第二章 空间向量与立体几何
本章知识要览
本章是在平面向量的基础上，通过类比的方法，学习空间向量的概念、性质和运算，并以向量为工具讨论立体几何中的一些问题．主要包括两个方面：一是关于空间向量及其运算，这是立体几何的基础，也是重点内容；二是关于空间向量的应用，即用向量讨论垂直与平行，夹角的计算和距离的计算．
本章的重点是：空间向量及其运算，以空间向量为工具通过空间向量的运算证明空间直线与直线、直线与平面、两个平面的平行和垂直，求空间两条直线、直线与平面所成的角、二面角的大小，求空间点到平面的距离；难点是：以空间向量为工具证明空间的位置关系，求空间角和空间距离；易错点是求空间角时，对角的范围的判断．
(1)解决问题要从图形入手，分析已知条件在图形中的向量表示，由已知到图形、由图形到已知的基本训练，有序地建立图形、文字、符号三种语言间的联系．
(2)适时地联系平面向量的知识及平面几何的知识，采用联想对比、引申等方法认识平面向量与空间向量、平面几何与立体几何知识的异同，并找出两者之间的内在联系，逐步培养能将立体几何问题转化为平面几何问题的能力．
(3)由空间向量解决立体几何问题时，要注意在空间直角坐标系下，通过转化将图形的关系转化为坐标系中数的运算，并可以灵活地运用空间向量基本定理进行转化．
§1 从平面向量到空间向量
知识点一
向量的概念
[填一填]
(1)向量
既有大小又有方向的量叫作向量．
在物理中，有许多量可以用向量来表示，如位移、速度、加速度、力等，这些量不但有大小，而且还具有方向．
(2)空间向量
在空间中，既有大小又有方向的量叫作空间向量．
过空间任意一点O作向量a，b的相等向量和，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.
[答一答]
1．向量a，b的夹角是，0或π时，向量a，b应具备什么条件？
提示：当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行．
2．思考与交流：仿照平面向量的有关概念，请分别给出下列定义：单位向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量．
提示：在空间中，模为1的向量叫单位向量；模为0的向量叫零向量；模相等，方向相同的向量叫相等向量；模相等，方向相反的向量叫相反向量；方向相同或相反的向量叫平行向量．
知识点二
向量与直线
[填一填]
(1)l是空间一直线，A，B是直线l上的任意两点，则称为直线l的方向向量．与平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量，直线的方向向量平行于该直线．
(2)根据立体几何知识，我们知道，给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定唯一一条过点A且平行于向量a的直线．
[答一答]
讨论：直线的方向向量是唯一确定的吗？
提示：不是，只要是平行于直线的非零向量均可成为直线的方向向量，正是由于直线的方向向量的任意性，才可便于选取方向向量，才具有可操作性．
知识点三
向量与平面
[填一填]
(1)如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量．平面的法向量垂直于该平面．
(2)给定空间中任意一点A和非零向量a，可以确定唯一一个过点A且垂直于向量a的平面．
[答一答]
想一想：要想在空间中确定一个平面需要哪些条件？
提示：需要有一点和一个非零向量．过这一点且垂直于已知向量就可确定一个平面．
1．向量无法比较大小．关于向量的比较，我们只限于研究它们是否相等，而不是研究它们谁大谁小．一般来说，向量不
能比较大小．向量的模可以比较大小，应注意a＝b?|a|＝|b|，但反之不成立．
2．(1)〈a，b〉表示a与b的夹角，书写一定要规范，不能误写为(a，b)．
(2)在图甲中，〈，〉＝∠AOB，而图乙中，〈，〉＝π－∠AOB.向量夹角与向量大小无关，只与方向有关．
3．平行向量所在的直线可能平行也可能重合，与两直线平行不同；平行向量的方向可能同向，也可能反向．
4．零向量与任意向量共线．
5．平面法向量的性质：
(1)若直线l⊥平面α，则所有与直线l平行的非零向量都是平面α的法向量，故平面α的法向量不唯一，有无限多个，但它们互相平行．
(2)一个平面的单位法向量只有两个．
(3)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，也就是平面的法向量垂直于该平面．
题型一
向量的有关概念
【例1】 给出下列五个命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间两向量a，b满足|a|
＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCD?A1B1C1D1中必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
【解析】 当空间两个向量的起点、终点分别相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量的起点不一定相同，终点也不一定相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅它们的模要相等，而且方向也要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②不对；根据正方体的性质，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量和不但方向相同而且长度相等，故应有＝，所以③正确；④显然正确；对于⑤，空间任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，所以⑤不对．
【答案】 C
规律方法
(1)只要两个向量的方向相同，模相等，这两个向量就相等，与起点和终点位置无关．
(2)熟练掌握空间向量的有关概念是解决这类问题的关键．
下列命题错误的是( B )
A．空间向量与的长度相等
B．零向量没有长度，所以它不是空间向量
C．同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量
D．若a＝b，b＝c，则a＝c
解析：概念的理解是解决本题的关键．A选项中的两个向量互为相反向量，所以它们长度相等；空间向量并不是一个立体图形，只要是存在于立体空间内的向量都是空间向量，所以B选项错误；C选项是相等向量定义的另外一个说法；我们研究的向量是自由向量，只要向量相等都可以移动到同一起点，所以D选项正确．
题型二
向量的夹角
【例2】 如图，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，求：
(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉．
(2)〈，〉，〈，〉．
【思路探究】 按空间向量夹角的定义求解，空间向量a，b夹角范围是[0，π]．
【解】 (1)∵在正方体ABCD?A′B′C′D′中，
AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.
∴〈，〉＝0，〈，〉＝，〈，〉＝π.
(2)∵在正方体ABCD?A′B′C′D′中，AD∥BC.
∴〈，〉＝〈，〉＝.
连接AC，则△ACD′为等边三角形．
∴〈，〉＝.
规律方法
与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解．必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若〈，〉＝，而〈，〉＝.
如图，棱长都相等的平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝0°，〈，〉＝180°，〈，〉＝120°.
解析：在平行六面体ABCD?
A1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°.因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°.因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.
题型三
向量与平面
【例3】 如图，四棱锥P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形且PD＝AD＝CD，E，F分别是PC，PB的中点．
(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；
(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．
【思路探究】 (1)只要作出过F与DE平行的直线即可．
(2)作出过F与平面PBC垂直的直线即可．
【解】 (1)如图，连接EF.
∵E，F分别是PC，PB的中点．
∴EF綊BC.
又BC綊AD，∴EF綊AD.
取AD的中点M，连接MF，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE.
∴就是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC.
又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.
∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC.
又PD＝CD，E为PC中点，
∴DE⊥PC.从而DE⊥平面PBC.
∴是平面PBC的一个法向量．
由(1)可知＝，
∴就是平面PBC的一个法向量．
规律方法
直线的方向向量有无数个，它们之间互相平行；平面的法向量也有无数个，它们之间也都互相平行且都垂直于平面．而过空间某点作直线的方向向量或平面的法向量时，可利用线面平行及线面垂直等相关知识，在该点处作出直线的平行线或平面的垂线即可．
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，AA1的中点．
(1)分别给出平面ABCD，平面ADD1A1的一个法向量；
(2)写出平面AB1C1D的法向量，你能写出几个？
(3)图中与向量共线的向量有哪些？
解：(1)平面ABCD的法向量可以是：，，，或，，，这8个向量中的任意一个．
平面ADD1A1的法向量可以是：，，，或，，，这8个向量中的任意一个．
(2)由正方体的性质可知EF∥CD1，EF⊥平面AB1C1D，CD1⊥平面AB1C1D，平面AB1C1D的法向量可以是：，，，.
(3)题图中与向量共线的向量有：，，.
——易错警示——
对向量概念理解的错误
【例4】 下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
【误解】 A(或B或D)
【正解】 在选项A中，若b＝0，则结论不成立；在选项B中，向量共面与直线共面的不同点在于三个向量中的一个向量所在直线与另两个向量所在平面平行时，三个向量所在的直线虽然不共面，但这三个向量是共面的；选项D中，若a＝b＝0时，有无数个λ满足等式，而不是唯一一个；若b＝0，a≠0，则不存在λ使a＝λb.
【答案】 C
下列说法中正确的是( B )
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．如果两向量平行，则向量相等
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
解析：A项，|a|＝|b|，只表示a，b的长度相同，而方向不确定；C项，两向量平行，不能说明两向量相等；D项，在平行四边形中具有该项结论．
【例5】 下列命题是真命题的序号是________．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；
②向量与是共线向量，则A、B、C必在一条直线上．
【误解】 ①②
【正解】 命题①为假命题，因为、两个向量所在的直线可能没有公共点，所以四点不一定在一条直线上；命题②为真命题，因为、两个向量所在的直线有公共点A，所以三点共线．故填②.
