(共28张PPT)
第2课时正弦和余弦
知识点
弦
角形在正方形网格纸中的位置如图所示,则si
3
2如图,小明妈妈的高跟鞋很
妈妈在走上坡路时一点也不累
原
妈妈上山坡时和走平地一样,脚掌AB正好呈水平
偷偷量过妈妈的鞋跟高h=8cm,AB=16
则妈妈走的那个山坡与水平线夹角的正弦值
A.2
2
如图,P是∠a的边OA
点,且点P的坐标为
3,4),则sina的值为
4.在Rt△ABC中
90°,AB=2若sinC
BC的长度为
知识点二余弦
阜阳临泉县期末)如图,在Rt△ABC
C=3,AC=4,那么c0sA的值等
C
6.如图,在△ABC
B=90°,BC=2AB,则cosA
的值为
2
B
在△ABC中,若AC=2
AB=3,则cosA
3
8.如
C=90°,点
6
BC
Cos
DC
解:设BC=x,则AD=BC
DC
在Rt△ACD中
cOs∠ADC
DC
+0
DC
x-6
3解得
x=15
AD
CD=15-6=9
B
D
知识点三锐角的三角函数
如图,在Rt△ABC
C=90°AB=13,BC
角函数表示正确的是
A
B
2
A
sinA
B
COsA
C.tanA
tanb
2
A
C
10.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O
A
6
c
D=12cm,试求∠DAC的三角函
数值
解:∵四边形ABCD是菱形
AC=16
cm.
BD=12
C
C
B
82+6
C
DO
3
sin∠DAC=
AD
5
404
cOs∠DAC
AD
5
DO
3
tan∠DAC=
AO
4
A
C
O
B
3
在Rt△ABC
C=90
的值是
3
图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=2,CD
8,AC⊥CD若sin∠ACB
13如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=6cm,A
8cm,把AB边翻折,使AB边落在BC边上,点A
点E处,折痕为BD,则cos∠DBE的值为
10
解析:根据折叠可知
则设
E=x,在直角△ABC中利用勾股定理可得BC
△ABC
B
S
C·DE
AB·AC
3x+10x=48,解得x
8
在直角△ABD
ABZ+A
83
∠ABD4B
8103/10
14.如图,在△ABC中,CD⊥AB,垂足为D.若AB
2
CD=6.tanA
求sinB+cosB的值
2
解:∵在Rt△ACD中
CA
32
2
AD
CD=4
4=8(共23张PPT)
2.30°,45°,60°角的三角函数值
第1课时30°,45°,60角的三角函数值
知识点
0°,45°,600角的三角函数值
(2019·天津中考)2sin60°的值等
2.sin230°的相反数
sin45°-c060°的值等
4在△ABC中,如果/C=90°,∠A=45°,那么tanA
cOst
an6
解:原式
22
22
24
2)√2(2c045°
26
解:原式
(62
(3
cose
stan
2sin
4
原式
3
2
2
2
22
2
知识点
特殊三角函数值确定锐角的度数
2019·怀化中考)已知∠a为锐角,且si
A.30
C,6
D,9
7在Rt△ABC中,c0sA
nA的值
A
8在△ABC中,若
COs
则
2
2
C的度数是90
9如图
处爬到B处所走的直线
米
地面高度h=2米,则这个
土坡的坡角为30
Cos
tan60°=0,求锐角a的度数
解:由题意得cosa
0
coS
2
2)已知tanA的值是方程x2-(1
求锐角A的度数
方程
x+3=0的两根为x
1时,∠A=4
当tanA=3时,∠A=60
故锐角A的度数为45°或60
