(共9张PPT)
21.4二次函数的应用
第1课时二次函数应用中的面积最值问题
要点归纳
知识要点1二次函数的最值
(1)当自变量x取全体实数时,求二次函数y=ax2+bx+c的最值的方法如下
40
公式法:当x
2时,y有最值
配方法:将一般式y=ax2+bx+c(a≠0)转化为y=a(x+h)2+k(a≠0)的形式,当x
y有最值k
当a>0时,y有最小值;当a<0时,y有最大值
(2)当自变量在某一确定的范围内,若x
属于这一范围,则其最值为
若不属于这
4
范围,则根据这一范围内二次函数的增减性确定其最值情况
知识要点2几何图形的面积最值问题
用平面图形的有关条件和性质建立关于几何图形面积的二次函数表达式,结合实际意义确定
自变量的取值范围,利用二次函数的图象和性质确定最大(小)值
典例导学
圆例”用长为8m的铝合金制
成如图所示形状的矩形窗框,使窗
户的透光面积最大,那么这个窗户
的最大透光面积是
83
m2(铝
金条遮光部分忽略不计
设窗框的高度用x表示出用含x的
为m,最大透窗框的宽代数式求出S的
光面积为m3为8-2x四
表示出S
最大值
2.如图,用10m长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形
养殖场,则养殖场的最大面积为12.5m
当堂检测
1用长度一定的绳子围成一个矩形,如果矩形的
边长x(m)与面积y(m2)满足函数表达式
y=-(x-12)2+1440
积的最大值为144m2
3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC
24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s
的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开
始沿边BC向C以4cm/s的速度移动(不与点C
重合)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经
过3s,四边形APQC的面积最小
PB
C
Q
4.(教材P36例1变式)如图,在一面靠墙的空地上
用长为24m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长
方形花圃,设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2
(1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围
A
B
解:(1)∵AB=xm,
BC=(24-4x)m
S=AB·BC=x
(24-4x)=-4x2+24x(02)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最
大值是多少?
(2)S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36
0当x=3时,S有最大值,最大值为36(共9张PPT)
21.5反比例函数
第1课时反比例函数
要点归纳
知识要点反比例函数
k
般地,表达式形如y
①
(k为常数,k≠0)
常见
概念
(k为常数,且k≠0)的函形式②y=kx-1(k为常数,k≠0)
反比例函数
数叫作反比例函数
k(k为常数,k≠0)
方法
确定表达式
待定系数法→只需一对x,y的值
抽象出反比例关系列式
根据实际问题列式
自变量的取值范围表达式有意义
实际问题有意义
典例导学
國例若y=(k2+k)x22k1是反比例函
数,则(k-3)2018的值为1
分析
反比例函「k-2k-1
数的定义飞k2+k≠0
求出的值户将k值代入
(k-3)求值
方法点拔:解决此类问题时,通常利用x的
次数为-1和x的系数不为0分别列出方程和
不等式求解
当堂检测
下面的函数是反比例函数的是
D
A.y=3x+1
By=xt2x
2
D.y”x
2.已知y是x的反比例函数,当x=2时,y=3
则该函数的表达式是
Ay=6x
By
6x
6
C.y”x
D.y”x
3.已知函数y
是反比例函数,则
4.某商场出售一批进价为2元的贺卡,在市场营
销中发现此贺卡的日销售单价x(元)与日销售
量y(个)之间有如下关系
日销售单价x(元)
3456
日销售量y(个)
20151210
60
则y与x之间的函数表达式为y=
5.(教材P48习题21.5T1变式)已知一个长方体
水箱的体积为10000立方厘米,它的长是y厘
米(y>25),宽是25厘米,高是x厘米
(1)写出用高表示长的函数表达式
(2)当x=10时,求长方体水箱的长
10000400
解:(1)y
25x
(0400
2)当x=10时,y10
40
答:当x=10时,长方体水箱的长是40厘米
6已知y与x-1成反比例,当x=2时,y=4
1)用含有x的代数式表示y
k
解:(1)根据题意可设y=x=1(k≠0)
因为当x=2时,y=4,
k
所以4
解得k=4.
