(共24张PPT)
本章小结与复习
安徽中考考点结构
内容直角三角形两条直角边的①平方和,等于斜边的②平方
勾股定理验证面积法厂在正方形网格中直接求面积验证
拼图验证
出图形面积的2种不同表达式
列出等式并恒等变形
已知直角三角形中的两边求第三边
应用
建立数学模型
解决求最短路径、折叠等实际问题
中长度、角度、面积的计算
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方
股定理
内容那么这个三角形是③直角
三角形
1记住一些勾股数可快速判断
幻股定珊勾股数条件三个正整数2bC运
直角三角形
的逆定理
满足a2+b
技巧②若a,b,c是勾股数是正整数
则ak,bk,ck也是勾股数
应用
由三角形三边的数量关系判定直角三角形
先用勾股定理的逆定理确定直角三角形
综合应用再利用勾股定理及直角三角形性质解题
勾股定理是安徽中考的一个热点,常在三角形、四边形、圆等几何图形问题以及平面坐标系中利用勾股定
理计算线段的长度如:2019年第10题,2018年第14,20题,2017年第10,14题,2016年第10,14,20,23题均
涉及利用勾股定理求线段长度或两条线段的比值
安徽考点整合训练
◆考点一勾股定理及其应用
1.在直角坐标系中,点P(-2,3)到原点的距离是
A.2
B.3
D√13
2如图,以Rt△ABC的两直角边为边向外作正方形
其面积分别为S1,S2若S1=9,S2=16,则斜边AB
的长是
A.3
B,4
C.5
D25
B
A
3.如图,小巷左右两侧是竖直的墙壁,一架梯子斜靠
在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶
端距离地面2.4米若梯子底端位置保持不动,将梯
子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的
宽度为
A.2.7米B.2.5米C2米
D.18米
24米
15米
07米
4.(2020·合肥肥东县期末)如图,在4×4的方格网中,
小正方形的边长均为1,将任意连接两个格点的线段
称作“格点线”,则“格点线”的长度不可能等于(C
A2
B
√5
C
D√9
5.(2020·烟台中考)如图,△OA1A2为等腰直角三角
形,OA1
以OA2为直角边作等腰直角三角形
OA2A3,再以OA3为直角边作等腰直角三角形
OA3A4……按此规律作下去,则OAn的长度为(B)
A.(√2)
B.(2)n
C
D。
A
4
A
A
6
6.(2020·绥化中考)在Rt△ABC中,∠C=90°.若
AB-AC=2,BC=8,则AB的长是17
7.如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将
ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为
MN,则线段BN的长为4(共13张PPT)
解题技巧专题:勾股定理与面积问题
全方位求面积,一网搜罗
◆类型一三角形中利用面积求高
(2020·陕西中考)如图,在3×3的网格中,每个小
正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上.若
BD是△ABC的高,则BD的长为
(
D
10
8
7
3
B
3
13
D.13
13
3
13
13
B
C
2如图,在△ABC中,AD垂直平分BC,交BC于点
6
E,CD⊥AC.若AB=6,CD=3,则BE=√
A
E
C
◆类型二结合乘法公式巧求面积、周长或边长
3.已知在Rt△ABC中,∠C=90°.若a+b=14cm,
c=10cm,则Rt△ABC的面积是
A
24
cm2
B36
cm2
C,48
cm2
D
60
cm
4.若一个直角三角形的面积为6cm2,斜边长为5cm,
则该直角三角形的周长是
A.
