第二章 随机变量及其分布
2019年射箭世锦赛在荷兰赫托根博什举行，一次射箭成功击中十环的可能性究竟有多大？你买过福利彩票吗，七乐彩30个号码选7个，7个全中的机会有多大？在我们的周围现实世界中存在着大量的随机现象，随机现象的不确定性和大量重复试验中的统计规律性就是本章我们重点学习的内容．
学习本章要注意体会随机现象的统计规律性和随机模拟思想，体会概率模型的作用和概率思想的基本特征．
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型随机变量
自主预习·探新知
情景引入
在2020年射击世界杯北京站射击比赛中，统计某运动员的射击结果知，该运动员射击所中环数均在7环(含7环)以上，已知该运动员射击一次命中7环的概率为0.1，射击一次命中7环，8环，9环，10环的概率依次成等差数列．
你知道该运动员射击命中环数的概率分布情况吗？
新知导学
1．一个试验如果满足下列条件：
(1)试验可以在相同的情形下__重复__进行；
(2)试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不只一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__一个__，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．
2．随着__试验结果__变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．
3．__所有取值可以一一列出__的随机变量，称为离散型随机变量．
预习自测
1．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出一个球，直到取出的球是白色为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( B )
A．1,2，…，6
B．1,2，…，7
C．1,2，…，11
D．1,2,3…
[解析] 依题意知最多取7次一定能取到白球，故选B．
2．下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( B )
A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X
B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H
C．从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ
D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X
[解析] 水位在(0,18]内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量，故选B．
3．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规则规定：每题回答正确得2分，回答不正确倒扣1分，记选手甲回答这三个问题的总得分为ξ，则ξ的所有可能取值构成的集合是__{6,3,0，－3}__．
[解析] 三个问题回答完，其回答可能结果有：三个全对，两对一错，两错一对，三个全错，故得分可能情况是6分，3分，0分，－3分，∴ξ的所有可能取值构成的集合为{6,3,0，－3}．
4．某次产品的检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取5件，设其中含有次品的件数为X，求X的可能取值及其意义．
[解析] 含有次品件数是0件、1件、2件、3件、4件、5件．
所以X的取值范围为{0,1,2,3,4,5}．
X＝0表示抽取的5件产品中含有0件次品，
X＝1表示抽取的5件产品中含有1件次品，
X＝2表示抽取的5件产品中含有2件次品，
X＝3表示抽取的5件产品中含有3件次品，
X＝4表示抽取的5件产品中含有4件次品，
X＝5表示抽取的5件产品中含有5件次品．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
随机变量的概念
典例1 下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．
(1)某机场一年中每天运送乘客的数量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数．
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数．
(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．
[解析] (1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．
(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，亦可能晚点，故是随机变量．
『规律总结』 (1)随机试验的结果是否具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
┃┃跟踪练习1__■
指出哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某人射击一次命中的环数；
(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；
(3)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数；
(4)某个人的属相随年龄的变化．
[解析] (1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0,1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量．
(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5，而且出现哪种结果是随机的，因此出现正面向上的次数是随机变量．
(3)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量．
(4)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量．
命题方向?
随机变量的判定
典例2 (2020·山东泰安第一中学检测)有以下随机试验：①某路口一天内经过的机动车的辆数为X；②一天内的温度为X；③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数为X；④某篮球运动员在一次训练中，投中球的个数为X.上述问题中的X是离散型随机变量的是( C )
A．①②③④
B．②③④
C．①③④
D．①②④
[思路分析] 判断一个变量是否为离散型随机变量，关键是看它的取值能否一一列出，若能，则是离散型随机变量，否则就不是离散型随机变量．
[解析] 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变量．故选C．
『规律总结』 判断一个变量是否为离散型随机变量的步骤
(1)根据题意分析变量是否为随机变量．
(2)求随机变量的值域．
(3)判断变量的取值能否按一定顺序列举出来，若能，则是离散型随机变量．
┃┃跟踪练习2__■
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)小明回答20道选择题，答对的题数；
(2)某超市5月份每天的销售额；
(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X；
(4)武汉市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位X．
[解析] (1)小明回答的题数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量．
(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．
(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．
(4)不是离散型随机变量，水位在(0,29]这一范围内变化，不能按次序一一列举．
学科核心素养
离散型随机变量的取值
典例3 写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)在2019年北京大学的自主招生中，参加面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)一个袋中装有5个同样的球，编号分别为1,2,3,4,5.现从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数X．
[思路分析] 明确随机变量X的意义，写出X的所有可能取值及每个值对应的试验结果．
[解析] (1)X可能取0,1,2,3,4,5.X＝i表示“面试通过的有i人”，其中i＝0,1,2,3,4,5．
(2)X可取3,4,5.X＝3表示“取出的3个球的编号为1,2,3”；X＝4表示“取出的3个球的编号为1,2,4或1,3,4或2,3,4”；X＝5表示“取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或2,3,5或2,4,5或3,4,5”．
『规律总结』 因为随机变量的取值描述了随机试验的结果，因此要准确写出随机变量的所有取值，就必须弄清楚所有试验的结果．还要注意一个随机变量的取值可能对应一个和多个随机试验的结果，因此在解决这类问题时不能漏掉某些试验结果．
┃┃跟踪练习3__■
写出下列随机变量ξ的所有可能取值，并说明随机变量ξ＝4所表示的随机试验的结果．
(1)从10张已编号的卡片(编号从1号到10号)中任取2张(一次性取出)，被取出的卡片的较大编号为ξ；
(2)某足球队在点球大战中5次点球射进的球数为ξ．
[解析] (1)ξ的所有可能取值为2,3，4，…，10.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“取出的两张卡片中的较大号码为4”．基本事件有如下三种：取出的两张卡片编号分别为1和4,2和4或3和4．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.其中“ξ＝4”表示的试验结果为“5次点球射进4个球”．
易混易错警示
离散型随机变量的可能取值搞错致误
典例4 小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1
000元，3
000元，6
000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．
[错解] X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000．
X＝0表示一关没过；
X＝1
000表示只过第一关；
X＝3
000表示只过第二关；
X＝6
000表示只过第三关．
[辨析] ①对题目背景理解不准确：比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；
②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6
000元．
[正解] X的可能取值为0,1
000,3
000,6
000．
X＝0表示“第一关就没有通过”；
X＝1
000表示“第一关通过，而第二关没有通过”；
X＝3
000表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；
X＝6
000表示“三关都通过”．
[误区警示] 理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．
课堂达标·固基础
1．下列变量中，不是随机变量的是( B )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
[解析] 标准状态下，水沸腾时的温度是一个确定值，而不是随机变量．故选B．
2．若用随机变量X表示从一个装有1个白球、3个黑球、2个黄球的袋中取出的4个球中不是黑球的个数，则X的取值不可能为( A )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由于白球和黄球的个数和为3，所以4个球不是黑球的个数分别可能是1,2,3，X不可能取0.故选A．
3．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分X的所有可能取值是__300,100，－100，－300__．
[解析] 可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分．
4．连续不断地射击某一目标，首次击中目标需要的射击次数X是一个随机变量，则X＝4表示的试验结果是__前3次未击中目标，第4次击中目标__．
[解析] 由于随机变量X表示首次击中目标需要的射击次数，所以当X＝k时，表示前k－1次均未击中目标，第k次击中目标，故X＝4表示的试验结果为前3次未击中目标，第4次击中目标．
5．同时掷两枚质地均匀的硬币．
(1)用X表示掷出正面的个数，要表示试验的全部可能结果，X应取哪些值？
(2)X<2和X>0各表示什么？
[解析] (1)掷两枚硬币时，掷出正面的个数可能是0,1,2中的一个，但事先不能确定，结果是随机产生的．
用X表示掷出正面的个数，X的值应随机地取0,1,2中的某个．
(2)X<2表示事件“正面个数小于2”，即事件“正面个数为0或1”；X>0表示事件“正面个数大于0”，即事件“正面个数为1或2”．
PAGE2.1.2 离散型随机变量的分布列
自主预习·探新知
情景引入
投掷一颗骰子，所得点数记为ξ，则ξ可取哪些数字？ξ取各个数字的概率分别是多少？可否用列表法表示ξ的取值与其概率的对应关系？投掷两颗骰子，将其点数之和记为ξ，则ξ可能的取值有哪些，你能列出表示ξ取各值的概率与ξ取值的对应关系吗？
新知导学
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1、x2、…、xi、…、xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
那么上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
(2)表示：离散型随机变量可以用__表格法__、__解析法__、__图象法__表示．
(3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质：
①pi≥__0__，i＝1,2，…，n；
②i＝__1__．
2．两个特殊分布列
(1)两点分布列
如果随机变量X的分布列是
X
0
1
P
1－p
p
这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从__两点分布__.而称p＝P(X＝1)为__成功概率__．
(2)超几何分布列
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件X＝k发生的概率为P(X＝k)＝____，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N
，称分布列
X
0
1
…
m
P
…
为__超几何分布列__．
如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从__超几何分布__．
(3)公式P(X＝k)＝的推导
由于事件{X＝k}表示从含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有k件次品这一随机事件，因此它的基本事件为从N件产品中任取n件．由于任一个基本事件是等可能出现的，并且它有__C__个基本事件，而其中恰有k件次品，则必有(n－k)件正品，因此事件{X＝k}中含有__CC__个基本事件，由古典概型的概率公式可知P(X＝k)＝．
预习自测
1．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表：
ξ
1
2
3
4
Pi
p
则p的值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机变量取所有值时的概率和等于1来确定，由＋＋＋p＝1得p＝，选C．
2．随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，
∴＋＋＋＝1，∴a＝，
∵P(3．设随机变量ξ的分布为P(ξ＝k)＝ak，k＝1、2、3，则a的值为( D )
A．1
B．
C．
D．
[解析] ∵a＝1，∴a＝．
4．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是____．
[解析] 设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0、1、2、3、4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为．
5．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．
[解析] 依题意随机变量X服从超几何分布，
所以P(X＝k)＝(k＝0、1、2、3、4)．
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
离散型随机变量的分布列
典例1 (2020·山东日照实验中学月考)袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计算介于20分到40分之间的概率．
[思路分析] (1)借助古典概型的概率公式求解；(2)列出X的所有可能取值，并求出相应的概率，列出分布列；(3)根据分布列转化为求概率之和．
[解析] (1)解法一：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝．
解法二：记“一次取出的3个小球上的数字互不相同”为事件A，“一次取出的3个小球上的数字中有两个数字相同”为事件B，事件A和事件B是对立事件．
因为P(B)＝＝，
所以P(A)＝1－P(B)＝1－＝．
(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5．
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝．
所以随机变量X的概率分布列为：
X
2
3
4
5
P
(3)记“一次取球得分介于20分到40分之间”为事件C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝．
『规律总结』 求离散型随机变量的分布列应注意的问题
(1)正确求出分布列的前提是必须先准确写出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2)在求解过程中注重知识间的融合，常常会用到排列组合、古典概率及互斥事件、对立事件的概率等知识．
┃┃跟踪练习1__■
从装有除颜色外完全相同的6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．
(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率．
[解析] (1)从箱中取两个球的情形有以下6种：
{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，1个黄球}，{2个黑球}．
当取到2个白球时，随机变量X＝－2；
当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝－1；
当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；
当取到2个黄球时，随机变量X＝0；
当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；
当取到2个黑球时，随机变量X＝4．
所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4．
P(X＝－2)＝＝，
P(X＝－1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝．
所以X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
4
P
(2)P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＋＝．
所以赢钱的概率为．
命题方向?