所以y
(2)当x=3时,求y的值
(2)当x=3时,y-3-1(共11张PPT)
第3课时二次函数应用中的其他问题
要点归纳国
知识要点1利用二次函数的性质解决实际中的最值问题,一般方法是
(1)列出二次函数的表达式,根据实际意义确定自变量的取值范围
(2)在自变量取值范围内,运用公式法或配方法求出二次函数的最值
知识要点2对函数关系不明确的两个变量,通常取几组对应数据转化为坐标,在坐标系中描出
这些点并观察点的整体分布,来确定函数类型,再用待定系数法求相应的函数表达式
典例导学
例行驶中的汽车,在刹车后由于惯性
还要继续向前滑行一段距离才能停止,这段距
离称为“刹车距离”.为了测定某种型号汽车的
刹车性能(车速不超过140km/h),对这种汽车
进行测试,测得数据如下表:
刹车时速度(kmyh)0102030405060
刹车距离(m)00.31.02.1365578
1)以刹车时车速为横坐标,刹车距离为
纵坐标,在平面直角坐标系内描出这些数据所
表示的点,并用平滑的曲线连接这些点,得到
函数的大致图象;
8765432
O102030405060x(km/h)
解:(1)设刹车时车速
为xkm/h,刹车距离为ym,
建立平面直角坐标系,描点,
连线,如图所示
2)观察图象,估计函数的类型,并确定
个满足这些数据的函数表达式;
8
765432
O102030405060x(km/h
(2)依据图象估计这些
数据满足二次函数关系,设
二次函数的表达式为y=
ax2+bx+c(a≠0),将表中前
三组数据代入,得
0.002
100a+10b+c=0.3,解得b=0.01
400a+20b+c=1.0
C
y=0.002x2+0.01x
经检验,表中其他各组数据也符合此函数表
达式
∴y关于x的函数表达式为y=0.002x2+
0.01x(0≤x≤140)
(3)该型号汽车在国道上发生了一起交通
事故,现场测得刹车距离为46.5m,请推测刹
车时速度是多少在事故发生时,汽车是超速行
驶还是正常行驶?
3)当y=46.5时,0.002x2+0.01x=46.5
解得x1=150,x2=-155(不符合题意,舍去)
∴刹车时的速度是150km/h
150km/h>140km/h,
∴事故发生时汽车是超速行驶的
当堂检测凵
随着地铁和共享单车的发展,“地铁十单车”已成
为很多市民出行的选择李华从文化宫站出发,先
乘坐地铁,准备在离家较近的A,B,C,D,E中的
某一站出地铁,再骑共享单车回家设他出地铁的
站点与文化宫距离为x(单位:千米),乘坐地铁的
时间y1(单位:分钟)是关于x的一次函数,其关
系如下表(共8张PPT)
第2课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
要点归纳
知识要点1二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
y=a(rth)
a>0
开口方向
顶点坐标
对
称轴
直线x=-h
直线x=一h
增减性
h时,y随x的增大而减小
当x<亠h时,y随x的增大而增大
当x>-h时,y随x的增大而
当x>亠h时,y随x的增大而
值
x
y最小
y最大
草图
比较函数值大小的方法:①代入求值法:已知函数表达式,直接代入求值再比较
解题策略
②性质法:当所给点在抛物线的对称轴的同侧,直接用增减性比较;③图象法:当所
给点不在抛物线的对称轴的同侧,可画出草图,在函数图象上描出各点,再根据各
点位置的高低比较大小(如T6)
知识要点2抛物线的平移
函数y=a(x+h)2的图象可由函数y=ax2的图象左右平移得到,规律如下
当h>0时,向左平移|h个单位
y=ax当h<0时,向右平移h个单位=a(x+h)2
口诀:左加右减
奥例导学
圆例已知二次函数y=-2(x+b)2,当x<
3时,y随x的增大而增大,当x>-3时,y随x
的增大而减小,则当x=1时,y的值为(D)
A.-12
B.12
C.32
D,-32
分析
二次函数
的(x+bA对称轴为人求出把x=1代入
今二次函数表
增减性
直线x=-3)b值」达式求出y值
方法点拨:抛物线在对称轴两侧的增减性
是相反的
当堂检测
1.抛物线y
(x+3)2的开口向下,顶
3
点坐标是(-3,0),对称轴是直线x=-3
2已知二次函数y=-(x-1)2,当x
时,y的值随x的增大而增大;当x
时,y的值随x的增大而减小
3.将抛物线y=x2向左平移1个单位,就得到抛物
线y=(x+1)2;将抛物线y=-x2向右平移
2个单位,就得到抛物线
(x-2)
对于抛物线y=-(x-1)2,有下列说法:①顶
点坐标为(1,0);②对称轴为直线x=0;③图象
有最低点;④当κ>1时,y随x的增大而增大
⑤当x=1时,y取最大值0其中正确的是①
③④(填序号)
5已知二次函数y=(x-3)2图象上的两点
A(3,a)和B(x,b)(x≠3)则a和b的大小关
系是a
b(填“>”<”或“=”)
6已知点(-1,y1),(0,y2),(4,y3)在函数y
(x-1)2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系
是y(共8张PPT)
第21章/二次函数与反比例函数
21.1二次函数
■要点归纳
知识要点二次函数的有关概念
概念
运用策略
般地,表达式形如y=ax2+bx+c满足二次函数的条件:①函数表达式是整
二次函数(a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫作x式;②化简后自变量的最高次数是2;③二
的二次函数,其中x是自变量
次项系数不为0
刻画实际问题分析题意→找出自变量与因变量间的等量关系列二次函数表达式