【答案】 ②
下列命题是真命题的是( D )
A．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．方向相反的向量是相反向量
C．若向量，满足||>||，且与同向，则>
D．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
解析：A项向量可以平移到一个平面；B项方向相反，大小相等的向量为相反向量；C项，向量不能比较大小.
1.＝的一个必要不充分条件是( C )
A．A与C重合
B．A与C重合，B与D重合
C．||＝||
D．A、B、C、D四点共线
解析：向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点位置无关．表示两个共线向量的两个有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．
2．在等腰直角三角形ABC中，角B为直角，则〈，〉等于( B )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．不确定
解析：如图，严格利用向量夹角定义，过空间一点作出两向量，明确夹角．
3．在正方体ABCD?A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由正方体性质可知BD⊥平面ACC1A1，故为其法向量．
4．与向量a共线的单位向量有2或者无数个．
解析：当a是零向量时，任何单位向量都与之共线；当a是非零向量时，只有方向相同或者相反的两个单位向量与向量a共线．
5．如图，在长、宽、高分别为AB＝5，AD＝3，AA1＝4的长方体ABCD?A1B1C1D1的8个顶点中，任选两点作为起点和终点构成一个向量，在这些向量中哪些向量．
(1)与向量平行；
(2)与向量相反；
(3)是平面ABB1A1的法向量．
解：(1)与向量平行的向量有：，，，，，，，共7个．
(2)与向量相反的向量有，，，，共4个．
(3)平面ABB1A1的法向量有，，，，，，，，共8个．
PAGE§2 空间向量的运算
知识点一
空间向量的加减法
[填一填]
(1)设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b.
(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量．
(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：
①结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
②交换律a＋b＝b＋a.
[答一答]
利用空间图形验证空间向量满足结合律．
提示：如图所示，作＝a，＝b，＝c，
则(a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝，
a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝，
∴(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
知识点二
空间向量的数乘
[填一填]
(1)空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa.满足：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向相同；
当λ<0时，λa与a方向相反；
当λ＝0时，λa＝0.
(2)空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下：
①λa＝aλ(λ∈R)；
②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；
③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．
(3)空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
[答一答]
设e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，那么你能够得到什么结论？
提示：λ＝μ＝0.(否则e1∥e2，与e1，e2不共线矛盾)
知识点三
空间向量的数量积
[填一填]
(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间两个向量a和b的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|·|b|cos〈a，b〉，记作a·b.
(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律．
①交换律：a·b＝b·a；
②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；
③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)．
(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论：
①|a|＝；
②a⊥b?a·b＝0；
③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
(4)对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向．
[答一答]
三个向量a，b，c均不为0，则等式(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？
提示：不成立，因a·b，b·c是一个数，(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故它们不表示同一个向量．
1．(1)在＝－中，O并不一定是原点，它可以是空间中的任意一点，也就是说对任意点O，都有＝－.
(2)有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．
(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．
2．(1)关于空间向量的数乘应注意：①λa(λ∈R)仍为向量；②0·a＝0；③λ·0＝0.
(2)在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止．
3．关于空间向量的数量积的几个注意点：
(1)两个空间向量的数量积是一个实数，要注意0·a＝0(a为任意向量)．
(2)数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)．
(3)空间向量数量积的几个结论的作用：①用于对向量模的计算；②用于判断空间两个向量的垂直；③可以帮助我们求两个向量的夹角；④用于不等式的证明．
4．向量中应该重视的问题：
(1)空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合学过的代数运算律，而且很多性质与实数性质相同．
(2)两个向量数量积的性质的作用：
①可以求两个向量的夹角；
②用于判断空间两个向量垂直；
③主要用于对向量模的计算．
(3)利用向量解立体几何问题的一般方法：把角度或线段转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明解决问题．
(4)用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决两点距离或线段长度问题，一般用向量的模；求异面直线的夹角问题，一般可化为两向量的夹角，但要注意两种角范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题，一般可化为向量的数量积为零．
题型一
空间向量的加法、减法
【例1】 已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【思路探究】 要确定等式＝＋x＋y中x，y的值，就是看怎样用，，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，也需把用，，表示出来即可．
【解】 (1)如图．
∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋
∴x＝2，y＝－2.
规律方法
注意下面结论：设a，b，c是三个不共面的向量，如果x1a＋y1b＋z1c＝x2a＋y2b＋z2c，那么必有x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2.
如图，在正方体ABCD?A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x，y，z的值：
(1)＝x＋y＋z.
(2)＝x＋y＋z.
解：(1)＝＋＝＋＋，
又＝x＋y＋z，
∴x＝1，y＝1，z＝1.
(2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＋.
又＝－＝－－－，＝x＋y＋z，
∴x＝－，y＝－，z＝－1.
题型二
空间向量的数乘
【例2】 如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.求证：与为共线向量．
【思路探究】 要证与共线，根据共线向量定理只要证明＝λ即可．
【证明】 ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝－＝－
＝(－)＝.
又∵CF＝2FB，CG＝2GD，
∴＝，＝.
∴＝－＝－
＝(－)＝.
∴＝.
∴＝.
∴与为共线向量．
规律方法
(1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线．在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行．当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线．
已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH为平行四边形．
证明：如图，连接BD，
解法1：∵E，H分别是AB，DA的中点，
∴＝，＝，
∴＝－＝(－)
＝.
同理可得＝，∴＝.
又点E不在FG上，
∴EH∥FG且EH＝FG.
∴四边形EFGH为平行四边形．
解法2：∵＝＋＝(＋)＝，＝＋＝(＋)＝，∴＝.又点H不在EF上，∴HG∥EF且HG＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
题型三
空间向量的数量积
【例3】 如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E为侧面AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：
(1)·；(2)·；
(3)·.
【思路探究】 长方体的棱对应的向量模长已知，且它们之间的夹角已知，因此，可利用向量的线性运算，将其他向量的数量积运算转化为这些向量的数量积，从而达到简单运算的目的．
【解】 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝4，|b|＝3，|c|＝2，a·b＝a·c＝b·c＝0.
(1)·＝b·[(c－a)＋b]＝b·c－a·b＋b2＝|b|2＝9.
(2)·＝(c－a＋b)·(a＋c)＝a·c＋c2a2－a·c＋a·b＋b·c＝c2－a2＝－12.
(3)·＝[(c－a)＋b]·(b＋a)＝b·c－a·b＋b2＋a·c－a2＋a·b＝－a2＋b2＝－.
规律方法
在空间图形中计算数量积的方法步骤：
(1)在几何体中求空间向量数量积的步骤：
①将相关向量用已知模和夹角的向量线性表示；
②利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；
③代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．
(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等．
如图，已知E是正方体ABCD?A1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与夹角的余弦值．
解：设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b，＝a－c，a·b＝a·c＝b·c＝0.
设正方体的棱长为m，
则||＝m，||＝m.
∵·＝(a＋b)·
＝|a|2－a·c＋a·b－b·c＝m2，
∴cos〈，〉＝＝.
故向量与夹角的余弦值为.
——多维探究——
待定系数法
用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平行四边形法则和三角形法则．
【例4】 已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM?MC＝2?1，N为PD中点，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值．
【思路分析】 结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到目标向量用，，表示出来，即可求出x，y，z的值．
【解】 (方法一)如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－.
∵＝＝
＝－，＝－
＝－＝，
连接AC，则＝－＝＋－，
∴＝－－(＋－)
＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
(方法二)如图所示，在PD上取一点F，使F分所成的比为2，连接MF，则＝＋，
而＝＝－，
＝－＝－
＝＝(－)，
∴＝－－＋.
∴x＝－，y＝－，z＝.
(方法三)如图，＝
－
＝－
＝(＋)－(＋)
＝－＋－(－＋＋)
＝－－＋，
∴x＝－，y＝－，z＝.
已知空间四边形OABC的棱OA，OB，BC互相垂直，OA＝OB＝BC＝1，N是OC的中点，点M在AB上，若＝x，试探究x的值，使MN⊥AB.
解：如图，由于＝x，
则＝x.
∴＝(1－x)＋x，
＝＝(＋)，
＝－＝＋－(1－x)－x
＝(x－1)＋(－x)＋.
又＝－，MN⊥AB，
∴·＝0，
即[(x－1)＋(－x)＋]·(－＋)＝0.
∵，，互相垂直且它们长度为1，从而求－x＋1－x＝0，得x＝.
1．如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，向量表达式－＋化简后的结果是( A )
A.
B.
C.
D.
解析：－＋＝＋(＋)＝＋＝.
2．设|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝120°，则(2a＋b)2＝( D )
A．2
B．12
C．2
D．4
解析：(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×cos120°＋4＝4.
3．已知非零向量a，b不平行，并且|a|＝|b|，则a＋b与a－b之间的位置关系是垂直．
解析：∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
4．已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC，求证：OA⊥BC.
证明：如图．
∵OB＝OC，
AB＝AC，OA＝OA.
