(共23张PPT)
本章小结与复习
安徽中考考点结构
元二次方程ax2+bx+C=0(d≠0)的求根公式
b±√b-4ac
设未知数
直接开平方法、①
2a
实际问题列方程
元二次方程配方法
ax2+bx+C=0(a≠0)
当Δ>0时方程有两个②不相等的实数根;
当△=0时,方程有两个③相等的实数根
配方法
当Δ<0时方程④没有实数根
方
降
式法
程
因式分解法
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,
实际间题检验方程ax2+bx+c-0(a≠0)
b2-4ac≥0)的两根为x,x,则x1+x2
的答案
的根为x==b±b2-4ac提公因式法、公式法
XIr
2a
十字相乘法
本章内容在安徽中考中主要考查一元二次方程的解法、根的判别式及应用,如:2020年第15题、2019年
第15题考査解一元二次方程,2018年第7题考查利用一元二次方程根的判别式求参数值,2017年第7题考
查由实际问题(平均变化率问题)抽象出一元二次方程,2019年第9题则考查平均增长率的应用
安徽考点整合训练
◆考点
元二次方程的相关概念
(2020·合肥庐江县期末)已知(3-a)x2-x+4=0
是关于x的一元二次方程,则
Aa≠1
B.a≠2
C.a≠3
D.a≠4
2方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数
项分别为
A.6,2,9
C.2,6,9
3若n(n≠0)是关于x的方程x2+mx+3n=0的
个根,则m+n的值是
3
4.(2020·安微模拟)已知x=1是关于x的方程2x2+
ax-a2=0的一个根,则a=2或-1
5用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0时,下列
变形正确的是
B.(x-2)2=5
C.(x+2)2=3
D.(x-2)2=3
6解方程3(x-2)2=2x-4所用方法最简便的是
C)
A.配方法
B.公式法
C.因式分解法
D都一样
考点
元二次方程的解法
7我们知道方程x2-2x+1=0的解是x1=x2=1
则给出的另一个方程(x-1)2-2(x-1)+1=0的
解是x1=x2=2
解析】把方程(x-1)2-2(x-1)+1=0看作关于(x-1
的一元二次方程,则x-1=1,所以x1=x2=2.
8.用适当的方法解下列方程
(1)(x+2)2-25=0
解:移项得(x+2)2=25,
开平方得x+2=±5,
即x+2=5,或x+2=-5
x1=3,x(共22张PPT)
第2课时面积问题与其他问题
A分点训练·打好基础
知识点一面积问题
用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长
方形,设长方形的长为xcm,则可列方程为(B)
A.x(20+x)=64
B.x(20-x)=64
C.x(40+x)=64
D.x(40-x)=64
2如图,在一块长12m,宽8m的
长方形空地上,修建同样宽的
8
m
两条互相垂直的道路(两条道
路各与长方形的一条边平行)
12
剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为77m2设
道路的宽为xm,则根据题意,可列方程为(12
x)(8-x)=77
3.《杨辉算法》中有这么一道题:“直田积八百六十四
步,只云长阔共六十步,问长多几何?”意思是:一块
长方形田地的面积为864平方步,只知道它的长与
宽共60步,则它的长比宽多了12步
4.合肥市某小区有一块长12米、宽6米的空地,计划
在其中修建两块相同的长方形绿化地,它们的面积
之和为36平方米,两块绿化地之间及周围留有宽
度相等的小路,求小路的宽度
解:设小路的宽度为x米
根据题意得(12-3x)(6-2x)=36,
解得x1=1,x2=6(不合题意,舍去)
答:小路的宽度为1米
知识点二其他问题
5.若两个连续整数的积是30,则这两个整数的和是
A.11
B.-11
C.11或-11
D.13或-13
6在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛
场,共比赛36场.设有x个队参赛,根据题意,可
列方程为
A.x(x-1)=36B.x(x+1)=36
C.x(x-1)=36
Dx(x+1)=36
n(n
1)
变式题】单循环问题(比赛、握手等):
双循环问题(互送东西、发信息等):n(n-1
新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他
成员赠送一张贺年卡,全组共送贺卡72张,则该小
