§4 逻辑联结词“且”“或”“非”
知识点一 逻辑联结词“且”的理解
[填一填]
用“且”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p且q”，当两个命题p和q都是真命题时，新命题“p且q”是真命题；在两个命题p和q之中，只要有一个命题是假命题，新命题“p且q”就是假命题．
[答一答]
如图：串联电路中，怎样才能使灯泡发光？
提示：闭合任一个开关p(或q)，灯泡均不会发光；当两个开关同时闭合时，灯泡才会发光．
知识点二 逻辑联结词“或”的理解
[填一填]
用“或”联结两个命题p和q，构成一个新命题“p或q”，在两个命题p和q之中，只要有一个命题是真命题时，新命题“p或q”就是真命题，当两个命题p和q都是假命题时，新命题“p或q”是假命题．
[答一答]
如图，并联电路中，怎样才能使灯泡发光？
提示：只闭合一个开关p(或q)，灯泡就会发光；
两个开关均闭合，灯泡也会发光；
两个开关都断开时，灯泡不会发光．
知识点三
逻辑联结词“非”的理解
[填一填]
若命题q是对命题p的否定，我们就称命题q是命题p的非命题，记作綈p，读作“非p”．在命题和它的非命题中，有且只有一个是真命题，也就是说一真一假．
[答一答]
比一比：命题的非命题和否命题的联系与区别．
提示：否命题是对原命题的条件和结论都作否定，否命题与原命题可同真也可同假，也可一真一假，而非命题是对命题的结论作否定，原命题和它的非命题必须一真一假．
1．关于逻辑联结词“且”的几个注意点：
(1)对于“p且q”形式的命题，它的真假情况可用口诀“一假必假”来记忆．
(2)对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念．A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}中的“且”，它是指“x∈A”“x∈B”都要满足的意思，即x既属于集合A又属于集合B.由“且”联结两个命题p，q构成的新命题“p且q”，当且仅当“p真q真”时，“p且q”为真．
2．关于逻辑联结词“或”的几个注意点：
(1)对于“p或q”形式的命题，它的真假情况可用口诀“一真必真”来记忆．
(2)对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念．A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}中的“或”，它是指x∈A，或x∈B中至少有一个是成立的，既可以是x∈A，且x?B；也可以是x∈B，且x?A；还可以是x∈A，且x∈B.逻辑联结词“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一致的，它们都不同于生活中的“或”的含义，生活中的“或”的含义表示“不兼有”，而在数学中“或”的含义则表示“可兼有但不必须兼有”．
(3)“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：
一是“不可兼有”，即“a或b”是指a，b中的某一个，但不是两者．日常生活中有时采用这一解释．例如“你去或我去”，人们在理解上不会认为有你我都去这种可能．
二是“可兼有”，即“a或b”是指a，b中的任何一个或两个．
3．关于逻辑联结词“非”的几个注意点：
(1)对于“非p”形式的命题，它的真假情况可用口诀“真假相对”来记忆．
(2)对“非”的理解，可联想到集合中“补集”的概念．“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”而构成一个新命题“非p”．当p为真时，则“非p”为假，当p为假时，则“非p”为真．
(3)对于用逻辑联结词“且”“或”“非”联结的新命题的结构特点，不能仅从字面上看它是否含有“且”“或”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．例如：5≥3的意思是5>3或5＝3.
类型一 命题的构成形式
【例1】 分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”
“綈p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．
(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数．
【思路探究】 先用逻辑联结词将两个简单命题连起来，再用数学语言综合叙述．
【解】 (1)p或q：6是自然数或是偶数．
p且q：6是自然数且是偶数．
綈p：6不是自然数．
(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直．
p且q：菱形的对角线相等且互相垂直．
綈p：菱形的对角线不相等．
(3)p或q：3是9的约数或是18的约数．
p且q：3是9的约数且是18的约数．
綈p：3不是9的约数．
规律方法
用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形．
判断下列命题的构成形式，若含有逻辑联结词“且”“或”
“非”，请指出其中的p，q.