∴△AOC≌△AOB，
∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)＝·－·＝||·||·cos∠AOC－||·||·cos∠AOB＝0，
∴⊥，即OA⊥BC.
PAGE§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理
3．1 空间向量的标准正交分解与坐标表示
3．2 空间向量基本定理
知识点一
空间向量的标准正交分解与坐标表示
[填一填]
(1)在给定的空间直角坐标系中，令i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解，把i，j，k叫作标准正交基．
(2)(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)．a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．在空间直角坐标系中，点P的坐标为(x，y，z)，向量的坐标也是(x，y，z)．
[答一答]
空间点的坐标和空间的点为何是一一对应的？
提示：在空间直角坐标系中，过空间点M向平面xOy引垂线，有且只有一条，设垂足为N，而N在xOy面内的横纵坐标都是唯一的，所以空间点的坐标和空间点是一一对应的．即在空间直角坐标系O?xyz中，对空间任一点M，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．如图．
知识点二
向量a在向量b上的投影
[填一填]
一般地，若b0为b的单位向量，称a·b0＝|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．可见，向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
[答一答]
求证：向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．
提示：设a＝xi＋yj＋zk，
∴a·i＝xi·i＋yj·i＋zk·i，
由于i⊥j，k⊥i，∴i·j＝0，k·i＝0，
又|i|2＝i·i＝1，
∴a·i＝x，同理a·j＝y，a·k＝z.
知识点三
空间向量基本定理
[填一填]
(1)如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．
(2)特别地，当向量e1，e2，e3两两垂直时，就得到这个向量的一个正交分解．当e1＝i，e2＝j，e3＝k时，就是标准正交分解．
[答一答]
求证：满足a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3中的λ1，λ2，λ3是唯一的．
提示：设a＝λ1′e1＋λ2′e2＋λ3′e3，
又∵a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3，
∴λ1e1＋λ2e2＋λ3e3＝λ1′e1＋λ2′e2＋λ3′e3，
∴(λ1－λ1′)e1＋(λ2－λ2′)e2＋(λ3－λ3′)e3＝0，
又∵e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，
∴λ1′＝λ1，λ2′＝λ2，λ3′＝λ3，
即λ1，λ2，λ3是唯一的．
1．关于空间向量的标准正交分解与坐标表示的几个注意点：
(1)投影a·b0＝|a|cos〈a，b〉是一个实数．
①若〈a，b〉∈[0，)，则a·b0>0；
②若〈a，b〉＝，则a·b0＝0；
③若〈a，b〉∈(，π]，则a·b0<0.
(2)建立坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题，既有利于作图的直观性，又要尽可能地使各点的坐标为正．
2．空间向量基本定理说明：
(1)用空间三个不共面的已知向量组{e1，e2，e3}可以线性表示出空间任意一向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(3)由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.
要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
3．特殊向量的坐标表示：
若向量a平行x轴，则a＝(x,0,0)．
若向量a平行y轴，则a＝(0，y,0)．
若向量a平行z轴，则a＝(0,0，z)．
若向量a平行xOy平面，则a＝(x，y,0)．
若向量a平行yOz平面，则a＝(0，y，z)．
若向量a平行zOx平面，则a＝(x,0，z)．
题型一
空间向量的坐标表示
【例1】 如图所示，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.求，的坐标．
【解】 由题意可知PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面AC，AD⊥AB，不妨以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，其中＝i，＝j，＝k.＝＝j，＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＋＝i＋j＋k.故＝(0，，0)，＝(，，)．
规律方法
用坐标表示空间向量的一般步骤：
(1)找垂线：仔细观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线．若无，则需构造两两垂直的三条直线；
(2)取基底：取(1)中找出的三条直线的单位方向向量为基底；
(3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系；
(4)进行计算：综合利用向量的加减及数乘运算；
(5)确定结果：确定目标向量的坐标．
如图，在空间直角坐标系中有长方体OABC?O′A′B′C′，且OA＝6，OC＝8，OO′＝5.
(1)写出点B′的坐标，并给出关于i，j，k的标准正交分解式；
(2)写出的坐标．
解：(1)因为OA＝6，OC＝8，OO′＝5，所以点B′的坐标为(6,8,5)，从而＝(6,8,5)＝6i＋8j＋5k.
(2)因为点C′的坐标是(0,8,5)，所以＝(0,8,5)．
题型二
空间向量基本定理
【例2】 如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，＝i，＝j，＝k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
【思路探究】 利用三角形法则，平行四边形法则将向量，用，，来表示．由于点G为△PDC的重心，所以有PG＝PN.
【解】 ＝＝[(＋)]
＝(＋＋＋－)
＝＋－
＝i＋j－k.
＝＋＋
＝＋＋
＝－－
＝－－(＋－)
＝－＋
＝－i＋j＋k.
规律方法
用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则．逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
如图所示，在平行六面体ABCD?A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ?QA′＝4?1，用基底{a，b，c}表示以下向量．
(1)；(2)；(3)；(4).
解：连接AC，AD′.
(1)＝(＋)＝(＋A＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(a＋2b＋c)
＝a＋b＋c.
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b＋c.
题型三
空间向量基本定理的简单应用
【例3】 如图所示，平行六面体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.
【思路探究】 第(1)问要证明四点共面只需证明，可用，表示即可；第(2)问中求x＋y＋z只需先把用，，表示出来，求出x、y、z，再求x＋y＋z.
【解】 (1)证明：∵＝＋＋
＝＋＋＋
＝(＋)＋(＋)
＝＋＋＋＝＋，
∴A、E、C1、F四点共面．
(2)∵＝－
＝＋－(＋)
＝＋－－
＝－A＋＋，
∴x＝－1，y＝1，z＝.
∴x＋y＋z＝.
规律方法
证明三个向量共面，直线与平面平行或直线在平面内，四点共面，都要利用共面向量定理，即对于向量p来说是否存在x，y，使p＝xa＋yb成立．
已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内．
解：(1)∵＋＋＝3，
∴－＝(－)＋(－)．
∴＝＋＝－－.
∴向量，，共面．
(2)由(1)知，向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．
题型四
向量的投影
【例4】 如图，已知单位正方体ABCD?A′B′C′D′.
(1)求向量在上的投影；
(2)是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量在上的投影．
【思路探究】 a在b上的投影为|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．
【解】 (1)法1：向量在上的投影为||cos〈，〉，又正方体棱长为1，∴|CA′|＝＝，∴||＝，
∠DCA′即为与的夹角，
在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝＝，
∴在上的投影为
||cos〈，〉＝·＝1.
法2：在正方体ABCD?A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈，〉＝∠DCA′.
∵在上的投影为
||cos〈，〉＝||cos∠DCA′＝||＝1.
(2)与的夹角为180°－∠A′CD，
∴在上的投影为
||cos(180°－∠A′CD)＝－||·cos∠A′CD＝－1.
规律方法
(1)求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．
(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈，〉与〈，〉是不同的，其和为π.
已知正四面体P?ABC的所有棱长均为1，D是AC的中点，如图所示，求：
(1)向量在上的投影；
(2)向量在上的投影；
(3)向量在上的投影．
解：(1)向量在上的投影为||cos∠BPC＝1×cos＝.
(2)向量在上的投影为||·cos(π－∠APB)＝1×cos＝－.
(3)如题图所示，由正四面体的几何性质知，点P在底面ABC上的射影O是底面△ABC的中心，且在BD上，在Rt△POB中，OB＝×＝，
∴向量在上的投影为
||cos∠PBO＝||＝.
——多维探究——
利用向量基本定理证明线线垂直
【例5】 如图，平行六面体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.求证：CA1⊥B1D1.
【思路分析】 本题主要考查了空间向量的基本定理．解决这类问题首先应该找到作为基底的向量，再把相关向量表示为基底的线性形式，证明它们的数量积为零即可．
【证明】 因为＝＋＋，＝＝－，所以·
＝(＋＋)·(－)
＝2－2＋·(－)
＝||2－||2＋·－·
＝||2－||2＋||||·cos∠C1CD－||||·cos∠C1CB，
又因为∠C1CB＝∠C1CD，底面ABCD为菱形，
所以||2－||2＋||||·cos∠C1CD－||||·cos∠C1CB＝0，
即·＝0.
所以⊥，
故CA1⊥B1D1.
规律方法
用向量法证明垂直关系的操作步骤
(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题．
如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．求证：OG⊥BC.
证明：如图，连接ON，
设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，
又设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
又＝(＋)
＝[＋(O＋)]
＝(a＋b＋c)，＝c－b.
∴·＝(a＋b＋c)·(c－b)
＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝(|a|2·cosθ－|a|2·cosθ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴⊥，即OG⊥BC.
1．已知平行六面体OABC?O′A′B′C′中，＝a，＝b，＝c.D是四边形OABC的中心，则( B )
A.＝－a＋b＋c
B.＝－b＋a＋c
C.＝a－b－c
D.＝a＋c－b
解析：＝＋＝－b＋(＋)＝－b＋a＋c.
