(共15张PPT)
本章小结与复习
徽中考考点结构
次根式
般地形式如①a(a≥0)的式子叫做二次根式
(1)被开方数的因数是整数因式是②整式
概念
最简二次根式
(2)被开方数中不含能③开得尽方的因数或因式
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果④被开
方数相同,这几个二次根式叫做同类二次根式
性质
()=⑤
≥0
逆用把一个非负数写成其算术平
方根的平方形式
次根式
性质
性质2(a)=⑥la
a(a≥0),逆用「把根号外的非负因数平
ala<
0)
方后移到根号内
乘法性质3
a台⑦、ab(a≥0,b≥0)
性质4
⑧b(a≥0.b>0)
乘除
①化
把各根式化为⑨最简二次根式
运算加减运算步骤②找
找出⑩同类二次根式
③并
合并同类二次根式
「运算顺序先乘方或开方,再乘除最后加
混合运算
减有括号要先算括号内的
运算策略运用运算律和乘法公式简化运算
二次根式在安徽中考中主要考查二次根式的简单运算及把运算结果中的二次根式进行化简如:2017年
第Ⅳ4题,2016年第8题,计算过程中均涉及二次根式的化简;2020年第1题和2018年第15题都考查了二
次根式的乘法;2019年第11题考查二次根式的除法
安徽考点整合训练
考点
次根式有意义的条件及性质
1.(2020·阜阳临泉县期末)二次根式√2x+4中的x
的取值范围是
B
A.x>-2
B.x≥-2
Cx
2
2对于3的理解错误的是
A.是实数
B是最简二次根式
C.3<2
D与√18是同类二次根式
3.能使等式
3
成立的条件是(D
A.x>0
B.x≥3
C.x≥0
D.x>3
4.与根式一x
的值相等的是
(
D
B
C
5若√(x-4)2+√(x-6)2=x-4+6-x=2,则x
的取值范围为4≤x≤6
6化简:√(2√5)2
5-2
7已知实数m满足√(2-m)2+√m-4=√m2,求m
的值
解:由m-4≥0知m≥
则原等式可化为m-2
4
整理得√m-4=2
解得m=8
◆考点二二次根式的化简及运算
8.(2020·铜陵期末)下列二次根式是最简二次根式
的是
12
B
C8
D、3
9.(2020·合肥包河区期末)下列计算正确的是(B)
A.20=2、10
B.√5×6=√30
C.22×3=6
D
3
3
10.(2020·安庆期中)我们把形如ax+b(a,b为有理
数,x为最简二次根式)的数叫做√x型无理数,如
33+1是3型无理数,则(2+√10)2是(C
A2型无理数
B.3型无理数
C.5型无理数
D.√1型无理数(共13张PPT)
基础提升专练:二次根式的有关运算
时间45分钟
分数:100分
1.(20分)计算
3
(1)√27-√2×
2
3
解:原式=33
2
233-3=23.(4分)
(2)2√8
√18
解:原式=42×2×32=242.(8分)
3)(2020·六安霍邱县期末)(2+5)X6-43
解:原式=12+√30-43=-23+√30.(12分)
(4)√12十6÷3-9
n3
解:原式=23+2-33=2-3.(16分
(5)√3×√6
解:原式=32-3+3-2=2√2.(20分
2.(20分)计算
(1)(5+3)2
解:原式=(5)2+2×5×3+(3)2=8+215
(4分
(2)(1l+2)(2-√11);
解:原式=22-11=-7.(8分
(3)(3+√5)2-(4+7)(4-7)
解:原式=9+65+5-(16-7)=65+5.(12分
(4)(+√5)2-(6-√5)2;
解:原式=(6+√5+√6-5)(6+5-√6+√5)
4√30.(16分)
(5)(3+√2)(3-2)+(5-1)°-|3-2
解:原式=3-2+1+3-2=3.(20分
3.(16分)先化简,再求值
(1)(a-√2)(a+2)-a(a-3),其中a=√3+
解:原式=a2-2-a2+3a=3a-2.