(1)12能被3或4整除．
(2)2是4和6的约数；
(3)x＝1不是不等式x2－5x＋6>0的解．
解：(1)是“p或q”形式的命题，其中p：12能被3整除；q：12能被4整除．
(2)是“p且q”形式的命题，其中p：2是4的约数；q：2是6的约数．
(3)是“綈p”形式的命题，其中p：x＝1是不等式x2－5x＋6>0的解．
类型二 判断含逻辑联结词的命题的真假
【例2】 指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假．
(1)p：3是13的约数，q：3是方程x2－4x＋3＝0的解；
(2)p：x2＋1≥1，q：3>4；
(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等；
(4)p：1∈{1,2}，q：{1}?{1,2}．
【思路探究】 要正确判断含有逻辑联结词的命题的真假，首先要确定命题的构成形式，再根据p，q的真假判断命题的真假．
【解】 (1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；
(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真；
(4)因为p真q真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
规律方法
判断含逻辑联结词的命题真假的步骤：
(1)确定命题的形式；
(2)判断构成该命题的两个命题的真假；
(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断．
分别指出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题的真假．
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：1是奇数，q：1是质数；
(3)p：5≤5，q：27不是质数；
(4)p：不等式x2＋2x－8<0的解集是{x|－4
2}．
解：(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真．
(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
(3)因为p为5<5或5＝5，而5＝5为真，故p为真，又q也为真，所以“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假．
(4)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假．
类型三 利用含逻辑联结词的真假求参数的取值范围
【例3】 设命题p：函数f(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋loga＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“非p或非q
”也为真，求实数a的取值范围．
【思路探究】 由“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真可知p、q中有一真一假，分别求满足p真q假或p假q真时a的范围．
【解】 当命题p是真命题时，应有a>1；当命题q是真命题时，关于x的方程x2＋2x＋loga＝0无解，所以Δ＝4－4loga<0，解得1综上所述，实数a的取值范围是a≥.
规律方法
由真值表可判断p或q、p且q、非p命题的真假，反之，由p或q、p且q、非p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．
已知c>0，设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：当x∈[，2]时，函数f(x)＝x＋>恒成立，如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求c的取值范围．
解：因为c>0，函数y＝cx为减函数，故命题p为真命题时，0恒成立，得f(x)min>.因为f(x)＝x＋≥2，当且仅当x＝1时，“＝”成立．所以<2，故c>.所以命题q为真命题时c>.由于“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以命题p，q中一真一假．若p真q假，则0
——数学思想——
分类与整合思想的应用
分类与整合思想在高考中占有比较重要的地位，通常以解答题为主，要求考生懂得为什么要分类，如何分类，如何整合，为解决这些问题，考生必须有严谨、周密的逻辑思维能力和一定的分析问题、解决问题的能力．
特别要注意引起分类的原因，我们知道，有些概念就是通过分类定义的，如绝对值的概念，整数分为奇数和偶数等．有些公式和运算法则是分类给出的，例如等比数列的求前n项和公式就分为q＝1和q≠1两种情况，对指数函数和对数函数就分为底数a>1和0根据含有逻辑联结词命题的真假性判断求参数的取值范围问题，常常要运用分类与整合的思想．
【例4】 已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
【解】 若方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根，
则解得m>2，即p：m>2.
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，
解得1即q：1因“p或q”为真，所以p、q至少有一个为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一个为假．
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真．
∴或
解得m≥3或1规律方法
综合问题中对于“p或q”为真，“p且q”为假，同时满足这两个条件的命题p和q必须要在一真一假中进行分类，即p为真，q为假或p为假，q为真．只有分类后再整合，才能得到参数的取值范围．这种题目综合性比较强，往往要合理的等价转化为满足条件的不等式组，要求解题能力较高，这是我们要必须掌握的．
设命题p：不等式|2x－1|解：由|2x－1|由题意得?a＝2.
∴命题p：a＝2.
由4x≥4ax2＋1的解集是?，得4ax2－4x＋1≤0无解，即对任意x∈R,4ax2－4x＋1>0恒成立，
∴
得a>1.
∴命题q：a>1.
由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．
若p、q均为假命题，则?a≤1，故当p、q中至少有一个真命题时，a>1.
∴实数a的取值范围是(1，＋∞).
1．“xy≠0”指的是( A )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少有一个不为0
D．不都是0
解析：因为x，y中只要有一个为0，则xy＝0，所以x与y全不为0.