2．点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的投影的坐标分别是( A )
A．(－1,3,0)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
B．(0,3，－4)，(－1,0，－4)，(0,3，－4)
C．(－1,3,0)，(－1,3，－4)，(0,3，－4)
D．(0,0,0)，(－1,0,0)，(0,3,0)
解析：点M(－1,3，－4)在坐标平面xOy，xOz，yOz内的投影就是过M点分别向平面xOy，xOz，yOz作垂线的垂足，其坐标是三个垂足的坐标．
3．已知长方体ABCD?A1B1C1D1中，＝3i，＝2j，＝5k，则＝3i＋2j＋5k.
解析：＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k.
4．已知向量a，b，c是空间的一个基底，从以下各向量a，b，c，a＋b，a－b，a＋c，a－c，b＋c，b－c中选出三个向量，构成空间向量的基底，请你写出三个基底．
解：只要用不共面的三个向量均可构成基底．
如a，a＋b，a＋c；a＋b，b＋c，a＋c；a－c，b－c，a－b.
PAGE3．3 空间向量运算的坐标表示
知识点一 向量的加减法和数乘的坐标表示
[填一填]
(1)空间两个向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．
(2)实数与空间向量数乘的坐标等于实数与向量对应坐标的乘积．
(3)空间向量的坐标等于终点与起点对应坐标的差．
[答一答]
1．推一推：两向量和(差)的坐标等于它们对应坐标的和(差)．
提示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，即a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，
∴a＋b＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)．
同理：a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j＋(z1－z2)k，即a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)．
2．议一议：试推导两向量平行的坐标关系式．
提示：若b≠0，则a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)．
知识点二 数量积的坐标表示
[填一填]
空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和．
[答一答]
试一试：试推导数量积的坐标表达式．
提示：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，
即a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋y2j＋z2k，
所以a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1x2)i·i＋(x1y2)i·j＋(x1z2)i·k＋(y1x2)j·i＋(y1y2)j·j＋(y1z2)j·k＋(z1x2)k·i＋(z1y2)k·j＋(z1z2)k·k.
因为i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝i·k＝0，
所以a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
知识点三 空间向量长度与夹角的坐标表示
[填一填]
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，我们得到以下结论：
(1)|a|＝＝；
(2)cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)．
[答一答]
想一想：两向量垂直的坐标之间的关系是怎样的？
提示：a≠0，b≠0，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
1．空间向量的坐标运算的加法、减法、数乘同平面向量类似，具有类似的运算性质，学习时可类比推广．
2．关于空间向量的坐标表示的几个注意点：
(1)要掌握类比的学习新知识的方法；
(2)空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达的形式不同而已；
(3)向量的运算转化为数的运算，形化为数．
3．在向量平行的判定中应该注意的问题：
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b(b≠0)
?这一形式不能随便写成＝＝.只有在b与三个坐标轴都不平行时，才能这样写．
4．关于空间向量长度与夹角的坐标表示的几个注意点：
(1)两个空间向量的夹角公式及空间向量长度的坐标计算公式分别类似于平面向量的夹角公式及平面向量长度的坐标计算公式．
(2)夹角公式可根据数量积的定义，结合空间向量的数量积，空间向量长度的坐标表示推出．
(3)向量长度公式表示向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，学习时可采用类比方法．
题型一 空间向量的坐标运算
【例1】 已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，|a|＋|b|，a·b.
【思路探究】 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．再由|a|2＝a·a即可解决．
【解】 2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，
3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)
＝(5,11，－28)，
|a|＋|b|＝＋
＝＋＝5＋6＝11.
a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.
规律方法
空间向量的加、减、数乘、数量积运算是利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用．
已知A，B，C三点坐标分别为(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2，2,3)，求点P的坐标使得＝(－)．
解：设P(x，y，z)，
则＝(x－2，y＋1，z－2)，
＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)，
∵＝(－)．
∴(x－2，y＋1，z－2)
＝[(2,6，－3)－(－4,3,1)]
＝(6,3，－4)＝(3，，－2)．
∴解得
∴P点坐标为(5，，0)．
题型二 利用向量解决平行、垂直问题
【例2】 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．过B作BM⊥AC1于M，求点M的坐标．
【思路探究】 写出A，B，C1的坐标，设出M的坐标，利用条件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程组，求解．
【解】 解法1：设M(x，y，z)，
由题图可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，
则＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
∵⊥，∴·＝0，
∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②得x＝，y＝，z＝.
∴M.
解法2：由解法1得＝(－a，a，a)，＝(a,0,0)．
设＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，
∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．
∵BM⊥AC1，∴·＝0.
即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝，
∴＝，
＝＋＝.
∴M点坐标为.
规律方法
用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：
(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则a∥b?x1＝λx2且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0时，必有a∥b，必要时应对b是否为0进行讨论．
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；
(2)当(a－3b)⊥(λa＋b)时，求实数λ的值．
解：∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)，∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)．
(1)∵(λa＋b)∥(a－3b)，
∴＝＝，
解得λ＝－.
(2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)，
∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0，
即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，
解得λ＝.
题型三 利用向量解决夹角和长度问题
【例3】 直三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．
(1)求的长；
(2)求cos〈，〉的值．
【思路探究】 CA，CB，CC1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角．
【解】 以C为原点，以，，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图．
(1)依题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，∴||＝.
(2)依题意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．
∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，
∴·＝3，||＝，||
＝.
∴cos〈，〉＝
＝.
规律方法
在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．
已知空间三点，A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求与的夹角的余弦值．
解：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
||＝＝，
||＝＝，
·＝2－3－6＝－7，
∴cos〈，〉＝
＝＝－.
已知三点P1(1,1,0)，P2(0,1,1)和P3(1,0,1)，O为坐标原点，求|＋＋|及与夹角的余弦值．
解：＋＋＝(1,1,0)＋(0,1,1)＋(1,0,1)＝(2,2,2)，
∴|＋＋|＝＝2.
＝(－1,0,1)，＝(0，－1,1)，令与的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.
已知a＝(3,0,1)，b＝(k,2，－1)，且〈a，b〉＝，求实数k的值．
解：a·b＝(3,0,1)·(k,2，－1)
＝3k＋0×2＋1×(－1)＝3k－1，
a·b＝|a||b|cos〈a，b〉
＝··cos
＝－.
则3k－1＝－，
解得k＝或k＝(舍)，
故k的值为.
——易错警示——
对向量共线理解的错误
【例4】 已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，求x，y的值．
【误解】 由题意知a∥b，
所以＝＝，
即
①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1，当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.
【正解】 由题意知a∥b，
所以＝＝，
即
①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0，
解得x＝－2或x＝1，当x＝－2时，y＝－6；
当x＝1时，y＝3.
当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a，向量a，b反向，不符合题意，所以舍去．
当时，b＝(1,2,3)＝a，确实同向，
所以
规律方法
两向量平行或两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向量平行”的充分不必要条件．误解就忽视了这一点．
1．已知a＝(1,0,1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么|a|＋b·c等于( A )
A.－10
B．10－
C．－8
D．8
解析：由题知|a|＝，b·c＝－2－6－2＝－10，∴|a|＋b·c＝－10.
2．如果三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么( C )
A．a＝3，b＝－3
B．a＝6，b＝－1
C．a＝3，b＝2
D．a＝－2，b＝1
解析：∵＝(1，－1,3)，＝(a－2，－1，b＋1)，又A、B、C共线，∴＝＝.∴a＝3，b＝2.
3．已知向量＝(2，－1,3)，点A(－1,0,4)，则B点坐标为( C )
A．(－3,1,1)
B．(3，－1，－1)
C．(1，－1,7)
D．(－1,1，－7)
解析：设B(x，y，z)，
则＝(x＋1，y，z－4)＝(2，－1,3)，
∴∴
4．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝.
解析：∵a∥b，∴a＝tb.
∴
∴
∴λ＋μ＝＋＝.
5．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，求k的值．
解：ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
∵ka＋b与2a－b互相垂直，
∴3(k－1)＋2k－4＝0.
∴k＝.
PAGE§4 用向量讨论垂直与平行
知识点一 线线垂直、线面垂直
[填一填]
1．用向量运算证明两直线垂直
如果我们知道两条直线的方向向量，我们就可以利用两个方向向量是否垂直来判定两直线是否垂直，如图所示，设直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2，则有l1⊥l2?v1⊥v2.
由上述条件，证明空间两条直线l1⊥l2，可转化为证明两条直线的方向向量垂直，即证明v1·v2＝0.
2．线面垂直判定定理
若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直．
3．面面平行判定定理
若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
[答一答]
求证：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直．
提示：如图，b，c是平面π内的两条相交直线，直线a满足a⊥b，a⊥c，设p是平面π内任意一条直线，则只需证a⊥p.
设直线a，b，c，p的方向向量分别是a，b，c，p，只需证a⊥p.