cm
B10
cm
C(5+√37)cm
D12
cm
5.(2020·马鞍山和县期末)如图,它是由四个全等的
直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大
正方形如果大正方形的面积是13,小正方形的面
积是1,直角三角形的较短的直角边长为a,较长的
直角边长为b,那么a+b的值为5
◆类型三巧妙割补求面积
6.(教材P60习题T3变式)如图,已知AB=5,BC
12,CD=13,DA=10,AB⊥BC,求四边形ABCD的
面积
解:如图,连接AC,过点C作CE
AD于点E
B
AB
BC
∠CBA=90°
D
E
在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=√AB2+BC2
52+122=13
B人
D
CD=13
AC=CD,即△ACD是等腰三角形
CE⊥AD,∴AE
AD
10=5
2
2
在Rt△ACE中,由勾股定理得CE
ACAE
132-5
2
12
四边形ABCD
△ABC
△ACD
AB·BC+-AD·CE
2
(5×12+10×12)=90
2
B
D
E
7如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2.求
四边形ABCD的面积
解:如图,延长AD,BC交于点E.A
B=90°,/A=60°
E=30°
AE=2aB=8
在Rt△ABE中,由勾股定
B
E
理得BE=√AE2-AB2
ADC=90
CDE=90.CE=2CD=4
B
在Rt△CDE中,由勾股定理得DE=√CE2-CD2
42-22=23
四边形ABCD
△ABE
△CDE
AB·BE
CD
2
DE
×(4×43-2×23)=63
2(共26张PPT)
解题技巧专题:勾股定理中最短路径问题
类型一直棱柱上求两点之间的最短路径
方法点拔:直棱柱上求两点之间的最短路径往
往采取“化折为直”的方法
长方体中,求两点间的最短路径,将相邻两个面
展开,转化到一个长方形中,如图所示
F
F
D
E
EZF
D
E
展开
F
A
D
E
B
A
B
c
A
展开方式有多种,一般沿最长棱展开的路径最短
1.如图所示的正方体中,Q,R,S是棱PB上的点,
只蚂蚁从A点出发,沿着正方体的侧面爬行,经过
PB上一点,爬行到C点.若此蚂蚊所爬行的路线最
短,则P,Q,R,S四个点中,它最有可能经过的点
是
AP
BO
CR
DS
OR
C
B
2.如图,一个长方体盒子紧贴地面,一只蚂蚁由点A
出发,沿盒子表面爬到点G.已知AB=6,BC=5,
GG=3,则这只蚂蚁爬行的最短路程是10
G
E
B
3.如图,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm
点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表
面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖,求需要爬行的
最短路径
B
C
20
15
10
A20
BC
图①
图②
解:把左面和上面展开到一个水平面上
B
连接AB,如图①,AB2=(10+20)2+
52=925,∴AB=537cm
20
把前面和右面展开到一个水平面上,
A
5
连接AB,如图②,AB2=202+
0+5)2=625,∴AB=25cm
10C5B
20
把上面和前面展开到一个水平面上,连接AB,如图
③,AB2=102+(20+5)2=725,∴AB=529cm
537>529>25
这只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点
B,需要爬行的最短路程为25cm
B
10C5B
20
20
B
2010
C
A
A
10
图①
图
类型二阶梯上求两点之间的最短路径
方法点拔:将阶梯中相邻的多个面展开,将所求
的两点转化到一个长方形中,如图所示
B
B
展开
A
A
4.如图是一个台阶示意图,每一层台阶的高都是
20cm,长都是50cm,宽都是40cm.一只蚂蚁沿台
阶从点A出发到点B,其爬行的最短路线的长度是
(
C
A100
cm
B120
cm
C.130
cm
D.150
cm
B
40
20
A
50
类型三平面上最短路径问题
方法点拨:平面图形中,求直线同侧两点到直线
上一点的距离之和最短,先利用对称转化,然后根据
“两点之间线段最短”结合勾股定理加以解决(共11张PPT)
思想方法专题:勾股定理中的方程思想
类型一利用“连环勾”列方程
1如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D若AD:BD
5:2,AC=17,BC=10,则BD的长为
A4
B.5
C.6
B
D,8
【解析】设BD=2x,则AD=5x.在Rt△ACD与Rt△BCD
中,AC2-AD2=BC2-BD2,即172-(5x)2=102-(2x)2
解得x1=3,x2=-3(负值舍去).∴BD=6.故选C
2如图,∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC
AB=7,求AB的长
解:在Rt△ACD中,∠ACD
90,AD=13,CD=12,
由勾股定理得AC
B
132-122=5
D
在Rt△ABC中,∠B=90°,设AB=x,则BC=7-x,由
勾股定理得x2+(7-x)2=52.解得x=3或4.