当a=3+。时,
3
原式=3×3+2)-2=33.(8分)
x2-4x+4
(2)(
+1
其中x=2+√2
解:原式
x+1
x-2)2x+1
x-2
∴当x=2+2时
原式
(16分)
2+2-22
4.(8分)规定运算:a兴b=|a一b,其中a,b为实数,
求(7兴3)+√7的值
解:∵7兴3=|7-3|=3-7,
(7兴3)+7=(3-7)+7=3.(8分)
5.(8分)(2020·马鞍山和县期末)已知x=2√2+
3,y=22-3,求代数式x2-y2的值
解:∵x=2√2+√3,y=2√2
x+y=42,x-y=2√3
原式=(x+y)(x-y)=42×23=86.(8分
6.、(8分)已知x=1-2,y=1+√2,求x2+y2-xy
2x+2y的值
解:∵x=1-/2
√2
x-y=(1-√2)-(1+2)
2
√2,xy
√2)(1+√2)=-1.
原式=(x-y)2-2(x-y)+xy=(-22)2-2
(-2√2)+(-1)=7+42.(8分)(共10张PPT)
解题技巧专题:二次根式中的大小比较
◆类型一估计根式或含有根式的式子的大小
(2020·淮南谢家集区期末)设a为正整数,且a<
21
B
A.3
B
4
C.5
D6
2.(2020·铜陵期末)与二次根式8×的结果最接
近的整数是
B)
B.5
C.6
D.7
3.已知m=√11-2,a,b为两个连续的整数,且a<
m3
4已知5+3与5-3的小数部分分别是a和b,求
2a+b的值
解:∵1<3<2,6<5+√3<7,-2<-3
3<5-3<4.
5+3的整数部分是6,小数部分a=5+3-6
3-1,5-3的整数部分是3,小数部分b=5-3
3=2-3
2a+b=2(3-1)+2-3=3
◆类型二比较大小
方法点拨:(1)对于a和b,依据被开方数越大
对应的算术平方根越大进行比较即可;(2)当两实数
不能直接判断大小关系时,可采用平方法、因数内移
法、作差法、作商法等方法来比较
5.下列各式中最小的是
B
D2-√2
6设m=53,n=35,则m,n的大小关系为(A
Bm=n
Cm<
D.不能确定
7.比较大小
(1)-√15与-√17
(2)32与√17;
解:(1)
15
5
(2)∵3√2
18,√18
32>√17
(3)√3-2与
(4)-45与-53
解:(3)∵3-2<0
0
2
3-2
2
(4)∵-45
80,-5
75
80
75
√5<-5
8.利用作差法、作商法、倒数法比较两个根式的大小
(1)5-√5和√5(作差法);
解:5-(5-√5)=2√5-5=√20-25<0
(2),与。(作商法);
8
82
解
38
的+3
3
38
(3)2√2一7与7-√6(倒数法).
22+7
解
22-7(22-7)(22+7=2v2
7+√6
)(7+√6)
易知22+7>7+√6,
22-7<7-6(共11张PPT)
易错易混集训:二次根式
易错点一理解相关定义、性质时出错
L(2020·毫州模拟)若代数式++1
有意义,则x的
x-1
取值范围是
1且x≠1
B.x≥-1
C.x≠1
D.x≥-1且x≠1
2下列各式:①8;②0.3;③12;④3;⑤√a2+1
其中一定是最简二次根式的有
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
9
9-y
3.已知x,y为实数,且y
4,求
x+3
x+y的值
解:由题意得x2-9≥0,9—x2≥0,
x2=9,∴x=±3
又∴x+3≠0,
x≠-3
x=3,y=4.
∴x+y=7
◆易错点二化简出错
忽略字母的取值范围而出错
4.(2020·安庆太湖县期末)若a,b异号,则化简
a2b得
B
C
D
a
5.实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示,则化简
a2-a+b的结果为
0b1
A
b
B.