中的二次函数二次函数自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的
取值范围应使实际问题有意义
典例导学
國例1当m
2时,y=(m-2)xm2-2
是二次函数
分析
二次函数的定义/m2-2=2,
求出m的值
m-2≠0
例2(教材P4习题21,1
巧变式)如图,一块矩形草坪
rm
的长为10m,宽为8m,若要在
草坪中修筑两条互相垂直且
宽为xm的小路,这时草坪面
10m
积为ym2,则y关于x的函数表达式是x2-18x+
80,自变量x的取值范围是0x<8
分析
转化
将四块草坪拼成一个大
不规则图形规则图形→矩形草坪,长为(10-x)m
宽为(8-x)m
方法点拨:根据实际问题列二次函数表达
式的一般步骤:(1)审清题意;(2)找等量关系
(3)列二次涵数表达式:把等量关系用含字母的
代数式替换,并将表达式写成用自变量表示函
数的形式注意自变量的取值范围要使实际问题
有意义
当堂检测凵
1.下列函数表达式是二次函数的是①②(填
序号)①y=2-3x2;②y=(x-6)(6+x)
③y=(x-2)2-x2;④y=2+x
2如图,设长方体底面是边长为xcm的正方形,
高为20cm
(1)这个长方体的表面0积
S=(2x2+80x)cm2,S
20
cm
是x的二次函数
x
cm
(2)这个长方体的体积V=20x2cm3,V是
x的二次函数
3若关于x的函数y=(m+1)xm++4x-5
二次函数,则m=1
根据题意列出函数表达式,并写出自变量的取
值范围
(1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形
的面积为Sm2,一边长为xm;
(2)某动物园门票是每张80元,据统计每天进
园人数为200人,经市场调查发现,若门票每
降低1元出售,则每天进园人数就增多6人
设门票降价x元时(x<80),该公园每天的
票收入为y元
解:(1)S=-x2+30x(0(2)y=-6x2+280x+16000(0≤x<80(共6张PPT)
21.3二次函数与一元二次方程
第1课时二次函数与一元二次方程
要点归纳
知识要点1二次函数与一元二次方程之间的关系
判别式
元二次方程
二次函数
ax2+bx
+c=o
y=ax2+bx+c
b2-4ac>0
有两个不相等其图象与x轴有
的实数根
两个交点
b2-4c=0/有两个相等其图象与x轴有
的实数根且只有
个交点
其图象与x轴
b2一4ac<0没有实数根没有交点
知识要点2用二次函数的图象求一元二次方程
的近似解
直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象
则图象与κ轴的交点的横坐标就是一元二次方
程ax2+bx+c=0的根
当堂检测
二次函数y=x2+ax+b的图象如图所示,则
关于x的方程x2+ax+b=0的解是(D)
A.无解
Bx
C.x=4
Dx
1或x=4
2-1O12345x
5
2若二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图
所示,则关于x的方程ax2+bx+c=0的另
个解为
B
xx
2
Bx
D,x=1
x=1
3抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点个数是
2个
4.小颖用几何画板软件探索方
程ax2+bx+c=0的实数根,
作出了如图所示的图象,观察
得一个近似根为x1≈-4.5,
则方程的另一个近似根为
x2≈2.5(精确到O.1)(共8张PPT)
第4课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
要点归纳
知识要点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
=ax+b
a>0
开
口方向
顶点坐标
b
对称轴
直线x
当x<-2时,随x的增大而减小;当x<
增减性
2a时,y随x的增大而增大;
时,y随x的增大而增大.当x>-2时,随x的增大而减小
dac-b
Hac-b2
最值
①a决定开口方向、大小
b
②对称轴为直线x=
当a,b同号时,对称轴在y轴左侧;当a
与系数相关b异号时,对称轴在y轴右侧
的解题策略
③当c>0时,抛物线交y轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y轴于
轴;当c=0时,抛物线过原点
④当x=1时,y的值为a+b+c;当x=-1时,y的值为a-b+c对于与系
数相关的代数式的符号判定,请注意观察是否可以取x的某个值,然后根据图象判
定代数式值的正负(如T4)
当堂检测
1.抛物线y=x2+2x-3的开口方向、顶点坐标
分别是
A
A.开口向上,顶点坐标为(-1,-4
B开囗向下,顶点坐标为(1,4)
C.开口向上,顶点坐标为(1,4)
D开口向下,顶点坐标为(-1,-4)
2如果抛物线y=(a+2)x2+3x-a的开口向
下,那么a的取值范围是a
2
3.已知函数y=-x2-2x,当x<-1时,函数
值y随x的增大而增大
4如图为二次函数y=ax2+bx+
c(a≠0)的图象.下列说法
①a>0;②2a+b=0;③a
b+c>0;④4a-2b+c>0.其
中正确的是②③(填序号)
5抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0
经过点(-1,0)和(3,0),当x<-1时,y随着x的
增大而减小.下列给出四个结论:①该抛物线的对
称轴是直线x=1;②b>0;③a+b<0;④若点A
(-2,y1),点B(2,y2)都在抛物线上,则y1其中结论正确的是①②③(填序号)