2．下列“p或q”形式的命题中，是真命题的是( B )
A．x2－x－6>0的解集为{x|x<－1或x>2}
B．10或15是5的倍数
C．7≥8
D．2>3或8＋7≠15
解析：p或q形式的命题中，p，q全为假命题时，p或q为假命题，否则为真命题，只有B项中p：10是5的倍数，q：15是5的倍数，都为真命题，其他选项p或q都为假命题．
3．若命题“p且q”为假命题，且“非p”为假命题，则( B )
A．p或q为假命题
B．q为假命题
C．q为真命题
D．不能判断p，q的真假
解析：因为非p为假命题，则p为真命题，又p且q为假命题，则q为假命题，p或q为真命题．
4．如果命题“非p或非q”是假命题，则下列各结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．
其中正确的有①③(把正确结论的序号填在横线上)．
解析：“非p或非q”是假命题，则非p是假命题，非q为假命题，∴p和q均为真命题，所以p且q为真命题，p或q为真命题．
5．分别写出下列各组命题构成的“p且q”命题，并判断其真假．
(1)p：是有理数，q：是无理数；
(2)p：函数f(x)＝0是奇函数，q：函数f(x)＝0是偶函数；
(3)p：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为?.
解：(1)p且q：是有理数且是无理数．
因为p假，q真，所以“p且q”为假．
(2)p且q：函数f(x)＝0既是奇函数，又是偶函数．
因为p真，q真，所以“p且q”为真．
(3)p且q：不等式x2＋2x＋2>1的解集为R且不等式x2＋2x＋2≤1的解集为?.
因为p假，q假，所以“p且q”为假．
PAGE§3 全称量词与存在量词
知识点一 全称量词与全称命题的定义
[填一填]
(1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．
(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．
[答一答]
将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．
(1)不共线的三点确定一个平面；
(2)平行线不相交；
(3)对顶角相等．
提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．
(2)任意两条平行线都不相交．
(3)每一组对顶角都相等．
知识点二 存在量词与特称命题的定义
[填一填]
在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．
[答一答]
下列各命题中含有的量词分别是什么？
(1)任意实数的平方都是正数；
(2)0乘以任何数都等于0；
(3)任何一个实数都有相反数；
(4)△ABC的内角中有小于60°的角．
提示：(1)任意 (2)任何 (3)任何 (4)有
知识点三 全称命题、特称命题的否定形式
[填一填]
(1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．
[答一答]
1．命题的否定和否命题的区别与联系．
提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．
2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？
提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．
1．关于全称量词和全称命题的几个注意点：
(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．
(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“所有”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义．
(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对任意a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5时，上式自然是正确的．
2．特称命题的真假判定：
要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成立即可；否则，这一特称命题为假．
3．常见量词的否定形式：
类型一 全称命题、特称命题的判断
【例1】 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．
(1)对任意x∈R，x2>0；
(2)有些无理数的平方也是无理数；
(3)正四面体的各面都是正三角形；
(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；
(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；
(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．
【思路探究】 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．
【解】 (1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．
规律方法
判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：
(1)若命题中含有量词，则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；
(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．
判断下列语句是否是全称命题或特称命题．
(1)有一个实数a，a不能取对数．
(2)所有不等式的解集A，都有A?R.
(3)三角函数都是周期函数吗？
(4)有的向量方向不定．
(5)自然数的平方是正数．
解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．
类型二 全称命题、特称命题的否定形式
【例2】 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
【思路探究】 全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
【解】 (1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：所有的四边形都是平行四边形．
规律方法
解题时要注意存在量词、全称量词的不同表示形式．
特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：任意x∈A，非p(x)；
全称命题q：任意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．
判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．
(1)有理数都能写成分数的形式；
(2)方程x2＋2x＋8＝0有实数解；
(3)有一个素数是偶数；
(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0成立．
解：(1)是全称命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．
(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0成立”，命题的否定为：对任意实数x，方程x2＋2x＋8＝0不成立，为真命题．
(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：所有的素数都不是偶数，为假命题(2是素数，也是偶数)．
(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0成立．
类型三 利用全称命题、特称命题求参数的取值范围
【例3】 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，试求x的取值范围．
【思路探究】 本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．
【解】 不等式x2＋px>4x＋p－3恒成立，即(x－1)p＋x2－4x＋3>0恒成立，构造函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3.