组的人数为
A.7
B.8
C,9
D.10
7.今年春季某地区流感爆发,开始时有4人患了流
感,经过两轮传染后,共有196人患了流感.若每轮
每人传染的人数相同,求每轮每人传染的人数
解:设每轮每人传染的人数是x
根据题意得4(x+1)2=196
解得x=6,或x=-8(不合题意,舍去
答:每轮每人传染6人
知识点三可化为一元二次方程的分式方程
5x+2
8将分式方程1
x(x+1)x+1
去分母整理后得
A8x+1=0
B.8x-3=0
C.x2-7x+2=0
D,x2-7x-2=0(共12张PPT)
17.2—元二次方程的解氵
第1课时直接开平方法
A分点训练·打好基础
知识点一可化为x2=p(p≥0)型方程的解法
1方程x2-9=0的解是
A,x=3
B。x
3
C.x=士9
D。x1=3,x
3
2方程x2+m=0有实数根的条件是
A.m>0
B.m≥0
C.m<0
Dm≤0
3.(2020·蚌埠期末)若一元二次方程x2-c=0的
个根为x=1,则另一个根为x=-1
4.解下列方程
(1)9x2=25
2)4x2-28=0.
5
解:x
3
2
53
解:x1=7,x2=-√7
知识点二形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的
解法
5.一元二次方程(x+6)2=16的根是
2,x
B.x1=10,x
C.x1=10,x2=2
Dx
10
6方程(1-x)2=2的根是
C
Ax
3
B.x1=1,x
3
C.x1=1-√2,x2=1+√2
D.x1=√2-1,x2=2+
7.解下列方程
(1)(2019·安徽中考)(x-1)2=4;
解:两边直接开平方得x-1=士2,
x-1=2,或x-1
2
解得x1=3,x2
(2)(2020·安庆宿松县模拟)4(2x-1)2-36=0
解:原方程可化为(2x-1)2=9,
两边直接开平方得2x-1=士3
2x-1=3,或2x-1=-3
解得x1=2,x2
B综合运用提升能力
8若(x2+y2-5)2=64,则x2+y2等于
A.13
B.13或-3
C-3
D.以上都不对
解析】可将x2+y2看作一个整体,则x2+y2-5
8
x2+y2=13或-3.∴x2+y2>0,∴x2+y2=13.故选A
9在实数范围内定义一种运算“关”,其规则为a
b=a2一b2,根据这个规则,方程(x+1)3=0的
解为x1=2,x
10.解下列方程
(1)25x2+10x+1=0
解:原方程可化为(5x+1)2=0,
∴5x+1=0.
解得x1=x2
5
2)(2020·阜阳颍州区期末)(2x-1)2=(3-x)2
解:两边直接开平方得2x-1=±(3-x)
2x-1=3-x,或2x-1
3
解得x1
11若关于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个
根分别为m+1与2m-4.
1)求m的值
b
解:(1)∵ax2=b(ab>0
b
x=±
方程的两个根互为相反数
m+1+2m-4=0.解得m=1
(2)求一的值(共21张PPT)
第3课时公式法
A分点训练打好基础
知识点
元二次方程的求根公式
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能用公
式法求解,那么必须满足的条件是
A
A.b2-4ac≥0
B4ac-b2≥0
Cb=>0
D4ac=>0
2已知关于x的一元二次方程x2-px+q=0有两个
实数根,则这两个实数根是
q
B
d小
p2+
dP
2
2
3.(2020·阜阳颍州区一模)用公式法解一元二次方
5士52-4×3×1
程,得x
2×3
,则该一元二次方程
是3x2+5x+1=0
知识点二用公式法解一元二次方程
4.方程2x2-4x+1=0的解是
C
A,x=1±√2
B.x=2士22
C.x=1
D.x=2士√2
2
5.已知一元二次方程x2-x-3=0的较大根为x1,
则下面对x1的估计正确的是
C
A.0B.1C2D36-元二次方程x2-2x-1=0的根是x1=1+2,x
1-2
7.用公式法解方程
(1)(2020·无锡中考)x2+x-1=0
解
l,b=1
∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=5>0
1士√5
1+√5
√5
2
2
2
(2)2x2-6x-1=0;
解:∵a=2,b
∴b2-4ac=36-4×2×(-1)=44>0
6士2113±√11
3
3
11
(3)2x2-5=2(x+1);
解:方程整理得2x2-2x-7=0,
a=2,b
b2-4ac=(-2)2-4×2×(-7)=60>0.