AB=3或
◆类型二利用勾股定理解决折叠问题
3.如图,把长方形ABCD折叠,使点C与点A重合,
折痕为EF如果AB=4,BC=8,求BE的长
解:由折叠可知AE=CE.设AE
CE=x,则BE=BC-CE=8-x
F
D
A
在Rt△ABE中,由勾股定理得
AB2+BE=AEZ
即4+(8-x)2=x2,解得x=5
B
E
BE=8-5=3
4.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC
6cm,BC=8cm,将纸片沿AD折叠,直角边AC恰
好落在斜边上且与AE重合,求△BDE的面积
解:∵∴AC=6cm,BC=8cm
AB
AC2+CB2=10
cm
将纸片沿AD折叠,直角边
E
AC恰好落在斜边上,且与AE
B
重
AE=AC=6
cm
DE
CD,∠DEB=90°
BE=10-6=4(cm)
设CD=DE=xcm,
则在Rt△DEB中,42+x2=(8-x)2,
C
B
解得x=3,即DE=3cm
△BDE的面积为×4×3=6(cm2)
5【“引葭赴岸”问题】如图,在水池的正中央有一根芦
苇,它高出水面1尺,池底长10尺如果把这根芦苇
拉向水池一边,它的顶端恰好到达池边的水面,那
么这根芦苇的长度是
A.10尺
B.11尺
C.12尺
D.13尺
◆类型三实际问题中结合勾股定理列方程
6如图,在一棵树CD的10米高处的B点有两只猴
子,它们都要到A处池塘喝水,其中一只猴子沿树
爬下走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬
到树顶D沿直线跃入池塘A处.如果两只猴子所经
过的路程相等,试问这棵树有多高?(共15张PPT)
易错易混集训:勾股定理
◆易错点一审题不仔细,受定势思维影响导致
错误
1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,C,
且(a+b)(a-b)=c2,贝
A.∠A为直角
B.∠C为直角
C.∠B为直角
D.不是直角三角形
易错总结:表示常见的直角三角形时,一般将直角标
注为∠C,故有同学就习惯性地认为∠C就一定表
示直角,加之对本题所给条件的分析不缜密,导致错
误该题中的条件应转化为a2-b2=c2,即a2=b2
c2,根据这一公式进行判断
◆易错点二考虑不全面而漏解
2.已知直角三角形的边长分别为a,b,C.若a2=9,
b2=16,则c2的值是
A.5
B.7
C.25
D.25或7
3.(2020·芜湖无为市期末)在△ABC中,∠B=∠C
30°,AB=23,点D在BC边上,连接AD若△ABD为
直角三角形,则线段BD的长为3或4
4.在△ABC中,AB=15,AC=20,BC边上的高AD
12,则BC的长为25或7
解析:分以下两种情况:如图①,∠ABC为锐角时,
AB=15,AC=20,BC边上高AD=12.在Rt△ABD中,由勾
股定理得BD=√152-122=9在Rt△ADC中,由勾股定理
得DC=√202-122=16.BC=BD+DC=9+16=25
B
C
图②,∠ABC为钝角时,同理可得CD=16,BD=9.∴BC
CD-BD=7.综上所述,BC的长为25或7
B
cC
D
B
图①
图②
5如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=16,BC
12,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边
CA向A运动,当运动到点A时停止已知点D运动
的速度为每秒2个单位长度设点D运动的时间为t
秒,当t为多少时,△CBD是直角三角形
B
C
思路分析
∠CDB=90°
△CBD是直分类
求出CD的长
角三角形讨论
得出t值
∠CBD=90°
解:∵∠ABC=90°,AB=16
B
BC=12
AC
AB2+
BC
400,即AC=20.
若△CBD是直角三角
A
C
形,根据题意可分两种情况
①∠CDB=90时,S△ABC=AC·BD=AB·BC,
即×20·BD=×16×12.解得BD=9.6
CD2=BC2-BD2=51.84
CD=7.2..t=7.2÷2=3.6
②∠CBD=90°时,点D和点A重合
此时t=20÷2=10
综上所述,t=3.6或10时,△CBD是直角三角形(共22张PPT)
第2课时勾股定理的应用
A分点训练·打好基础
知识点勾股定理的应用
1.如果梯子的底端离建筑物3m远,那么5m长的梯
子可以达到建筑物的高度是
(C
A2
m
B
3
m
C
4
m
D5
m
2如图,货车卸货时支架侧面是一个直角三角形,其
中∠ACB=90°,AB=1.5m,BC=12m,则AC的
长为
A.0.8m
B.0.9m
C1
m
D,1.1m
A
B
3.如图,已知点A的坐标为(1,2),则线段OA的长为
B
B
5
C
D.3
2
X
4.如图,在水塔O的东北方向32m处有一抽水站A
在水塔的东南方向24m处有一建筑工地B,在AB
间建一条直水管,则水管的长为
A.
