北师大版九年级数学上册1.2矩形的性质与判定第一课时矩形的性质学案（无答案）

第三讲
矩形的性质
菱形的定义是什么？
答：
2．菱形的性质
菱形的判定
自主探究
1．拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点并观察，它还是一个平行四边形吗？为什么？（演示拉动过程如图）
2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形．
归纳结论：矩形定义：
3．学生观察教师的教具，研究其变化情况后，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形所有性质．
思考：矩形还具有哪些特殊的性质？为什么？
归纳结论：
矩形性质1：矩形的四个角都是
矩形性质2：矩形的对角线
4．矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
5．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，探究AO与BD的数量关系．
归纳结论：
典型例题
知识点一：矩形性质定理证明
【例1】证明矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠C＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
【例2】证明矩形的对角线相等．
已知：如图，四边形ABCD是矩形．求证：AC＝BD.
知识点二：矩形基本性质的应用
【例3】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE=2∠BAE，那么∠BAE=________，∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．
【变式3-1】矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BC的长为6，△OBC的周长是15，求矩形的对角线的长度.
【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB＝3∶1，求∠ACD.
【例4】如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?
【变式4-1】矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知矩形ABCD的面积是12cm2，AB=4cm，求矩形的对角线长.
【例5】如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB，BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．
【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．
【例6】如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．
知识点三：等面积法
【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，
BC＝4，
BE⊥AC于E．试求出BE的长．
【变式7-1】如图，矩形ABCD中，E点在BC上，且AE平分∠BAC.
若BE=4，AC
=15，则△AEC面积为（
）
A.15
B.
30
C.
45
D.
60
【变式7-2】：如图：在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=4cm
,AD=cm.
（1）判定△AOB的形状.
（2）计算△BOC的面积.
【变式7-3】如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点
C＇处，BC＇交AD于E，AD=8，AB=4，BE=5，求△BED的面积.
【例8】如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于
.
知识点四：矩形对角线平分且相等
【例9】矩形的两条对角线相交成60°角，较短边与一条对角线之和为15cm
，则矩形的对角线长为
cm.
【变式9-1】矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（
）
A．57.5°
B．32.5°
C．57.5°，
33.5°
D．57.5°，32.5°
【变式9-2】矩形两条对角线的夹角是120°，短边长4cm；则矩形的对角线长
.
【变式9-3】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AD＝5cm，则AC＝
.
知识点五：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【例10】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为________．
【变式10-1】如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，FD=8cm，则HE的值为
【变式10-2】已知一个直角三角形斜边上的中线长为6cm，那么这个直角三角形的斜边长为______cm.
知识点七：折叠问题
【例11】如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F.
（1）求证：△AFE≌△CFD；
（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积.
【变式12-1】如图,长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,设点D落在D′处,BC交AD′于点E，AB=6cm，BC=8cm，求阴影部分的面积.
【变式12-2】如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处，AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是
【变式12-3】将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为
课堂训练
A组
1．
已知四边形ABCD，若AB∥CD，AD∥BC，且∠A＝90°，则四边形ABCD为____________．
2．下列命题是假命题的是（　　）
A．矩形的对角线相等
B．矩形的对边相等
C．矩形的对角线互相平分
D．矩形的对角线互相垂直
3．如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是（
）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
第3题图
第4题图
第5题图
4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A．∠ABC＝90°
B．AC＝BD
C．OA＝OB
D．OA＝AD
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（　　）
A．8
B．6
C．4
D．2
第6题图
第7题图
第8题图
7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．
8．如图，在矩形ABCD中，点E.
F分别是边AB，CD的中点．求证：DE＝BF.
B组
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10
cm，D为AB的中点，则CD＝____________cm.
第1题图
第2题图
第3题图
2．如图所示，一根长a
m的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离____________（填“发生”或“不发生”）变化．
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AB＝OA＝2
cm，则AD的长为____________．
4．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE＝CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G，H，连接EH，FG.
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF＝DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
1．如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为（　　）
A．14
B．16
C．17
D．18
第1题图
第2题图
第3题图
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为（　　）
A．3
B．3.5
C．2.5
D．2.8
3．如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，且∠AED＝90°，AD＝10，则AB的长为____________．
4．如图，在矩形ABCD中，＝，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD于点E.若AE·ED＝，则矩形ABCD的面积为____________．
5．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：DF＝DC.
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.求证：OE＝OF.