(-2)
601
5
2×2
1+√15
15
2
(4)(x+1)(x-3)=6.
解:方程整理得x2-2x-9=0,
则a=1,b
9
∴b2-4ac=(-2)2-4×1×(-9)=40>0.
(-2)±√40
1士10
2
x1=1+√10,x2=1-10
8解方程x2=3x+2时,有一位同学解答如下
a=1,b=3,C=2,b2-4ac=32-4×1×2=1>0
b
ac
3士1
2a
2
1,X2
2。
已知该同学的解题过程中存在错误,请指出错误的
地方,并写出正确的解题过程
解:错误之处在于没有先把方程整理成一般形式
正确解法
将原方程整理成一般形式为x2-3x-2=0
则a=1,b
3,c
∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0.
b士b2-4ac3±17
2a
2
3
17
3
17
2
2
2(共25张PPT)
7.3一元二次方程根的判别式
A分点训练打好基础
知识点
元二次方程根的判别式的概念
1.一元二次方程x2-2x=0根的判别式的值为(A
B.2
C.0
D。-4
2若方程x2+x+k=0的根的判别式的值为5,则k
的值是
知识点二用根的判别式判断一元二次方程根
的情况
3.一元二次方程x2+6x-2=0的根的情况是
B)
A.没有实数根
B有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
4.(2020·安微中考)下列方程中,有两个相等实数根
的是
1=2x
B.x2+1=0
C.x2-2x=3
D,x2-2x=0
5关于x的一元二次方程x2-(m+n)x+mn=0的
根的情况是
C)
A.有两个相等的实数根
B有两个不相等的实数根
C.有两个实数根
D没有实数根
6.不解方程,判断下列方程的根的情况
(1)2x2-3x-4=0
解:A=(-3)2-4×2×(-4)=41>0,
原方程有两个不相等的实数根
(2)25y2+4=20y;
解:原方程可化为25y2-20y+4=0,
△=(-20)2-4×25×4=0.
原方程有两个相等的实数根
(3)5(x2+1)=7x.
解:原方程可化为5x2-7x+5=0
△=(-7)2-4×5×5=-51<0.
原方程无实数根
知识点三由一元二次方程根的情况求待定字
母的值或取值范围
7.(2020·怀化中考)已知一元二次方程x2-kx+
0有两个相等的实数根,则k的值为(C)
B.-4
C.土4
D,士2
8.(2020·攀枝花中考)若关于x的方程x2-x-m
0没有实数根,则m的值可以为
1
A,-1
B
C.0
D,1
9.(2020·成都中考)关于x的一元二次方程2x2
3
x下n
0有实数根,则实数m的取值范围是
变式题】(2020·马鞍山当涂县期末)已知关于x
的一元二次方程(k-2)x2-2x+1=0有两个不相
等的实数根,则k的取值范围是k<3且k≠2
10.(2020·亳州模拟)已知关于x的方程x2-2mx+
m2+m-2=0有两个不相等的实数根
(1)求m的取值范围;
(2)当m为正整数时,求方程的根
解:(1)∵关于x的方程x2-2mx+m2+m-2=0有两
个不相等的实数根
△=(-2m)2-4(m2+m-2)>0
解得m<2
(2)由(1)知m<2
m为正整数
将m=1代入原方程,得x2-2x=0,
解得x1=0,x2=2(共18张PPT)
第2课时配方法
A分点训练·打好基础
知识点一配方
1.下列二次三项式是完全平方式的是
(
B
8x-16
B,x2+8x+16
C.x2-4x-16
D,x2+4x+16
2已知4x2+2kx+9是完全平方式,则k的值为(B
A.6
B.+6
C-6
D,士9
3将二次三项式x2+4x-96变形,下列正确的是
C
A.(x+2)2+100
B.(x-2)2-100
C.(x+2)2-100
D.(x-2)2+100
4.填空,将左边的多项式配成完全平方式
(1)x2+10x+25
(x+
(2)x2-12x+36
56
))2
25
5
(3)x2+5x+
(4)x22
3
9
知识点二用配方法解方程
5用配方法解下列方程,其中应在方程左右两边同时
加上4的是
Axl-2x
55
B,x2+4x=5
