e1，e2为基底，
则a＝－e1＋e2，b＝6e1＋2e2，c＝－e1－3e2，
因为c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以－e1－3e2＝λ(－e1＋e2)＋μ(6e1＋2e2)＝(－λ＋6μ)e1＋(λ＋2μ)e2，
所以解得所以＝4．故选B．
2．(多选)如果e1、e2是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中错误的是( ABD )
A．已知实数λ1、λ2，则向量λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内
B．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2可以不唯一
C．若有实数λ1、λ2使λ1e1＝λ2e2，则λ1＝λ2＝0
D．对平面α内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1、λ2不一定存在
[解析] 选项A中，由平面向量基本定理知λ1e1＋λ2e2与e1、e2共面，所以A项不正确；选项B中，实数λ1、λ2有且仅有一对，所以B项不正确；选项D中，实数λ1、λ2一定存在，所以D项不正确；很明显C项正确.
3．若＝a，＝b，＝λ，则＝( D )
A．a＋λb
B．λa＋b
C．λa＋(1＋λ)b
D．
[解析] ∵＝λ，
∴－＝λ(－)，
(1＋λ)＝λ＋，∴＝.
4．已知在△ABC中，＝，P是BN上的一点.若＝m＋，则实数m的值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设＝λ，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ(－)＝(1－λ)＋＝m＋，∴解得
二、填空题
5．已知O为△ABC内一点，且＋＝2，且λ＝，若B，O，D三点共线，则实数λ的值为__3__.
[解析] 设点E为边BC的中点，则
(＋)＝，
由题意，得＝，
所以＝＝(＋)＝＋，因此若B，O，D三点共线，则＋＝1，即λ＝3．
6．如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设＝m，＝n，m，n∈R，则＋的值为__3__.
[解析] 方法一：设＝a，＝b，由题意知＝×(＋)＝(a＋b)，＝－＝nb－ma，＝－＝(－m)a＋b，
由P，G，Q三点共线得，存在实数λ，使得＝λ，即nb－ma＝λ(－m)a＋λb，
从而消去λ，得＋＝3．
方法二：由题意知＝×(＋)＝(＋)＝＋，
又P，G，Q三点共线，由三点共线性质定理可知＋＝1，即＋＝3．
方法三：(特例)当PQ∥AB时，m＝n＝，∴＋＝3．
三、解答题
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值.
[解析] (1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2).
由e1，e2不共线，
得?
∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
∴?
∴c＝2a＋b.
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．
∴?
故所求λ，μ的值分别为3和1．
8．如图所示，在△ABC中，M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底{a，b}表示向量.
[解析] 易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线可知，存在实数m使＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线可知，存在实数n使＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b，由于{a，b}为基底，
所以解得所以＝a＋b.第六章 6.3 6.3.1
1．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足2＝，以b与c作为基底，则＝( D )
A．b＋c
B．c－b
C．b－c
D．b＋c
[解析] ∵2＝，
∴2(－)＝－，
∴2(－c)＝b－，
∴＝c＋b.
2．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ等于( C )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] 因为A，B，D三点共线，所以存在实数t，使＝t，则－＝t(－).
所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t.
所以解得λ＝－.
3．已知e1，e2不共线，且a＝ke1－e2，b＝e2－e1，若a，b不能作为基底，则k等于__1__.
[解析] 向量a，b不能作为基底，则向量a，b共线，可设a＝λb，则则k＝1．
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝__－15__，y＝__－12__.
[解析] ∵向量e1，e2不共线，
∴解得
5．如图，平面内有三个向量，，.其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
[解析] 如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6．(共37张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量.(直观想象)
2．能够灵活运用平面向量基本定理解决相关问题.(数据分析)
1．平面向量基本定理沟通了数与形，同时也进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些社会架构组成的基本单位等.
2．在学习平面向量基本定理时要善于结合四边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以理解.
3．要充分利用平面直角坐标系来加强对平面向量正交分解的理解.
必备知识·探新知
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝_____________.
平面向量的基本定理
知识点1
不共线
任一
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
若e1，e2_________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内_______向量的一个基底.
基底
知识点2
不共线
所有
[知识解读] 对平面向量基本定理的理解
(1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的.
(2)基底给定时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数值.
(3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，λ2＝0；当a与e2共线时，λ1＝0；当a＝0时，λ1＝λ2＝0．
(4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
对基底概念的理解
典例
1
BC
[分析] 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解.
[解析] 由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．故选BC．
[归纳提升] (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的形式.
(2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基底，则必有e1≠0，e2≠0且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1＋e2与2(e1＋e2)等，均不能构成基底.
【对点练习】? (1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么
( )
A．若实数m、n使得me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2为实数
C．对于实数m、n，me1＋ne2不一定在此平面上
D．对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使a＝me1＋ne2
A
(2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2．其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____.(写出所有满足条件的序号)
③
题型二
用基底表示向量
典例
2
①②③
[分析] 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
[归纳提升] 用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；
②向量减法的几何意义；
③数乘向量的几何意义.
(2)模型：
A
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP︰PM与BP︰PN的值.
题型三
平面向量基本定理的应用
典例
3
当λ1e1＋λ2e2＝0时
恒有λ1＝λ2＝0
若a＝λ1e1＋λ2e2
当λ2＝0时，a与e1共线
当λ1＝0时，a与e2共线
λ1＝λ2＝0时，a＝0
易错警示
典例
4
忽视平面向量基本定理的使用条件致误
[错因分析] 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这个解.
[误区警示] 当条件不明确时要分类讨论.
【对点练习】? 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y等于____.
3
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
