北师大版九年级数学上册1.2 矩形的性质与判定第二课时矩形的判定学案（无答案）

矩形的判定
旧知回顾
1．矩形的四个角都是
，矩形的对角线
．
2．菱形的判定方法有哪些？
定义法：
判定定理：（1）
　　　　
（2）
自主探究
1．动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点．
思考：
（1）随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
（2）当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？
归纳结论：
的平行四边形是矩形．
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：
的四边形是矩形．
典型例题
知识点一：矩形判定定理的证明
【例1】证明对角线相等平行四边形是矩形
已知：如图，在?ABCD中，AC,DB是它的两条对角线，AC＝DB.求证：?ABCD是矩形．
【例2】有三个角是直角的四边形是矩形
已知∠A＝∠B＝∠C＝90°，证明四边形ABCD是矩形.
知识点二：矩形判定定理的应用
【例3】如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
【变式3-1】已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，点M,N分别为AD,BC的中点.求证：四边形BMDN是矩形.
【变式3-2】如图，已知E,F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：四边形AECF为矩形．
【例4】如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝CF.
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若BD＝EF，连接DE，BF，判断四边形EBFD的形状.
【变式4-1】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：AD=CE；
（2）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由．
【例5】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
【变式5-1】已知：如图，?ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形．
【变式5-2】如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线.AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形.
课堂训练
A组
1．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2．如图，在?ABCD中，对角线AC,
BD相交于点O，OA＝2，若要使?ABCD为矩形，则OB的长应该为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
第2题图
第3题图
第4题图
3．如图，要使?ABCD是矩形，则应添加的条件是_________________（添加一个条件即可）．
4．如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB.求证：四边形ABCD是矩形．
5．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
6．顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是____________．
7．如图，已知MN∥PQ，EF与MN,PQ分别交于A,
C两点，过A,C两点作两组内错角的平分线，交于B、D，则四边形ABCD是____________．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，AB＝5，BC＝12，AC＝13.求证：四边形ABCD是矩形．
B组
已知：线段AB，BC，∠ABC＝90°.求作：矩形ABCD.以下是甲,
乙两同学的作业：
甲：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．
乙：（1）连接AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；（2）连接BM并延长，在延长线上取一点D，使MD＝MB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．
　
图1
图2
第3题图
　对于两人的作业，下列说法正确的是（　　）
A．两人都对
B．两人都不对
C．甲对，乙不对
D．甲不对，乙对
2．已知?ABCD的对角线交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD，使?ABCD是矩形的条件的序号是____________．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE.
BF.当∠ACB为____________度时，四边形ABFE为矩形．
4．如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF.
（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是____________，并证明；
（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．
5.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
（1）求证：OE＝OF；
（2）若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
1．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝6，则AC＝（　　）
A．8
B．10
C．12
D．18
第1题图
第2题图
第3题图
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（　　）
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则下列结论不正确的是（　　）
A．AC⊥BD
B．AC＝BD
C．BO＝DO
D．AO＝CO
4．下列说法正确的是（　　）
A．矩形的对角线互相平分
B．矩形的四条边相等
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的四边形是矩形
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与数轴重合（点C在正半轴上），AB＝5，BC＝12，点A表示的数是－1，则对角线AC,BD的交点表示的数是（　　）
A．5.5
B．5
C．6
D．6.5
第5题图
第6题图
第7题图
6．如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD＝60°，OE⊥AC.若AD＝，则OE＝（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7.如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，∠OAD＝65°.则
∠ODC＝____________.
8．木工做一个矩形桌面，量得桌面的两组对边长分别为15
cm，8
cm，对角线为17
cm，则这个桌面____________（填“合格”或“不合格”）．
9．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE∶∠EDC＝2∶1，求∠BDE的度数．
如图，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE.求证：四边形BECD是矩形．
第10题图
第11题图
第12题图
11．将一个含30°的角的直角三角尺（∠AMF＝90°）按如图所示放置在矩形纸板上，已知矩形纸板的长是宽的2倍，点M是BC边的中点，则∠AFE的度数为____________．
12．如图，在矩形ABCD中，BC＝20
cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3
cm/s和2
cm/s，则最快___________s后，四边形ABPQ成为矩形．
13．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．如图，在?ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，连接CQ.
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．