离散型随机变量的分布列的性质及应用
典例2 设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P(X≥)；
(3)求P([思路分析] 已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率．
[解析] 题目所给随机变量X的分布列为：
X
1
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝．
(2)P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝．
(3)P(『规律总结』 1.利用分布列的性质pi＝1，可以初步检验所求分布列是否正确，即若pi≠1，则所求的分布列一定是错误的．
2．{X＝xi}所表示的事件是互斥的．
3．一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
┃┃跟踪练习2__■
已知随机变量ξ的概率分布如下：
ξ
1
2
3
4
5
P
ξ
6
7
8
9
10
P
m
则P(ξ＝10)＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] P(ξ＝10)＝m＝1－
＝1－＝．
故选C．
命题方向?
两点分布的应用
典例3 一个袋中装有除颜色外其他都相同的3个白球和4个红球．
(1)从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝求X的分布列；
(2)从中任意摸出两个球，用X＝0表示“两个球全是白球”，用X＝1表示“两个球不全是白球”，求X的分布列．
[思路分析] 两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．
[解析] (1)由题意知P(X＝0)＝，P(X＝1)＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
P
(2)由题意知P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
P
『规律总结』 两点分布的两个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知：P(X＝0)＋P(X＝1)＝1．
┃┃跟踪练习3__■
在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝
如果针尖向上的概率为，那么试写出随机变量X的分布列．
[解析] 根据分布列的性质，针尖向下的概率是1－.于是，随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
命题方向?
超几何分布
典例4 在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张；
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得奖品总价值为Y元，求Y的分布列．
[解析] (1)抽取一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，
则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝．
因此X的分布列为：
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝．
②Y的所有可能取值为：0,10,20,50,60，且
P(X＝0)＝＝＝；
P(X＝10)＝＝＝；
P(X＝20)＝＝＝；
P(X＝50)＝＝＝；
P(X＝60)＝＝＝．
因此随机变量Y的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
『规律总结』 求超几何分布的分布列的步骤
(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．
(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．
(3)用表格的形式列出分布列．
┃┃跟踪练习4__■
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数．
(1)求X的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数X≤1”的概率．
[解析] (1)X可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(X＝k)＝，k＝0,1,2．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P
(2)由(1)知“所选3人中女生人数X≤1”的概率为
P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝．
学科核心素养
离散型随机变量的分布列的求法
求离散型随机变量的分布列，明确离散型随机变量所取的每个值表示的意义是关键，其一般步骤是：
(1)明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；
(2)利用概率的有关知识，求出离散型随机变量取每个值的概率；
(3)按规范形式写出其分布列．
典例5 一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机抽取3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列．
[思路分析] 随机变量X的所有可能取值为3,4,5,6.“X＝3”对应事件“取出的3个球，编号为1,2,3”，“X＝4”对应事件“取出的3个球中恰好取到4号球和1,2,3号球中的2个”，“X＝5”对应事件“取出的3个球中恰好取到5号球和1,2,3,4号球中的2个”，“X＝6”对应事件“取出3个球中恰好取到6号球和1,2,3,4,5号球中的2个”．而要求其概率，则要用古典概型的概率公式和排列、组合知识求解，从而获得X的分布列．
[解析] 随机变量X的可能取值为3,4,5,6．
从中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C，
事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，
事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，
事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，
事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC，
于是有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为：
X
3
4
5
6
P
『规律总结』 像这类求古典概型的概率的基本方法是：先求出基本事件空间中基本事件的总个数n，再计算事件A包含的基本事件的个数m，则事件A的概率为P(A)＝.因此求古典概型的概率的关键是利用排列、组合的基本知识和基本方法来计算基本事件的个数．
┃┃跟踪练习5__■
某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级
摸出红、蓝球个数
获奖金额
一等奖
3红1蓝
200元
二等奖
3红0蓝
50元
三等奖
2红1蓝
10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列．
[解析] 设Ai(i＝0,1,2,3)表示摸到i个红球，Bj(j＝0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立．
(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1)＝＝．
(2)X的所有可能值为0,10,50,200，且
P(X＝200)＝·＝，
P(X＝50)＝·＝，
P(X＝10)＝·＝＝，
P(X＝0)＝1－－－＝．
综上知X的分布列为：
X
0
10
50
200
P
易混易错警示
离散型随机变量的性质
典例6 设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为：
ξ
－1
0
1
P
1－2q
q2
(1)求q的值；
(2)求P(ξ<0)，P(ξ≤0)．
[错解] (1)由分布列的性质得＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1±．
(2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)
＝＋1－2(1±)＝－或－－．
[辨析] 错误原因：忽视了pi≥0(i＝1,2，…，n)这一性质．
防范措施：根据分布列的性质：pi≥0(i＝1,2，…，n)；pi＝1缺一不可．
[正解] (1)由分布列的性质得，1>1－2q≥0,1>q2≥0，＋(1－2q)＋q2＝1，所以q＝1－．
(2)P(ξ<0)＝P(ξ＝－1)＝，
P(ξ≤0)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝0)＝＋1－2(1－)＝－．
课堂达标·固基础
1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝1)＝( D )
A．0
B．
C．
D．
[解析] 由题意，“ξ＝0”表示试验失败，“ξ＝1”表示试验成功，设失败率为p，则成功率为2p，则ξ的分布列为：
ξ
0
1
P
p
2p
∵p＋2p＝1，∴p＝，∴P(ξ＝1)＝．
2．一个盒子里装有大小相同的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是( B )
A．没有白球
B．至少有一个白球
C．至少有一个红球
D．至多有一个白球
[解析] ＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．
3．设随机变量ξ的可能取值为5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率均相同，则P(ξ>8)＝____，P(6<ξ≤14)＝____．
[解析] P(ξ>8)＝×8＝，
P(6<ξ≤14)＝×8＝．
4．为了备战2021年世锦赛，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表：
队别
北京
上海
天津
八一
人数
4
6
3
5
(1)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一队的概率；
(2)中国女排奋力拼搏获得冠军，若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
[解析] (1)“从这18名队员中选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，
则P(A)＝＝．
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2．
∵P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P
PAGE2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
自主预习·探新知
情景引入
在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题．
那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情况下你及格的概率又是多少？
新知导学
1．条件概率
一般地，设A、B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝____为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．一般把P(B|A)读作__A发生的条件下B发生的概率__．
如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，显然知道了A的发生，研究事件B时，基本事件发生变化，从而B发生的概率也相应的发生变化，这就是__条件概率__要研究的问题．
2．条件概率的性质
性质1：0≤P(B|A)≤1；
性质2：如果B和C是两个互斥事件，那么P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
预习自测
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由公式P(B|A)＝得P(B|A)＝．
2．(2020·武汉高二检测)据某地区气象台统计，在某季节该地区下雨的概率是，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上风又下雨的概率为，设事件A为下雨，事件B为刮四级以上的风，那么P(B|A)＝____．
[解析] 由题意P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，
∴P(B|A)＝＝．
故答案为．
3．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为____．
[解析] 解法一：在第一次取到不合格品以后，由于不放回，故还有99件产品，其中4件次品，故第二次再次取到不合格产品的概率为．
解法二：第一次取到不合格品的概率为P1＝＝，两次都取到不合格产品的概率为P2＝＝，∴所求概率P＝＝＝．
4．在一个口袋里装有大小相同的红色小球3个，蓝色小球5个，从中任取1球观察颜色，不放回，再任取一球，则
(1)在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为多少？
(2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为多少？
(3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为多少？
[解析] 解法一：(1)第一次取到红球不放回，此时口袋里有2个红球，5个蓝球，故第二次取到红球的概率为P1＝．
(2)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到红球的概率为．
(3)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有3红4蓝7个小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为P3＝．
解法二：(1)记事件A为“第一次取到红球”，事件B为“第二次取到红球”，∵P(A∩B)＝＝，P(A)＝，
∴P(B|A)＝＝＝．
(2)设C＝“第一次取到蓝球”，B＝“第二次取到红球”，则P(CB)＝＝，P(C)＝，
∴P(B|C)＝＝．
(3)记C＝“第一次取到蓝球”，D＝“第二次取到蓝球”，
则P(CD)＝＝，P(C)＝，
∴P(D|C)＝＝．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
利用条件概率公式求条件概率
典例1 盒内装有除型号和颜色外完全相同的16个球，其中6个是E型玻璃球，10个是F型玻璃球．E型玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；F型玻璃球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是E型玻璃球的概率是多少？
[思路分析] 通过表格将数据关系表示出来，再求取到蓝球是E型玻璃球的概率．
[解析] (1)令事件A＝{取得蓝球}，B＝{取得蓝色E型玻璃球}．
解法一：∵P(A)＝，P(A∩B)＝＝，
∴P(B|A)＝＝＝．
解法二：∵n(A)＝11，n(A∩B)＝4，
∴P(B|A)＝＝．
『规律总结』 (1)在题目条件中，若出现“在……发生的条件下……发生的概率”时，一般可认为是条件概率．
(2)条件概率的两种计算方法
①在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝计算求得P(B|A)；
②若事件为古典概型，可利用公式P(B|A)＝，即在缩小后的样本空间中计算事件B发生的概率．
┃┃跟踪练习1__■
(1)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( A )
A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
(2)分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另外一个元素与之构成可约分数的概率是____．
[解析] (1)本题考查条件概率的求法．
设A＝“某一天的空气质量为优良”，B＝“随后一天的空气质量为优良”，则
P(B|A)＝＝＝0.8，故选A．
(2)设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7，n(AB)＝4，
所以P(B|A)＝＝．
命题方向?