当x＝1时，f(p)＝0，不满足f(p)>0，
∴f(p)表示p的一次函数．
∵p∈[0,4]，∴函数f(p)的图像是一条线段，要使f(p)>0在[0,4]上恒成立，需满足
即
解得x<－1或x>3.
所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
规律方法
全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”
已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．
解：|f(x)|≤1?－1≤f(x)≤1?－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①
当x＝0时，a≠0，①式显然成立；
当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．
设t＝，则t∈[1，＋∞)，
则有－t2－t≤a≤t2－t，
所以只需
?－2≤a≤0，又a≠0，
故－2≤a<0.
综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．
——规范解答——
根据全称命题、特称命题
的真假确定参数范围
【例4】 若命题“存在x0∈R，使ax＋2x0＋a<0成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【思路分析】 解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x轴下方一定有图象，这是函数思想的应用．
【解】 设函数f(x)＝ax2＋2x＋a，
原命题为真等价于函数f(x)在x轴下方有图象．
当a＝0时，f(x)＝2x，满足题意；
当a<0时，二次函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，
在x轴下方一定有图象，满足题意；
当a>0时，只需4－4a2>0，所以0综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．
(1)若命题“对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题“存在实数x，使不等式sinx＋cosx>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．
解：(1)令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin≥－，
又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，
∴只要m<－即可．
∴所求m的取值范围是(－∞，－)．
(2)令y＝sinx＋cosx，x∈R，
∵y＝sinx＋cosx＝sin∈[－，]．
又∵存在x∈R，使sinx＋cosx>m有解，
∴只要m<即可，
∴所求m的取值范围是(－∞，)．
1．下列特称命题是真命题的是( B )
A．存在x∈R，使x2<0
B．有的三角形是等边三角形
C．有的偶数不能被2整除
D．平面内存在一个四边形的内角和小于360°
解析：A，C，D均为假命题，B是真命题．
2．给出下列四个命题：
①对任意的x∈R，x2>0；
②存在x∈R，使得x2≤x成立；
③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；
④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.
其中真命题的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：存在x＝0，使x2＝0，故①是假命题；显然②③④都是真命题．
3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是( C )
A．某些平行四边形不是矩形
B．每一个平行四边形都是矩形
C．每一个平行四边形都不是矩形
D．以上都不对
解析：先否定结论，再把量词“某些”变成“每一个”．
4．命题“所有偶函数的图像关于y轴对称”是真命题(填“真”或“假”)．其命题的否定为存在一个偶函数的图像不关于y轴对称，是假命题(填“真”或“假”)．
5．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)所有能被5整除的整数的末位数字都是0；
(2)有的等腰三角形是直角三角形；
(3)任意两个等边三角形都是相似的．
解：(1)存在一个能被5整除的整数的末位数字不是0，真命题；
(2)所有的等腰三角形都不是直角三角形，假命题；
(3)存在两个等边三角形不相似，假命题．
PAGE§2 充分条件与必要条件
知识点一 充分条件的定义
[填一填]
“若p，则q”形式的命题为真命题是指：由条件p可以得到结论q，通常记作：p?q，读作“p推出q”，此时我们称p是q的充分条件．
[答一答]
1．判定定理中的条件是结论的充分条件你是怎样理解的？
提示：只要有条件p，就一定有结论q，即p对于q是充分的，也就是说，为了得到结论，具备条件p就足够了，可表示为p?q.
2．p是q的充分条件和p的充分条件是q是一回事吗？
提示：不是．p是q的充分条件是指p是条件，q是结论．即p?q；
p的充分条件是q是指q是条件，p是结论，即q?p.