若某三角形三个内角度数之比为1:2:3,则这
角形最小角的正切值为
12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示
AOC=45,OC=2,则点B的坐标为
C解析:过点C作CD⊥x轴于点D.四边形OABC是菱
OC=2,∴BC=OC
又∵∠AOC=45°,∴CD=OC
2
sin45°=2
s4
2
点B的横坐标为OD+BC=1+2,点B的纵坐标为C
即点B的坐标为(2+1,1).故选C
B
O
DA
3.一般地
β为锐角
(a+β)与si
值可以用下面的公式求得:S
cos·S
sinβB例如sn90°=sin(60+3
sing
s6
3
类似地,可
2
222
以求得
的值是6-2
4.数学拓展课程《玩转学具》课堂
陆同学发现
副三角板中,含45角的三角板的斜边与含30°角
的三角板的长直角边相
题:如图,将一副三角板直角顶点重合拼放在
起,点B,C,E
线上,若BC=2,求AF的
请你运用所学的数学知识解决这
B
C
E
的数学知识解决这个问题
解:∵在Rt△ABC中,BC=2(共17张PPT)
3.一般锐角的三角函数值
知识点一用计算器求锐角的三角函数值
科学计算器求sin24°的值,以下按键顺序正确的是
A
sin
2
4
D
sin
2
4
SHIFT
用计算器求下列各式的值(结果精确到0.01)
1)sin1230′≈0.22
COs
(3)tn56°34
知识点
知三角函数值用计算器求锐角的
度数
知tan6=0.3249,则0的度数约为
A.17
B.18
C,19
0
4.若c0sA
锐角A的度数为78.46°;若sin
3706,则锐角A的度数为21.75°(结果精确
到0.0
根据条件求锐角α(精确到1
0.964
43446
2
Coso
29
3)若tana=8671,则a≈83°2
07
知识点
角函数值大小的比较
若θ为锐角,且tan
30°<0<4
4
下列各式一定成立的是
4
tan
48
C.
cos75>CoS15
D.
sin75<
sin
48
8如图,关于a与β的同一种三角函数值,有三个结
an;②sina>sinB;③cosa>cosB.其
中正确的是
C①③
D①②③
设sin48°=a,cos24°=b,tan46
a
C
a
cA解析:∵锐角的正弦值、余弦值都
c中c最大.c0s24°=sin66
COS
或
解析:sin4
60=
sin4
4
coS
2
2
图,在△ABC中,AB=AC
△ABC的三个内角的度数(精确到0
解:如图,过点A作AD⊥BC于点
A
ABC为等腰三角形
B
又∵A
C
C
2
Cos
C
AB
∠ABC≈53.1
∠ACB=∠ABC≈53.1,∠BAC=180—∠ABC
AC
3.8
12.〖注重规律探究】用计算器探究
(1)tan1°·tan89
tan2·tan88
tan
44
and
45°·t:
(2)tan1525·tan743
8921
tan
39
3)依据(1)(2),你所发现的规律是:当a为锐角
tan(90°-a
并用一句话
结出规律:一个锐角的正切值与它的余角的
正切值的乘积为1
(3)依据(1)(2),你所发现的规律是:当a为锐角
(90
并
结出规律
锐角的正切值与它的余角的
切值的乘积为
4)请你用上面的规律计算tan°·tan2。·tan3
tan88°·tan89°的值
解:原式=(ta
tang
tan2°。tan88
tan8
(tan44°·tan46(共26张PPT)
解直角三角形及其应用
第1课时解直角三角形
知识点一解直角三角形
在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=1,AB=2,则
列结论中正确的是
A.∠B=30
B.