6已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点
A(3,-4)
1)求a的值
解:(1)∵二次函数y=ax2+4x+2的图象经
过点A(3,-4),
9a+12+2=-4.∴.a
(2)求二次函数的图象的顶点坐标
(3)直接写出函数y随x增大而减小的自变量
x的取值范围
(2)由(1)可得y=-2x2+4x+2=-2(x
1)2+4,∴顶点坐标为(1,4)
(3)当x>1时,函数y随自变量x的增大
而减小(共11张PPT)
21.2
次函数的图象和性质
1.二次函数y=ax2的图象和性质
要点归纳
知识要点二次函数y=ax2的图象和性质
y=ax2(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
向下
顶点坐标
(0,0)(有最低点
(0,0)(有最
点
对称轴
y轴(直线x=0)
y轴(直线x=0)
当x<0时,y随x的增大而减小
当x<0时,y随x的增大而增大
增减性
当x>0时,y随x的增大而增大
当x>0时,y随x的增大而减小
最值
当x=0时,y
当x=0时,y最大
典例导学
圆1已知a<-1,点(a-1,y1),(a,y2)
(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,
y3的大小关系是y1>y2>y3
分析
a<-1→a-1判断yy2y的大小
y=x2中当x<0时y的增减性
方法点拨:此类题除了利用分析中的性质
法来解题,还可利用图象法先确定抛物线的对
称轴及开口方向,再根据点与对称轴的远近判
断函数值的大小
例2(教材P10练习T2变式)如图,四个
次函数图象分别对应:①y=ax2;②y=bx2;③y
cx2;:④y=dx2,则a,b,C,d的大小关系为(A)
Aabcd
Babdc
Cbacd
Dbadc
分析
开口方向成a>0,b>0.c<0,d<0
→判断a,b,c,的大小
开口大小邮lal>1bl>|cl
方法点拔:抛物线y=ax2的开口方向由a确
定,开口大小由a确定.a|越大,抛物线的开囗越
小;a越小,抛物线的开口越大
当堂检测
二次函数y=4x2的图象的顶点坐标是(C
A.(1,0)
B.(-1,0)
C.(0,0
D.(0,-1
2抛物线y=-8x2不具有的性质是
D
A.开囗向下
B.对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而减
D函数有最小值
3=次函数y=-3x2和y=3x的图象形状
相同,开口方向相反
4.二次函数y=(k+1)x2的图象
如图所示,则k的取值范围是
k>-1,当x<0时,y随x
的增大而减小
5若原点是抛物线y=(2m-1)x2的最低点,则
m的取值范围是m>
2
6已知A(x1,y1),B(x2,y2)两点在二次函数y
3x2的图象上,若x1(填
或
7已知y=(m+1)xm2+m是关于x的二次函数,
且当x>0时,y随x的增大而增大
(1)求m的值(共6张PPT)
第2课时二次函数与一元二次不等式
要点归纳凵
知识要点1二次函数的图象与一元二次不等式
的解集的关系
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方(填
“上方”或“下方”)的部分,点的纵坐标都为正,所
对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0
的解集;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方
(填“上方”或“下方”)的部分,点的纵坐标都为负,
所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c<0
知识要点2利用二次函数和一次函数的图象得
到一元二次不等式的解集
不等式ax2+bx十c>mx十n的解集是二次
函数y=ax2+bx+c的图象在直线y=mx+n
上方(填“上方”或“下方”)的点的横坐标所
组成的集合;不等式ax2+bx+c是二次函数y=ax2+bx+c的图象在直线y=mx
十n下方(填“上方”或“下方”)的点的横坐标
所组成的集合
当堂检测
1.抛物线y=ax2+bx+c(a<0)如图所示,则关于x
的不等式ax2+bx+c>0的解集是
A.x<2
B.x>-3
C.-3D.x<-3或x>1
2
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所
示,则函数值y>0时,x的取值范围是(D
Ax<
B.x>3
C.-1D.x<-1或x>3
3一次函数y1=kx+m和y
4
二次函数y2=ax2+bx+
y=kx+m
c的大致图象如图所示,
请根据图中信息回答
问题
(1)不等式ax2+bx+c<
0的解集是2x<6,kx+m>ax2+bx+
c的解集是1~x<8
(2)当x=1或8时,y1=y2(共8张PPT)
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质
要点归纳
知识要点1二次函数y=ax2+k的图象和性质
ax2+k(a≠0
a<0
开口方向
向上
k>0
向下
k>0(0.k)
顶点坐标
(0,k)
(0,k)
(0,k)
对称轴
y轴(直线x=0)
k<0
y轴(直线x=0)
k<0
增减性
当x<0时,y随x的增大而减小
当x<0时,y随x的增大而增大
当x>0时,y随x的增大而增大
当x>0时,y随x的增大而减小
最值
当x=0时,y最
k
当x=0时,y最大
k
知识要点2函数y=ax2与y=ax2+k的图象的位置关系
当k>0时,向上平移|k|个单位
y-ar
y-a.