C.x2-8x
Dx2+2x=5
6.-元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为(D)
A.(x+2)2=3
B.(x+2)2=5
C.(x-2)2=3
D.(x-2)2=5
3
7.一元二次方程y2-y-=0配方后可化为(B)
B
2
l\23
3
C(y+)
D。
8.下列用配方法解方程。x2-x-2=0的四个步骤
中,出现错误的是
x2-x-2=0~x2-2x=4-x2-2x+1=5-(x-1)2=5→x=+1
B②
C③
D④
9.(2020·泰安中考)将一元二次方程x2-8x-5=0
化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式,则a,b的值
分别是
A.-4,21
B.-4,11
C.4,21
D。-8,69
10.一元二次方程x2+3-23x=0的解是x1
11.用配方法解方程
(1)(2020·安微模拟)x2-6x-9=0;
解:x1=3+3√2,x2=3-32
(2)x2+1=3x
3+5
3
解:x
(3)(2020·芜湖无为市期末)4x2+8x+3=0
3
解:x
2
12若代数式x2-1的值与代数式2x+1的值相等
求x的值
解:根据题意得x2-1=2x+1,
整理得x2-2x-2=0,
配方得(x-1)2=3,
解得x1=1+3,x2=1-3
即x的值为1+3或1-3
B综合运用提升能力
13.在用配方法解下列方程时,配方有错误的是(B)
A.x2-2x-99=0>(x-1)2=100
7281
B.2t2-7t-4=0→>(t
8
C.x2+8x-9=0→(x+4)2=25
D.y2-4y=2→>(y-2)2=6(共11张PPT)
第17章一元二次方程
17.1一元二次方程
A分点训练·打好基础
知识点
元二次方程的概念及一般形式
1.(2020·安庆期中)下列方程中,是关于x的一元二
次方程的是
0
B.3x2-2xy-5y2=0
Cax
toxic=0
D.(x-1)(x+2)=1
2将一元二次方程2x2+7=9x化成一般式后,二次
项系数和一次项系数分别为
A.2,9
B.2,7
C.2,-9
D.2x2,-9x
3.把方程x(x+2)=5(x-2)化成一般式为x2-3x+
10=0,其中a
b
3
10
知识点
元二次方程的根
4.下列各数是方程x2=5x-4的根的是
B
B.1
C.5
D,-9
5.(2020·淮北濉溪县期末)已知关于x的一元二次
方程x2+3x+a=0有一个根是-2,那么a的值是
A.-2
B
C.2
D10
变式题】二次项系数:数字→含字母
(易错题)(2020·枣庄中考)已知关于x的一元二
次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0有一个根为x
0,则a
知识点三列一元二次方程
6.某品牌手机三月份销售400万部,四月份、五月份
销售量连续增长,五月份销售量达到900万部,求
月平均增长率.设月平均增长率为x,根据题意列方
程为
D
A.400(1+x2)=900
B.400(1+2x)=900
C.900(1-x)2=400
D.400(1+x)2=900
7.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的
个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十
二步,问长阔共几何?”译文:一个长方形田地的面
积等于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与
宽的和是多少步?如果设长方形田地的长为x步,
可列方程为x(x-12)=864,化为一般形式为
x2-12x-864=0
8.(易错题)关于x的方程(m+2)xm+mx-1=0
是一元二次方程,则m的值为
B
A.2或-2
B.2
C.-2
D.0
9若4a-2b+c=0,则关于x的一元二次方程ax2+
bx+c=0必有一个根是
Ax=0
B.y=1
Cx=2
2
B综合运用提升能力
10.(2020·阜阳颍州区一模)若m是一元二次方程
x2-4x-1=0的一个根,则代数式4m-m2的