有关几何概型的条件概率
典例2 一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)．
[解析] 如图，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，n(AB)＝1，∴P(AB)＝，P(A|B)＝＝．
『规律总结』 本题是面积型的几何概型，和小正方形的个数来等价转化，将样本空间缩小为n(B)．
┃┃跟踪练习2__■
如图，四边形EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则
(1)P(A)＝____；
(2)P(B|A)＝____．
[解析] (1)由题意可得，事件A发生的概率
P(A)＝＝＝．
(2)事件AB表示“豆子落在△EOH内”，则P(AB)＝＝＝.故P(B|A)＝＝＝．
命题方向?
缩小基本事件范围求概率
典例3 两台机床加工同一种机械零件如表：
合格品
次品
总计
甲机床加工的零件数
35
5
40
乙机床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，取得的零件是甲机床加工的合格品的概率是__0.875__．
[思路分析] 所求概率样本空间包含的基本事件个数是40而不是100．
[解析] 记“在100个零件中任取一件是甲机床加工的零件”为事件A，记“从100个零件中任取一件取得合格品”为事件B．则P(B|A)＝＝＝0.875．
『规律总结』 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法
将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB．而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的．
┃┃跟踪练习3__■
集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．
[解析] 将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P＝＝．
条件概率的性质
典例4 外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．若第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．
[思路分析] 本题考查条件概率，先设出基本事件，求相应事件的概率，再将试验成功分解成两个互斥事件的和．
[解析] 设A＝{从第一个盒子中取得标有字母A的球}，
B＝{从第一个盒子中取得标有字母B的球}，
R＝{第二次取出的球是红球}，
W＝{第二次取出的球是白球}，
易得P(A)＝，P(B)＝，
P(R|A)＝，P(R|B)＝，
事件“试验成功”表示为RA∪RB，又事件RA与事件RB互斥，故由概率的加法公式得
P(RA∪RB)＝P(RA)＋P(RB)
＝P(R|A)·P(A)＋P(R|B)·P(B)
＝×＋×＝0.59．
『规律总结』 若事件B，C互斥，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率，往往可以先把它分解成若干个互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用概率加法公式求得所求的复杂事件的概率．
┃┃跟踪练习4__■
抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：
(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；
(2)事件B发生的条件下事件A发生的概率．
[解析] 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A的基本事件数为
6×2＝12，
则P(A)＝＝．
∵3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8，
4＋6＝6＋4＝5＋5>8，
5＋6＝6＋5>8,6＋6>8，
∴事件B的基本事件总数为4＋3＋2＋1＝10．
∴P(B)＝＝．
又4＋5>8,4＋6>8，
6＋3>8,6＋4>8，
6＋5>8，6＋6>8，
∴事件AB的基本事件数为6．
故P(AB)＝＝．
由条件概率公式，得
(1)P(B|A)＝＝＝．
(2)P(A|B)＝＝＝．
学科核心素养
条件概率公式的推广的应用
(1)条件概率定义的推广
P(Ak|A1A2…Ak－1)＝，其中k＝1,2,3，…，P(A1A2…Ak－1)≠0．
(2)乘法公式的推广．
若P(A1A2…An－1)>0，则P(A1A2…An)＝P(A1)·P(A2|A1)·P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)．
(3)全概率公式．
完备事件组：若事件A1，A2，…，An互斥，又一次试验中事件A1，A2，…，An必发生其中之一，即A1∪A2∪…∪An＝Ω，又AiAj＝?(i≠j)，则称A1，A2，…，An为完备事件．
全概率公式：若事件B1，B2，…，Bn为完备事件组，且P(Bi)>0(i＝1,2，…，n)，则对任一事件A，有P(A)＝(Bi)P(A|Bi)．
典例5 某仓库有同样规格的产品12箱，其中6箱、4箱、2箱依次是由甲、乙、丙三个厂生产的，且三个厂的次品率分别为，，.现从这12箱中任取一箱，再从取得的一箱中任意取出一个产品．
(1)求取得的一个产品是次品的概率；
(2)若已知取得一个产品是次品，则这个次品是乙厂生产的概率是多少？(精确到0.001)
[解析] (1)设A＝{取得一个产品是次品}，B1＝{取得一箱是甲厂的}，B2＝{取得一箱是乙厂的}，B3＝{取得一箱是丙厂的}．
显然B1，B2，B3是导致A发生的一组原因，这组原因是完备事件组(即一个划分)，A能且只能与B1，B2，B3之一同时发生．
三个厂的次品率分别为，，，
∴P(A|B1)＝，P(A|B2)＝，P(A|B3)＝．
12箱产品中，甲占，乙占，丙占，
由全概率公式得P(A)＝(A|Bk)P(Bk)＝×＋×＋×≈0.083．
(2)依题意，已知A发生，要求P(B2|A)，此时我们用贝叶斯公式：
P(B2|A)＝≈≈0.287．
『规律总结』 贝叶斯公式实质上是条件概率公式P(Bi|A)＝，P(BiA)＝P(Bi)·P(A|Bi)，全概率公式P(A)＝(Bi)P(A|Bi)的综合应用．
易混易错警示
因把基本事件空间找错而致错
典例6 一个家庭中有两名小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭有一名小孩是女孩，问另一名小孩是男孩的概率是多少？
[辨析] 解决条件概率的方法有两种，第一种是利用公式P(B|A)＝.第二种为P(B|A)＝，其中找对基本事件空间是关键．
[正解] 方法一：一个家庭的两名小孩只有4种可能：{两名都是男孩}，{第一名是男孩，第二名是女孩}，{第一名是女孩，第二名是男孩}，{两名都是女孩}．由题意知这4个事件是等可能的，设基本事件空间为Ω，“其中一名是女孩”为事件A，“其中一名是男孩”为事件B，则Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}．
∴P(AB)＝＝，P(A)＝.∴P(B|A)＝＝＝．
方法二：由方法一可知n(A)＝3，n(AB)＝2.∴P(B|A)＝＝．
[误区警示] 1.条件概率易出错点之一就是把基本事件空间找错了．
2．弄不清一个事件对另一事件的影响致错．
课堂达标·固基础
1．已知P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] P(B|A)＝＝＝．
2．(2020·新余二模)从1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2个数，事件A＝“第一次取到的是奇数”，B＝“第二次取到的是奇数”，则P(B|A)＝( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意，P(AB)＝＝，
P(A)＝＝
∴P(B|A)＝＝．
故选D．
3．由“0”“1”组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 在第一位数字为0的条件下，第二位数字为0的概率为P(A|B)＝＝＝．
4．(2020·烟台期末)袋中有大小形状都相同的4个黑球和2个白球．如果不放回地依次取出2球，那么在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设事件A表示“第一次取出黑球”，事件B表示“第二次取出黑球”，
P(A)＝＝，P(AB)＝×＝，
∴在第1次取到的是黑球的条件下，第2次取到黑球的概率为：
P(B|A)＝＝．
故选C．
5．6名同学参加百米短跑比赛，赛场共有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率是____．
[解析] “甲排在第一跑道”记为事件A，“乙排在第二跑道”记为事件B．
则P(A)＝＝，P(AB)＝＝．
所以P(B|A)＝＝＝．
PAGE2.2.2 事件的独立性
自主预习·探新知
情景引入
在一次有关“三国演义”的知识竞赛中，三个“臭皮匠”能答对某题目的概率分别为50%,45%,40%，“诸葛亮”能答对该题目的概率为85%，如果将“三个臭皮匠”组成一组与“诸葛亮”进行比赛，各选手独立答题，不得商量，团队中只要有一人答出即为该组获胜．
试问：哪方获胜的可能性大？
新知导学
相互独立事件
1．概念
(1)设A，B为两个事件，若事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即__P(B|A)＝P(B)__，则称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做__相互独立事件__．
(2)对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受__其他事件是否发生__的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
2．性质
(1)如果事件A与B相互独立，那么事件A与____，与__B__，____与____也都相互独立．
(2)若事件A与B相互独立，则P(A|B)＝__P(A)__，P(A∩B)＝__P(A)×P(B)__．
(3)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于__每个事件发生的概率积__，即P(A1∩A2∩…∩An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
并且上式中任意多个事件Ai换成其对立事件后等式仍成立．
预习自测
1．(2020·刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若两人投中的概率都是0.7，则恰有一人投中的概率是( A )
A．0.42
B．0.49
C．0.7
D．0.91
[解析] 设甲投篮一次投中为事件A，则P(A)＝0.7，
则甲投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，
设乙投篮一次投中为事件B，则P(B)＝0.7，
则乙投篮一次投不中为事件，则P()＝1－0.7＝0.3，
则甲、乙两人各投篮一次恰有一人投中的概率为：
P＝P(A∩)＋P(∩B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.7×0.3＋0.7×0.3＝0.42.故选A．
2．国庆节放假，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别是、、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设甲、乙、丙去北京旅游分别为事件A、B、C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P()＝，P()＝，P()＝，由于A，B，C相互独立，故，，也相互独立，故P(
)＝××＝，因此甲、乙、丙三人至少有1人去北京旅游的概率P＝1－P( )＝1－＝．
3．已知A、B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(A)＝____；P( )＝____．
[解析] ∵A、B是相互独立事件，
∴A与，与也是相互独立事件．
又∵P(A)＝，P(B)＝，
故P()＝，P()＝1－＝，
∴P(A)＝P(A)×P()＝×＝；
P( )＝P()×P()＝×＝．
4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．
[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
事件独立性的判断
典例1 判断下列各对事件是不是相互独立事件：
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[解析] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，
∴P(AB)＝P(A)·P(B)，
∴事件A与B相互独立．
『规律总结』 (1)利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)·P(B))可以准确地判定两个事件是否相互独立，这是用定量计算方法，较准确，因此我们必须熟练掌握．
(2)判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析，即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响．没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件．
┃┃跟踪练习1__■
一个家庭中有若干个小孩，假设生男孩和生女孩是等可能的，设A＝{一个家庭中既有男孩，又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}.
