北师大版九年级上册 1.1菱形的性质与判定 第二课时《菱形的判定》学案

菱形的判定
菱形的性质复习：
1．菱形的定义：有一组邻边
的平行四边形叫做菱形．
2．菱形的性质：
性质1：菱形的四条边都
；
性质2：菱形的对角线
．
3.菱形的面积：
（1）
（2）
自主探究
活动1：探下列步骤画出一个平行四边形：
（1）画一条线段长AC＝6cm；
（2）取AC的中点O，再以点O为中点画另一条线段BD＝8cm，且使BD⊥AC；
（3）顺次连接A、B、C、D四点，得到平行四边形ABCD.
猜猜你画的是什么四边形？
归纳结论：菱形的判定方法1：
注意此方法包括两个条件：
（1）该四边形是一个平行四边形；
（2）该四边形的两条对角线互相垂直．
活动2：画一画，作一条线段AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半为半径画弧，两弧分别交于B、D两点，依次连接A、B、C、D.
思考：四边形ABCD是什么四边形？你能证明吗？
归纳结论：菱形的判定方法2：
思考：运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？
菱形判定方法总结：
（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（定义）
数学语言：∵四边形ABCD是____________，且________________
∴四边形ABCD是菱形．
（2）对角线互相垂直的平行四边形．
数学语言：∵四边形ABCD是____________，且________________
∴四边形ABCD是菱形．
（3）四条边都相等的四边形．
．
数学语言：∵AB=CD=_________=__________
∴四边形ABCD是菱形．
典型例题
知识点一：菱形判定方法的证明
【例1】已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD.求证：?ABCD是菱形．
【例2】已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.求证：四边形ABCD是菱形．
【变式2-1】判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
（
）
（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
（
）
（3）邻角相等的四边形是菱形．
（
）
（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．
（
）
（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．
（
）
（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．
（
）
（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
（
）
【变式2-2】能够判别一个四边形是菱形的条件是（
）
A．对角线相等且互相平分
B．对角线互相垂直且相等
C．对角线互相平分
D．一组对角相等且一条对角线平分这组对角
【变式2-3】下列命题正确的是（
）
A．有两组邻角相等的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
知识点二：菱形判定方法的应用
【例3】在?ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB=，OA=2，OB=1.求证：?ABCD是菱形.
【变式3-1】如图?ABCD的对角线AC.
BD交于点O，AB=5，AO=4，BO=3，求证：?ABCD是菱形．
【例4】如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
【变式4-1】如图AD是△ABC的角平分线，DE//AC,交AB于点E，DF//AB，交AC于点F，证明：AD⊥EF.
【例5】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD，AC，BC相交于点
E，O，F
，求证：四边形AFCE是菱形.
【变式5-1】如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线交BC,AD于点E,F，求证：四边形AECF是菱形．
【例6】已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与D相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，求证：四边形EFGH是菱形.
【变式6-1】如图，在四边形ABCD中，AD=BC，点E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点.求证：四边形EGFH是菱形.（中点四边形）
知识点三：折叠问题
【例7】如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连接C′E.你能确定四边形CDC′E的形状吗？证明你的结论.
【例8】如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是
形，并证明你的结论.
【例9】如图所示，将矩形ABCD沿EF对折，使点B与点D重合，折痕为EF，请判断四边形BFDE的形状，并证明你的结论．
课堂训练
A组
1．如图，要使?ABCD成为菱形，下列添加的条件正确的是（　　）
A．AC＝AD
B．BA＝BC
C．∠ABC＝90°
D．AC＝BD
第1题图
第2题图
第3题图
2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB＝BC
B．AC＝BC
C．∠B＝60°
D．∠ACB＝60°
3．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．
4．如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________________________，使ABCD成为菱形．（只需添加一个即可）
第4题图
第6题图
第7题图
5．已知?ABCD两对角线AC，BD相交于点O，AC＝12
cm，BD＝16
cm，AD＝10
cm，则?ABCD为____________．
6．如图，在?ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB，CD的延长线交于点E，F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．
7.
用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
B组
1．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲，乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A与∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
对于甲，乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲正确，乙错误
B．甲错误，乙正确
C．甲，乙均正确
D．甲，乙均错误
2．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是____________（只填写序号）．
3．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．
4．如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：
（1）△AED≌△CFD；
（2）四边形AECF是菱形．
5．如图，已知四边形ABCD为菱形，AE＝CF.
求证：四边形BEDF为菱形.
6.如图所示，已知E为菱形ABCD的边AD的中点，EF⊥AC于F交AB于M．求证：M
为AB的中点．
7.如图，四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，且AC⊥BD，点M，N分别在BD，AC上，且AO＝ON＝NC，BM＝MO＝OD.求证：BC＝2DN.
下列结论正确的是（
）
A.
有一组邻边相等的四边形是菱形
B.
两组邻边相等的四边形是菱形
C.
对角线互相垂直的四边形是菱形
D.
对角线互相垂直平分的四边形是菱形
菱形具有而平行四边形不具有的性质是（
）
A.
对角线互相平分
B.
对角线相等
C.
内角和为360°
D.
对角线互相垂直
3.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
（1）证明：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
4.如图DE是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于F．
（1）求证：四边形AEFD是菱形.
（2）如果，AD=5，求菱形AEFD的面积．
如图，在
ABCD中，BE⊥AD于点E，BF⊥CD于点F，AC与BE，BF分别交于点G，H.
（1）求证：∠ABE=∠CBF.
（2）若BG=BH，求证四边形ABCD是菱形.
（3）在（2）的条件下，若∠DAB＝60°，判断四边形BGDH的形状，并证明.