第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)给出下面几种说法，其中说法正确的是( ABD )
A．相等向量的坐标相同
B．平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标
C．一个坐标对应于唯一的一个向量
D．平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应
[解析] 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误.
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a等于( B )
A．(－2,1)
B．(2，－1)
C．(2,0)
D．(4,3)
[解析] 由题意得b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1).
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量的坐标是( C )
A．
B．
C．(－8,1)
D．(8,1)
[解析] ＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1).
4．若A(3,1)，B(2，－1)，则的坐标是( C )
A．(－2，－1)
B．(2,1)
C．(1,2)
D．(－1，－2)
[解析] ＝－＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2).
5．已知点A(0,1)，B(4,0)，向量＝(－2，－2)，则向量等于( A )
A．(－6，－1)
B．(6,1)
C．(2，－1)
D．(－2，－1)
[解析] 设C(x，y)，则＝－＝(x，y－1)＝(－2，－2)，
即x＝－2，y＝－1，故C(－2，－1)，
则＝－＝(－6，－1).
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若向量＝(6,9)，则点B的坐标为(7,7)__.
[解析] 由＝(6,9)，所以＝＋＝(1，－2)＋(6,9)＝(7,7).
7．如图，向量a，b，c的坐标分别是__(－4,0)__，__(0,6)__，(－2，－5)__.
[解析] 将各向量分别向基底i，j所在直线分解，则a＝－4i＋0·j，
∴a＝(－4,0)，b＝0·i＋6j，
∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，
∴c＝(－2，－5).
8．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝__(－3，－5)__.
[解析] ∵＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5).
三、解答题
9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°.
(1)求向量的坐标.
(2)若B(，－1)，求的坐标.
[解析] (1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，
＝(2，6).
(2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7).
10．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(1＋3t,2＋3t)，及＝＋，问t为何值时，
(1)点P在x轴上？
(2)点P在y轴上？
(3)点P在第二象限？
[解析] 由题意＝(1,2)＋(1＋3t,2＋3t)＝(2＋3t，4＋3t).
(1)当点P在x轴上时，4＋3t＝0，得t＝－.
(2)当点P在y轴上时，2＋3t＝0，得t＝－.
(3)当点P在第二象限时，解得－B 组·素养提升
一、选择题
1．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( C )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，与y轴平行.
2．已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且＝，则顶点D的坐标为( A )
A．(4,5)
B．(5，－4)
C．(3,2)
D．(1,3)
[解析] 设D点坐标为(x，y)，
则＝(4,3)，＝(x，y－2)，
由＝，得
∴∴D(4,5).
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1,7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( D )
A．(－7,0)
B．(7,6)
C．(6,7)
D．(7，－6)
[解析] 设D(x，y)，因为AD＝BC，
所以(x－5，y＋1)＝(2，－5)，
所以x＝7，y＝－6．
4．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，＝(－1,2)，则＋＝( A )
A．(－2,4)
B．(4,6)
C．(－6，－2)
D．(－1,9)
[解析] 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3,5)，所以＝(2,3).又＝(－1,2)，所以＝＋＝(1,5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2,4)，故选A．
二、填空题
5．已知O是坐标原点，点A在第二象限，||＝6，∠xOA＝150°，则向量的坐标为__(－3，3)__.
[解析] 设点A(x，y)，则
x＝||cos
150°＝6cos
150°＝－3，
y＝||sin
150°＝6sin
150°＝3，
即A(－3，3)，所以＝(－3，3).
6．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，关于坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y).
其中，正确结论有__1__个.
[解析] 由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误.
三、解答题
7．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标和与的坐标.
[解析] 由题知B，D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2).
由三角函数的定义，得
x1＝cos
30°＝，y1＝sin
30°＝，
∴B.
x2＝cos
120°＝－，y2＝sin
120°＝，
∴D.
∴＝，＝.
8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(5λ＋2,7λ＋3)，若第三象限的点P满足＝＋，求实数λ的取值范围.
[解析] 设P(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
又＝＋＝(3,1)＋(5λ，7λ)
＝(3＋5λ，1＋7λ)，
于是由＝＋，
可得(x－2，y－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)，
所以即
因为点P在第三象限，
所以解得λ<－1．
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－1).第六章 6.3 6.3.2 6.3.3
1．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则a－b等于( A )
A．(0,2)
B．(1，－2)
C．(－1，－2)
D．(1,2)
[解析] a－b＝(1,1)－(1，－1)＝(0,2).
2．如图所示，向量的坐标是( D )
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
[解析] 由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，
则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3).
3．已知M(2,1)，N(3,5)，则的坐标是( B )
A．(2，－1)
B．(－1，－4)
C．(－2,1)
D．(1，－2)
[解析] ＝(2,1)－(3,5)＝(－1，－4).
4．若＝(2,5)，＝(－1,1)，则等于( A )
A．(3,4)
B．(－4，－3)
C．(－4,3)
D．(4，－3)
[解析] ＝－＝(2,5)－(－1,1)＝(3,4).
5．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，则向量a＋b－c的坐标为( A )
A．(1，－2)
B．(1,2)
C．(2，－1)
D．(－1,2)
[解析] 由图可知a＝c＝(1,2)，b＝(1，－2)，所以a＋b－c＝(1，－2).(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.(逻辑推理)
2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则.(数学运算)
1．平面向量运算的坐标表示依然可以类比数的运算来学习，注意坐标运算的二维特征.
2．由于使用了正交分解，因此平面向量的坐标运算其实是同名坐标之间的运算.
必备知识·探新知
1．平面向量正交分解的定义
把一个向量分解为两个_______的向量，叫做把向量作正交分解.
2．平面向量的坐标表示
(1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个___________分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_________.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).此式叫做向量a的坐标表示.
(2)特殊向量的坐标：i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
平面向量的正交分解及坐标表示
知识点
垂直
单位向量
(x，y)
[知识解读] 点的坐标与向量坐标的区别和联系
点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关.
1．联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于向量本身的坐标.
2．区别：(1)书写不同，如a＝(1,2)，A(1,2).
(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向
量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量.为了加以区分，在叙述中，常说点(x，y)或向量(x，y).
3．平面向量的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R，则有下表：
?
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____
a＋b＝___________________
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的_____
a－b＝___________________
和
(x1＋x2，y1＋y2)
差
(x1－x2，y1－y2)
相应坐标
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
平面向量的坐标表示
典例
1
A
题型二
平面向量的坐标运算
典例
2
[归纳提升] 平面向量坐标运算的技巧
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行.
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算.
(3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行.
A
已知平面上三点的坐标分别为A(－2,1)，B(－1，3)，C(3,4)，求点D的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点.
[分析] 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进而求出D点的坐标.
题型三
平面向量坐标运算的综合应用
典例
3
[归纳提升] 平行四边形顶点坐标的求解
(1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向量的坐标相等.
(2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论.
D
易错警示
典例
4
误把向量的坐标当作点的坐标
[误区警示] 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标才是一致的.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