对下列两种情况讨论事件A与B的独立性．
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解析] (1)有两个小孩的家庭，对应的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，有4个基本事件，每个基本事件的概率均为，这时A＝{(男，女)，(女，男)}，B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，AB＝{(男，女)，(女，男)}，于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝.由此可知P(AB)≠P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立．
(2)有三个小孩的家庭，样本空间为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，每个基本事件的概率均为，这时A中有6个基本事件，B中有4个基本事件，AB中含有3个基本事件，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝.P(A)·P(B)＝，即P(AB)＝＝P(A)P(B)成立，从而事件A与B是相互独立的．
命题方向?
求相互独立事件的概率
典例2 (2020·鹤岗高二检测)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．
[解析] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P( )＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．
『规律总结』 与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B；
(2)A，B都发生为事件AB；
(3)A，B都不发生为事件 ；
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B．
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ ．
它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P(
)
1－[P(A)＋P(B)]
P()P()
┃┃跟踪练习2__■
(2020·浙江杭州高级中学检测)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别为和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲、乙各射击一次均击中目标概率；
(2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率；
(3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率．
[解析] (1)记事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”．
依题意知，事件A和事件B相互独立，
因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
(2)记事件Ai表示“甲第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记“甲4次射击恰有3次连续击中目标”为事件C，
则C＝A1A2A34∪1A2A3A4，且A1A2A34与1A2A3A4是互斥事件．
由于A1，A2，A3，A4之间相互独立，
所以Ai与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，
故P(C)＝P(A1A2A34∪1A2A3A4)
＝P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＋P(1)P(A2)P(A3)P(A4)
＝()3×＋×()3＝．
(3)记事件Bi表示“乙第i次射击击中目标”(其中i＝1,2,3,4)，并记事件D表示“乙在第4次射击后终止射击”，
则D＝B1B234∪1B234，
且B1B234与1B234是互斥事件．
由于B1，B2，B3，B4之间相互独立，
所以Bi与j(i，j＝1,2,3,4，且i≠j)之间也相互独立．
由于P(Bi)＝(i＝1,2,3,4)，
故P(D)＝P(B1B234∪1B234)
＝P(B1)P(B2)P(3)P(4)＋P(1)P(B2)P(3)P(4)
＝()2×()2＋×()3＝．
命题方向?
相互独立事件的综合应用
典例3 (2020·西安高二检测)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列．
[解析] (1)设事件A表示：观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手．
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为1－．
所以P(A)＝×(1－)＝．
因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为．
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3．
观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙、丙选中3号歌手的概率为．
当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X＝0，
P(X＝0)＝(1－)×(1－)2＝．
当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X＝1，P(X＝1)＝×(1－)2＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝＝．
当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时
X＝2，P(X＝2)＝××(1－)＋(1－)××＋×(1－)×＝＝．
当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X＝3，
P(X＝3)＝×()2＝．
X的分布列如下表：
X
0
1
2
3
P
『规律总结』 概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为互独事件)．
(3)方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．
┃┃跟踪练习3__■
某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分
低于70分
70分到89分
不低于90分
满意度等级
不满意
满意
非常满意
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
[解析] (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如图．
通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散．
(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；
CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；
CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；
CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；
则CA1与CB1相互独立，CA2与CB2相互独立，CB1与CB2互斥，C＝CB1CA1∪CB2CA2．
P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)
＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)
＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2)，
由所给数据得CA1，CA2，CB1，CB2的频率分别为，，，，故P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，
P(CB2)＝，所以P(C)＝×＋×＝0.48．
学科核心素养
正难则反的思想的应用
正难则反的思想在求解概率问题中应用广泛，尤其是解概率问题的综合题中，出现“至少”或“至多”等事件的概率求解问题，如果从正面考虑，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁杂，而且容易出错，但如果考虑“至少”或“至多”事件的对立事件往往会简单，其概率很容易求出，此时可逆向分析问题，先求出其对立事件的概率，再利用概率的和或积的互补公式求出原来事件的概率．
典例4 三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局的胜者对第一局的败者，第四局是第三局的胜者对第二局的败者，求乙队连胜四局的概率．
[思路分析] 乙队每局胜利的事件是相互独立的，可由其公式计算概率．
[解析] 设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：
第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6，
第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5，
第三局中乙胜甲(A3)，其概率为1－0.4＝0.6，
第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.5，
因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62·0.52＝0.09．
『规律总结』 (1)求复杂事件的概率一般可分三步进行：①列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；②理清各事件之间的关系，列出关系式；③根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．
(2)直接计算符合条件的事件个数较复杂，可间接地先计算对立事件的个数，求得对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．
┃┃跟踪练习4__■
在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．
[解析] 如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C．由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P( )＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027，
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P( )＝1－0.027＝0.973．
易混易错警示
因混淆独立事件和互斥事件而致错
典例5 设事件A与B相互独立，两个事件中只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，求事件A和事件B同时发生的概率．
[错解] ∵A与B相互独立，且只有A发生的概率和只有B发生的概率都是，
∴P(A)＝P(B)＝，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
[正解] 在相互独立事件A和B中，只有A发生即事件A发生，只有B发生即事件B发生．
∵A和B相互独立，∴A与，和B也相互独立．
∴P(A)＝P(A)·P()＝P(A)·[1－P(B)]＝，① P(B)＝P()·P(B)＝[1－P(A)]·P(B)＝.②
①－②得P(A)＝P(B)．③
联立①③可解得P(A)＝P(B)＝.∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
[误区警示] 在A与B中只有A发生是指A发生和B不发生这两个事件同时发生，即事件A发生．
课堂达标·固基础
1．下列事件A，B是相互独立事件的是( A )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“一个灯泡能用1
000小时”，B＝“一个灯泡能用2
000小时”
[解析] 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，其结果具有唯一性，A，B应为互斥事件；D中事件B受事件A的影响．故选A．
2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率( C )
A．事件A，B同时发生
B．事件A，B至少有一个发生
C．事件A，B至多有一个发生
D．事件A，B都不发生
[解析] P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝．
4．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为____．
[解析] 若都取到白球，P1＝×＝，若都取到红球，P2＝×＝，
则所求概率P＝P1＋P2＝＋＝．
5．甲、乙两人独立地破译密码的概率分别为、.求：
(1)两个人都译出密码的概率；
(2)两个人都译不出密码的概率；
(3)恰有一人译出密码的概率；
(4)至多一人译出密码的概率；
(5)至少一人译出密码的概率．
[解析] 记事件A为“甲独立地译出密码”，事件B为“乙独立地译出密码”．
(1)两个人都译出密码的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．
(2)两个人都译不出密码的概率为P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝(1－)(1－)＝．
(3)恰有一人译出密码分为两类：甲译出乙译不出，乙译出甲译不出，
即A＋B，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝．
(4)至多一人译出密码的对立事件是两人都译出密码，
∴其概率为1－P(AB)＝1－＝．
(5)至少一人译出密码的对立事件为两个都没有译出密码，
∴其概率为1－P( )＝1－＝．
PAGE2.2.3 独立重复试验与二项分布
自主预习·探新知
情景引入
在学校组织的高二篮球比赛中，通过小组循环，甲、乙两班顺利进入最后的决赛．在每一场比赛中，甲班取胜的概率为0.6，乙班取胜的概率是0.4，比赛既可以采用三局两胜制，又可以采用五局三胜制．如果你是甲班的一名同学．
你认为采用哪种赛制对你班更有利？
新知导学
1．n次独立重复试验
(1)定义
一般地，在相同条件下__重复地做n次试验__，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．
(2)公式
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)＝__Cpk(1－p)n－k，(k＝0,1,2，…，n)__．
2．二项分布
若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝__Cpkqn－k__(k＝0,1,2，…，n)，
于是得到X的分布列
X
0
1
…
k
…
n
P
Cp0qn
Cp1qn－1
…
Cpkqn－k
…
Cpnq0
由于表中第二行恰好是二项式展开式
(q＋p)n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作__X～B(n，p)__．
预习自测
1．口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：
an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( B )
A．C×2×5
B．C×2×5
C．C×2×5
D．C×2×2
[解析] 由S7＝3知，在7次摸球中有2次摸取红球，5次摸取白球，而每次摸取红球的概率为，摸取白球的概率为，则S7＝3的概率为C×2×5，故选B．
2．(2020·全国二模)设随机变量X～B(6，)，则P(X＝3)＝____．
[解析] ∵随机变量X服从二项分布B(6，)，
∴P(X＝3)＝C()3×(1－)3＝．
故答案为．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
独立重复试验概率的求法
典例1 某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)．
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率；
(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．
[思路分析] 由于5次预报是相互独立的，且结果只有两种(准确或不准确)，符合独立重复试验模型．
[解析] (1)记预报一次准确为事件A，则P(A)＝0.8．
5次预报相当于5次独立重复试验，
2次准确的概率为P＝C×0.82×0.23＝0.0512≈0.05，
因此5次预报中恰有2次准确的概率约为0.05．
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，
其概率为
P＝C×(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.00672≈0.01．
所以所求概率为1－P＝1－0.01＝0.99．
所以5次预报中至少有2次准确的概率约为0.99．
(3)说明第1,2,4,5次中恰有1次准确．
所以概率为P＝C×0.8×0.23×0.8＝0.02048≈0.02，
所以恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率约为0.02．
『规律总结』 1.运用独立重复试验的概率公式求概率，首先要分析问题中涉及的试验是否为n次独立重复试验，若不符合条件，则不能应用公式求解．