知识点二 必要条件的定义
[填一填]
如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p?q，称p是q的充分条件，同时，我们称q是p的必要条件．
[答一答]
对p是q的充分条件和q是p的必要条件你是怎样理解的？
提示：p是q的充分条件和q是p的必要条件都可得出“若p，则q”是真命题，即p?q，对同一个真命题，条件是结论的充分条件，而结论是条件的必要条件．
知识点三
充要条件的定义
[填一填]
(1)如果“若p，则q”形式的命题为真命题，即p?q，同时“若q，则p”也为真命题，即q?p，由于p?q，所以p是q的充分条件；由于q?p，所以p是q的必要条件，在这种情况下，我们称p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)我们常用“当且仅当”来表达充要条件．p是q的充要条件也可以说成：p成立当且仅当q成立．如果p，q分别表示两个命题，且它们互为充要条件，我们通常称命题p和命题q是两个相互等价的命题．
[答一答]
如果p是q的充要条件，则命题“若p，则q”和它的逆命题的真假性如何？
提示：因p是q的充分条件，则命题“若p，则q”是真命题，p是q的必要条件，则“若q，则p”是真命题，即命题“若p，则q”的逆命题也是真命题．
1．关于充分条件的几个注意点：
(1)处理充分条件的问题时，首先要分清条件和结论，然后才能进行推理和判断．
(2)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则p是q的充分条件；若命题为假，则p不是q的充分条件．
2．关于必要条件的几个注意点：
(1)对于“若p，则q”形式的命题，若命题为真，则q是p的必要条件；若命题为假，则q不是p的必要条件．即充分条件、必要条件主要是与判断“若p，则q”形式的命题的真假相关的，在理解这些概念时要注意结合具体的实例，这样有利于培养理论联系实际、分析问题、解决问题的能力．
(2)在判断条件p和结论q之间的因果关系时：
①分清条件是什么，结论是什么．
②尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件．推理方法可以是直接证法、间接证法(即反证法)，也可以举反例说明其不成立．
③指出条件是结论的什么条件．
3．对于充要条件的几个注意点：
(1)一般地，关于充要条件的判断主要有以下几种方法：
①定义法：直接利用充要条件的定义判断．
②等价法：“p?q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明一个命题成立时，就可以去证明它的等价命题成立．
③利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么，若p?q，则p是q的充分条件；若q?p，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
(2)从集合的观点看，充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的区别是：首先建立与p，q相应的集合，即p：A＝{x|x满足条件p}，q：B＝{x|x满足条件q}.
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定
【例1】 下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a，b，c成等比数列，q：b＝；
(2)p：y＋x>4，q：x>1，y>3；
(3)p：a>b，q：2a>2b；
(4)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC为等腰三角形．
【思路探究】 可先看p成立时，q是否成立，再反过来若q成立时，p是否成立，从而判定p，q间的关系．
【解】 (1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，b＝±，则p?q；若b＝，当a＝0，b＝0时，a，b，c不成等比数列，即q?p，故p是q的既不充分也不必要条件．
(2)y＋x>4不能得出x>1，y>3，即p?q，而x>1，y>3可得x＋y>4，即q?p，故p是q的必要不充分条件．
(3)当a>b时，有2a>2b，即p?q，当2a>2b时，可得a>b，即q?p，故p是q的充要条件．
(4)解法1：若△ABC是直角三角形不能得出△ABC为等腰三角形，即p?q；若△ABC为等腰三角形也不能得出△ABC为直角三角形，即q?p，故p是q的既不充分也不必要条件．
解法2：如图所示：p，q对应集合间无包含关系，故p是q的既不充分也不必要条件．
(1)已知a，b，c是实数，则“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)设p：x<3，q：－1A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：(1)若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立；若a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故“a，b，c成等比数列”是“b2＝ac”的充分不必要条件．
(2)因为(－1,3)?(－∞，3)，所以p是q成立的必要不充分条件．
类型二 充要条件的证明
【例2】 证明：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
【思路探究】 在证明充要条件的问题时，我们一般都要从充分性和必要性两个方面证明，证明充分性就是证明“p?q”，证明必要性就是证明“q?p”．
【证明】 (1)充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx(k≠0)．∵f(－x)＝k(－x)＝－kx，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)必要性：∵f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，
∴b＝0.
综上可知，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.
规律方法
充要条件一定要从充分性和必要性两个方面加以证明，缺一不可．即证明“条件”?“结论”和“结论”?“条件”．证明过程中两个方面又是相互独立的．
求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明：先证必要性：
∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.
∴a×12＋b×1＋c＝0，
即a＋b＋c＝0.∴必要性成立．
再证充分性：
∵a＋b＋c＝0，
∴c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得：ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋b＋a)＝0.
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.
故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
类型三 利用充分性、必要性确定参数的范围
【例3】 已知p：关于x的不等式【思路探究】 求出q对应的集合，然后把问题转化为集合间的包含关系求解．
【解】 记A＝{x|B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0若p是q的充分不必要条件，则A?B.