因为直线b，c相交，所以b与c不共线．
由于直线b，c，p在同一平面π内，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ，使得p＝λb＋μc.
则a·p＝λ(a·b)＋μ(a·c)．
因为a⊥b，a⊥c，所以a·b＝0，a·c＝0，
从而a·p＝0，即a⊥p.
所以直线a垂直于平面π.
知识点二 线面平行、面面垂直
[填一填]
1．用向量方法判断或证明直线与直线平行
设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2(如图所示)，则由向量共线的条件，可得l1∥l2(或l1与l2重合)?v1∥v2.
这样在证明l1∥l2时，结合空间图形，分别在两直线上适当地选取方向向量v1，v2，证明l1∥l2即可转化为证明v1∥v2，即证明v1＝xv2.
2．线面平行的判定定理
(1)定理内容：如果平面外的一条直线平行于这个平面内的一条直线，则平面外的这条直线平行于这个平面．
(2)用向量法证明线面平行：
证明线线平行、线面平行的关键是转化为证向量共线和共面问题，但要注意向量所在直线与所证直线或平面无公共点．
已知两个非零向量v1，v2与平面α共面(如图所示)，一条直线l的一个方向向量为v，则由共面向量定理，可得l∥α或在α内?v∥v1(或v2)或存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
这样在证明直线l∥平面α时，转化成证明直线l的一个方向向量v与平面α共面的两个向量v1，v2之一平行，即v∥v1(或v∥v2)或存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
3．面面垂直的判定定理
若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
[答一答]
求证：若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．
提示：如图，已知a与b是平面π1内两条相交的直线，且a∥π2，b∥π2.平面π1，π2的法向量分别是n1，n2，要证π1∥π2，只需证n1∥n2.
又由于a∥π2，b∥π2，故向量a∥π2，b∥π2，所以n2⊥a，n2⊥b.
由于a与b相交，故向量n2也是π1的法向量，从而有n1∥n2.
知识点三 三垂线定理
[填一填]
若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，则这两条直线垂直．
[答一答]
如何证明三垂线定理？
提示：已知：如图，b是平面π外的一条直线，直线c是b在平面π上的投影，直线c与平面内一直线a垂直．
求证：a⊥b.
证明：过直线b上任意一点作平面π的垂线n.
设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，只需证a⊥b.
由于b，c，n共面，根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得b＝λc＋μn.
则a·b＝λ(a·c)＋μ(a·n)．
又由于a⊥c，故a·c＝0；
因为直线a在平面π内，n⊥π，故a⊥n，即a·n＝0.
所以a·b＝0，即a⊥b.
1．利用向量方法证明空间中的线线垂直和线面垂直总结如下：
(1)线线垂直：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，若要证明l1⊥l2，只要证a⊥b，即证明a·b＝0.
(2)线面垂直：①设直线l的方向向量为a，平面α的法向量是u，若要证l⊥α，只需证a∥u.
②根据线面垂直的判定定理，即要证一条直线垂直于一个平面，若用向量法，只需证明这条直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量分别垂直，即其数量积分别为零即可．
2．用向量法证明空间中的线线平行和线面平行总结如下：
(1)线线平行：设直线l1，l2的方向向量分别是a，b，若要证l1∥l2，只需证a∥b，即a＝λb(b≠0)．
(2)线面平行：
①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，若要证l∥α，只需证a⊥u，即a·u＝0.
②根据线面平行的判定定理．
③根据共面向量定理，即只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．
3．(1)平面法向量的求法：
若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：
①设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．
②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．
③根据法向量的定义，建立关于x，y，z的方程组
④解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．如含x＝±1或y＝±1或z＝±1等，便于求解．
(2)平面法向量的作用：
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
①α∥β或α与β重合?n1∥n2；
②α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0.
由①，证明两个平面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．
由②，证明两个平面垂直可转化为证明两个平面的法向量垂直，即证明两个平面的法向量的数量积为零．
(3)证明面面平行和面面垂直除了利用平面的法向量外，还可以直接利用它们的判定定理证明．
4．关于三垂线定理及其逆定理的几个注意点：
(1)三垂线定理及其逆定理合起来可表述为：设l是平面α的一条斜线，l′是l在α内的投影，直线m?α，则m⊥l′?m⊥l.
(2)处于非常规位置上的三垂线定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”，“一个面”就是要确定一个垂面，三条线共处于这个垂面之上，“四条线”就是垂线、斜线、投影以及平面内与投影垂直的第四条直线，这四条线中垂线是关键的一条，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连接射影、寻第四条线．
题型一 线面平行问题
【例1】 如图，在三棱锥P?ABC中，AB⊥BC，AB＝BC，点O、D分别是AC、PC的中点，且OA＝OP，OP⊥平面ABC.求证：OD∥平面PAB.
【思路探究】 证明OD∥平面PAB，一种方法是只需证明与平面PAB的法向量垂直即可，另一种方法是用几何法证明在平面PAB内存在直线与OD平行．
【证明】 证法一：因为AB＝BC，O为AC的中点，所以OB⊥AC，OA＝OB＝OC，如图，建立空间直角坐标系，设OA＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a)，则D(－，0，)．
所以＝(－，0，)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)．则
由于＝(a,0，－a)，＝(－a，a,0)，
所以
令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1,1,1)，
所以·n＝－＋＝0，所以⊥n，因为OD不在平面PAB内，所以OD∥平面PAB.
证法二：因为O、D分别是AC、PC的中点，所以＝－＝－＝，所以∥，即OD∥AP，又OD?平面PAB，PA?平面PAB，所以OD∥平面PAB.
规律方法
解决线面平行问题一般有以上两种解法，但方法一须注意合理建系，正确求解法向量．
如图所示，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点，求证：MN∥平面A1BD.
证明：证法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M(0,1，)，N(，1,1)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，于是＝(，0，)，设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．
则n·＝0且n·＝0，
得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.
∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，∴⊥n.∴MN∥平面A1BD.
证法二：∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，即MN∥DA1.
又DA1?平面A1BD，MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
证法三：∵＝－＝－＝(＋)－(＋)＝＋－－＝＋＋(－)＝＋＋＝＋0·.
即可用与线性表示，
∴与，是共面向量．
∴∥平面A1BD，即MN∥平面A1BD.
题型二 线面垂直问题
【例2】 在正方体ABCD?A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
【思路探究】 欲证B1O⊥平面PAC，只需证明与平面PAC内的两条相交直线都垂直，与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．
【证明】 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)．
于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．由于·＝－2＋2＝0，·＝－2＋2＝0.
所以OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC?平面PAC，AP?平面PAC，且AC∩AP＝A，
所以OB1⊥平面PAC.
规律方法
用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．
如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：
AB1⊥平面A1BD.
证明：取BC中点O，B1C1中点O1，以O为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，)，A(0,0，)，B1(1,2,0)，
∴＝(1,2，－)，＝(－2，1,0)，＝(－1,2，)．
∵·＝－2＋2＋0＝0，
·＝－1＋4－3＝0，
∴⊥，⊥.
即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.
又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.
题型三 面面平行问题
【例3】 正方体ABCD?A1B1C1D1的边长为4，M、N、E、F分别是棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点，求证：平面AMN∥平面EFBD.
【思路探究】 思路分析一：通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．
思路分析二：先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．
【证明】 证法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，N(4,2,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)．
取MN的中点G及EF的中点K，BD的中点Q，则G(3,1,4)，K(1,3,4)，Q(2,2,0)．
∵＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－1,1,4)，＝(－1,1,4)．
可见＝，＝，
∴MN∥EF，AG∥QK.
∴MN∥平面EFBD，AG∥平面EFBD.
又MN∩AG＝G.
∴平面AMN∥平面EFBD.
证法二：由证法一得＝(－2,0,4)，＝(2,2,0)，＝(0,2,4)，＝(2,2,0)．
设平面AMN的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，
则
即即
令x1＝1，则n1＝(1，－1，)．
设平面EFBD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
则
即即
令x2＝1，则n2＝(1，－1，)．
∴n1＝n2.∴平面AMN∥平面EFBD.
规律方法
利用向量证明面面平行可转化为证明两个平面的法向量平行．
如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心．求证：平面EFG∥平面HMN.
证明：证法一：如图，以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系D?xyz，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)，＝(0，－1,1)，＝(1,1,0)．
∴∥，∥.
∴EF∥HM，FG∥NH.
∵HM?平面HMN，NH?平面HMN.
EF?平面HMN，FG?平面HMN.
∴EF∥平面HMN，FG∥平面HMN.
又∵EF?平面EFG，FG?平面EFG，EF∩FG＝F，
∴平面EFG∥平面HMN.
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面EFG的法向量m＝(x1，y1，z1)，则m·＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·＝(x1，y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得x1＝－y1＝－z1.