值为
A.1
B。-1
C.2
D.-22
【变式题】本质同,利用整体思想求值
(2020·合肥庐江县期末)已知关于x的一元二次
方程ax2-3bx-5=0的一个根是2,则8a-12b
的值是10(共23张PPT)
7.5一元二次方程的应用
第1课时平均变化率问题与利润问题
A分点训练·打好基础
知识点一平均变化率向题
1.(2020·蚌埠期末)某超市2020年3月份的猪肉价
格为60元/千克,经过两个月连续两次降价后,5月
份的猪肉价格为40元/千克,设平均每次降价的百
分率为x,则根据题意可列方程为
(B)
A.60(1-2x)=40
B.60(1—x)2=40
C.40(1+2x)=60
D40(1+x)2=60
2.某工厂1月份生产原料a吨,以后每个月比前一个
月增产x%,已知3月份生产原料的吨数是b,则可
列方程为
B
A.a(1+x)2=b
Ba(1+x%)2=b
C.a+a·x%=b
a·(x%)2=b
3.(2020·鄂州中考)目前以5G等为代表的战略性新
兴产业蓬勃发展.某市2019年底有5G用户2万
户,计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72
万户.设全市5G用户数年平均增长率为x,则x的
值为
C
A,20%
B.30%
C.40%
D.50%
4.(2020·上海中考)去年某商店“十一黄金周”进行
促销活动期间,前六天的总营业额为450万元,第
七天的营业额是前六天总营业额的12%
(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额
解:(1)450+450×12%=504(万元
答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为
504万元
(2)去年,该商店7月份的营业额为350万元,8、9
月份营业额的月增长率相同,“十一黄金周”这
七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该
商店去年8、9月份营业额的月增长率
2)设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x
依题意得350(1+x)2=504,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去
答:该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%
5.(2020·六安叶集区期末)某种花卉每盆的盈利与
每盆的株数有一定的关系,每盆植3株时,平均每
株盈利4元,若每盆增加Ⅰ株,平均每株盈利减少
0.5元要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少
株?设每盆多植x株,则可以列出的方程是(D
A.(x+1)(4-0.5x)=15
B.(x+3)(4+0.5x)=15
C.(x+4)(3-0.5)=15
D.(3+x)(4-0.5x)=15
知识点二利润向题
6.某商品的进价为5元,当售价为x元时,此时能销
售该商品(x+5)个,此时获利144元,则该商品的
售价为13元(共26张PPT)
17.4一元二次方程的根与系数的关系
A分点训练·打好基础
知识点
元二次方程的根与系数的关系
(2020·邵阳中考)设方程x2-3x+2=0的两根分
别是x1,x2,则x1+x2的值为
3
3
A.3
B
C
D。-2
2
2
2方程3x-2x2-1=0的两根之积为
3
2
2
A
B
C
D
3
3
2
3.已知x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个
根,则x1+x2-x1x2的值为
B
B.2
C.3
D,4
4.(2020·黔东南州中考)已知关于x的一元二次方
程x2+5x-m=0的一个根是2,则另一个根是
B.7
C.3
D。-3
变式题】已知两根之和→已知两根之积
(2020·合肥包河区期末)已知关于x的一元二次
方程x2-bx+8=0的一个根为2,则另一个根是
5.(2020·合肥庐阳区期末)设x1、x2是方程2x2+5x
