北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定第二课时正方形的判定学案（无答案）

正方形的判定
正方形性质定理复习
1．正方形的四个角都是
，四条边
．
2．正方形的对角线相等且
．
3．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是（
　）
A．8　　　
　B．4　　
　　C．8　　　　D．16
1．活动内容：问题：将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠.
思考.
剪切）
答：
2．思考：由矩形变为正方形还需要哪些条件？由菱形变为正方形还需要哪些条件？
归纳结论：
正方形的判定定理：
（1）对角线相等的菱形是正方形；
（2）有一个角是直角的菱形是正方形；
（3）对角线垂直的矩形是正方形；
（4）有一组邻边相等的矩形是正方形.
3．教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系．
知识点一：正方形的判定定理的应用
【例1】四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　）
A．OA=OB=OC=OD，AC⊥BD
B．AB∥CD，AC=BD
C．AD∥BC，∠A=∠C
D．OA=OC，OB=OD，AB=BC
【变式1-1】下列说法中错误的是（　　）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
【变式1-2】在下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条对角线相等的四边形是矩形
B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【变式1-3】下列命题中，正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是正方形
B．四角相等的四边形是正方形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．对角线相等的菱形是正方形
【例2】如图，在矩形
ABCD
中，BE平分∠
ABC，CE
平分∠
DCB，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形
BECF
是正方形．
【变式2-1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90?，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：四边形CFDE是正方形.
【变式2-2】如图，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线平移至△FEG，DF，FG相交于点H．
（1）判断线段DE.
FG的位置关系，并说明理由；
（2）连结CG，求证：四边形CBEG是正方形．
【变式2-3】：如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别在它的四条边上，且AE=BF=CG=DH.四边形EFGH是什么特殊四边形?你是如何判断的?
知识点二：“添加条件”类型题目
【例3】下列条件之一能使菱形ABCD是正方形的为（　　）
①AC⊥BD
②∠BAD=90°
③AB=BC
④AC=BD．
A．①③
B．②③
C．②④
D．①②③
【变式3-1】已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）
A.选①②
B.选②③
C.选①③
D.选②④
【变式3-2】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
【变式3-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、EF，要使四边形DECF是正方形，只需增加一个条件为　　　　　.
【例4】如图，在△ABC中，点D.
E分别是边BC.
AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD，CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
【变式4-1】平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O点，分别过顶点B，C作两对角线的平行线交于点E，得平行四边形OBEC．
（1）如果四边形ABCD为矩形（如图），四边形OBEC为何种四边形？请证明你的结论；
（2）当四边形ABCD是　
　
形时，四边形OBEC是正方形．
知识点三：中点四边形
【例题5】已知四边形ABCD，顺次连接其四条边的中点，得到新四边形的形状一定是
；若对角线AC与BD互相垂直，得到新四边形的形状一定是
；
若对角线AC与BD相等，得到新四边形的形状一定是
；
若对角线AC与BD互相垂直且相等，得到新四边形的形状一定是
；
小结
原四边形对
角线关系
相等
垂直
相等且垂直
既不相等又
不垂直
中点四边形
形状
菱形
矩形
正方形
平行四边形
【变式5-1】我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形.现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的两条对角线长之和是　　　　.
【变式5-1】
【变式5-2】
【变式5-2】如图，已知矩形ABCD的对角线长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的点，则四边形EFGH的周长等于　
．
A组
1．下列说法不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．有一个角是直角的平行四边形是正方形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（　　）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．正方形
3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）
A．∠D＝90°
B．AB＝CD
C．AD＝BC
D．BC＝CD
4．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（　　）
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
第4题图
第5题图
第6题图
5．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使?ABCD成为正方形（如图）．现有下列四种选法，你认为其中错误的是（　　）
A．①②
B．②③
C．①③
D．②④
6．如图，菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件______________，使四边形ABCD是正方形（填一个即可）．
7．矩形各内角的平分线围成一个（　　）
A．平行四边形
B．正方形
C．矩形
D．菱形
8．如图，把一个矩形纸片对折两次，然后剪下一个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为____________．
B组
1．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF与BE，CE与DF，分别交于点M，N，则四边形EMFN是（　　）
A．正方形
B．菱形
C．矩形
D．无法确定
第1题图
第2题图
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
A．BC＝AC
B．CF⊥BF
C．BD＝DF
D．AC＝BF
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M，N.
（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
4.已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.
（1）求证：△AOD≌△EOC；
（2）连接AC，DE，当∠B＝∠AEB＝_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（
）
A.内角和为360°
B.对角线相等
C.对角线平分内角
D.对角线互相垂直平分
2.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（
）
A.四个角都相等
B.四条边相等
C.对角线相等
D.对角线互相平分
3.一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长，等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm，则这个正方形的面积为（
）
A.24cm2
B.36cm2
C.48cm2
D.64cm2
4.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（
）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
第4题图
第5题图
第6题图
5.如图，E为正方形ABCD内的一点，且△BCE为等边三角形，则∠ABE=
，∠AEB=
，∠AED=
.
6.如图，已知正方形ABCD中，E为对角线AC上的一点，且AE=AB.则∠EBC的度数是
.
7.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是
.
第7题图
第8题图
第9题图
8.如图，四边形ABCD为正方形，以AB为边向正方形外做等边△ABE，交BD于F，则∠AFD=
.
9.如图，正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长是________.
10.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1．以点为中心，把△ADE顺时针旋转900，得△ABE/，连接EE/，则EE/的长等于
.
第10题图
第11题图
11.如图，正方形ABCD的面积等于9cm2，正方形DEFG的面积等于4cm2，则阴影部分的面积为多少？
12.如图，B.
C.
E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG是都是正方形.连接BG，DE，观察猜想BG与DE之间的大小关系，并证明你的结论.
13.如图，点E，F在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由.
14.在正方形ABCD中，E在BC上，且BE=2，EC=1，点P在BD上，求PE+PC的最小值.