BC
A=30
A=4
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,那
cosA的值为
3
23
C
D
3
ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=3,欲求∠A
的值,最适宜的做法是
计算tanA的值求
B计算sinA的值求出
C计算cosA的值求出
先根据sinB求出∠B,再利用9
求出
4.(2019·长春中考)如图,一把梯子靠在垂直水平地
墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的夹
角为α,则梯子顶端到地面的距离BC为(A
3
Cos
A
cos
在△ABC中,∠C
AC=3,则BC
的长为
BC中,∠C=90°,若tanA
根据下列条件,解直角三角形
ABC
C=90°,a
解:在Rt△ABC中,∠C=9
20、22
∠A=4
B=90°-45
20
2)在Rt△ABC
C=90
解:在Rt△ABC
C=90
A=30
∠B=60°,tanA
b·tanA=12
c=2a=83
知识点二构造直角三角形解决问题
(安庆宿松县期末)如图,在△ABC中,AB=AC=13
C=10,点D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则ta
∠BDE的值等
13
A
0
9如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC
23,则AB的长为3+3
10.如图,在△ABC
B=45°,∠BAC
Ac
求BC和AB的长
解:如图,过点A作AD⊥BC,垂足
在
BA
A
C
AD
∠BAC
CAD=∠BAC
BAD=30
在Rt△ACD中,∠CA
ac=8
CDE-AC=4AD
AC=4
3,AB=46
BC=BD+CD=4/3
B
D
C
1.(2019·湘西州中考)如图,在
C中,∠C
90°,AC=12,AB的垂直平分线EF交AC于点D
连接BD若cos∠BDC
则BC的长是(D
7
2√6
B
E
D
2.(2019
华中考)如图,矩形ABCD的对角线交
O.已知AB=m,∠BAC
列结论中
错误的是
DC
C=m·t
C.AO
2
0
D
B
如图,在△ABC
90°,AB=AC,点D为边AC的
中点,DE⊥BC
BD,则tan∠DBC的值为(共13张PPT)
第2课时互余两角的三角函数
知识点互余两角的正弦、余弦值的关系
1.(蚌埠怀远县期末)在Rt△ABC
C=90°,sinA
coSB的值为
3
2已知a、B都是锐角,如果
c0s,那么a和阝
之间满足的关系是
阝=90
90
3.若a是锐角,cOs=,,则sin(90°-a)
4
4.已知∠A是锐角,且sinA=cosA,则
4
且sin(6
cos
解:∵60°-a+30
60
6
3
6
ABC中,∠C=9
余弦和正切值
解
C=90°simA
AB
没BC=3k,则A
k
∴设BC=3k,则AB=5k
∴AC=√AB2-BC2=4k.
AC
4
AC
4
sinB
tan
b=
AB
5
BC
3
直角三角形的两个锐角,则
值为
A.0
C
2
A+B
8.已知∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角,则sin
2
等于
A
C
Cos
C.
tan
Cos
2
9已知a、β为锐角,且sin(90
3
C
0°p
COSO
解:∴sin(90°-a
3
cos(
9
c0s(90-B
Coso
1413
3
0.已知sin2a+cos2a=1,观察下列等式
①sin30
Cos60
sin4
s4
③sin60
CoS
3
2
)根据上述规律,计算sin2a+si
sin
2ts
sin
89
解:原式
n22°+sin288°)+
sin?
4
2(共27张PPT)
第2课时仰角与俯角问题
知识点与仰角、俯角有关的实际问题
1.(2019
中考)如图,从点C观测点D的仰角是
A/
DAB
DCE
CA
ADC
如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地
标C,此时飞行高度AC=120
地平面指挥台B的俯角a=30°,则飞机A与指挥
台B的距离为
1200
2002m
C,12
3.(2019·益阳中考)南洞庭大桥是南益高速公路
重要桥
芳同学在校外实践活动中对此开展
测量活动如图,在桥外一点A测得大桥
与水
面的交汇点C的俯角为a,大桥主架的顶端D的仰
角为B,已知测量点与大桥主架的水平距离AB
a,则此时大桥主架顶端
离水面的高CD为(C)
a
o
T
a
a
cos
a
cosB
a
C.