x+k
口诀:上加下减
当k<0时,向下平移|k|个单位
当堂检测
1.抛物线y=2x2+1的顶点坐标是
B
B.(0,1)
C.(1,0)
(1,2
2将二次函数y=x2的图象向下平移1个单位,
则平移后的图象对应的函数表达式为(A)
A
B.y=x2+1
D.y=(x+1)
3.关于抛物线y=2x2+3,下列说法中正确的是
B)
A.它的开口方向是向下
B.当x<-1时,y随x的增大而减小
C.它的顶点坐标是(2,3)
D当x=0时,y有最大值是3
4设A(-1,y1),B(-2,y2)是抛物线y=-x2+
m上的两点,则y1,y2的大小关系是(D
A.y1≤y2
B
y1≥y2
y
5已知点(1,2)在抛物线y=ax2+1上,则下列
各点也在此抛物线上的是
D
A.(2,1)
B.(-2,1)
C.(1,-2)
D.(-1,2)
6抛物线y=-2x2+3的开口方向向下
对称轴是y轴,顶点坐标是(0,3),当
x<0时,y随x的增大而增大,当x>0时,
y随x的增大而减小
7.(1)抛物线y=ax2+a+3的顶点在x轴的上
方,则a的取值范围是a>-3
(2)二次函数y=ax2+5-a的最小值是-3,
8
(3)已知二次函数y
x2+2,当1≤x≤5
5
时,y的最大值是
8如图,一个二次函数的图象的顶点坐标为(0,4),
且经过点A(2,-1)
1)求这个二次涵数的表达式
y432
2A
(2
1)
解:(1)由图象可设二次函数
的表达式为y=ax2+4
这个二次函数的图象
经过点A(2,-1)
1=4a+4.(共7张PPT)
第3课时
二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
要点归纳
知识要点1二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质
(x+h)2+k
0
(a≠0)
开口方向
顶点坐标
(-h,k)
(-h,k)
对称轴
直线x
h
直线
时,y随x的增大而减小
当x<一h时,y随x的增大而增大
增减性
当x>一h时,y随x的增大而增大
当x>一h时,y随x的增大而减小
最值
h时,y最
当
h时,y最大
若k>0,h<0
若k<0,h<0
草图
向上(k>0)或向下(k<0)平移个单位
y=ar
y=ar'+k
世
y=a(x+h2向上(k>0或向下k<0平移k个单位
y=a(x+h)+k
知识要点2抛物线的平移
/当堂检测
二次函数y=-(x-2)2-3的图象的顶点坐
标是
B)
A.(2,3)
B.(2,-3)
C.(-2,3)
D.(-2,一3)
2将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位,
再向上平移2个单位后,所得图象对应的函数
表达式是y=(x-1)2+2
3已知二次函数y=2(x
2)3,当x
时,y随κ的增大而增大(填“>”“<”或
4.已知A(4,y1)B(-4,y2)是二次函数y
(x+3)2-2的图象上两点,则y1
填
或
5若抛物线y=(x+h)2+k向左平移2个单位,
再向下平移3个单位得到y=x2+1,则h
2,k
6.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2)
(1)该抛物线的顶点坐标是(3,2)
(2)求a的值;
解:(2)∵抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1,-2),
2=a(1-3)2+2解得a=-1
(3)若点A(m,y1)、B(n,y2)(m该抛物线上,试比较y1与y2的大小
(3)∵y=a(x-3)2+2,a=-1
该抛物线在x<3时,y随x的增大而
增大
点A(m,y1)、B(n,y2)(m该抛物线上
yIyi(共36张PPT)
本章小结与复习
般形式:①y=ax+bx+c(a≠0)
图象的形状是一条②抛物线_:
开口方向:a>0,开口向上,a<0,开口向下
b
4a
次函数
4a
对称轴:直线
2
图象和性质最值当a>0时函数有最⑤
值;当a<0时,函数有最⑥大值
增减性:当a>0时在对称轴的左侧,随的增大而⑦减小在对称轴的
侧,y随的增大而⑧增大一;当a大在对称轴的右侧,y随x的增大而⑩_减
次函数
的表达工
般式:①y=ax+bx+C:顶点式:2y=a(x+h)+k;交点式:①3)y=a(x-x1)(x-x
当b2-4ac4>0时,抛物线与x轴有两个不同的交
抛物线
次方程的关系
-4ac5
0时抛物线与x轴有一个交点
当b2-4ac16<0时抛物线与x轴没有交点
次函数的应用面积、利润最值问题,实物型抛物线问题运动中的抛物线问题
表达式:y=①7
kx(k≠0)
图象:8双曲线当k>0时,位于第⑩9
象限
反比例
k<0
象限
反比例函数的
图象和性质
增减性:当k>0时,在每个象限内,函数y随x的增大
减小
数
性质当k<0时,在每个象限内函数y随x的增大而②增大
对称性两分支关于直线y=x成轴对称
反比例函数的应用确定实际问题中的反比例函数关系,与其他知识的综合
点
次函数的图象与性质
抛物线