-2atb
C2ab
D2a-b
6.已知x+|x-1|=1,则化简√(x-1)2+√(2-x)2的
结果是3-2x
易错总结:在运用a2=a进行二次根式的化简
或计算时,要根据a的取值范围进行讨论,而不能
错误地认为√a2=a.只有当a≥0时,√a2=a才
成立
、忽略发掘隐含条件而出错
7.把代数式(a-1)
的因式(a-1)移到根号
内,那么原代数式等于
A
C.1
D.-√a-1
b
8.已知a+b=-2,ab=,求
2水√b千√的值
解:∵a+b
ab
2
a<0,b<0.
b
b
(a+b)
+
2
ab
2
2
易错总结:注意
成立的前提条件是a≥
nb
0,b>0.当题目没有直接给出其取值范围时,需要
进一步发掘
◆易错点三运算顺序错误或套用公式错误
9计算
(1)
+3(3-√6)+√8
解:原式=√2+1+3-32+22=4
(2)(3-1)(1+3)-(18-√24)÷V6
解:原式=3-1-(3-2)=4-3
(3)(2+3)(2+5)
解:原式=2+52+32+15=17+82(共12张PPT)
第16章二次根式
16.1二次根式
第1课时二次根式的概念
A分点训练·打好基础
知识点
次根式的定义及有意义的条件
下列各式中,一定是二次根式的是
C
3
B,√x
CVe
D√3
2.(2020·六安金寨县期末)要使x+4有意义,则
C
4B.x≤-4C.x≥
3当x=-3时,下列各式中没有意义的是
C)
A.√x-I「
B
2
C.√2+x
4.(2020·滁州模拟)二次根式√I一3x中x的取值范
围是x
3
5.(教材P3例1变式)当x取何值时,下列各式在实
数范围内有意义?
(1)9-4x
(2)√(x-3)2
解:(1)要使√9-4x有意义,则9-4x≥0
9
解这个不等式,得x
即当x≤时,√9-4x在实数范围内有意义
(2)∵x为任何实数时都有(x-3)2≥0,∴当x为
切实数时,(x-3)2在实数范围内都有意义
(3)
3x-6
解:(3)要使
≥0
N3x-6
有意义,则3x-6
3x-6≠0
解这个不等式组,得x>2.
即当x>2时,
3x-6
在实数范围内有意义
(4)√1-x+√x
1-x≥0
(4)要使√1-x+√x有意义,则
解这个不等式组,得0≤x≤1.
即当0≤x≤1时
x+x在实数范围内有意义
方法点拔:当一个代数式中含有多个二次根式时,字母的
取值要同时保证每个二次根式都有意义
知识点
次根式的双重非负性
6若x+√y-1=0,则x,y的值分别为
A.0,1
B.0,0
C.0,-1
D.1,-1
7.(2020·雅安中考)已知√a-2+|b-2a|=0,贝
a+2b的值是
A.4
B.6
C.8
D.10
B综合运用提升能力
8.下列各式中,是二次根式的有
C)
②-3;③-√x2+1;④8;⑤
⑥1-x;⑦x2+2x+3
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
9(2020·安庆桐城市期末)已知y=√x-4+
4-x+3,则“的值为
4
B.
C
D
3
方法点拨:当题中同时出现√a和-a时(即二次根式下
的被开方数互为相反数),则可得a=0
10.已知式子
在实数范围内有意义,则点(m
m)在第象限
11.当a为
时,代数式√2a+1+1取值最小
这个最小值是
解析】∵√2a+1≥0,∴当a
时,√2a+1有最小
值,且最小值是0.∴√2a+1+1的最小值是1
12.(整体思想)已知a=√ab-4+√4-ab-b+5,求
a2十b2的值
解:由题意得ab-4≥0,4-ab≥0,∴ab=4.
