(共36张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解数乘向量的坐标运算和法则.(数学运算)
2．理解用坐标表示向量共线的条件.(数据分析)
数乘运算的结果仍然是向量，所以数乘运算的结果也仍然是坐标.通过坐标的计算来处理向量的共线问题，体现了向量代数与几何的完美结合.
必备知识·探新知
设向量a＝(x，y)，则有λa＝___________，这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
平面向量数乘运算的坐标表示
知识点1
(λx，λy)
利用向量平行的坐标运算解决共线问题时可减少运算量且思路简单明快
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0．向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________________.
平面向量共线的坐标表示
知识点2
x1y2－x2y1＝0
中点坐标公式
知识点3
[知识解读] 两个向量共线条件的三种表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)当b≠0时，a＝λb.
这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系.
(2)x1y2－x2y1＝0．
这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.
关键能力·攻重难
[分析] 可先进行数乘向量的坐标运算，再进行向量坐标加减运算.
题型探究
题型一
向量的坐标运算
典例
1
[归纳提升] 向量的坐标运算主要是利用加、减运算法则及数乘运算进行，解题时要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
A
题型二
向量平行(共线)的判定
典例
2
B
[归纳提升] 1．向量共线的判定方法
2．利用向量平行的条件求参数值的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式直接求解.
题型三
三点共线的判定及应用
典例
3
已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O(0,0)，求直线AC与OB交点P的坐标.
题型四
向量法在解析几何中的应用
典例
4
[分析] (1)AC与OB相交于点P，则必有O，P，B三点共线和A，P，C三点共线；(2)根据O，P，B三点共线可得到点P坐标应满足的关系，再根据A，P，C三点共线即可求得点P坐标.
[归纳提升] 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤：
首先分析题意，将题目中有关的点坐标化，线段向量化，再利用题目条件，寻找向量关系，列出方程(组)求出有关变量，最后回归到几何问题中.
已知a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，求m的值.
易错警示
典例
5
处理向量共线时，忽视零向量的特殊情况
[正解] ∵a∥b，∴3(－m)－(2－m)m＝0，解得m＝0或m＝5．
[解析] 由a∥b得：－(4m＋5)－m＝0，－5m－5＝0，解得m＝－1．
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.3 6.3.4
1．下列各组向量中，可以作为基底的是( B )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,1)
B．e1＝(1,2)，e2＝(－2,1)
C．e1＝(－3,4)，e2＝(，－)
D．e1＝(2,6)，e2＝(－1，－3)
2．已知向量a＝(－1，m)，b＝(－m,2m＋3)，且a∥b，则m等于( C )
A．－1
B．－2
C．－1或3
D．0或－2
3．若A(2,1)，B(－1，－2)，C(0，y)三点共线，则y等于( A )
A．－1
B．0
C．
D．2
4．(2018·湖南长沙市中学期末)已知a＝(2,1)，b＝(x，－1)且a－b与b共线，则|x|＝__2__.
[解析] a－b＝(2－x,2)，∵(a－b)∥b，∴(2－x)×(－1)－2x＝0，解得x＝－2，∴|x|＝2．
5．(2018·全国卷Ⅲ理，13)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，则λ＝____.
[解析] 2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
课堂检测·固双基第六章 6.3 6.3.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－
B．
C．－或
D．0
[解析] 本题考查了向量的坐标运算，向量平行的坐标表示等.由a∥b知1×2＝m2，即m＝或m＝－.
2．已知点A(－1,1)，点B(2，y)，向量a＝(1,2)，若∥a，则实数y的值为( C )
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析] ＝(3，y－1)，又∥a，
所以(y－1)－2×3＝0，解得y＝7．
3．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，
∴sinα＝±.
∵α为锐角，∴α＝30°.
4．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6
B．6
C．2
D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6．
5．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)∥(a－mb)，则m＝( A )
A．－
B．
C．2
D．－2
[解析] 2a＋b＝2(1,2)＋(－3,0)＝(－1,4)，
a－mb＝(1,2)－m(－3,0)＝(1＋3m,2)
∵(2a＋b)∥(a－mb)
∴－1＝(1＋3m)×2∴6m＝－3，解得m＝－.