设x1＝－1，则m＝(－1,1,1)．
设平面HMN的法向量n＝(x2，y2，z2)，
则n·＝(x2，y2，z2)·(0，－1,1)＝－y2＋z2＝0，n·＝(x2，y2，z2)·(1,1,0)＝x2＋y2＝0，
从而，得x2＝－y2＝－z2，
设x2＝－1，则n＝(－1,1,1)．
∴m∥n.
∴平面EFG∥平面HMN.
题型四 面面垂直问题
【例4】 如图，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【思路探究】 已知AS⊥平面ABCD，可将证明平面BDE⊥平面ABCD转化为寻找平面BDE内一条直线与AS平行；也可通过证明两平面的法向量垂直来证明两平面垂直．
【证明】 方法一：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)．
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为(，，0)．
因为＝(0,0,1)，＝(0,0，)，
所以＝，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二：设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)．
设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1,1,0)，＝(－，，)，
所以
即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量n1＝(1,1,0)．
因为AS⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量n2＝＝(0,0,1)，因为n1·n2＝0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
规律方法
若在一个平面内找另一个平面的垂线较为直观，则可采用方法一，否则采用方法二．也可利用一个平面的法向量平行于另一个平面进行求解．
已知：在正方体ABCD?A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点．求证：平面DEA⊥平面A1FD1.
证明：建立空间直角坐标系如图．令DD1＝2，则有D(0,0,0)，D1(0,0,2)，A(2,0,0)，A1(2,0,2)，F(0,1,0)，E(2,2,1)．
设n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面DEA，平面A1FD1的法向量，则n1⊥，n1⊥.
∴
∴
令y1＝－1，得n1＝(0，－1,2)．
同理可得n2＝(0,2,1)．
∴n1·n2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n1⊥n2.
∴平面DEA⊥平面A1FD1.
——多维探究——
利用向量知识解决立体几何中
的探索性问题、存在性问题
对于存在性问题，就是探求平面上或直线上是否存在一点，使得该点与其他点构成的线段是否满足某种垂直或平行于平面的位置关系，常用的方法就是假定存在这样的点，然后在该条件下求该问题，若存在，则一定能求出结果；若不存在，则求解的过程就是要说明的理由．
向量有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，实现了数与形的结合，在解决立体几何的距离与夹角、平行与垂直、探索性等问题中体现出巨大的优越性．
【例5】 如图，在底面是菱形的四棱锥P?ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE?ED＝2?1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．
【解】 存在．证明如下：以A为坐标原点，直线AD，AP分别为y轴、z轴，过A点垂直于平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系(如图)，则由题设条件知，相关各点的坐标分别为A(0,0,0)，B(a，－a,0)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，P(0,0，a)，E(0，a，a)．
∴＝(0，a，a)，
＝(a，a,0)，
＝(0,0，a)，
＝(a，a，－a)，
＝(－a，a，a)．
设点F是棱PC上的点，
＝λ＝(aλ，aλ，－aλ)，
其中0<λ<1，
则＝＋
＝(－a，a，a)＋(aλ，aλ，－aλ)
＝(a(λ－1)，a(1＋λ)，a(1－λ))．
令＝λ1＋λ2，
得
即
解得λ＝，λ1＝－，λ2＝.
即当λ＝时，＝－＋.
即F是PC的中点时，，，共面，
又BF?平面AEC，
∴当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
规律方法
是否存在一点或直线，满足某一限定条件，这样的问题，叫作存在性问题，解决方案一般是先假设存在，根据条件能求出具体的点或直线，就说明存在；若求不出，则说明不存在．
用向量手段处理类似问题，要证明方向明确．设点的坐标时，一定要注意坐标的限制范围．
如图，在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.
解：以点A为原点，、、所在的射线分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，
设E(2，y，z)，则＝(2，y－2，z－3)，＝(1,2,0)，＝(2,0,3)，
∵D1E⊥平面AB1F，
∴
即解得
∴E(2,1，)即为所求．
1．直线l1的方向向量为v1＝(1,0，－1)，直线l2的方向向量为v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是( A )
A．平行
B．相交
C．垂直
D．不能确定
解析：直线l1，l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则v2＝－2v1，∴v1∥v2，∴l1∥l2.
2．若直线l的方向向量为a＝(1，－5,7)，平面α的法向量为u＝(－2,1,1)，则( A )
A．l∥α
B．l⊥α
C．l?α
D．l与α斜交
解析：∵直线l的方向向量为a＝(1，－5，7)，平面α的法向量为u＝(－2,1,1)，∴a·u＝0，∴l∥α.
3．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，使得l∥α的是( D )
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析：要使l∥α，只需l的方向向量与平面α的法向量n满足a·n＝0，而选项D满足．
4．向量a在平面α内，则平面α平行于平面β是向量a平行于平面β的充分不必要条件．
解析：若α∥β，∵a在α内，∴a∥β，而若a∥β，不能保证α∥β，故为充分不必要条件．
5．如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．
证明：易知AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，
所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A?xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，
设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且＝λ.
所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)．
解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
所以＝(4λ，3－3λ，4λ)．
由·＝0，
即9－25λ＝0，
解得λ＝.
因为∈[0,1]，
所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.
此时，＝λ＝.
PAGE§5 夹角的计算
知识点一 直线间的夹角
[填一填]
(1)当两条直线l1和l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角．当直线异面时，我们在一条直线上取一点，作另一直线的平行线，与该直线所成的角叫作异面直线的夹角．
(2)已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.
当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；
当<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．
[答一答]
为什么空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定？
提示：空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们的方向向量的夹角确定．空间两直线的夹角与它们的方向向量的夹角有时是相等的，有时是互补的，空间两直线的夹角是取[0，]内的角．
知识点二 平面间的夹角
[填一填]
(1)平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．
(2)已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2.
当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；
当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．
[答一答]
如上图，若在直线l上选取不同于R的点P，过点P在平面π1上作直线a⊥l，在平面π2上作直线b⊥l，那么直线a和b的夹角与直线l1与l2的夹角是否相等？
提示：相等．∵a∥l1，b∥l2，∴a与b所成的角和l1与l2所成的角相等．
知识点三 直线与平面的夹角
[填一填]
(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．
(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角为0.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是.
[答一答]
直线与平面的夹角θ和该直线的方向向量s与该平面的法向量n的夹角〈s，n〉是什么关系？
提示：当〈s，n〉＝0时，θ＝；
当0<〈s，n〉<时，θ＝－〈s，n〉；
当〈s，n〉＝时，θ＝0；
当<〈s，n〉<π时，θ＝〈s，n〉－.
1．求异面直线所成的角主要有定义法(平移法)和向量法两种，定义法是先用平移法将两条异面直线平移到同一平面上，再求共面的两直线的夹角，向量法就是在两异面直线上取方向向量，将两异面直线所成的角与两方向向量的夹角联系在一起，但应注意两方向向量夹角θ≤时，θ就是所求，若<θ≤π时，π－θ才是所求，因为异面直线所成角的范围是(0，]．
2．二面角的求法总结如下：
(1)定义法：根据二面角的平面角的定义，先作出二面角的平面角，证明符合定义，再利用解三角形的方法求得该角．
(2)向量法：
①如图，若AB，CD是二面角α?l?β的两个面α，β内与棱l垂直的两条异面直线，与的夹角〈，〉的大小就等于二面角的大小．
②如图，若m，n是二面角α?l?β的两个面α，β的法向量，则m，n的夹角〈m，n〉与二面角相等或互补，即先求得两法向量的夹角，再根据法向量的方向，求得二面角的大小．
③面积射影公式法：可以利用面积射影公式cosθ＝求出二面角的余弦值，近而求出二面角的大小．
3．关于直线与平面间的夹角的几个注意点：
(1)由定义可知，如图，求平面α的斜线AB与平面α所成的角的大小，就是在直线AB上取异于斜足A的一点B作平面的垂线BO(O为垂足)，则∠BAO就是AB与α所成的角，然后通过解Rt△AOB得∠BAO的大小为所求．
(2)有时B在平面α内的投影O的位置不好确定，也可用向量法求，如图．可求平面α的法向量n，则n与所夹的锐角θ1的余角θ就是AB与平面α所成的角．
即若直线AB与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n，与n所夹的锐角为θ1，则θ＝|θ1－|.故sinθ＝|cosθ1|＝.
(3)由以上可知空间直线与平面所成角的范围是[0，]，而平面的斜线与平面所成的角的范围是(0，)．
题型一 异面直线的夹角
【例1】 如图所示，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角，AE⊥PD，E为垂足．
(1)求证：BE⊥PD；
(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．
【思路探究】 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．
【解】 (1)证明：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系A?xyz，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA是PD与底面ABCD的夹角．∴∠PDA＝30°，
∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，
AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.
过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，
∴AF＝，EF＝a.
∴P(0,0，a)，E(0，a，a)．
＝(－a，a，a)，
＝(0,2a，－a)，
∴·＝0＋a2－a2＝0.
