第六章 6.4 6.4.1 6.4.2
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( B )
A．(8,0)
B．(9,1)
C．(－1,9)
D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
2．在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形为( D )
A．平行四边形
B．矩形
C．等腰梯形
D．菱形
[解析] 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.又·＝0知，对角线互相垂直，故四边形为菱形，故选D．
3．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( A )
A．2x＋y－7＝0
B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0
D．x－2y－4＝0
[解析] 设P(x，y)为直线上一点，则⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即2x＋y－7＝0．
4．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.
求：(1)AD的长；(2)∠DAC的大小.
[解析] (1)设＝a，＝b，
则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
∴||2＝2＝(a＋b)2＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos120°＋×9＝3．
故AD＝.
(2)设∠DAC＝θ，则θ为向量与的夹角.
∵cosθ＝＝＝
＝＝0，∴θ＝90°，
即∠DAC＝90°.第六章 6.4 6.4.1 6.4.2
A 组·素养自测
一、选择题
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1、F2，则|F1＋F2|为( C )
A．(5,0)
B．(－5,0)
C．
D．－
[解析] ∵＝(1,1)，＝(－3，－2)，
∴|＋|＝＝，故选C．
2．(2020·四川绵阳期末)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(c＋a－b)<0，则△ABC是( C )
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定其形状
[解析] 由已知，·(＋－)＝·2<0，
∴角A为钝角，故选C．
3．两个大小相等的共点力F1、F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20
N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( B )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．40
N
[解析] 如图，以F1、F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力.
由题意，易知|F|＝|F1|，
|F|＝20
N，
∴|F1|＝|F2|＝10
N.
当它们的夹角为120°时，以F1、F2为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，
此时|F合|＝|F1|＝10
N.
4．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( D )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高线的交点
[解析] 由·＝·，
得·－·＝0，
∴·(－)＝0，即·＝0．
∴⊥.同理可证⊥，⊥.
∴OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点.
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于( B )
A．
B．2
C．3
D．2
[解析] 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系.
设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，
所以＝(2，－a)，＝(4，a).
因为⊥，所以·＝0，
所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8．
所以a＝2，所以＝(2，－2)，
所以||＝＝2.
二、填空题
6．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做功的是__－11__J.
[解析] ∵W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11
J.
7．若平面向量α、β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是__[，]__.
[解析] 以α，β为邻边的平行四边形的面积为：
S＝|α||β|sinθ＝|β|sinθ＝，
所以sinθ＝，又因为|β|≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈[，].
8．某人从点O向正东走30
m到达点A，再向正北走30
m到达点B，则此人的位移的大小是__60__m，方向是东偏北__60°__.
[解析] 如图所示，此人的位移是＝＋，且⊥，
则||＝＝60(m)，tan∠BOA＝＝.∴∠BOA＝60°.
三、解答题
9．在△ABC中，O为BC中点，求证：AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2).
[证明] 设＝a，＝b，
则＝(a＋b)，＝(b－a)，
∴AO2＋OC2＝2＋2
＝[(a＋b)]2＋[(b－a)]2＝a2＋b2
＝(2＋2)＝(AB2＋AC2)，
∴AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2).
10．如图所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线，试用向量证明：AC⊥BD.
[解析] ∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝||2－||2＝0．
∴⊥.∴AC⊥BD.
B 组·素养提升
一、选择题
1．点P在平面上做匀速直线运动，速度v＝(4，－3)，设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为(速度单位：m/s，长度单位：m)( C )
A．(－2,4)
B．(－30,25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
[解析] 5秒后点P的坐标为(－10,10)＋5(4，－3)＝(10，－5).
2．质点M在三个力F1，F2，F3的共同作用下，从点A(10，－20)移动到点B(30,10)(位移的单位为米)，若以x轴正向上的单位向量i及y轴正向上的单位向量j表示各自方向上1牛顿的力，F1＝5i＋20j，F2＝－20i＋30j，F3＝30i－10j，则F1，F2，F3的合力对质点M所做的功为( B )
A．6
000焦耳
B．1
500焦耳
C．－500焦耳
D．－3
000焦耳
[解析] F1＋F2＋F3＝15i＋40j，＝20i＋30j，
∴(F1＋F2＋F3)·＝1
500．
3．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O、N、P依次是△ABC的( C )
A．重心 外心 垂心
B．重心 外心 内心
C．外心 重心 垂心
D．外心 重心 内心
[解析] 由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心，由＋＋＝0，知点N为△ABC的重心；由·＝·，得(－)·＝0，即·＝0，故⊥.同理，AP⊥BC，故P为△ABC的垂心，选C．
4．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为( B )
A．1︰2
B．1︰3
C．1︰4
D．2︰5
[解析] 如图，D为BC边的中点，则＝(＋).