2x2+3的顶点在
轴
C.第一象限
第四象限
2.(2019-2020·淮南大通区联考)要将抛物线
x2+2x-2平移后得到抛物线y=x2,下列平移方
A.向左平移1个单位,再向上平移3个单位
向右平移1个单位
平移3个单位
C.向左平移1个单位,再
移3个单位
平移1
位,再向下平移3个单位
3.(2019·遂宁中考
y
ax+b的图
象如图所示,对称轴为直线x=2,下列结论不正确
A.a=4
时,顶点的坐标为(2,-8)
当x>3时,y随x的增大而增大
已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x
变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2
时,y的最大值为9,则a的值为
A.1或一2
某二次函数的图象如图所示,则其表达式为
x2+2x+3(共11张PPT)
第2课时实物型抛物线及运动中的抛物线问题
要点归纳
知识要点实物型抛物线和运动中的抛物线问题
常见情形
解题策略
(1)建立适当的平面直角坐标系,将抛物线形
实物型抛物线拱形桥洞、涵洞、隧道洞口、拱形门状的图形放到平面直角坐标系中
窗等
(2)从已知和图象中获得求抛物线对应的函
数表达式所需要的条件
(3)利用待定系数法求出抛物线对应的函数
运动中的抛物运动员空中跳跃轨迹、球类飞行的表达式
线问题
轨迹、喷头喷出的水的轨迹等
(4)运用已求出的抛物线对应的函数表达式
去解决相关问题
奥例导学
囫例某桥洞呈抛物线形,它
的截面在平面直角坐标系中如图
所示,现测得水面宽AB=16m,桥
洞顶点O到水面的距离为16m,当
水面上升7m时,水面宽CD为A
B
12m,
分析
根据图象设抛物线求出抛物线
求出
对应的函数表达式对应的函数
C
为
y=ax
心表达式
的横
→坐标求出
项点O到坐标为水面上的纵抛物/公CD
AB=16m点B的
点C
水面的距(8,-16)升7m坐标线的的长
离为16m
为-9对称
性
方法点拨:先根据题目条件求出抛物线对
应的函数表达式,再根据点与抛物线的位置关
系求解
当堂检测凵
1.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行
时间t(秒)满足下列函数表达式:h=-3(t-2)2
5,则小球距离地面的最大高度
A.2米
B.3米C.5米
D.6米
2.如图是一个抛物线形拱
桥,量得两个数据,则
12m
B
般以C(填“A
B”或“C”)为原点建立直角坐标系,并可求得其
3
解析式为y
100
3如图,小明在校运动会上掷铅球时,铅球的运动
路线是抛物线y=(x+1)(x-7)的一部分
铅球落在A点处,则OA
7米
a
x
4.如图,某运动员在10m跳台跳水比赛时估测身
体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线
25
件Q°x2+3x(图中标出的数据为已知条
动员在空中运动的最大高度离水面为
32
3
5.某市人民广场上要建一个圆形的喷水池,并在
水池中央垂直安装一个柱子OP,柱子顶端P
处装上喷头,由P处向外喷出的水流(在各个
方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所
).若已知OP=3米,喷出的水流的最高点A
距水平面的高度是4米,离柱子OP的距离为
1米
1)求这条抛物线对应的函数表达式
A
O水平面x(共12张PPT)
21.6综合与实践获取最大利润
要点归纳国
知识要点商品利润最大问题
最大利润问题是以二次函数为依托,以生产、生活为背景,考查建立数学模型的能力此类问题
般是先运用“总利润=总售价一总成本”或“总利润=每件商品的利润Ⅹ销售数量”建立利润与价格之
间的函数表达式,求出这个函数表达式的最大值,即可求出最大利润.若自变量限制取值范围时,注意
在取值范围内确定函数值的最值
典例导学
例一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车
100辆公司在运营中发现每辆车的月租金x(元
与每月租出的车辆数y(辆)有如下关系
3000
3200
3500
4000
y
100
96
90
80
1)观察表格,用所学过的一次函数、反比例
函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车
辆数y(辆)与每辆车的月租金x(元)之间的函数
表达式(不必指出x的取值范围)
解:(1)由表格数据可知y与x是一次函数
关系,设其表达式为y=kx+b,
3200+b=96,解得k=-1
3000k+b=100
50
b=160
y与x之间的函数表达式是y
160
2)已知租出的和未租出的车每辆每月分别
需要维护费150元和50元.用含x(x≥3000)的
代数式填表
租出的车租出的每辆车未租出的车所有未租出的车辆
辆数(辆)的月收益(元)辆数(辆)每月的维护费(元)
x+160x-150
x-60
x-3000
50
3)若你是该公司的经理,你会将每辆车的
月租金定为多少元,使公司获得的月收益最大?