2．解决这类实际问题往往需把所求的概率的事件分拆为若干个事件，而这每个事件均为独立重复试验．
3．在解题时，还要注意“正难则反”的思想的运用，即利用对立事件来求其概率．
┃┃跟踪练习1__■
甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．(结果须用分数作答)
(1)求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率．
[解析] (1)记“甲射击3次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P(A1)＝1－P(1)＝1－()3＝．
(2)记“甲射击2次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击2次，恰有1次击中目标”为事件B2，则P(A2)＝C×()2＝，P(B2)＝C×()1×(1－)＝，由于甲、乙射击相互独立，故P(A2B2)＝×＝．
二项分布
典例2 在一次数学考试中，第14题和第15题为选做题．规定每位考生必须且只需在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为．
(1)求其中甲、乙2名考生选做同一道题的概率；
(2)设这4名考生中选做第15题的考生人数为X，求X的分布列．
[思路分析] (1)设出事件，利用独立事件求概率；(2)按照求分布列的步骤写出分布列即可．
[解析] (1)设事件A表示“甲选做第14题”，事件B表示“乙选做第14题”，则甲、乙2名考生选做同一道题的事件为“AB∪ ”，且事件A，B相互独立．
所以P(AB∪ )＝P(A)P(B)＋P()P()
＝×＋(1－)×(1－)＝．
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.且X～B(4，)．
所以P(X＝k)＝C()k(1－)4－k
＝C()4(k＝0,1,2,3,4)．
所以变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
『规律总结』 解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．
┃┃跟踪练习2__■
一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：
①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；
②现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
③从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为．
其中所有正确结论的序号是__①③__．
[解析] ①恰有一个白球的概率P＝＝，故①正确；②设A＝{第一次取到红球}，B＝{第二次取到红球}．
则P(A)＝，P(A∩B)＝＝，
∴P(B|A)＝＝，故②错；
③每次取到红球的概率P＝，
所以至少有一次取到红球的概率为
1－(1－)3＝，
故③正确．
二项分布的应用
典例3 高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次．求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的概率分布列．
[解析] (1)至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X，
则P(X＝3)＝C×()3×()2＝，
P(X＝4)＝C×()4×＝，
P(X＝5)＝C×()5×()0＝．
所以至少有3次发芽成功的概率
P＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋＝＝．
(2)随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4,5．
P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，
P(ξ＝3)＝()2×＝，P(ξ＝4)＝()3×＝，
P(ξ＝5)＝()4×1＝．
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
『规律总结』 1.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
2．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
┃┃跟踪练习3__■
在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是．
(1)求油罐被引爆的概率；
(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X不小于4的概率．
[解析] (1)油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C··()4＋()5，
所以所求的概率为
1－[C··()4＋()5]＝．
(2)当X＝4时记为事件A，
则P(A)＝C··()2·＝．
当X＝5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B．
则P(B)＝C··()3＋()4＝，
∴射击次数不小于4的概率为＋＝．
学科核心素养
二项分布中的概率最值问题
一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0(1)如果(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．
(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．
(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．
典例4 某一批产品的合格率为95%，那么在取出其中的20件产品中，最有可能有几件产品合格？
[思路分析] 设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ服从二项分布，比较P(ξ＝k－1)与P(ξ＝k)的大小得出结论．
[解析] 设在取出的20件产品中，合格产品有ξ件，则ξ服从二项分布，即ξ～B(20,0.95)，于是恰好有k件产品合格的概率为P(ξ＝k)＝C×0.95k×0.0520－k(0≤k≤20，k∈N)．
又＝
＝
＝1＋(1≤k≤20，k∈N)．
于是当k<19.95时，P(ξ＝k－1)当k>19.95时，P(ξ＝k－1)>P(ξ＝k)．
从而可知在取出的20件产品中，最有可能有19件合格品．
『规律总结』 求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，n.②利用比较法(作差或作商)比较P(ξ＝k－1)和P(ξ＝k)的大小．③令P(ξ＝k)－P(ξ＝k－1)≥0或≥1，求出k的取值区间，此区间即为P(ξ＝k)的单调增区间，它的补集即为单调减区间．④结合P(ξ＝k)的单调性确定P(ξ＝k)的最大值和对应的k的值．
┃┃跟踪练习4__■
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
[解析] (1)X可能的取值为：10,20,100，－200．
根据题意，有P(X＝10)＝C×()1×(1－)2＝，
P(X＝20)＝C×()2×(1－)1＝，
P(X＝100)＝C×()3×(1－)0＝，
P(X＝－200)＝C×()0×(1－)3＝．
所以X的分布列为：
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝．
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P(A1A2A3)＝1－()3＝1－＝．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．
易混易错警示
求独立重复试验的概率
典例5 在未来3天中，某气象台预报每天天气的准确率为0.8，则在未来3天中，
(1)至少有2天预报准确的概率是多少？
(2)至少有一个连续2天预报都准确的概率是多少？
[错解] (1)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，
所以至少2天预报准确的概率为0.64．
(2)0.8×0.8×0.2＋0.8×0.8×0.8＝0.64，
所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为0.64．
[辨析] 错误原因：对“至少有2天预报准确”“至少有一个连续2天”理解有误，对题意分析不够透彻．
防范措施：准确把握“恰有”“至少有”“至多有”等含义，根据题意确定事件发生的次数和事件发生的概率，再结合题中条件求解．
[正解] (1)至少有2天预报准确的概率为恰有2天和恰有3天预报准确的概率，即C×0.82×0.2＋C×0.83＝0.896，
所以至少有2天预报准确的概率为0.896．
(2)至少有一个连续2天预报都准确，即为恰有一个连续2天预报准确或3天预报准确，概率为2×0.82×0.2＋0.83＝0.768.所以至少有一个连续2天预报都准确的概率为
0.768．
[误区警示] 审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析．弄清条件与结论，发掘一切可用信息．
┃┃跟踪练习5__■
(2020·吉林高二质检)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张，每人投三类票中的任何一类的概率都是，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．
(1)求该公司决定对该项目投资的概率；
(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．
[解析] (1)该公司决定对该项目投资的概率为P＝C()2×＋C()3＝．
(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：
“同意”票张数
“中立”票张数
“反对”票张数
事件A
0
0
3
事件B
1
0
2
事件C
1
1
1
事件D
0
1
2
P(A)＝C()3＝，P(B)＝C()3＝，
P(C)＝CC()3＝，P(D)＝C()3＝．
∵A，B，C，D互斥，
∴P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝．
课堂达标·固基础
1．下列随机变量X不服从二项分布的是( B )
A．投掷一枚均匀的骰子5次，X表示点数为6出现的次数
B．某射手射中目标的概率为p，设每次射击是相互独立的，X为从开始射击到击中目标所需要的射击次数
C．实力相等的甲、乙两选手进行了5局乒乓球比赛，X表示甲获胜的次数
D．某星期内，每次下载某网站数据被病毒感染的概率为0.3，X表示下载n次数据电脑被病毒感染的次数
[解析] 选项A，试验出现的结果只有两种：点数为6和点数不为6，且点数为6的概率在每一次试验中都为，每一次试验都是独立的，故随机变量X服从二项分布；选项B，虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种，每一次试验事件相互独立且概率不发生变化，但随机变量的取值不确定，故随机变量X不服从二项分布；选项C，甲、乙的获胜率相等，进行5次比赛，相当于进行了5次独立重复试验，故X服从二项分布；选项D，由二项分布的定义，可知被感染次数X～B(n,0.3)．
2．设在一次试验中事件A出现的概率为p，在n次独立重复试验中事件A出现k次的概率为pk，则( B )
A．p1＋p2＋…＋pn＝1
B．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝1
C．p0＋p1＋p2＋…＋pn＝0
D．p1＋p2＋…＋pn－1＝1
[解析] 由题意可知ξ～B(n，p)，由分布列的性质可知k＝1．
3．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( C )
A．6
B．5
C．4
D．3
[解析] 由1－C(1－)n>0.9得()n<0.1，
∴n≥4．
4．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的概率都为，若随机变量ξ表示同时打开的水龙头的个数，则P(ξ＝3)＝__0.0081__．
[解析] 由题意，知ξ～B(5，)，则P(ξ＝3)＝C()3·(1－)2＝0.0081．
5．一个布袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中每次取一个球，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，试求ξ＝12的概率．
[解析] 记事件A表示“取到红球”，则事件表示“取到白球”，P(A)＝，P()＝，ξ＝12表示事件A在前11次独立重复试验中恰有9次发生且第12次试验也发生，故P(ξ＝12)＝C×()9×()2×＝C×()10×()2≈0.0012．
PAGE2.3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.1 离散型随机变量的均值
自主预习·探新知
情景引入
某书店订购一新版图书，根据以往经验预测，这种新书的销售量为40,100,120本的概率分别为0.2,0.7,0.1，这种书每本的进价为6元，销售价为8元，如果售不出去，以后处理剩余书每本为5元．
为获得最大利润，书店应订购多少本新书？
新知导学
1．离散型随机变量的均值及其性质
(1)离散型随机变量的均值或数学期望：
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
①数学期望E(X)＝__x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn__．
②数学期望的含义：反映了离散型随机变量取值的__平均水平__．
(2)均值的性质：
若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，
①Y也是随机变量；
②E(aX＋b)＝__aE(X)＋b__．
2．两点分布、二项分布的均值
(1)两点分布：若X服从两点分布，则E(X)＝__p__．
(2)二项分布：若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__．
预习自测
1．已知离散型随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( A )
A．
B．2
C．
D．3
[解析] E(X)＝1×＋2×＋3×＝．
2．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是( A )
X
200
300
400
500
P
0.20
0.35
0.30
0.15
A．706元
B．690元
C．754元
D．720元
[解析] 节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则利润Y＝5X＋1.6(500－X)－500×2.5＝3.4X－450，所以E(Y)＝3.4E(X)－450＝3.4×340－450＝706(元)．故期望利润为706元．应选A．
3．小王在某社交网络的朋友圈中，向在线的甲、乙、丙随机发放红包，每次发放1个．
(1)若小王发放5元的红包2个，求甲恰得1个的概率；
(2)若小王发放3个红包，其中5元的2个，10元的1个．记乙所得红包的总钱数为X，求X的分布列和期望．
[解析] (1)设“甲恰得一个红包”为事件A，P(A)＝C××＝．
(2)X的所有可能值为0,5,10,15,20．
P(X＝0)＝3＝，
P(X＝5)＝C××2＝，
P(X＝10)＝2×＋2×＝，
P(X＝15)＝C×2×＝，
P(X＝20)＝3＝．
X的分布列：
X
0
5
10
15
20
P
E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＋20×＝．
4．某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解析] (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，则
P(A)＝＝．
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3．
P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)．
所以，随机变量X的分布列是：
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
求离散型随机变量的均值
典例1 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值．
[思路分析] 先确定好抽取次数X的可能取值，再求出对应的概率，从而得到X的分布列及均值．
[解析] 由题意知X的可能取值为2,3,4,5．
当X＝2时，表示前2次取的都是红球，
∴P(X＝2)＝＝．
当X＝3时，表示前2次中取得1个红球，1个白球或黑球，第3次取红球，∴P(X＝3)＝＝．
当X＝4时，表示前3次中取得1个红球，2个不是红球，第4次取得红球，∴P(X＝4)＝＝．
当X＝5时，表示前4次中取得1个红球，3个不是红球，第5次取得红球，∴P(X＝5)＝＝．
∴X的分布列为
X
2
3
4
5
P
∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝4．
『规律总结』 求离散型随机变量的均值的步骤
(1)根据X的实际意义，写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列．
(4)利用定义求出均值．
┃┃跟踪练习1__■
盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
[解析] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝．
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝1.5．
命题方向?