a
tana+atanβ
tanB
4(2019·枣庄中考)如图,小明为了测量校园里旗杆
AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部
点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为
3°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约
为9.5m(精确到0.1m,参考数据:sin53°≈0
0,cos53≈0.60,tan5
33
如图,AC是操场上直立的一个旗杆,从旗杆上的B
点到地面C涂着红色的油漆,用测角仪测得地面上
的D点到B点的仰角是∠BDC=45°,到A点的仰
角是∠ADC=60°(测角仪的高度忽略
C=3米,那么旗杆的高度AC=33米
6.如图,某校无人机兴趣小组借助无人机测量教学楼的
高度AB,无人机在离教学楼底部B处16米的C处垂
米至D处,测得教学楼顶A处的俯角为
39°,求教学楼的高度AB(结果精确到0.1米,参考数
据:sin39°≈0.63,c0539°≈0.78,tan39°≈0.8
解:如图,过点A作AF⊥CD于点F
EAF
DAE
DA=39
由题意可得CD=31米,BC=16米
AB=CF,AF=BC=16米
B
在Rt△ADF中,∠AFD=9
DAE
A
DF=AF·tan∠DA
6×0.8
2.96
AB=CF=DC一DF=31-1296=18.04≈18.0(米)
答:教学楼的高度AB约为18.0米
7如图,某市在城市建设中,要拆除旧烟囱AB,在烟囱
正西方向的楼CD的顶端C处测得烟囱的顶端A的
角为45°,底端B的俯角为30°,已知D
(1)在图中画出点C望点A的仰角和点C望点B
俯角,并分别标出仰角和俯角的大(共26张PPT)
课时坡度问题及
数中
知识点
坡度、坡角有关的实际问题
合肥蜀山区期末)一斜坡的坡度是1:√3,则此斜
坡的坡角是
B.30
6
2.如图,将
t△ABC形状的楔子从木桩的底端
点P沿水平方向打入木桩底下,使木桩向上运动
知楔子斜面的倾斜角为15°,若楔子沿水平方
前进6cm(如箭头所示),则木桩上升了
6
sinl
6
coSI
c6
tanis
c
P
B
B
B,6cos15°cm
6
tan15°cm
3如图,某公园
原有三级台阶,每级台阶高为
8cm,宽为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜
坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜
C的坡度
则AC的长度是210cm
30cm
B
18dm
解:如图,过点B作BE
B
C
AD于点E,过点C
30
CF⊥AD于点F,则四A
D
边形BEFC是矩形,EF=BC
米
4.如图,水库大坝的横断面为四边形ABCD,其中AD
∥BC,坝顶BC=10米,坝高20米,斜坡AB的
2.5,斜坡CD的坡角为30°,求坝底AD的
长度(结果精确到1米
BE=20米,斜坡AB的坡度
AE
CF=20米,斜坡CD的坡角为3
CF
203≈35(米
tan30
A
AEE
D≈50+10+35=95(米
坝底AD的长度约为95米
9·天水中考)某地的
桥高为6米,坡面BC的坡度为1:1
天桥底部正前方8米处(PB的长),为了方便
推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新
的坡度为
参考数据:2≈1.414,3
2
若新坡面坡角为a,求坡角α度数
解:(1)∵新坡面坡角为,新M
坡面的坡度为1:3
PA
B
D
(2)有关部门规定,文化墙距天桥底部小于3米时
拆除,天桥改造后,该文化墙PM是否需要拆
除?请说明理
2)该文化墙PM不需要拆除理由如
图,作CD⊥AB于点D,则CD=6米
新坡面的坡度为1:3
C
CAD
解得AD
D
A
坡面BC的坡度为1:1,CD=6米,∴BD=6米
AB=A
63-6)(米
坡面BC的坡度为1:1,CD=6米,∴BD=6米
AB=A
63-6)(米
B=8
PB-AB=8-(63-6
3
该文化墙PM不需要拆除
知识点
次函数中k的几何意义
直线y=2x与直线y=3x的向上的方向与x轴
方向所成的角分别为a
已知直线y=kx
点(3,√3
向与x轴正方向所夹的锐角a为30(共26张PPT)
第23章解直角三角形
23.1锐角的三角函数
锐角的三角函数
第
知识点
切
在Rt△ABC中,∠C
C
的正切值为
3√10
3
式题】已知两直角边→已知一直角边和斜边
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB
BC=3,贝
3
5
如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tanA