公司的最大月收益是多少元?
(3)设租赁公司获得的月收益为W元
依题意可得W
50
x+160)(x-150)
(x-3000)
x2+163x-24000
50
3000)
502+162x
21000
S07
4050)2+307050(x≥3000
∴当x=4050时,W取最大值,最大值
为307050
即当每辆车的月租金定为4050元时,才能
使公司获得的月收益最大,公司的最大月收益是
307050元
当堂检测
1出售某种文具盒,若每个获利x元,一天可售
出(6-x)个,则当x
3时,一天出售该
种文具盒的总利润y最大
2.某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/
件的文化衫,前期了解并整理了销售这种文化
衫的相关信息如下:①月销量y(件)与售价
x(元)的关系满足y=-2x+400;②销售价x
的取值范围是70≤x≤150.不考虑其他成本,则
销售这种文化衫的月利润最小为2600元,最
大为9800元(共10张PPT)
第3课时反比例函数的应用
要点归纳
知识要点1反比例函数与实际问题
利用反比例函数解决实际问题一般有两个步骤:(1)审题,建立反比例函数表达式,注意自变量的
取值范围;(2)根据已知条件,由一个变量求出另一个变量,也就是解方程的过程
知识要点2反比例函数与其他学科知识的综合
几个重要的公式:(1)一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式p
S:(2)闭合电路中,电流I、电压U、电阻R之间的关系式I
R
典例导学
例1面积为2的直角三角形一直角边长为
x,另一直角边长为y,则y与x的变化规律可用
图象大致表示为
A
B
分析
直角三角形部
的面积公式2xy=2→用x表示y
观察各选项
x的取值范围得出结论
例2做拉面的过程(m
中,渗透着反比例函数的
知识.一定体积的面团做40
P(4,32
成拉面,面条的总长度
y(m)是面条的粗细(横截
2345S(mm
面积)S(mm2)的反比例函数,其图象如图所示
128
1)y与S之间的函数表达式为y(S0);
(设函数表达式为y=k把P(432代入表
S达式求出k的值
2)当面条的横截面积为1.6mm2时,面条
的总长度是80m
(3)要使面条的横截面积不多于1.28mm2,
面条的总长度至少(填“至多”或“至少”)是
100m
(2)将S=1.6代入y
求出对应的y值
k
(3)将S=1.28代入y=S心得出y的取值范围
结合图象的增减性
/当堂检测
已知矩形的面积为10,长和宽分别为x和y,则
y关于x的函数图象大致是
A
B
2.在对物体做功一定的情况下,力F(N)与物体
在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数
关系点P(15,2)在函数图象上,当力达到20N
时,物体在力的方向上移动的距离是15
对于一定质量的二氧化碳,它的密度p(kg/m3)
是体积v(m)的反比例函数,当V=5m3时,p
1.98kg/m;则当V=10m时,=0.99kg/m
4某人对地面的压强p(N/m2)与他和地面接触
面积S(m2)的函数关系如图所示.若某一沼泽
地地面能承受的压强不超过300N/m2,则此人
必须站立在面积至少(填“至多”或“至少”)
为2m2的木板上才不至于下陷(木板
的重量忽略不计
个P(N/m2
80
60
40
20
s(m
O20406080100(共21张PPT)
第2课时反比例函数的图象和性质
k>0当k>0时,函数图象
k<0当k<0时,函数图象位
位于第
三象限
于第二、四象限,在
在每个象限内,y随x
每个象
限内
随x的
图象和性质
的增大而减小
增大而增大
双曲线无限接近坐标轴,但不与坐标轴相交.它是轴对称图形,其对称轴是直线
x或直线
(1)反比例函数中k的几何意义
当已知面积求k的值时,应根据双曲线所在
象限确定k的正负,谨记当双曲线在第二、四象限时,k为负数
解题策略(2)反比例函数的函数值大小比较的方法
①性质法:先观察点是否在同一支曲线上,若在,可直接用反比例函数的性质进行比
较;若不在,应结合象限判断函数值y>0或y<0,再比较
②图象法:画出草图,描出点,直接观察函数值的大小,这种方法更有利于准确的判断