离散型随机变量的均值的性质
典例2 已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y)．
[解析] (1)＋＋＋m＋＝1，解得m＝．
(2)E(X)＝－2×－1×＋0×＋1×＋2×＝－．
(3)若Y＝2X－3，
E(Y)＝2E(X)－3＝－2×－3＝－．
『规律总结』 若给出的随机变量Y与X的关系为Y＝aX＋b(其中a，b为常数)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(Y)．
┃┃跟踪练习2__■
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－1
0
1
P
m
若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝__2__．
[解析] 由分布列的性质，得＋＋m＝1，即m＝，
所以E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－．
则E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3＝，
即－a＋3＝，得a＝2．
两点分布、二项分布的均值
典例3 某运动员的投篮命中率为p＝0.6．
(1)求投篮一次时命中次数X的均值；
(2)求重复投篮5次时，命中次数Y的均值．
[思路分析] 第(1)问中X只有0,1两个结果，服从两点分布；第(2)问中Y服从二项分布．
[解析] (1)投篮一次，命中次数X的分布列为：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6．
(2)重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3．
『规律总结』 1.若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．
2．若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
┃┃跟踪练习3__■
(2020·石家庄高二检测)集成电路E由3个不同的电子元件组成，现由于元件老化，三个电子元件能正常工作的概率分别降为，，，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若三个电子元件中至少有2个正常工作，则E能正常工作，否则就需要维修，且维修集成电路E所需费用为100元．
(1)求集成电路E需要维修的概率；
(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成，设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用，求X的分布列和期望．
[解析] (1)三个电子元件能正常工作分别记为事件A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
依题意，集成电路E需要维修有两种情形：
①3个元件都不能正常工作，概率为
P1＝P(
)＝P()P()P()＝××＝；
②3个元件中的2个不能正常工作，概率为
P2＝P(A
＋B＋
C)＝P(A)＋P(B)＋P(
C)＝××＋××＋××＝．
所以，集成电路E需要维修的概率为P1＋P2＝＋＝．
(2)设ξ为维修集成电路的个数，则ξ～B，而X＝100ξ，
P(X＝100k)＝P(ξ＝k)＝Ck2－k，k＝0,1,2．
X的分布列为：
X
0
100
200
p
∴E(X)＝0×＋100×＋200×＝
或E(X)＝100E(ξ)＝100×2×＝.
命题方向?
离散型随机变量均值的实际应用
典例4 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2
300元的台式电脑一台，得到奖券4张．每次抽奖互不影响．
(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为ξ，求ξ的分布列；
(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为η(单位：元)，用ξ表示η，并求η的数学期望．
[解析] (1)∵每张奖券是否中奖是相互独立的，
∴ξ～B(4，)．
∴P(ξ＝0)＝C()4＝，
P(ξ＝1)＝C()4＝，
P(ξ＝2)＝C()4＝，
P(ξ＝3)＝C()4＝，
P(ξ＝4)＝C()4＝．
∴ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
P
(2)∵ξ～B(4，)，∴E(ξ)＝4×＝2．
又由题意可知η＝2
300－100ξ，
∴E(η)＝E(2
300－100ξ)＝2
300－100E(ξ)
＝2
300－100×2＝2
100．
即所求变量η的数学期望为2
100元．
『规律总结』 解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望．
┃┃跟踪练习4__■
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
[解析] (1)由于1件产品的利润为ξ，则ξ的所有可能取值为6,2,1，－2，由题意知P(ξ＝6)＝＝0.63，
P(ξ＝2)＝＝0.25，P(ξ＝1)＝＝0.1，
P(ξ＝－2)＝＝0.02．
故ξ的分布列为
ξ
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34(万元)．
(3)设技术革新后三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(ξ)＝6×0.7＋2×(1－0.7－x－0.01)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x．
由E(ξ)≥4.73，得4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．
学科核心素养
几种常用的解题方法
(1)转化法．
将实际问题转化为数学模型，将不熟悉的数学问题转化为熟悉的数学问题，以求得解决途径．
(2)正难则反的解题策略．
当所求问题正面求解过于烦琐时，往往可以使用其对立事件简化过程，一般当问题中出现“至多”“至少”等词语时使用较多．
典例5 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助，令ξ表示该公司的资助总额．
(1)写出ξ的分布列；
(2)求数学期望E(ξ)．
[解析] (1)ξ的所有取值为0,5,10,15,20,25,30
P(ξ＝0)＝，P(ξ＝5)＝，
P(ξ＝10)＝，P(ξ＝15)＝，
P(ξ＝20)＝，P(ξ＝25)＝，
P(ξ＝30)＝．
所以ξ的分布列为：
ξ
0
5
10
15
20
25
30
P
(2)E(ξ)＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＝15．
『规律总结』 破解此类题的关键是认真读懂题意，适当把实际应用问题转化为熟悉的数学模型，如独立事件模型、古典概型模型、二项分布模型、超几何分布模型等，问题的解决就水到渠成．
┃┃跟踪练习5__■
甲、乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是，第3次投中的概率是；乙每次投中的概率都是.甲、乙每次投中与否相互独立．
(1)求乙直到第3次才投中的概率；
(2)在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．
[解析] (1)记事件Ai：乙第i次投中(i＝1,2,3)，则P(Ai)＝(i＝1,2,3)，事件A1，A2，A3相互独立．P(乙直到第3次才投中)＝P(1·2·A3)＝P(1)·P(2)·P(A3)＝(1－)·(1－)·＝．
(2)设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，则η～B(3，)，
∴乙投中次数的数学期望E(η)＝3×＝，
ξ的可能取值是0,1,2,3．
甲前2次投中次数服从二项分布B(2，)，且每次投中与否相互独立．
P(ξ＝0)＝(1－)·(1－)·(1－)＝．
P(ξ＝1)＝C··(1－)·(1－)＋C(1－)2·＝．
P(ξ＝2)＝C·()2·(1－)＋C··(1－)·＝．
P(ξ＝3)＝C·()2·＝．
∴甲投中次数的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．
∴E(η)>E(ξ)，
∴在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙．
易混易错警示
因审题不清而致错
典例6 某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分．为了增加节目的趣味性，初赛采用选手选一题答一题的方法进行．每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答题的正确率为．
(1)求选手甲可进入决赛的概率；
(2)设选手甲在初赛中答题的个数为X，试写出X的分布列，并求X的均值．
[错解] (1)选手甲答3题进入决赛的概率为C×()3×()2＝，
选手甲答4题进入决赛的概率为C×()4×＝．
选手甲答5题进入决赛的概率为C×()5＝．
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝＝．
(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，P(X＝3)＝()3＋()3＝，
P(X＝4)＝C×()3×＋C×()3×＝，
P(X＝5)＝C×()3×()2＋C×()2×()3＝＝．
则答题个数的分布列为：
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝．
[正解] (1)选手甲答3题进入决赛的概率为()3＝，
选手甲答4题进入决赛的概率为C×()2××＝．
选手甲答5题进入决赛的概率为C×()2×()2×＝．
所以选手甲可进入决赛的概率为＋＋＝．
(2)依题意，X的可能取值为3,4,5，
则有P(X＝3)＝()3＋()3＝，
P(X＝4)＝C×()2××＋C×()2××＝，
P(X＝5)＝C×()2×()2×＋C×()2×()2×＝，因此，有
X
3
4
5
P
E(X)＝3×＋4×＋5×＝．
[误区警示] 1.甲答4题进入决赛指的是前3题中答对2题，答错1题，第4题答对．只有前3次答题事件满足独立重复试验，同理答5题进入决赛指的是前4题答对2题，答错2题，第5题答对．只前4次答题事件满足独立重复试验，不是全部满足独立重复试验．
2．甲答4题结束比赛，指答对前3题中的2题，第4题答对进入决赛，或前3题中有2题答错，第4题答错．甲答5题结束比赛，指答对前4题中的2题.