b+5,即a+b=5
∴a2+b2=(a+b)2-2b=52-2×4=17(共21张PPT)
次根式的加减
第1课时二次根式的加减
A分点训练·打好基础
知识点一同类二次根式
1.下列各代数式化简后是同类二次根式的是(D)
A2和√2
B.-3和√一3
C.√27和8
D8和2
2.(2020·马鞍山当涂县期末)下列根式不能与3合
并的是
B
A.12
B
18
C.√27
D.-√75
3.(2020·蚌埠期末)若最简二次根式√a-1与√5可
以合并,则a
6
变式题】若√27与最简二次根式√m-1是同类二
次根式,则m
4.化简下列二次根式,并判断它们是不是同类二次根式
(1)√125和2√20
解:√125=55,2√20=45,√125和2√20是同类二
次根式
(2)√0.03和
27
解:√0.03
10V279,√0.03和,
N27
是同类二次
根式
知识点
次根式的加减
5.(2020·合肥肥东县期末)计算8一2的结果是
B
C
D2
6.下列运算正确的是
A.32-22=1
B.√2+1=3
C.7-√5=√2
D.6√2+√2=72
7计算
(1)(2020·安庆宿松县模拟)508
3
(2)∨48-6,/1
23
n3
8计算
(1)10
45
N5
解:原式=10×x-35=-5
5
(2)432+√50
解:原式=162+52=21√2
(3)(12+√20)-(75-5);
解:原式=23+2√5-53+5=35-33
(4)(2020·铜陵枞阳县期末)√16+N5-3|-(-5);
解:原式=4+3-5+5=7
(5)(2020·合肥庐阳区期末)2
27+/8+√12
解:原式=2-33+22+23=32-3
B综合运用提升能力
9计算√(2-√3)2+√(3-√2)2的结果是(B)
A.0
B.2(3
C.2(2-√3)
D2√5
10.一个等腰三角形有两边的长分别为8和6
那么这个三角形的周长为
A82或7√2
B.7√2
C.52或6√2
D8√2
【解析】=22,6√2=32,当32为底边长时,三角
形的三边长分别为22,22,32,符合三边关系,此时三
角形的周长为22+22+32=7√2;当32为腰长时
三角形的三边长分别为32,32,2√2,符合三边关系,此
时三角形的周长为2√2+32+32=82.故选A
11.(2020·河北中考)已知√18-2=a√2一√2
b√2,则ab
6
12.(2020·安庆太湖县期末)若最简二次根式
ya+2与√4b-a是同类二次根式,则a+b(共16张PPT)
第2课时二次根式的混合运算
A分点训练·打好基础
知识点
次根式的混合运算
1化简⑧-2(√2-2)得
A.-2
B、2-2
C.2
D42-2
2计算√12
Vx+5×3的结果在
B
A.4至5之间
B.5至6之间
C.6至7之间
D7至8之间
3计算
(1)(2020·株洲中考)×(8+√2)
2
3
(2)(2020·南京中考3
3+√12
3
4计算
(1)√2(√24+√18);
解:原式=√2(2√6+3√2)=43+6
(2)(4-62)÷2√2
解:原式=(46-62)×
23
2、2
(3)(5+3)(5+2);
解:原式=(5)2+25+35+3×2=11+55
48+√27
(4)
√28
48
27
解:原式=√3+3
28=4+3-2=5
5下列各数中,与2+3的积为有理数的是
A.2+√3
B.2
C.3
D2-√3
6若x=√m-n,y=√m+√n,则xy的值是
A2√m
B.2√n
Cm+n
n-n
知识点二运用乘法公式进行二次根式的混合
运算
7计算
(1)(2020·天津中考)(7+1)(7-1)=6
(2)(2020·山西中考)(3+2)2-√24
8计算
(1)(2-2)(2+2);
解:原式=(2)2-22=2-4=-2
(2)(√5+32)2
解:原式=(5)2+2×5×32+(32)2=5+6√10+
18=23+6√10.