∴⊥，∴BE⊥PD.
(2)＝(0，a，a)，＝(－a，a,0)．
设与的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，
即AE与CD的夹角的余弦值为.
规律方法
恰当地建立空间直角坐标系，准确地求出各相关点的坐标，采用向量的数量积运算是解决本题的关键．
如图，在直三棱柱A1B1C1?ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．
解：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A?xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，
所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．
因为cos〈，〉＝
＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
题型二 平面间的夹角
【例2】 如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C?PB?A的余弦值．
【解】 过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．
∵AB＝2，AC＝1，∴BC＝.
∵PA＝1，
∴A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．
故＝(，0,0)，＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(，－1,0)．
设平面BCP的法向量为n1＝(x，y，z)，
则∴
不妨令y＝1，则n1＝(0,1，－1)．
设平面ABP的法向量为n2＝(x′，y′，z′)，
则∴
不妨令x′＝1，则n2＝(1，，0)．
于是cos〈n1，n2〉＝＝＝.
由题意可知二面角C?PB?A的余弦值为.
规律方法
用向量法求二面角的两种思路：
思路一：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，反复利用向量的加法法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两条直线方向向量的夹角，进而求出二面角．
思路二：利用法向量求二面角．
一般步骤：
(1)建立空间直角坐标系，求出点的坐标；
(2)求出两平面的法向量；
(3)求两个法向量的夹角的余弦值；
(4)确定所求二面角的大小，方法如下：
①根据几何图形直观判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而决定二面角的余弦值的正负；
②依据“同进同出互补，一进一出相等”，有下图中四种情形：
③在二面角的一个半平面内取一点P，过P点作另一个半平面所在平面的垂线，若垂足在另一个半平面内，则所求二面角的平面角为锐角，若垂足在另一个半平面的反向延长面上，则所求二面角的平面角为钝角(特别地，若二面角为直二面角，则P点的射影落在棱上)．
在底面是直角梯形的四棱锥S?ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的余弦值．
解：建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，平面SBA的一个法向量是＝.设n＝(x，y，z)是面SCD的一个法向量，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0.
又＝，＝，
∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.
∴y＝－x，且z＝x.
∴n＝，
取x＝1，得n＝.
∴cos〈，n〉＝
＝＝.
∴平面SCD与平面SBA夹角的余弦值为.
题型三 直线与平面的夹角
【例3】 如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值．
【思路探究】 (1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；
(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围．
【解】 (1)证明：如图，取AB的中点O，
连接OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C?平面OA1C，所以AB⊥A1C.
(2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O?xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)，
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，－，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即
可取n＝(，1，－1)，
故cos〈n，〉＝＝－.
所以A1C与平面BB1C1C的夹角的正弦值为.
规律方法
设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，直线l与平面α所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sinθ＝|cosφ|＝或cosθ＝sinφ，其中θ与φ满足：①当φ是锐角时，θ＝－φ；②当φ为钝角时，则θ＝φ－.
如图，已知三棱锥P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．求SN与平面CMN所成角的大小．
解：找出直线SN的方向向量，平面CMN的法向量，求二者夹角的余弦值，然后将向
量间的夹角转化为直线与平面所成的角．设PA＝1，以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如下图所示．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M，N，S.
∴＝，
＝.
设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则由·a＝0，·a＝0得
令x＝2，得a＝(2,1，－2)．
又＝，
∴cos〈a，〉＝＝－.
设SN与平面CMN所成角大小为θ，
则sinθ＝|cos〈a，〉|＝，
∴θ＝45°，
∴SN与平面CMN所成角的大小为45°.
——易错警示——
对线面角定义的混淆致错
【例4】 如图四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1)求证：EF⊥平面PAB；
(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的余弦(或正弦)值．
【误解】 以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，，)，
＝(0，，)，＝(2a,1，－1)，＝(2a,0,0)，
∴·＝0，EF⊥PB，则EF⊥平面PAB.
(2)由AB＝BC，得a＝，可得＝(，－1,0)，
＝(，1，－1)，∴cos〈，〉＝＝，
∵＝(，－，)，
∴·＝0，PB⊥AF，
即PB⊥平面AEF，
则AC与平面AEF所成的角的余弦值为.
【正解】 以D为坐标原点，DA的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)证明：设E(a,0,0)，其中a>0，则C(2a,0,0)，A(0,1,0)，B(2a,1,0)，P(0,0,1)，F(a，，)．
＝(0，，)，
＝(2a,1，－1)，
＝(2a,0,0)．
·＝0.∴EF⊥PB.
·＝0.∴EF⊥AB.
又PB?平面PAB，AB?平面PAB，PB∩AB＝B，
∴EF⊥平面PAB.
(2)由AB＝BC，得a＝.
可得＝(，－1,0)，＝(，1，－1)．
cos〈，〉＝＝.
异面直线AC、PB所成的角的余弦值为.
＝(，－，)．
∴·＝0.PB⊥AF.
又PB⊥EF，EF、AF为平面AEF内两条相交直线，
∴PB⊥平面AEF.
∴AC与平面AEF所成的角的正弦值为.
规律方法
在解题过程中，犯了两个错误：一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理，错误地认为直线与平面内一条直线垂直就是线面垂直；一个是混淆了线面角的定义，错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角．
在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求二面角A?BD1?C的大小．
解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.
D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)
则＝(1,0,1)，＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)，
由·＝0，·＝0，
则是平面ABD1的一个法向量．
∵＝(0,1,1)，＝(－1,0,0)，＝(－1，－1,1)，
则·＝0，·＝0，
∴是平面BCD1的一个法向量，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.
由图形知二面角A?BD1?C的大小为120°.
1．直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为( C )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，分别以C1B1，C1A1，C1C为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．令AC＝BC＝C1C＝2，则A(0,2,2)，B(2,0,2)，M(1,1,0)，N(0,1,0)．
∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)．
cos〈，〉＝
＝＝.故选C.
2．若平面α的法向量为m＝(1，－1,3)，平面β的法向量为n＝(0,3,1)，则平面α与平面β的夹角为( C )
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
解析：∵平面α的法向量为m＝(1，－1,3)，平面β的法向量为n＝(0,3,1)，
又∵m·n＝(1，－1,3)·(0,3,1)＝0，
∴m⊥n，∴α⊥β.
3．在正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：由于四面体ABCD为正四面体，所以A点在平面BCD的投影为△BCD的中心，设为O.建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体的棱长为a，则A(0,0，a)，C(a，0,0)，D(－a，a,0)，E(－a，a，a)．
∴＝(－a，a，a)．
设平面BCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则n＝(0,0,1)．
∴cos〈n，〉＝＝.
∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.
4．若平面α的一个法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)，则l与α所成角的余弦值为.
解析：∵平面α的法向量为m＝(3,3,0)，直线l的一个方向向量为b＝(1,1,1)．则cos〈m，b〉＝＝＝，sin〈m，b〉＝.
∴l与α所成角的余弦值为.
5．在一个二面角的两个面内分别有向量m＝(－1,2,0)，n＝(3,0，－2)，则m，n都与二面角的棱垂直，则该二面角的余弦值为.
解析：由题意知，m，n所成的锐角即为二面角的平面角．
∴cos〈m，n〉＝＝＝－.
∴二面角的余弦值为.
PAGE§6 距离的计算
知识点一
点到直线的距离
[填一填]
(1)因为直线和直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题就是空间中某一个平面内点到直线的距离问题．
(2)如图，设l是过点P平行于向量s的直线，A是直线l外一定点．作AA′⊥l，垂足为A′，则点A到直线l的距离d等于线段AA′的长度，而向量在s上的投影大小|·s0|等于线段PA′的长度，所以根据勾股定理有点A到直线l的距离为d＝.
[答一答]
1．公式中s0是直线的方向向量吗？是任一方向向量吗？
提示：公式中s0是直线的方向向量，并且是单位向量．不是任一方向向量．
2．P是直线l上的一点，A是直线l外一点，如果P点换成P′(不同于P)点，公式是否仍然成立？
提示：公式仍然成立．由于P点是直线l上任意一点，这样就具有了可操作性，更便于应用．
知识点二
点到平面的距离
[填一填]
如图，设π是过点P垂直于向量n的平面，A是平面π外一定点．作AA′⊥π，垂足为A′，则点A到平面π的距离d等于线段AA′的长度．而向量在n上的投影的大小|·n0|等于线段AA′的长度，所以点A到平面π的距离d＝|·n0|.