课堂达标·固基础
1．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达台数为X，则E(X)＝( B )
A．0.765
B．1.75
C．1.765
D．0.22
[解析] 由题意知，X取值为0,1,2，
P(X＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，
P(X＝1)＝0.9×(1－0.85)＋(1－0.9)×0.85＝0.22，
P(X＝2)＝0.9×0.85＝0.765，
∴E(X)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75．
2．已知随机变量ξ的分布列为
ξ
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
若E(ξ)＝7.5，则a等于( C )
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析] 由题意得：
得
3．抛掷两颗骰子，若至少有一颗出现4点或5点时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X的数学期望为____．
[解析] 一次试验成功的概率为1－＝，
故X～B(10，)，因此X的数学期望为．
4．随机变量ξ的概率分布列如下表：
ξ
1
2
3
P
？
！
？
尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，则E(ξ)＝__2__．
[解析] 设“？”处的数值为t，则“！”处的数值为1－2t，所以E(ξ)＝t＋2(1－2t)＋3t＝2．
5．交5元钱可以参加一次抽奖，一袋中有同样大小的10个球，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望．
[解析] 设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下：
ξ＝2(抽到2个1元)，ξ＝6(抽到1个1元，1个5元)，ξ＝10(抽到2个5元)，
所以由题意得P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝6)＝＝，P(ξ＝10)＝＝．
所以E(ξ)＝2×＋6×＋10×＝．
又设η为抽奖者获利的可能值，则η＝ξ－5，所以抽奖者获利的数学期望为E(η)＝E(ξ)－5＝－5＝－．
PAGE2.3.2 离散型随机变量的方差
自主预习·探新知
情景引入
A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试问：由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？试想利用什么指标可以比较加工质量？
新知导学
1．随机变量的方差、标准差的定义：
设离散型随机变量的分布列如下表.
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则__(xi－E(X))2__描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__.我们称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的__标准差__．
2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．
3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．
4．方差的性质
若a、b为常数，则D(aX＋b)＝__a2D(X)__．
设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
由Y＝aX＋b(a，b为常数)知Y也是离散型随机变量．Y的分布列为
Y
ax1＋b
ax2＋b
…
axi＋b
…
axn＋b
P
p1
p2
…
pi
…
pn
由数学期望的线性性质得E(Y)＝aE(X)＋b，于是
D(aX＋b)＝D(Y)＝(axi＋b－E(Y))2pi
＝(axi＋b－aE(X)－b)2pi＝(axi－aE(X))2pi
＝__a2(xi－E(X))2pi__＝__a2D(X)__．
5．若X服从两点分布B(1，p)，则D(X)＝__p(1－p)__．
设随机变量X～B(1，p)，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E(X)＝p，于是D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)(p＋1－p)＝p(1－p)．
6．若X～B(n，p)，则D(X)＝__np(1－p)__．
预习自测
1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( B )
环数k
8
9
10
P(ξ＝k)
0.3
0.2
0.5
P(η＝k)
0.2
0.4
0.4
A．甲
B．乙
C．一样
D．无法比较
[解析] E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.562．设随机变量X服从二项分布B，则D(X)的值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] D(X)＝4××(1－)＝．
3．(2020·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C()k()5－k，(k＝0、1、2、3、4、5)，则D(3ξ)＝( A )
A．10
B．30
C．15
D．5
[解析] 由ξ的分布列知ξ～B(5，)，
∴D(ξ)＝5××(1－)＝，
∴D(3ξ)＝9D(ξ)＝10，故选A．
4．已知随机变量X服从二项分布B(n，p)．若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝____．
[解析] 依题意可得E(X)＝np＝30且D(x)＝np(1－p)＝20，解得p＝．
5．(2020·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则D(ξ)的最大值为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵a，b，c成等差数列，
∴由随机变量ξ的分布列，得：
，解得b＝，a＝－d，b＝＋d，
E(ξ)＝－1×(－d)＋0×＋1×(＋d)＝2d，
D(ξ)＝(－1－2d)2×(－d)＋(0－2d)2×＋(1－2d)2×(＋d)＝－4d2．
∴当d＝0时，D(ξ)取最大值为.故选A．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
求离散型随机变量的方差
典例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．
(1)求X的分布列、均值和方差；
(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，试求a，b的值．
[思路分析] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．
(2)运用E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X)，求a，b．
[解析] (1)X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5．
D(X)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75．
(2)由D(Y)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2．
又E(Y)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2；
当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4，∴或.即为所求．
『规律总结』 1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤：
↓
↓
↓
↓
2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．
┃┃跟踪练习1__■
(1)已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(X)＝，则D(X)等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由分布列的性质得x＋y＝0.5，又E(X)＝，所以2x＋3y＝，解得x＝，y＝，所以D(X)＝2×＋2×＋2×＝．
(2)(2020·柳州高二检测)已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
①求X2的分布列；
②计算X的方差；
③若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
[解析] ①由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
②方法一：由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝(－1＋)2×＋(0＋)2×＋(1＋)2×＝．
方法二：由①知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝．
③因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11．
命题方向?
两点分布、二项分布的方差
典例2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是．
(1)求这位司机遇到红灯次数X的均值与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y的均值与方差．
[解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数X服从二项分布，且X～B(6，)，
∴E(X)＝6×＝2，D(X)＝6××(1－)＝．
(2)由已知得Y＝30X，
∴E(Y)＝30E(X)＝60，D(Y)＝900D(X)＝1
200．
『规律总结』 1.如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)＝p(1－p)(p为成功概率)．
2．如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，那么方差D(X)＝np(1－p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．
┃┃跟踪练习2__■
若随机变量X～B(3，p)，D(X)＝，则p＝__或__．
[解析] ∵X～B(3，p)，
∴D(X)＝3p(1－p)，
由3p(1－p)＝，
得p＝或p＝．
命题方向3
方差的实际应用
典例3 (2020·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a，b的值；
(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．
[解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知
a＋0.1＋0.6＝1，
∴a＝0.3．
同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4．
(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，
E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，
D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，
D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3
＝0.6．
由于E(ξ)＞E(η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．
『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点
(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．
(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．
2．求分布列时的关注点
要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质简化概率．
┃┃跟踪练习3__■
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“
”表示服药者，“＋”表示未服药者．
(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；
(2)从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．(只需写出结论)
[解析] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y的值小于60的概率为＝0.3．
(2)由题图可知，A，B，C，D四人中，指标x的值大于1.7的有2人：A和C．
所以ξ的所有可能取值为0,1,2．
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝．
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
故ξ的期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．
(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．
学科核心素养
用公式法求离散型随机变量的方差
若能判断出离散型随机变量服从常见的分布，则常用公式法求离散型随机变量的方差．注意以下三种分布在解题中的应用：①当X服从两点分布，即X～B(1，p)时，D(X)＝p(1－p)；②当X服从二项分布，即X～B(n，p)时，D(X)＝np(1－p)；③当X服从超几何分布，即X～H(N，M，n)时，D(X)＝(1－)．
典例4 (1)若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0(2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)等于__0.196__．
[解析] (1)随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，从而ξ～B(1，p)，故D(ξ)＝p(1－p)＝p－p2＝－(p2－p＋)＋＝－(p－)2＋，
∵0(2)因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196．
┃┃跟踪练习4__■
在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.