③代入法:若明确给出函数表达式及自变量的值,将自变量的值代入表达式求出函数值
知识要点1反比例函数y=(k≠0)的图象和性质
知识要点2反比例函数与一次函数的综合性问题
交点问题
函数值大小比较
图例
求反比例函数的图象与
特殊地,若反比例函数的图
函数图象中处于上方的部
次函数的图象的交点坐标,象与正比例函数的图象相
分,函数值较大,处于下
解题策赂/把两个函数表达式联立成交两个交点坐标的横坐标
方的部分,函数值较小
方程组求解若方程组肴互为相反数纵坐标也互为
解,则两者有交点;若方程相反数如图若点A的坐标
观察图象,当y1>y2时,x
为(x,y),则点B的坐标的取值范围为x<-2或0<
组无解,则两者无交点
为
x<孔如T6(2
典例导学
國例1(教材P60习题T变式)在反比例函数
的图象上有三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),
若x1>x2>0>x3,则下列各式正确的是(A
y3>y1>y2
B
y3
y1>y2>y3
y1
yy
3>y2
x1>x2>0>x
反比例画数→y>0,1<0,y2<0
判断y
y=-1的图象(当x>0时,函数的大小
y
的增减性
例2)(教材P49习题21
5T5变式)如图,两个反比例函
2
数y=一和y=-在第一象限
内的图象分别为C1C2,设点POA
在C1上,PAx轴于点A,交C2于点B,则△POB
的面积为1
分析
S△0法直接求出)化
△POB
△POA
△BOA
反比例画数中k的几何意义求出So,S8(共11张PPT)
3.二次函数表达式的确定
要点归纳
知识要点用待定系数法求二次函数的表达式
内容
运用策略
一般式y=ax2+bx+c(a≠0)若给出抛物线上任意三点通常可设一般式
顶点式
y=a(x+h)2+k(a≠0),其中顶点若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值
坐标为(一h,k)
通常可设顶点式
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中若给出抛物线与x轴的交点或对称轴与其中
交点式
x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标
个交点的距离,通常可设交点式
典例导学凵
例已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物
线y=ax2+bx+c经过点A(3,0),B(2,一3),
C(0,-3)
(1)求二次函数的表达式;
分析
1)(代入三点坐标解方程组求出a,b,c的值
解:(1)把A(3,0),B(2,-3),C(0,-3)代入y=
9a+3b+c=0,
ax2+bx+c,得4+2b+c=-3,解得b=-2,
3
3
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.
(2)设点D是抛物线上一点,且点D的横坐
标为一2,求△AOD的面积
2)画出二次由点D的横坐标在图中画
数草图求出点D的坐板
出△AOD
△AOD
OA·|D
2
2)把x=-2代入函数表达式,得y=5,即点
D的坐标为(-2,5).
点A的坐标为(3,0),
15
OA=3.S△AOD2
×3×5
2
当堂检测
1.已知一个二次函数的图象经过点(-1,-5),
(0,-4)和(1,1),则这个二次函数的表达式为
6x2+3x+4B.y=-2x2+3x-4
C.y=x2+2x-4
D.y=2x2+3x-4
2.已知抛物线的顶点坐标为(-1,-3),与y轴
的交点坐标为(0,-5),则抛物线对应的函数表
达式为y=-2x2-4x-5
3.一抛物线和另一抛物线y=-2x2的形状和开口
方向完全相同,且顶点坐标是(一2,1),则该抛物
线对应的函数表达式为y=-2(x+2)2+1
4如图已知抛物线y=-x2+bx+y↑x
c的对称轴为直线x=1,且与
x轴的一个交点为(3,0),那么它
对应的函数表达式是y=-x2+
2x+3
5.(教材P28习题T11变式)如图,抛物线y=x2+
bx+c经过坐标原点,并与x轴交于点A(2,0)
(1)求此抛物线对应的函数表达式
(2)写出顶点坐标及对称轴;