二、填空题
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值为____.
[解析] a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)
∵(a＋λb)∥c，
∴4(1＋λ)－3×2＝0，∴λ＝.
7．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3).若λa＋ub与a＋b共线，则λ与u的关系为__λ＝u__.
[解析] ∵a＝(1,2)，b＝(－2,3)，
∴a＋b＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，
λa＋ub＝λ(1,2)＋u(－2,3)＝(λ－2u,2λ＋3u).
又∵(λa＋ub)∥(a＋b)，
∴(－1)×(2λ＋3u)－5(λ－2u)＝0．∴λ＝u.
8．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是__－__.
[解析] 因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝2－≥－.
三、解答题
9．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P使||＝||.
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则＝，
∴(x－3，y＋4)＝(－9－x,2－y).
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2).
②若点P在线段BA的延长线上，
则＝－，
∴(x－3，y＋4)＝－(－9－x,2－y).
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6).
综上可得，点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6).
10．平面内给定三个向量：a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1).
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m和n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(9－1－8,6＋2－2)＝(0,6).
(2)∵a＝mb＋nc，m，n∈R，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n).
∴解得
∴m＝，n＝.
(3)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2).
又∵(a＋kc)∥(2b－a)，
∴(3＋4k)×2－(－5)×(2＋k)＝0．
∴k＝－.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( AD )
A．k＝－1
B．k＝1
C．c与d同向
D．c与d反向
[解析] ∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，又a，b不共线，∴∴.∴c＝－d，∴c与d反向.
2．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是( D )
A．－2
B．0
C．1
D．2
[解析] 因为a＝(1,1)，b＝(2，x)，所以a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，由于a＋b与4b－2a平行，得6(x＋1)－3(4x－2)＝0，解得x＝2．
3．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R}，则M∩N＝( C )
A．{(1,1)}
B．{(1,2)，(－2，－2)}
C．{(－2，－2)}
D．?
[解析] 设a∈M∩N，则存在实数λ和μ，
使得(1,2)＋λ(3,4)＝(－2，－2)＋μ(4,5)，即(3,4)＝(4μ－3λ，5μ－4λ).
∴解得
∴a＝(－2，－2).
4．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( C )
A．k＝－2
B．k＝
C．k＝1
D．k＝－1
[解析] 因为A，B，C三点不能构成三角形，则A，B，C三点共线，则∥，又＝－＝(1,2)，＝－＝(k，k＋1)，所以2k－(k＋1)＝0，即k＝1．
二、填空题
5．(北京高考)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，).若a－2b与c共线，则k＝__1__.
[解析] a－2b＝(，3).因为a－2b与c共线，
所以＝，解得k＝1．
6．已知点P1(2，－1)，点P2(－1,3)，点P在线段P1P2上，且||＝||，则求点P的坐标为__(，)__.
[解析] 设点P的坐标为(x，y)，
由于点P在线段P1P2上，则有＝，
又＝(x－2，y＋1)，＝(－1－x,3－y)，
由题意得解得
∴点P的坐标为.
三、解答题
7．已知A、B、C三点的坐标分别为(－1,0)、(3，－1)、(1,2)，并且＝，＝.
(1)求E、F的坐标；
(2)判断与是否共线.
[解析] (1)设E(x1，y1)、F(x2，y2)，
依题意得＝(2,2)，＝(－2,3).
由＝可知(x1＋1，y1)＝(2,2)，
即，解得，∴E(－，).
由＝可知(x2－3，y2＋1)＝(－2,3).
∴，解得∴F(，0)，
即E点的坐标为(－，)，F点的坐标为(，0).
(2)由(1)可知＝－＝(，0)－(－，)＝(，－)，(O为坐标原点)，
又＝(4，－1)，∴＝(4，－1)＝，
即与共线.
8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线.
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2．
∵CE⊥AB，而AD＝DC，
∴四边形AECD为正方形.
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0).
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，又E1D1C1B四点不共线，
∴DE∥BC.
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－).
∴＝－，∴∥.
又
MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线.