注意到B＝{x|0(1)若A＝?，即≥，
解得m≤0，此时A?B，符合题意；
(2)若A≠?，即<，解得m>0，要使A?B，
应有解得0综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3)．
规律方法
将充分、必要条件转化为集合的包含关系，是解决该类问题的一种有效的方法，关键是准确把p、q用集合表示，借助数轴，利用数形结合的方法建立方程或不等式，求参数的范围．
是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围．
解：存在．解不等式x2－x－2>0，得x>2或x<－1.
由4x＋p<0，得x<－.
若当x<－时，x>2或x<－1成立，则有－≤－1，即p≥4.
所以当p≥4时，－≤－1?x<－1
?x2－x－2>0，
所以当p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．
——数学思想——
等价转化思想的应用
(1)等价转化思想：等价转化要求转化过程中的前因后果是充要条件的关系，因此，等价转化保证了转化后的结果仍是原问题所需要的结果．一般地，除了部分证明题以外，多数问题如解方程、解不等式、代数式的运算与变形等都是等价转化．
(2)化归与转化应遵循的基本原则：
①熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和表达形式来解决．
②简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
③直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．
④正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从反面去探求，使问题获解．
【例4】 求ax2＋2x＋1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件．
【思路分析】 至少有一负根等价于方程有一正根和一负根和方程有两负根．
【解】 若方程有一正根和一负根，等价于
?a<0.
若方程有两负根，等价于?0综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a<0或0由以上推理的可逆性知：当a<0时方程有异号两根；
当0故a<0或0所以ax2＋2x＋1＝0(a≠0)至少有一负根的充要条件是a<0或0已知(x＋1)(2－x)≥0的解为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0(m>－)的解为条件q.若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：设条件p的解集为集合A，则A＝{x|－1≤x≤2}，
设条件q的解集为集合B，则
B＝{x|－2m－1若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，
故有
1．设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，由|a·b|＝|a||b|可得cos〈a，b〉＝±1，从而〈a，b〉＝0或π，所以a，b方向相同或相反，可得a∥b.反过来，若a∥b，也一定能得到|a·b|＝|a||b|.
2．设集合A，B，则A?B是A∩B＝A成立的( C )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由A?B，得A∩B＝A；反过来，由A∩B＝A，且(A∩B)?B，得A?B.因此，A?B是A∩B＝A成立的充要条件．
3．设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查点与直线位置关系，充要条件．当x＝2，y＝－1时，有2－1－1＝0成立，此时P(2，－1)在直线上，而点P(x，y)在直线并不确定有“x＝2且y＝－1”．
4．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的( A )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意知，函数f(x)＝函数f(x)在[a，＋∞)上单调递增．当a＝1时，函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，当然在[2，＋∞)上为增函数，反之不成立，故选A.
5．已知命题p：|x－8|≤2，q：>0，r：x2－3ax＋2a2<0(a>0)．若命题r是命题p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．
解析：命题p：6≤x≤10；命题q：x>1；命题r：aPAGE第一章
常用逻辑用语
本章知识要览
本章主要讲述常用逻辑的基本知识，包括命题、充分条件和必要条件、全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”等一些基础知识．
逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，学习数学需要全面地理解概念，正确地表述概念和结论，进行推理和论证都要使用逻辑用语，这就离不开对逻辑知识的掌握和运用．学习一些逻辑用语，可以使我们正确理解数学概念，合理论证数学结论，准确表达数学内容．
本章的重点知识：充分条件与必要条件的判断，全称量词和全称命题、存在量词和特称命题，含有量词的命题的否定，逻辑联结词“且”“或”“非”的应用．
本章的难点知识：充分条件与必要条件的应用，对一些代数命题真假的判断，含有量词的命题的否定等．
本章的易错知识：复合命题的真假判断，充分条件与必要条件的判断，否命题与命题的否定的关系．
1．注意和初中及高中已学过的知识相衔接，形成良好的知识体系，在此基础上再根据本章知识特点，较快地吸收新的知识，形成新的知识结构．
2．反复推敲思考本章各知识点的含义和各种表示方法，对容易混淆的知识点仔细辨识、区别，达到熟练掌握，逐步建立和逻辑知识结构相适应的理论体系和思考方法．