[答一答]
1．试总结利用向量法求点到平面的距离的步骤．
提示：(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；
(3)求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
2．如何求平行平面间的距离？
提示：只需在一个平面内任取一点，求出这点到另一平面的距离即为两平行平面间的距离．
1．关于点到直线的距离的几个注意点：
点到直线的距离除了用向量的方法外，还可以直接作出距离，构造三角形，解三角形求之；也可以建立适当的空间直角坐标系，将点到直线的距离转化为点与点之间的距离，求出两点的坐标，利用空间两点间距离公式求之．
2．求点到平面的距离的方法有三个：
(1)定义法：这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后把该垂线段归结到一个直角三角形中，解三角形求得．
(2)等体积法：把点到平面的距离视为三棱锥底面的高，利用三棱锥转换底面求体积，进而求得距离．
(3)向量法：这是我们常用到的方法，利用向量法求点到平面的距离的一般步骤为：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面任意一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
3．求直线与它平行平面的距离的实质是求直线上一点到平面的距离，即转化为求点到平面的距离．
4．线与面的距离、面与面的距离均可转化为点到平面的距离，故求点到平面距离的三个方法(定义法、等体积法、向量法)仍然适用于求线与线的距离、面与面的距离.
题型一
点到直线的距离
【例1】 如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD?
A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求点B到直线A′C的距离．
【思路探究】 用点到直线的距离公式计算点B到直线A′C的距离d.
【解】 因为AB＝2，BC＝3，AA′＝4，
所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．
＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3，4)，＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．
所以在上的投影为·＝(0，－3,0)·＝(0，－3,0)·＝0×＋(－3)×＋0×＝.
所以点B到直线A′C的距离为
d＝
＝＝.
规律方法
(1)用向量法求直线外一点A到直线l的距离的步骤：
①确定直线l的方向向量s及s0；
②在l上找一点P，计算的长度；
③计算·s0的值；
④由公式d＝求解．
(2)用向量法求点到直线的距离的好处在于回避了用直接法求距离的难点(即过A1点作l的垂线，难在垂足的位置的确定)．
设ABC?A′B′C′是正三棱柱，底面边长和高都是1，P是侧面ABB′A′的中心点，则P到侧面ACC′A′的对角线的距离是( C )
A.
B.
C.
D.
解析：
解法1：如图，在△A′BC中，过P作PH⊥A′C，垂足为H.A′B＝，A′C＝，BC＝1，则由余弦定理知cos∠BA′C＝，从而sin∠BA′C＝，所以PH＝A′P·sin∠BA′C＝×＝.即P到侧面ACC′A′的对角线的距离是.
解法2：如图，以A′为坐标原点，，的方向分别为x轴，z轴的正方向，y轴⊥平面AA′C′C建立空间直角坐标系，由题意知A′(0,0,0)，A(0,0,1)，B′(，，0)，C(1,0,1)，＝(1,0,1)．
∵P是侧面ABB′A′的中心点，即AB′的中点，
∴P(，，)，
则有＝(－，－，－)．
故在上的投影的大小为
|·|＝，
∴P到侧面ACC′A′的对角线的距离为
d＝＝.
题型二
点到平面的距离
【例2】 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，点E，F分别为PA，PD的中点．则在CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为？若存在，求出CQ的长；若不存在，请说明理由．
【思路探究】 →→
【解】 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0,0,1)，F(0,1,1)，从而＝(0,1,0)，＝(0,0，－1)．
假设在CD上存在一点Q满足条件，设点Q(x0,2,0)，其中0≤x0≤2，则＝(x0,2，－1)，设平面EFQ的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即取x＝1，得n＝(1,0，x0)，
所以点A到平面EFQ的距离为
||＝||＝，解得x0＝，所以点Q(，2,0)，即＝(－，0,0)，则||＝.所以在CD上存在一点Q满足条件，且CQ的长为.
规律方法
点到平面的距离的三种求法：
(1)定义法，这是常规方法，首先过点向平面作垂线，确定垂足的位置，然后将该线段(垂线段)放到一个直角三角形中，最后通过解三角形求得点到平面的距离．
(2)等体积法，把点到平面的距离视为一个棱锥的高，利用体积相等求得点到平面的距离．
(3)向量法，这是我们常用的方法，利用向量求点到平面的距离的一般步骤：①求出该平面的法向量；②找到从该点出发的平面的任意一条斜线段所对应的向量；③求出法向量与斜线段所对应的向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离．
正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解：解法1：E，F，G三点确定的平面截正方体得到的截面为正六边形EO1FO2GO3，延长DA，FO2，O3G交于一点O4，如图，设点A到平面EFG的距离为d，在四面体A?O2O4G中，由VA?O2O4G＝VO2?AO4G可得
d＝＝＝.
∴点A到平面EFG的距离为.
解法2：如图，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，∴＝(1，－2,1)，＝(2，－1，－1)，＝(0，－1，0)．
设n＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
则由n⊥，n⊥，
得x－2y＋z＝0,2x－y－z＝0，
从而有x＝y＝z，令x＝y＝z＝1，
可得n＝(1,1,1)．
在n上射影的长度为＝＝.
∴点A到平面EFG的距离为.
题型三
线面距与面面距
【例3】 如图，在四棱锥P?ABCD中，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DA＝2，F、E分别为AD、PC的中点．
(1)证明：DE∥平面PFB；
(2)求DE到平面PFB的距离．
【思路探究】 (1)建立恰当的空间直角坐标系，写出相应点的坐标，向量用与线性表示，从而证明线面平行．
(2)利用点D到平面PFB的距离，可求得线面距．
【解】 (1)证明：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)、F(1,0,0)、B(2,2,0)、E(0,1,1)．
＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)，＝(0,1,1)，
∴＝＋，
∴∥平面PFB.
又∵D?平面PFB，∴DE∥平面PFB.
(2)∵DE∥平面PFB，∴DE到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离．设平面PFB的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则?
令x＝2，得y＝－1，z＝1，
∴n＝(2，－1,1)，＝(－1，0,0)，
∴点D到平面PFB的距离
d＝＝＝.
则DE到平面PFB的距离为.
规律方法
(1)求直线到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离．
(2)用向量法求点到平面的距离的关键是正确建系，准确求得各点及向量的坐标，然后求出平面的法向量，正确运用公式求解．
如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，
则有＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，
＝(－2,0,4)，＝(－2,0,4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥BF.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而
解得
令z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2,1)．
由于＝(0,4,0)，
∴在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间距离d＝＝.
——易错警示——
向量夹角在距离中的错误应用
【例4】 如图，把长、宽分别为2、2的长方形ABCD沿对角线AC折成60°的二面角，求顶点B和D间的距离．
【误解】 如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.
∵AB＝2，AD＝2，
∴DE＝BF＝，EF＝2，
又二面角D?AC?B为60°，DE⊥AC，BF⊥AC，
则〈，〉＝60°，∵＝＋＋.
则||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋4＋3＋2××·cos60°＝13.∴||＝.
【正解】 如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点B作BF⊥AC，垂足为F.
∵AB＝2，AD＝2，∴DE＝BF＝，EF＝2.
又二面角D?AC?B为60°，DE⊥AC，BF⊥AC，则〈，〉＝120°，∵＝＋＋.
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝3＋4＋3＋2××·cos120°＝7.
∴||＝.
规律方法
这位同学在解题过程中，把两向量夹角当作二面角的平面角，其实，〈，〉＝120°，即两向量夹角应是二面角的补角．
二面角α?l?β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于( C )
A.
B.
C．2
D.
解析：如图所示，∵||＝||＝||＝1，
∴由＝＋＋得||2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2·＝3＋2cos(180°－120°)＝4，∴||＝2.
空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P到Q的最小距离为( B )
A.
B.a
C.a
D.a
解析：如图，求PQ的最小值，需先将PQ表示出来，再用代数方法确定最值．由题设可知，、、两两夹角均为60°.
设＝－λ，＝μ，则＝＋＋＝－λ＋＋μ(－)＝－λ＋(1－μ)＋μ.
∴||2＝λ22＋(1－μ)22＋μ22＋2λ(μ－1)·＋2(1－μ)μ·－2λμ·＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2[(λ－)2＋(μ－)2＋]≥.
∴||≥a.
即点P到Q的最小距离为a.
1．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为( B )
A.
B.
C.
D.
解析：以点A为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则C1(－1,1,1)，O(－，，1)，＝(－，，0)，易求出平面ABC1D1的法向量为n＝(1,0,1)，则d＝＝＝.
2．与xOy平面的距离为1的点(x，y，z)所满足的条件是z＝±1.
3．正方体A1B1C1D1?ABCD，E、F分别是C1C、D1A1的中点，求点A到EF的距离．
解：以D点为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图．设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，则＝(1，－2,1)，＝(1,0，－2)，||＝＝，·＝1×1＋0×(－2)＋
(－2)×1＝－1，在上的射影长为＝.
∴点A到EF的距离为＝＝.
4．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，求点A到平面A1BC的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)，
A1(0,0,1)，∴＝(，1，－1)，
＝(0,2，－1)，设平面A1BC的法向量n＝(x，y，z)，
点A到平面A1BC的距离为d，
则即
令y＝3，则n＝(，3,6)，n0＝(，，)．
又∵＝(0,0,1)，
∴d＝|·n0|＝.
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