2020-2021学年沪科版九年级数学24.3圆周角-知识点+习题同步练习提升（Word版 含答案）

圆周角
记忆导图
考点1
圆周角
1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。
2、圆周角的性质
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
推论1：在同圆或等圆中，①同弧或等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：①半圆或直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。
3、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）
几何语言：若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD。
考点2
圆的内接四边形
1、圆的内接多边形的定义：
一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。
2、性质：
定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。
推论：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。
【同步练习巩固】
知识点1圆周角概念、定理及推论
1．如图，图中的圆周角有__∠ADB，∠CAD，∠CBD，∠ACB__，所对的圆周角有__∠CAD，∠CBD__.
2．(教材P29，练习，T2改编)(安徽模拟)如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＋∠O＝63°，则∠O的度数是(
D
)
A．21°
B．27°
C．30°
D．42°
3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为(
C
)
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
4．(江苏无锡中考)如图，点A，B，C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧BC上，且OA＝AB，则∠ABC＝__15°__.
5．(江苏南京鼓楼区期末)如图，⊙O的两条弦AB和CD相交于点P，若、的度数分别为60°，40°，则∠APC的度数为__50°__.
6．(广西柳州中考)如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(
D
)
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
7．(江苏南京秦淮区二模)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在半圆AB上，且＝＝，连接AC，AD，则∠CAD的度数是__30__°.
8．(四川自贡中考)如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC.
求证：(1)＝；
(2)AE＝CE.
证明：(1)∵AB＝CD，∴＝，即＋＝＋，
∴＝.
(2)∵＝，∴AD＝BC.
由同弧所对的圆周角相等，
得∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE(ASA)，
∴AE＝CE.
9．如图，以等腰三角形ABC的腰AB为直径作圆，交底边于点D，连接AD，那么∠1与∠2的关系是(
C
)
A．∠1＋∠2＝90°
B．∠1>∠2
C．∠1＝∠2
D．∠1<∠2
10．(安徽芜湖南陵一模)如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，若∠BCD＝24°，则∠ABD为__66__度．
11．如图，在△ABC中，∠A＝60°，以BC为直径作⊙O分别交AB，AC于点D，E.
(1)求证：AB＝2AE；
(2)若AE＝2，CE＝1，求BC.
解：(1)证明：如图，连接BE.
∵BC是⊙O的直径，∴∠BEC＝90°，即∠AEB＝90°.∵∠A＝60°，
∴∠ABE＝30°，∴AB＝2AE.
(2)∵AE＝2，∴AB＝2AE＝4，
∴BE＝＝2.
∵CE＝1，∴BC＝＝.
知识点2圆的内接四边形
12．(教材P31，练习，T1改编)(陕西西安工大附中三模)如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则∠BAD的度数为(
C
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．120°
13．(浙江杭州滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则∠D的大小是(
C
)
A．45°
B．60°
C．90°
D．135°
14．(安徽池州青阳六校联考)如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，的度数为40°，则∠B＋∠D的度数是__160°__.
15．(黑龙江哈尔滨南岗区一模)如图，正方形ABCD的四个顶点分别在⊙O上，点P是在上不同于点C的任意一点，则∠DPC的度数是__135__度．
16．(安徽淮南潘集区第二次联考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，且AD平分∠CAE.求证：DB＝DC.
证明：∵∠DAC与∠DBC是同弧所对的圆周角，
∴∠DAC＝∠DBC.
∵AD平分∠CAE，∴∠EAD＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DBC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAD＝∠BCD，
∴∠DBC＝∠BCD，∴DB＝DC.
【能力培优提升】
1．(广西北部湾经济区模拟)如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD.则下列结论中错误的是(
D
)
A．AC＝CD
B.＋＝
C．OD⊥AB
D．CD平分∠ACB
2．(湖北武汉调研)如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是(
D
)
A．5
B．6
C．7
D．8
3．如图，AB
是⊙O
的直径，点C，D，E
在⊙O
上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(
B
)
A．100°
B．110°
C．115°
D．120°
4．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为(
C
)
A．50°
B．60°
C．80°
D．85°
5．(河北石家庄一模)如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝(
B
)
A．58°
B．116°
C．122°
D．128°
6．(四川内江模拟)如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知⊙O的半径为，tan∠ABC＝，则CQ的最大值是____.
7．(辽宁辽阳中考)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝__60°__.
8．(北京西城区二模)如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是
的中点，AB＝CD.若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为__100__°.
9．(安徽合肥联考)如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB，OC，BD，CD.
(1)求证：四边形OBDC是菱形；
(2)若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC的长．
解：(1)证明：如图，连接OD.
由圆周角定理，
得∠BOC＝2∠BAC＝120°.
∵AD平分∠BAC，∴＝，
∴∠BOD＝∠COD＝60°.∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，
∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形．
(2)如图，连接OA.∵OB＝OA，∠ABO＝15°，
∴∠OAB＝15°，∴∠AOB＝150°，
∴∠AOC＝360°－150°－120°＝90°，
∴AC＝＝.
10．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED，ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵点A，B，E，D都在⊙O上，
∴∠CDE＝∠B，
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC.
(2)如图，连接AE.∵AB为直径，∴AE⊥BC.又AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝.
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，∴△CDE∽△CBA，
∴＝，∴CE·CB＝CD·CA.
又AC＝AB＝4，∴×2＝4CD，∴CD＝.
11．(天津南开区一模)如图1，在⊙O中，直径AB＝4，CD＝2，直线AD，BC相交于点E.
(1)∠E的度数为__60°__；
(2)如图2，AB与CD交于点F，请补全图形并求∠E的度数；
(3)如图3，直径AB与弦CD不相交，求∠AEC的度数．
解：(2)如图2，直线AD，CB交于点E，连接OD，OC，AC.
∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠EBD＝30°.
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠E＝90°－30°＝60°.
(3)如图3，连接OD，OC.
∵OD＝OC＝CD＝2，∴△DOC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，∴∠CBD＝30°.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BED＝60°，∴∠AEC＝60°.