53
7=0的两个根,则x2+x2的值为
6.(教材P39习题T4变式)已知x1,x2是一元二次方
程x2-4x+2=0的两个实数根,用韦达定理计算下
列代数式的值
(1)(x1-1)(x2-1);
解:由题意得x1+x2=4,x1x2=2.(x1-1)(x2-1
Xir
x1+x2)+1=2-4+1
(2)一
2
解
2
x
x1x2
知识点二利用根与系数的关系求值或求取值
范围
7.如果一元二次方程x2+(m+1)x+m=0的两个
根互为相反数,那么有
B
Bm
C,m=1
D以上结论都不对
8.已知x1,x2是关于x的方程x2+bx-3=0的两
根,且满足x1+x2-3x1x2=4,则b的值为(A)
A.5
B.-5
C.4
D。-4
变式题】结合判别式求字母的值或取值范围
(1)(易错题)(2020·仙桃中考)关于x的方程x2
2(m-1)x+m2-m=0有两个实数根a,B,且
ax2+B2=12,那么m的值为
(A)
A.一1
B.-4
C.-4或
D.-1或4
(2)若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2=0的两个
实数根之和大于-4,则k的取值范围是-1
k<0
解析】由题意得-2(k+2)>-4,解得k<0.∴△=[2(k
2)]2-4k2≥0,∴k≥-1.∴k的取值范围是-1≤k<0
9已知x1,x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两
实数根,且x1+x2=-2,x1·x2=1,则b的值是(共23张PPT)
4课时因式分解法
A分点训练·打好基础
知识点一用因式分解法解一元二次方程
元二次方程(x-1)(x-2)=0的解是
A,x=1
B。y=2
C.x1=1,x,=2
Dx
2
2.(2020·合肥肥东县期末)一元二次方程x2=2x的
根是
A。x=0
Bx=2
C.x1=0,x2=2
D无实数根
3.用因式分解法解下列方程,其中正确的是
A.x(x+2)=0,所以x+2=0
B.(x-3)(x-4)=3×4,所以x-3=3或x-4=4
C.(2x-2)(3x-4)=0,所以2x-2=0或3x-4=0
D.(3x-4)(2x-1)=1,所以3x-4=1或2x-1=1
4.(2020·马鞍山当涂县期末)一元二次方程(x+1)2
x十1的根是x1=0,x2=-1
5用因式分解法解方程x2-px-6=0,若将左边分
解后有一个因式为x-3,则p的值为1
6用因式分解法解下列方程
(1)2x2-x=0
解:原方程可变形为x(2x-1)=0
x=0,或2x-1=0
解得x1=0,x2
2
(2)(2020·合肥蜀山区期末)x(x-1)=3(x-1
解:移项,得x(x-1)-3(x-1)=0
(x-1)(x-3)=0
x-1=0,或x-3=0
解得x1=1,x2=3
(3)(2020·齐齐哈尔中考)x2-5x+6=0
解:原方程可变形为(x-2)(x-3)=0,
x-2=0,或x-3=0.
解得x1=2,x2=3
(4)9(x-1)2=(2x+1)2
解:移项,得9(x-1)2-(2x+1)2=0,
因式分解,得(3x-3+2x+1)(3x-3-2x-1)=0
即(5x-2)(x-4)=0,
5x-2=0,或x-4=0
解得x1
5
2
知识点二用适当的方法解一元二次方程
7解方程(x+5)2=3(5+x)的最佳方法为
A.直接开平方法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法
8我们已经学习了一元二次方程的四种解法:公式
法、直接开平方法、配方法和因式分解法请选择你
认为适当的方法解下列方程
(1)x2-6x=0
解:原方程可变形为x(x-6)=0,
x=0,或x-6=0.
0,x2=6
(2)x2-4x=1
解:配方得x2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5,
开平方得x-2=士√5
x1=2+5,x2=2-√5
(3)3x2=4-2x
解:移项得3x2+2x-4=0,
则b2-4ac=4-4×3×(-4)=52>0,
1士13
故x
1+√13
13
3
3