因为3－－＝0，
所以3＝2，所以＝，
所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC.
二、填空题
5．作用于同一点的两个力F1、F2的夹角为，且|F1|＝3，|F2|＝5，则|F1＋F2|的大小为____.
[解析] |F1＋F2|2＝(F1＋F2)2＝F＋2F1·F2＋F＝32＋2×3×5×cos＋52＝19，
所以|F1＋F2|＝.
6．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为__2__.
[解析] 设∠BAC＝θ，AD＝x(x>0)，
则·＝2x·3·cos
θ＝5，
∴x·cos
θ＝.
作DE⊥AB于点E(图略)，
由DE2＋EB2＝BD2，
得(x·sin
θ)2＋(3－x·cos
θ)2＝5，
解得x＝1．
∴AC＝2x＝2．
三、解答题
7．一物体受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用处于平衡状态，已知F1，F2的夹角为60°，F1，F2的模分别为3和4，求cos〈F1，F3〉的值.
[解析] ∵－F3＝F1＋F2，∴|F3|2＝|F1＋F2|2＝F＋2F1·F2＋F＝9＋2×3×4×＋16＝37，则|F3|＝，又∵－F2＝F1＋F3，∴|F2|2＝|F1|2＋2F1·F3＋|F3|2，即16＝9＋2F1·F3＋37，解得F1·F3＝－15．
∴cos〈F1，F3〉＝＝＝－.
8．如图所示，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且分别靠近点A，点B，AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.
[证明] 设＝λ，并设△ABC的边长为a，则有
＝＋＝λ＋
＝λ＋＝(2λ＋1)－λ，
＝－.
∵∥，∴(2λ＋1)－λ＝k－k，
于是有解得λ＝.
∴＝.＝＋＝＋＝＋，
从而·＝、
＝a2－a2－a2cos
60°＝0，
∴⊥，∴BP⊥DC.(共39张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(直观想象)
2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(数学抽象)
1．向量是工具，实现这一工具应用的关键是运算，平行与相交是平面几何中的重要线性关系，线性运算常用于解决平行(共线)问题，数量积运算常用于解决相交问题.
2．凡是涉及平行的问题都可以用数乘运算处理，而与相交有关的夹角、垂直、长度等问题则可以用数量积运算处理.其中基底法和坐标法能实现形与数的相互转化，体现的是数形结合思想.
素养目标
学法指导
3．能够将几何问题和物理问题转化为平面向量问题.(数学建模)
4．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(数据分析)
3．速度、位移是向量，与线性运算挂钩；功是数量，与数量积运算相连.凡涉及速度、位移均可以考虑用线性运算工具(向量加法的平行四边形法则)，而功的问题则直接运用数量积处理.
必备知识·探新知
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”
知识点1
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与位移s的数量积.
向量在物理中的应用
知识点2
关键能力·攻重难
如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.
题型探究
题型一
向量在平面几何证明问题中的应用
典例
1
[归纳提升] 向量法解决平面几何问题的两种方法
用向量法解决平面几何问题，一般来说有两种方法：
(1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹角的向量作为基底)，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；
(2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算.一般地，题目中已建好坐标系或易建坐标系的问题适合用坐标法.
【对点练习】? 如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2．求对角线AC的长.
题型二
平面几何中的长度问题
典例
2
(1)在重300
N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.
(2)已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功.
题型三
向量在物理中的应用
典例
3
[分析] (1)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.
(2)物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.
[归纳提升] 用向量方法解决物理问题的“三步曲”
如图所示，某人用1.5
m长的绳索，施力25
N，把重物沿坡度为30°的斜面向上拖了6
m，拖拉点距斜面的垂直高度为1.2
m.求此人对物体所的功.
易错警示
典例
4
做功问题因对角度认识不清而致错
【对点练习】? 如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0.6)，高为2
m的斜面上，质量为5
kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为____J，重力对物体m所做的功为_____J(g＝9.8
m/s2).
0
98
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