45
m
B,40m
C.50
D.
m
北
西
东
5.(2020·合肥包河区期末)有一棵9米高的大树,如
果大树距离地面4米处折断(未完全折断),那么小
孩至少离开大树3米之外才是安全的
6如图,一个电子跳蚤在4×5的网格(网格中的小格
子均为边长为1的正方形)中,沿A→B→>C→>A跳
了一圈,它跳的总路程是7+13
B
C
7.《九章算术》卷九中记载:今有立木,系索其末,委地
三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?译
文:今有一竖立着的木柱,在木柱的上端系有绳索,
绳索从木柱上端顺木柱下垂后,堆在地面的部分尚
有3尺,牵着绳索(绳索头与地面接触)退行,在距
木柱根部8尺处时绳索用尽,问绳索长是多少?
解:设绳索长为x尺,根据题意得x2-(x-3)2=82
73
解得x
6
73
答:绳索长为一尺
8如图,在离水面高度为8米的岸上,有人用绳子拉
船靠岸,开始时绳子的长为17米,此人以1米/秒
的速度收绳,7秒后船移动到点D的位置,问船向
岸边移动了多少米?(假设绳子是直的
解:在Rt△ABC中,
CAB=90BC=17
米,AC=8米,
8米
D
B
A
∴AB=√BC2=AC2
√172-82=15(米)
此人以1米/秒的速度收绳,7秒后船移动到点D
的位置,
CD=17-1×7=10(米)
AD=√CD2=AC2=√100-64=6(米)
BD=AB-AD=15-6=9(米)
答:船向岸边移动了9米
B综合运用提升能力
9.(2020·铜陵期末)如图,点B,D在数轴上,OB
3,OD=BC=1,∠OBC=90°,以D为圆心,DC长
为半径画弧,与数轴正半轴交于点A,则点A表示
的实数是
A√10
C
B.√17+1
B
C.17—1
D.不能确定(共13张PPT)
第2课时勾股定理的逆定理的应用
A分点训练打好基础
知识点一勾股定理逆定理的应用
1.木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具,
那么下列哪一组数据符合他要选择的三根木条的
长度
(
D
a.8
cm.16cm.17
cm
B/.2
cm.15
cm
C.
cm
8
cm.
10
cm
D12
cm.
cm.9
cm
2有五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20
24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中
正确的是
24
25
25
20
24
20
20\15
0
25
715
15
25
15
3.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O
出发,如图,轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行
60海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港
口O相距80海里的点N处若M,N两点相距100
海里,则∠NOF的度数为
A.50°
B.60°
C.70°
D80°
4.如图,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走
BA,BC两条路可到达公路,经测量BC=60m,BA
80m,AC=100m现需修建一条公路从学校B到公
路,则学校B到公路的最短距离为48m
5如图,网格中每个小正方形的边长均为1,△ABC的
三个顶点都在格点上,则△ABC的形状为
A.直角三角形
B.锐角三角形
C钝角三角形
D以上答案都不对
B
6如图,每个小方格的边长均为1,A,B,C在小方格
的格点上,则∠ABC的度数是
C
A90
B.60°
C.45°
D30°
B
【解析】如图,连接AC,则AC=BC=√12+22=5,AB
32+1
10
AC2+BC2=5+5=10=AB2
△ABC是等腰直角三角形.∴∠ABC=45
B
7如图,在△ABC中,D为BC上一点,且BD=3,DC
AB=5,AD=4,则AC=√41
B
D
C
8.如图,方格中的点A,B称为格点(格线的交点),以
AB为一边画△ABC,则使△ABC是直角三角形的
格点C的个数为
B
A.3
C,5
D6
B综合运用提升能力
A
CB
C
2
C
3
C
4
【解析】点C可能的位置如图所示,故选B
A
B
9如图,已知等腰△ABC的底边BC=20cm,D是腰
AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC
的周长
解:∵∴BD=12cm,CD=16cm,
BC=20
cm
BD2+CD
BC2.∴△BCD是直角三角
形,且∠BDC=90°
B
ADC=90°(共22张PPT)
第18章勾股定理
18.1勾股定理
第1课时勾股定理
A分点训练·打好基础
知识点一勾股定理
1.下列说法中正确的是
(C)
A.已知a,b,C是三角形的三边,则a2+b2=c2