(3)(2√2-3)(3+22
解:原式=(22)2-32=8-9=-1
9先化简,再求值:2(a+3)a-3)-a(a-6)+6,
其中a=√2-1
解:原式=2(a2-3)-a2+6a+6=2a2-6-a2+6a+
6=a2+6a
1时
原式=(2-1)2+6(2-1)=3-22+62-6
4、2-3
B综合运用·提升能力
10计算(2√5)2018(2+√5)2019的值为
B.2-√5
C.-2-5D2+√5
a-b
11.规定a※b
b
则3※√2的值是
A.5-26B.3
C
D。
3
3
2设a=√7,b=2+3,c
则a,b,C从小
到大的顺序是a3观察下列等式
①3-22=(2-1)2,
②5-2√6=(3-√2)2,
③7-212=(4-3)
请你根据以上规律,写出第6个等式:13-2√42
(7-6)
14.计算
(1)(2020·安庆潜山市期末)(3√12-2
3
48
3
解:原式=(63-,3+43)
3
+3=3-3
2+
5
3(共18张PPT)
第2课时二次根式的性质
A分点训练打好基础
知识点一(a)2=a(a≥0
1计算(3)2的结果是
(B)
B,3
C.土3
D
9
2把4,写成一个正数的平方的形式是
C
或(-2
2
2
2
17、2
17、2
C
或
3等式(x-4)2=x-4成立的条件是x≥4
4计算
(1)-(5)2
(2)2×
解:原式
5
解:原式=2×
(3)-(-3√2
(4)(0-2)
解:原式
9×2
18.解:原式
100
100
知识点
5化简√(-2)2的结果是
A.-2
B.士2
C.2
D.4
6.-√(-6)
A.5
B.7
C,-5
D。一7
8若√(2a-1)2=2a-1,则a的取值范围是a≥
2
7.下列计算正确的是
B
B.√(一7)2=7
3
3
C.162=±16
D。
变式题】a2中,a≥0a≤0
(1)若√(1-a)2=a-1,则a的取值范围是(B
B.a≥1
C.a<1
Da≤1
(2)满足√(a-3)2=3-a的正整数a的值有
3个
9计算:
(1)(7)2
解:原式=7—4=3
(2)√(1-√3)
解:原式=3-1
(3
解:原式
1515
4×10-2
0
10.(教材P3例3变式)先化简,再求值:x2-6x+9,其
中x=一3
解:原式=√(x-3)2=|x-3
当x=-3时,原式=6
B综合运用提升能力
11.(2020·马鞍山和县期末)计算a2
a)4的结
果是
A.0
B.2a2
C
a
D
12若a<1,则化简√(a-1)2-1的结果为(D
A.a-2
B.2-a
C
变式题】二次根式与绝对值、数轴相结合进行化简
(1)若x<2,则化简√(x-2)2+|3-x|的正确结
果是
B.1
C.2x-5
D.5-2x
(2)(2020·蚌埠期末)实数m,n在数轴上的位置如
图所示,化简:√(m+n)2-√(m-n)2
2m
13.点P(m,n)在第二象限化简m2+√n2
mtn
14.在实数范围内分解因式
(1)2x2-10=2(x+5)(x-√5)
(2)x2-23x+3=(x-3)2.
5.(教材P5习题T5变式)(1)计算:√(a-2)2+
2-a)2
解
2-a在实数范围内有意义,
2-a≥0,即a≤2
a-2≤0
(a-2)
a-2
原式=2-a+2-a=4-2a
(2)如果x=-5,求√(x+4)2-√(x-4)2的值
解:∵x=-/5
x+4>0,x-4<0
原式=x+4-x-4=x+4+(x-4)=2x
25.(共22张PPT)
第2课时二次根式的除法
A分点训练·打好基础
知识点
次根式的除法
1计算√10÷√2的结果正确的是
B
10
B.5
C.5
D
2
2
2.下列计算正确的是
B
3
3
B.、3
25
5
5
C.√125
D√75÷5=√15
3.(2020·合肥包河区期末)计算72÷2的结果是
6
4计算
(1)√54÷3
(2
3
3
解:(1)原式=√54÷3=32
(2)原式
53
3
(3)√32
(4)√20
8
3.2
3
解:(3)原式
2.4V3
3
(4)原式
×(√20÷5)=8
28
知识点二商的算术平方根
5.下列各式成立的是
3
3
B
55
C.9
9×
7-679
4
3
x-1
6如果
那么x的取值范围是(D
