第六章 6.3 6.3.5
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于( B )
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析] ∵＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴·＝1×(－3)＋1×3＝0．
2．(多选)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于( AC )
A．－1＋
B．－2
C．－1－
D．1
[解析] ∵|ka－b|＝，
|a＋b|＝＝，
∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，
又ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos
120°＝，
即－＝，
化简并整理，得k2＋2k－2＝0，
解得k＝－1±.
3．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)且(ka＋b)⊥(a－2b)则k＝( C )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] 由题意知(ka＋b)·(a－2b)＝0，
而ka＋b＝(2－k,3k－1)，
a－2b＝(－5,5)，
故－5(2－k)＋5(3k－1)＝0，解得k＝.
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n).若2a－b与b垂直，则|a|＝( C )
A．1
B．
C．2
D．4
[解析] 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，
即2a·b－b2＝0．
故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3．
所以，|a|＝＝＝2．
5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( C )
A．
B．
C．5
D．25
[解析] ∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5．
6．(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝__－__.
[解析] ∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝＝2，|b|＝＝10．
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
二、填空题
7．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝__2__.
[解析] 因为a＋b＝(－1，)，
所以|a＋b|＝＝2．
8．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝，则x＝__1__.
[解析] cos＝，解得x＝1或x＝－4(舍).
三、解答题
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值.
[解析] ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4).
又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0．
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0得k＝19．
10．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；
(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角.
[解析] (1)∵＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，
＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，
∴·＝3×(－1)＋3×6＝15．
又||＝＝3，||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝＝.
(2)a·b＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b|＝5.
设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( D )
A．(，)
B．(－，－)
C．(，)
D．(－，－)
[解析] 不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n).又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，∴m＝－，n＝－，故选D．
2．角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan
α＝－2，则与夹角的余弦值为( C )
A．－
B．
C．或－
D．或
[解析] ∵tan
α＝－2，∴可设P(x，－2x)，
cos〈，〉＝＝，
当x>0时，cos〈，〉＝，
当x<0时，cos〈，〉＝－.
3．设x、y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝( B )
A．
B．
C．2
D．10
[解析] 由a⊥c，得2x－4＝0 则x＝2，由b∥c得－4＝2y则y＝－2，|a＋b|＝＝.
4．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈，则向量a、b的夹角为( A )
A．－θ
B．θ－
C．＋θ
D．θ
[解析] 由三角函数定义知a的起点在原点时，终点落在圆x2＋y2＝4位于第二象限的部分上(∵<θ<π)，设其终点为P，则∠xOP＝θ，∴a与b的夹角为－θ.
二、填空题
5．已知两个单位向量a、b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝__2__.
[解析] ∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝，|b|2＝1，
∵b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t＋(1－t)＝1－t＝0，
∴t＝2．
6．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cos∠DOE的值为____.
[解析] 法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则由已知条件，可得＝，＝.
故cos∠DOE＝＝＝.
法二：∵＝＋＝＋，
＝＋＝＋，
∴||＝，||＝，·＝2＋2＝1，
∴cos∠DOE＝＝.
三、解答题
7．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2).
(1)若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
[解析] (1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2，
∴＝2，∴x2＋y2＝20．
由c∥a和|c|＝2，可得
解得或
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4).
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×＝0，整理得a·b＝－，
∴cos
θ＝＝－1．又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
8．在△ABC中，已知A(3,1)，B(1,0)，C(2,3).
(1)判断△ABC的形状；
(2)设O为坐标原点，＝m(m∈R)，且(－m)∥，求||.
[解析] (1)由两点间的距离公式，得|AB|＝|AC|＝.
∵＝(－2，－1)，＝(－1,2)，
∴·＝2－2＝0，即AB⊥AC.
∴△ABC为等腰直角三角形.
(2)由题可知＝(2,3)，＝(1,3)，
则－m＝(－2－2m，－1－3m).
又(－m)∥，
则有3(－2－2m)＋(1＋3m)＝0，解得m＝－，
由两点间的距离公式，得|OC|＝.
∴||＝.
∴||＝|m|·||＝.第六章 6.3 6.3.5
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( A )
A．3
B．－3
C．
D．－
[解析] a·b＝－x＋6＝3，故x＝3．
2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( D )
A．|a|＝|b|
B．a·b＝0
C．a∥b
D．(a－b)⊥b
[解析] a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于( B )
A．
B．2
C．4
D．12
[解析] ∵a＝(2,0)，|b|＝1，∴|a|＝2，
a·b＝2×1×cos
60°＝1．
∴|a＋2b|＝＝2.
4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵|a|＝，|b|＝，a·b＝5．
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵a，b的夹角范围为[0，π]，∴a与b的夹角为.
5．(2020·北京卷)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝____；·＝__－1__.
[解析] 以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点A(0,0)、B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)，
＝(＋)＝(2,0)＋(2,2)＝(2,1)，
则点P(2,1)，∴＝(－2,1)，＝(0，－1)，
因此，||＝＝，·＝0×(－2)＋1×(－1)＝－1．(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算.(数学运算)
2．能够利用向量的数量积解决模长、夹角等问题.(数学运算)
通过推导数量积的坐标运算及求夹角和模及向量垂直的判断中，加深对数量积的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标表示可以与平行的坐标表示进行类比.
必备知识·探新知
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示
知识点1
数量积
两个向量的数量积等于_________________________，即a·b＝_____________
两个向量垂直
a⊥b?________________
它们对应坐标的乘积的和
x1x2＋y1y2
x1x2＋y1y2＝0
[知识解读] 1．公式a·b＝|a||b|cos?a，b?与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解.
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：
a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；
a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0．
两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有
下表：
平面向量的模与夹角的坐标表示
知识点2
关键能力·攻重难
(1)设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝
( )
A．12
B．0
C．－3
D．－11
题型探究
题型一
平面向量数量积的坐标运算
典例
1
C
(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x＝
( )
A．6
B．5
C．4
D．3
(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，则向量c的坐标为_________________.
C
(3,4)或(4,3)
[归纳提升] 平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：
一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；
二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
1
3
题型二
与平面向量模有关的问题
典例
2
A
【对点练习】? (1)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，c＝a＋λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为_______.
(2)已知|a|＝10，b＝(1,2)，且a∥b，求a的坐标.
题型三
向量夹角和垂直问题
典例
3
±3
10
易错警示
典例
4
忽视向量共线致误
A
【对点练习】? 设a＝(2，x)，b＝(－4,5)，若a与b的夹角为钝角，求x的取值范围.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