B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C在Rt△ABC中,∠C=90°,所以a2+b2=c2
D在Rt△ABC中,∠B=90°,所以a2+b2=c2
2.(2020·合肥蜀山区期末)在Rt△ABC中,∠C
90°,BC=2,AB=3,则边AC的长为
A.5
B.√13
D,1
3在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2+BC2
TAC
A2
B.4
C.6
D8
4.(2020·马鞍山当涂县期末)如图,点E在正方形
ABCD的边AB上.若EB=1,EC=3,则正方形
ABCD的面积为
A.2
C
B.8
C.√10
D,10
B
5.在△ABC中,∠C=90°填空
(1)若BC=15,AC=8,则AB
17
(2)若AB=15,BC=9,则AC
12
(3)若AB=2,∠B=30°,则AC
1,
BC
6等腰三角形的腰长为13,底边长为24,则底边上的
高为5
7.(教材P55例2变式)如图,在Rt△ABC中,∠ACB
90°,AC=7,AB=25,CD⊥AB于点D求CD的
长
解:在Rt△ABC中,∠ACB
。BC
ABZAC=
252-72=24
又∵S
△ABC
AC·BC
AB·CD,
2
AC·BC7×24168
CD
AB
25
25
B
知识点二利用图形的面积验证勾股定理
8利用图①或图②两个图形中的有关面积的等量关
系都能证眀薮学中一个十分著名的定理,这个定理
称为勾股定理,该定理的数学表达式是
b2=c2
b
a
b
b
bb
b
图①
图②
9取两个同样的直角三角板,按如图所示的方式摆放
(B,C,D三点在一条直线上)
(1)连接AE,则△ACE是等腰直角三角形,四边
形ABDE是直角梯形
(2)设AB=CD=a,BC=DE=b,AC=CE=C,试
用两种不同的方法表示四边形ABDE的面积;
解:(2)四边形ABDE的面积为
ab+c2或(a+b)2
2
2
E
B
D
3)由(2)你能得到什么结论?
(3)由ab+c21
(a+b)2
得a2+b2=c2,
结论:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方
B综合运用提升能力
10.如图,以Rt△ABC的三边为边,分别向外作正方
形,它们的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2
S3=16,则S1的值为
A7
B.8
C.9
D,10(共22张PPT)
18.2勾股定理的逆定理
第1课时勾股定理的逆定理
A分点训练·打好基础
知识点一勾股定理的逆定理
1.(2020·合肥庐江县期末)以下列各组数据为边长
的三角形中,是直角三角形的是
A,4,5,6
B.2,3,4
C.1,2,3
D.7,3,4
2.(2020·六安叶集区期末)在△ABC中,AB=√2
BC=√5,AC=√3,则
A.∠B+∠C=90°
B.∠A+∠C=90
C.∠A+∠B=90°
D.∠B=∠C
3.已知a,b,C是△ABC的三边长,且满足关系
a2-c2+b2+|a-b|=0,则△ABC的形状为
等腰直角三角形
4若一个三角形的三边长之比为5:12:13,它的周
长为120,则它的面积是480
5如图,∠A=∠OCD=90°,OA
B
2,
OD=N7,AB=BC=CD=1,
C
△OBC
6
8
6在解答“判断由长为。、2、的线段组成的三角形
5
5
是不是直角三角形”一题中,小明是这样做的
6
8
6
解:设a=。,b=2,C
b
2
5
5
5
13664
2525c2,由线段a,b,C组成的三角形不是
直角三角形
你认为小明的解答正确吗?请说明理由
解:小明的解答不正确
6
8
理由如下:设a
b=2,c
则a5
5
6
85
4=b2
由线段a,b,C组成的三角形是直角三角形
小明的解答不正确
7.(合肥蜀山区期中)如图,在△ABC中,点D是BC
边上一点,连接AD.若AB=10,AC=17,BD=6
ad=8
(1)求∠ADB的度数
解:(1)∵BD2+AD2=62+82
A
102=AB2,
△ABD是直角三角形
∠ADB=90°
B
(2)求BC的长
(2)∵∠ADB=90°,
ADC=90°
在Rt△ACD中,CD=√AC2-AD2=15,
BC=BD+CD=6+15=21
B
D
C
知识点二勾股数
8.下列各组数为勾股数的是
A.1,1,2
B.4,5,6
C.8,9,10
D6,8,10
9观察下列勾股数:①3,4,5且32=4+5;②5,12,13且
52=12+13;③7,24,25且72=24+25;④9,a,b且
92=a十b.请根据题中规律,求出a,b的值
b=a+1
解:根据题意得
解得
a+b=92,
b=41
B综合运用提升能力
10.(2020·河北中考)如图是用三块正方形纸片以顶
点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五
种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中