x-2
x-2
A.1≤x≤2
B.1C.x≥2
D.x>2
64
45
(1)
(2)
48
8
15
解:原式
解:原式
3
(3)/2
25
(4)
12
解:原式
85
解:原式
知识点三最简二次根式
8.(2020·济宁中考)下列各式是最简二次根式的是
A√13
B.√12
D
9.把
3化为最简二次根式,结果是4
16
3
知识点四比较大小
10.√13-1的整数部分为
(
B
A.1
B.2
C.3
D,4
11.(教材P9例3变式)比较下列各组数的大小
(1)35与52
(2)-37与-2√15
解:(1)∵35=√45,52=√50,√45<√50
35<52
(2)
3
63,-215
60
63
60
3√7<-215
方法点拨:先根据积的算术平方根的性质将根号外的正因
式移到根号内,再进行比较
B综合运用提升能力
3
12.(2020·聊城中考)计算√45÷33×
V5的结果
正确的是
5
B
C.5
D
9
3
13.一个长方形的面积为18,一边长为23,则其邻边
长为33
14.若a是正整数,3a+6是最简二次根式,则a的
最小值为3
5计算
0,04×9
2)
N0.64×324
464341
解:(1)原式
5N85452
0.2×31
(2)原式
0.8×1824
(3)√18
解:原式=√18×
18×
42
3
33
16.电视塔越高,从塔顶发射岀的电磁波传播得越远,
从而能接收到电视节目信号的区域就越广.已知
电视塔高h(km)与电视节目信号的传播半径
r(km)之间满足r=√2Rh(其中R是地球半径)
现有两座高分别为h1=400m,h2=450m的电视
塔,问它们的传播半径之比等于多少?(共19张PPT)
16.2二次根式的运算
1.二次根式的乘除
第1课时二次根式的乘法
A分点训练·打好基础
知识
次根式的乘法
(2020·杭州中考)计算2×3
B
B.、6
C23
D3√2
2化简5×
V20的结果是
3
3
15
B
C.3
2
2
2
3.下列计算正确的是
A.43×√3
B.53×52=56
C.43×2√2=6√5
D4√3×√2=4√6
(2020·益阳中考)若计算√12×m的结果为正整
数,则无理数m的值可以是3(答案不唯一)
(写出一个符合条件的即可)
(1)3×√11
(2)×(-√2);
2
解:(1)原式=√3×11
33
(2)原式
(√2)
(3)32×27
(4)(
√24×√6
2
解:(3)原式=3×2×√2×7=6√14
4)原式=4-√24×6=4-12=-8
知识点二积的算术平方根
6化简√36×25得
A.16
B,士16
C.30
D.士30
7若等式√m2-4=m十2·√m-2成立,则m的
取值范围是m≥2
8.(2020·合肥庐阳区期末)计算√6×3的值为
3√2
9计算:
(1)√200
解:原式
100×2
100×√2=10√2
(2)√(-12)×(-27)
解:原式
12×27
12×27
3×3
9=2×3×3=18
25
(3)(-4)×。×(-169
25
25
解:原式
4××169=4
×169=2
53
130
13
3
10.(原创题)文房四宝之徽墨、歙砚的主要产地为黄
山歙县.如图所示的一块歙砚大致为长方体,长约
为46cm,宽约为42cm,求这块歙砚的底面积
解:46×4√2=4×4×√6×2
323(cm2
答:这块歙砚的底面积约为
323cm2
B综合运用提升能力
11若44=2a,√54=3√b,则a+b的值为(B
A。13
B.17
C.24
D,40
12.已知n是正整数,√48n也是正整数,则n的最小
值是
B
A.2
B.3
C.4
D,5
3已知a=2,b=5,用含a,b的式子表示√20,这
个代数式可以是
A2a
B
ab
Cab
Dab
【解析】a=2,b=5,∴√20=×2×5=a2b故选D
14.(2020·合肥肥东县期末)观察分析下列数据:0,
3,6,-3,2√3
15,3√2
根据数据排
列的规律得到第16个数据应是-35(结果需
化简)
【解析】题中的数据可依次整理为(-1)1+13×0,(-1)
2+1
3×1,(-1)3+13×2,…,(-1)+3×(n-1),第16个
数据为(-1)113×(16-1)=-35