C的长是
6
C.2
4
3在Rt△ABC中,∠C=90°若三角形各边都同时扩
大为原来的4倍,则tanA的值
A
为原来的2倍
C.缩小为原来
D.不确定
4.在Rt△ABC中,∠C=90°若斜边AB是直角边BC
3
tanB的值
D2√2
如图,点A(3,t)在第一象限,OA与
3
x轴所夹的锐角为g,tana=。,则
2
2
6.如图,在Rt△ABC
∠ACB=90°,AC=8,BC
6,CD⊥AB,垂足为点
BCD的值是
A
B
7如图,在△ABC中,AC=5,AB=8,A
C
D,CD=3,求tanB、tanC的值
解:∵在Rt△ACD中
AC
AD
在Rt△ADB中
AB=8
AD=4
tanB=AD
4
AD
4
CD
A
4
A
4
tanB
anc
C
知识点二坡度(坡比)、坡角
8.如图所示的滑梯中,滑板AB的长度为2√2
梯高度AC为2m,则滑梯滑板的坡度为
A
2
C.√2:2
A
9·广州中考)如图
斜坡AB,坡顶B离
面的高度BC为30m,斜坡
BAO
BAC
则此斜坡的水平距离AC为(A
C.30m
0.小明沿着坡度i为
3的直路向上走了50
小明沿垂直方向升高
除后换成供轮
的斜坡,数据如图所示,则
列关系或说法正确的是
A.斜坡AB的坡度是1
斜坡AB的坡
tanlu
CAC=l.2tan10
m
AC
28
12如图,△ABC的顶点都在正方形网格的格点上
C的值为
2
2
式题】以网格线为直角边构造直角
角形→连接格点构造直角三角形
图,A、B、C
正方形的
每个小正方
形的边长为1,则tan∠BAC的值为
3.如图,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC
线BC平稻
△ABC′,使点B与C重
连接AB,则tan∠A'BC'的值为
3
解析:过A作AD⊥BC,垂足为D.在等腰直角三角
B′C中,则AD是底边
中线,∴A
BC=B'C
ABCB
D
BCB(共29张PPT)
第3课时方向角问题
知识点与方向角有关的实际问题
如图,小雅家(图中点O
路,经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏
的500米处,那么水塔所在的位
路的距离AB是
250米
2503米
东
00√2米
2.(2
长沙中考)如图,一艘轮船从位于灯塔C的
北偏东60°方
离灯塔60
n
mile的小岛A
发,沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔C
向上的B处
A
的距离为
A.30√3
e
6
C120
n
mile
0√3
B60
mile
D.(30+303)nmil
3.(2018·济宁中考)如图,在一笔直的海岸线l上有
相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东
A站测得船C在北偏东60°的
得船C在北偏东30°的方向上,则船
海岸线l的距离是
北
C
西
东
30
南
60°
A
B
4.如图,一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向,距离灯
20海里的A处,它向东航行多少海里到达灯塔
南偏西45°方
B处(参考数据:3
32
结果精确到0.1海里)
解:过点P作PC⊥AB于点C
由题意可知∠APC=60
BC=45°,AP=20海里
在Rt△APC中,
∠APC=60°,
45
60°
A
B
PC=AP·c0s∠APC=20×c0s60°=10(海里),AC
AP·sin∠APC=20×sin6
海
在Rt△PBC中,∠BPC
BC=PC=10海
AC-
BC
0≈7.3(海里
答:它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西4
科技改变生活,手机导航极大方便了人们的出
游玩,到达A地后
航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B
化偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C
明发现古镇C怡好在A地的正北方向,求B、C
地的距离
过点B作BD⊥AC于点D
在Rt△ABD中,∠BAD
义
45
60°,AB=4千米
B
sin∠BA
60°
在Rt△BCD
CBD=4
CD=B
BC=2BD=26千米
答:B、C两地的距离是26千米
6.如图,C地在A地的正东方向,因有大山阻隔,由A
C地需绕行B
知B地位于A地北偏东
67°方向,距离A地520km,C地位于B地南偏东3
方向.若打通穿山隧道,建成两地直达高铁,求A
2
到C地之间高铁线路的长(参考数据:sin6
3
2
tang
保留整数
3