甲地
乙地
8
0
3 4 6 8
1
2 4 7 8 8 9
0 2 4 5 6
2
0 0 1 2
规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品．
(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；
(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．
[解析] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为＝．
(2)ξ的所有可能值为1,2,3，
P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
P(ξ＝3)＝＝，所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
P
所以ξ的方差D(ξ)＝×(1－)×＝．
易混易错警示
要准确理解随机变量取值的含义
典例5 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．
[错解] 5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为，故试开次数X～B(5，)，由二项分布均值
与方差的定义知E(X)＝5×＝1，D(X)＝5××(1－)＝．
[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．
其次X＝k的含义是前k－1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．
[正解] 设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5．
X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．
P(X＝1)＝，P(X＝2)＝·＝，
P(X＝3)＝·＝，P(X＝4)＝·＝，P(X＝5)＝·1＝，
故随机变量X的概率分布列为：
X
1
2
3
4
5
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝3．
D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×
＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝2．
[误区警示] (1)弄不清随机变量X取值的含义是本题解题的易错点，X＝k表示前k－1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P(X＝k)＝·．
(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思考，把5把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k个位置的概率为P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4,5)．
课堂达标·固基础
1．已知随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P
设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
∴D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×
＝，
∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝．
2．一批产品中，次品率为，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X，则D(X)的值为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意，次品件数X服从二项分布，即X～B(4，)，故D(X)＝np·(1－p)＝4××＝．
3．已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n，p的值为( B )
A．n＝4，p＝0.6
B．n＝6，p＝0.4
C．n＝8，p＝0.3
D．n＝24，p＝0.1
[解析] 由E(3ξ＋2)＝3E(ξ)＋2，D(3ξ＋2)＝9D(ξ)，设ξ～B(n，p)时，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知
所以
故选B．
4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到的球的编号之和，则X的方差为____．
[解析] X的分布列为
X
1
3
5
P
则E(X)＝1×＋3×＋5×＝．
D(X)＝．
5．在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．
(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．
[解析] (1)设事件A1表示甲选22题，A2表示甲选23题，A3表示甲选24题，B1表示乙选22题，B2表示乙选23题，B3表示乙选24题，
依题意P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1,2,3，则甲、乙两人选做同一题的事件为A1B1＋A2B2＋A3B3，且A1与B1，A2与B2，A3与B3相互独立，
∴P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝(×)×3＝．
(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.且5名考生选做这三题中的任意一题的可能性均为，
∴P(ξ＝k)＝C()k()5－k＝C·，k＝0,1,2,3,4,5，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
5
P
∴E(ξ)＝np＝5×＝．
D(ξ)＝np(1－p)＝5××(1－)＝．
PAGE2.4 正态分布
自主预习·探新知
情景引入
高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．
那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？
新知导学
1．正态曲线及其性质
(1)正态曲线：
函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的性质：
①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值____；
④曲线与x轴之间的面积为__1__；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．
甲 乙
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a，b(adistribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
3．正态总体三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ②P(μ－2σ③P(μ－3σ4．3σ原则
通常服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
预习自测
1．(2020·遂宁模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于( B )
A．0.3
B．0.35
C．0.5
D．0.7
[解析] 由题意可得P(2≤ξ<4)＝＝0.35，
故选B．
2．(2020·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似服从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估计为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68)( D )
A．60%
B．68%
C．76%
D．84%
[解析] ∵X服从正态分布N(100,100)，
∴P(90≤X＜100)＝P(90≤X≤110)
＝×0.68＝0.34，
P(X≥100)＝0.5，
∴P(X≥90)＝0.34＋0.5＝0.84．
故选D．
3．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ<2)＝0.6，则P(0<ξ<1)＝__0.1__．
[解析] ∵随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，
∴曲线关于直线x＝1对称，
∵P(ξ<2)＝0.6，
∴P(0<ξ<1)＝0.6－0.5＝0.1，
故答案为0.1．
4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．
[解析] 由ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10，
又P(90≤ξ≤100)＝0.3，
∴P(ξ>110)＝P(ξ<90)＝
＝＝＝0.2．
∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．
5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2
kg的概率是多少？
[解析] 因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特殊值求解．
由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，
所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.14．
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向?
正态曲线及其性质
典例1 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．
[解析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以＝，
解得σ＝.所以正态分布密度函数的解析式是f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望μ＝20，方差σ2＝()2＝2．
『规律总结』 求正态曲线的两个方法
(1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为．
(2)待定系数法：求出μ，σ即可．
┃┃跟踪练习1__■
(1)(2020·青岛高二检测)青岛市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f(x)＝·e－(x∈R)，则下列命题不正确的是( B )
A．该市这次考试的数学平均成绩为80分
B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D．该市这次考试的数学成绩标准差为10
(2)设随机变量X～N(1,32)，若P(X≤c)＝P(X>c)，则c＝( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] (1)由密度函数知，均值(期望)μ＝80，标准差σ＝10，又曲线关于直线x＝80对称，故分数在100分以上的人数与分数在60分以下的人数相同，所以B是错误的．
(2)因为P(X≤c)＝P(X>c)，所以c＝1，故选B．
命题方向?
利用正态分布求概率
典例2 已知ξ～N(4，σ2)，且P(2<ξ<6)＝0.682
6，则σ＝__2__，P(|ξ－2|<4)＝__0.84__．
[解析] ∵ξ～N(4，σ2)且P(2<ξ<6)＝0.682
6，
∴μ＝4，结合“3σ”原则可知∴σ＝2．
∴P(|ξ－2|<4)＝P(－2<ξ<6)
＝P(－2<ξ<2)＋P(2<ξ<6)
＝[P(－2<ξ<10)－P(2<ξ<6)]＋P(2<ξ<6)
＝P(－2<ξ<10)＋P(2<ξ<6)
＝[P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)]
＝(0.997
4＋0.682
6)＝0.84．
『规律总结』 求在某个区间内取值的概率的方法
(1)利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]、(μ－2σ，μ＋2σ]、(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682
6,0.954
4，0.997
4求解．
(2)充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质求解．
①熟记正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
②P(XP(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．
┃┃跟踪练习2__■
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2<ξ<2)＝( C )
A．0.477
B．0.625
C．0.954
D．0.977
(2)设随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，若P(ξ>c)＝a，则P(ξ>4－c)等于( B )
A．a
B．1－a
C．2a
D．1－2a
[解析] (1)P(－2<ξ<2)＝1－2P(ξ>2)＝1－2×0.023＝0.954．
(2)对称轴x＝2，
∴P(ξ>4－c)＝1－P(ξ>c)＝1－a．
命题方向?
正态分布的应用
典例3 某厂生产的圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)．质检人员从该厂生产的1
000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7
cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
[思路分析] 判断某批产品是否合格，主要运用统计中假设检验的基本思想．欲判定这批零件是否合格，关键是看随机抽查的一件产品的外径尺寸是在(μ－3σ，μ＋3σ)之内还是在(μ－3σ，μ＋3σ)之外．
[解析] 由于圆柱形零件的外径尺寸X～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，X在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)(即(2.5,5.5))之外取值的概率约为0.002
7.而5.7?(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂生产的这批产品是不合格的．
『规律总结』 在解决有关问题时，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．如果服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况．
求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法：
(1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值．
(2)将待求问题向(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化．
(3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果．
┃┃跟踪练习3__■
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态分布(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求：
(1)成绩不及格的人数占多少？
(2)成绩在80～90内的学生占多少？
[解析] (1)设学生的得分情况为随机变量X，X～N(70,102)，则μ＝70，σ＝10．
分数在60～80之间的学生的比为：
P(70－106，
所以不及格的学生的比为
(1－0.682
6)＝0.158
7，
即成绩不及格的学生占15.87%．
(2)成绩在80～90内的学生的比为
[P(70－2×106]
＝(0.954
4－0.682
6)＝0.135
9．
即成绩在80～90间的学生占13.59%．
学科核心素养
假设检验的思想
(1)统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设．
(2)若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则ξ落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率为0.997
4，亦即落在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外的概率为0.002
6，此为小概率事件．如果此事件发生了，就说明ξ不服从正态分布．
(3)对于小概率事件要有一个正确的理解：
小概率事件是指发生的概率小于3%的事件．对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的．不过应注意两点：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性．
典例4 某厂生产的产品，质量要求服从正态分布
N(100,4)，现从产品中抽取了10件，测得质量分别为102,92,104,103,98,96,97,99,101,108，则该生产线是否要停产检修？
[思路分析] 由题意可知产品质量服从正态分布，又由于质量在区间(100－2,100＋2]，即(98,102]内的概率为0.682
6，在区间(96,104]内的概率为0.954
4，在区间(94,106]内的概率为0.997
4，所以据此可以判断结论．
[解析] 由题意知产品质量X服从正态分布N(100,22)，产品质量在区间(100－3×2,100＋3×2]，即(94,106]内的概率为0.997
4，而在这个区间外的概率仅为0.002
6，在抽测的10件产品中有2件(分别是92,108)不在这个区间内，小概率事件竟然发生了，说明生产线有问题，故应停产检修．
『规律总结』 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(μ，σ2)．②确定一次试验中的取值a是否落入区间(μ－3σ，μ＋3σ]内．③作出判断：如果a∈(μ－3σ，μ＋3σ]，则接受统计假设．如果a?(μ－3σ，μ＋3σ]，则拒绝统计假设．
┃┃跟踪练习4__■
假设某省今年高考考生成绩服从正态分布N(500,1002)，某校有考生2
400人，试估计成绩在下列范围内的考生人数．
(1)(400,600]；
(2)(300,700]．
[解析] (1)因为该正态分布中，μ＝500，σ＝100.所以区间(400,600]即为(μ－σ，μ＋σ]，其概率为0.6826，所以成绩在(400,600]范围内的考生人数约为2
400×0.682
6≈1
638(人)．
(2)同理可求成绩在(300,700]内的考生人数约为2
400×0.954
4≈2
291(人)．
易混易错警示
因对正态曲线的对称性认识不够而致错
典例5 已知X～N(μ，σ2)，且P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，则μ＝__－2__．
[辨析] 对正态分布的正态曲线的对称性理解不到位而致误，充分认识P(X[正解] 因为P(X>0)＋P(X≥－4)＝1，
又P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1．
所以P(X>0)＝P(X<－4)．
因此正态曲线的对称轴为x＝－2.所以μ＝－2．
[误区警示] 错解的原因在于对正态曲线的对称性没有充分的认识，无法将所给条件进一步转化，找不清解题的思路．本题的关键在于P(X<－4)＋P(X≥－4)＝1的运用，由此得到解题的突破口．
课堂达标·固基础
1．设随机变量X服从正态分布，且相应的函数φ(x)＝e，则( C )
A．μ＝2，σ＝3
B．μ＝3，σ＝2
C．μ＝2，σ＝
D．μ＝3，σ＝
[解析] 由φ(x)＝e，得μ＝2，σ＝.故选C．
2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( C )
A．(90,110]
B．(95,125]
C．(100,120]
D．(105,115]
[解析] 由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5．
因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682
6,0.954
4,0.997
4．
由于一共有60人参加考试，
∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：
60×0.682
6≈41人，60×0.954
4≈57人，
60×0.997
4≈60人．故选C．
3．如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的__①__、__②__、__③__．
[解析] 在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．
4．在某市组织的一次数学考试中，全体参加考试学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知数学成绩在90分以上的学生有13人．试求参加数学考试的学生共有多少人？
[解析] 设学生的数学成绩为X，共有n人参加数学考试，
∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10．
∴P(X>90)＝[1－P(304)＝0.001
3．
又P(X>90)＝，∴＝0.001
3，∴n＝10
000，
即此次参加数学考试的学生共有10
000人．
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