3．通过本章的学习，要努力培养自己的观察、比较、抽象、概括能力，提高准确表述数学问题和实际问题的意识和能力，培养科学的、严谨的学习态度．
§1 命题
知识点一 命题的概念
[填一填]
(1)可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)命题“2∈N”，“∈N”可以判断真假，命题“2∈N”是正确的，是真的，叫作真命题．命题“∈N”是错误的，是假的，叫作假命题．
(3)通常把命题表示为“若p，则q”的形式，其中p是条件，q是结论．
[答一答]
1．是不是所有语句都能判断真假？所有命题都可改写成“若p，则q”的形式？
提示：不是．如π是无理数吗？(未涉及真假)；x>1(不能判断真假)，所以并不是所有语句都能判断真假．所有命题都可改写成“若p，则q”的形式，真命题是p成立，则q一定成立，而假命题是p和q相矛盾，或p成立，而q不一定成立．
2．如何说明一个命题是假命题？
提示：明显违背定理、定义、概念或事实的命题是假命题，或者能够举出符合命题的条件p，而不符合命题的结论q的特殊例子(反例)的，也是假命题．
知识点二 四种命题
[填一填]
(1)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这样的两个命题叫作互为逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题就叫作原命题的逆命题．
(2)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫作互为否命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题就叫作原命题的否命题．
(3)如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫作互为逆否命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆否命题．
(4)四种命题间的相互关系如图所示
[答一答]
互为逆命题的两个命题的真假情况，互为否命题的两个命题的真假情况，以及互为逆否命题的两个命题的真假情况是否一致？
提示：四种命题：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
假
假
假
假
真
真
假
因此：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互逆或互否，它们的真假性没有关系．
1．“用文字或符号表述的语句”的含义是：用文字语言叙述、数学符号或数学关系式(如方程、不等式、函数关系式)等
表述的语句．如“若x2＋y2＝0(x∈R，y∈R)，则x＝0，y＝0”就是一命题．
2．如：x2－1＝0，x>2，上述语句中含有变量x，在没有给定变量的值之前，是无法确定其真假的．像这种含有变量的语句，叫开语句．开语句不是命题．
3．要判断一个语句是不是命题，还要看它是否符合“可以判断真假”这个条件．
例如，a：“12>5”；b：“3是12的约数”；c：“0.5是整数”都是命题，其中a，b是真的，叫作真命题；c是假的，叫作假命题．
又如，d：“这是一棵大树”；e：“x<2”．由于“大树”没有界定，就不能判断“这是一棵大树”的真假；由于x是未知数，也不能判断“x<2”是否成立．故d，e都不是命题．
4．数学中有一些命题虽然表面上不是“若p则q”的形式，但是把它的表述作适当改变，也可以写成“若p，则q”的形式．
5．在把命题改写成“若p，则q”的形式时，应分清命题的条件和结论分别是什么，然后将条件写在前，结论写在后即可．注意命题形式的改变并不改变命题的真假．
6．将含有大前提的命题改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍要作为大前提，不能写在条件中．
7．学习四种命题时，原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，两个等价命题具有相同的真假性．
8．在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么是0个，要么是2个，要么是4个．
9．四种命题之间的关系，还提供了一个判断命题真假的方法，由于互为逆否命题的两个命题是等价命题，它们同真假，所以当一个命题不易判断真假时，可以通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假．
类型一 命题的概念与命题真假的判断
【例1】 判断下列语句哪些是命题．若是命题，则判断其真假．
(1)地球是太阳系的一颗行星．
(2)0?N.
(3)空集是任何非空集合的子集．
(4)指数函数是增函数吗？
(5)求|x＋a|.
(6)若整数a是素数，则a是奇数．
(7)求证：为无理数．
【思路探究】 (4)(5)(7)不是陈述句，故一定不是命题；其他都是陈述句，且都能判断其真假，故都是命题．
【解】 (1)是命题，且为真命题．(2)是命题，且为假命题．(3)是命题，且为真命题．(4)是疑问句，不是命题．(5)是祈使句，不是命题．(6)是命题，且为假命题．(7)是祈使句，不是命题．
规律方法
根据命题的定义，判断一个语句是否为命题，一要看其是否为陈述句，二要看其是否能判断真假，两者缺一不可．
(1)“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的诗《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( A )
A．红豆生南国
B．春来发几枝
C．愿君多采撷
D．此物最相思
(2)已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为( C )
A．①②③
B．①②
C．①③
D．②③
解析：(1)“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不能判断真假，不是命题，故选A.
