河北省唐山市司各庄中学2011-2012学年高三数学11月摸底考试

河北省唐山市司各庄中学
2011-2012学年高三数学11月摸底考试
考试范围：第一章到第六章
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1.设全集是实数集，，则如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知向量=，=，若⊥，则||=（ ）
A． B． C． D．
3. 下列命题中是假命题的是
A. , B．,
C．, D．,
4. “a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增”的(　　)
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 二次函数f(x)的图象如图所示，则不等式f(－x)＞0的解集为
A(－1，2) B(－2，1)
C(－2，－1) D(1，2)
6. 若cos(＋x)＝，则sin2x＝
A B － C D －
7．已知a、b为非零实数，且aA．a2 C.< D.>
8. 设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)
A．3 B．1
C．－1 D．－3
9. 在中，角、、所对边的长分别为、、．若，则的值为
A B C D
10. 函数的部分图象如图所示，设为坐标原点，是图象的最高点，是图象与轴的交点，则
A B
C D
11.若，则函数在区间上零点的个数为
A 0个 B 1个 C 2个 D 3个
12.设，在约束条件下，目标函数的最大值小于2，则的取值范围为
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡上.
13.已知幂函数f(x)＝k·xα(k，α∈R)的图象过点(，)，则k＋α＝________.
14. 已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．
15. 设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则＋的最小值是
16. 已知函数（是常数且）．对于下列命题：
①函数的最小值是；②函数在上是单调函数；③若在上恒成立，则的取值范围是；④对任意且，恒有．其中正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知tan＝－3，α∈.
(1)求tanα的值；
(2)求sin的值．
18. 已知命题p： x∈[1,2]，x2－a≥0.命题q： x0∈R，
使得x＋(a－1)x0＋1<0.若“p或q”为真，“p且q”为假，
求实数a的取值范围．
19.已知向量a＝，b＝(2，cos2x)，
其中x∈.
(1)试判断向量a与b能否平行，并说明理由？
(2)求函数f(x)＝a·b的最小值．
20.设三内角所对边分别为
若函数为偶函数，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，其外接圆半径为，
求的周长.
21. 设，
满足，
(1)求函数的单调递增区间；
（2）设三内角所对边分别为
且，求在上的值域．
22. 已知函数f(x)＝x2＋ax－lnx，a∈R；
(1)若函数f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)令g(x)＝f(x)－x2，是否存在实数a，当x∈(0，e](e是自然对数的底数)时，函数g(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
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2011-2012学年高三数学11月摸底考试
参考答案
1.C【解析】由题意可知，。
2.B【解析】∵⊥∴=，得=，∴||=，故选
3.B【解析】
4.C[解析]　a＝1时，f(x)＝lg(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增；若f(x)＝lg(ax＋1)在(0，＋∞)上单调递增，∵y＝lgx是增函数，∴y＝ax＋1在(0，＋∞)上单调递增，
∴，∴a>0，故选C.
5.B【解析】将的图象关于y轴对称即为的图象，因原函数图象过点（-1,0）和（2,0），则过点（1,0）和（-2,0），故不等式f(－x)＞0的解集为（－2，1).
6.B【解析】
7.C[解析]　∵a，b为非零实数，且a0，∵a8.D[解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即0＝20＋b，∴b＝－1，故f(1)＝2＋2－1＝3，∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
9.B【解析】，.
10.B【解析】如图所示，过P点作x轴的垂线于D，则
11.B【解析】 函数在区间递减，在递增，且故函数图象在与x轴只有一个交点，故选B.
12.
13.【答案】
【解析】由幂函数的定义得k＝1，再将点(，)代入得＝()α，从而α＝，故k＋α＝.
14.[答案]　－1
[解析]　f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a<0)．S阴影＝－(－x3＋ax2)dx＝a4＝，∴a＝－1.
15.[答案]8
[解析]　∵A、B、C共线，∴与共线，∴存在实数λ，使(a－1,1)＝λ(－b－1,2)，∴a＋＝，∵a>0，b>0，∴＋＝·(2a＋b)＝≥8，等号在a＝，b＝时成立．
16.【答案】①③④
【解析】如图，①正确；函数在上不是单调函数，②错误；若在上恒成立，则③正确；由图象可知在上对任意且，恒有成立，④正确.
17.解析：(1)由tan＝－3可得＝－3.解得tanα＝2.
(2)由tanα＝2，α∈，可得sinα＝，cosα＝.因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝－，sin＝sin2αcos－cos2αsin＝×＋×＝.
18.[解析]　由条件知，a≤x2对 x∈[1,2]成立，∴a≤1；
∵ x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0成立，
∴不等式x2＋(a－1)x＋1<0有解，∴Δ＝(a－1)2－4>0，∴a>3或a<－1；
∵p或q为真，p且q为假，
∴p与q一真一假．
①p真q假时，－1≤a≤1；
②p假q真时，a>3.
∴实数a的取值范围是a>3或－1≤a≤1.
19.[解析]　(1)若a∥b，则有·cos2x＋·2＝0.
∵x∈，∴cos2x＝－2，这与|cos2x|≤1矛盾，
∴a与b不能平行．
(2)∵f(x)＝a·b＝－＝＝＝2sinx＋，
∵x∈，∴sinx∈(0,1]，∴f(x)＝2sinx＋≥2＝2.
当2sinx＝，即sinx＝时取等号，故函数f(x)的最小值为2.
20.
21.解：(Ⅰ)
由
因此
令得
故函数的单调递增区间
（Ⅱ）由余弦定理知：
即，
又由正弦定理知：
即,所以当时，，
故在上的值域为
22.[解析]　f′(x)＝2x＋a－＝≤0在[1,2]上恒成立
令h(x)＝2x2＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立
∴得，∴a≤－.
(2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x∈(0，e]有最小值3
g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝
①当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减
∴g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝(舍去)
②当0<时，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0
∴g(x)在(0，]上单调递减，在(，e]上单调递增
∴g(x)min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件
③当≥e即0g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3
∴a＝>(舍去)
综上所述，存在a＝e2使得当x∈(0，e]时，g(x)有最小值3.
U
N
M
O
x
y
2
－1
x
B
P
y
O
x
B
P
y
O
D