(2)对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
类型二 四种命题的关系
【例2】 分别写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断这四个命题的真假．
(1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
(2)若k>0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0必有两个相异实根；
(3)四条边相等的四边形是菱形．
【思路探究】 →→
【解】 (1)逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0；
否命题：若一个整数的末位数字不是0，则这个整数不能被5整除；
逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.
逆命题和否命题是假命题，原命题和逆否命题是真命题．
(2)逆命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0有两个相异实根，则k>0.
否命题：若k≤0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根．
逆否命题：若方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0没有两个相异实根，则k≤0.
原命题和逆否命题是真命题，逆命题和否命题是假命题．
(3)原命题可以改写成：若一个四边形的四条边相等，则它是菱形．
逆命题：若一个四边形是菱形，则它的四条边相等；
否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是菱形；
逆否命题：若一个四边形不是菱形，则它的四条边不全相等．
原命题和逆否命题是假命题，逆命题和否命题是真命题．
规律方法
根据原命题写出其他命题的方法：
要写出一个“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题、逆否命题，只需要根据定义把命题的条件和结论进行交换即可得逆命题，把条件和结论同时否定即可得否命题，把条件和结论互换后同时否定即可得逆否命题．写其他命题时需要注意以下几点：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，要写出其他三种命题，应先把命题改写成“若p，则q”的形式，以分清原命题的条件和结论．
(2)当一个命题有大前提时，写其他三种命题时必须保留大前提，也就是大前提始终不动．
(3)对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．
分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．
(1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零；
(2)已知a，b，c为实数，若a＝b，则ac＝bc.
解：(1)逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题．
逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．
(2)逆命题：已知a，b，c为实数，若ac＝bc，则a＝b，假命题．
否命题：已知a，b，c为实数，若a≠b，则ac≠bc，假命题．
逆否命题：已知a，b，c为实数，若ac≠bc，则a≠b，真命题．
类型三 逆否命题的应用
【例3】 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．
【思路探究】 本题可直接写出其逆否命题并判断其真假，也可直接判断原命题的真假来推断其逆否命题的真假．
【解】 解法1：其逆否命题为：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．判断如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
因为a<1，所以4a－7<0，即Δ<0.
所以抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真命题．
解法2：先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥.
因为>1，所以a≥1.
所以原命题为真命题．
又因为原命题与其逆否命题真假相同，所以逆否命题为真命题．
规律方法
由于互为逆否命题的两个命题有相同的真假性，当一个命题的真假不易判断时，可以通过判断其逆否命题真假的方法来判断该命题的真假．
判断命题“若a>0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
解：解法1：原命题：若a>0，则x2＋x－a＝0有实根．
逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，
则a≤0.
∵x2＋x－a＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a<0，即a<－，
∴“若x2＋x－a＝0无实根，
则a≤0”为真命题．
解法2：∵a>0，
∴方程x2＋x－a＝0的根的判别式Δ＝1＋4a>0，
∴方程x2＋x－a＝0有实根，
∴原命题“若a>0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，
∴“若a>0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真命题．
类型四 由命题的真假确定参数的取值范围
【例4】 已知p：5x－1>a，q：x>1，试确定实数a的取值范围，使得：(1)“若p，则q”为真命题；(2)“若q，则p”为真命题．
【思路探究】 →
【解】 (1)“若p，则q”即“若x>，则x>1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4.故实数a的取值范围为[4，＋∞)．
(2)“若q，则p”即“若x>1，则x>”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4.故实数a的取值范围为(－∞，4]．
规律方法
已知命题的真假求参数的解题思路：
利用命题的真假求参数取值范围的题目常与不等式相结合．
(1)命题“若p，则q”为真命题，即由p可以推出q，根据题意建立相应的不等式或方程求解．若命题是假命题，则命题的“对立面”就是真命题，命题与其“对立面”的关系是“交集为空集，并集为全集”．
(2)涉及两个命题的题目往往是先假设命题甲和乙都是真命题，求出参数的取值范围．若为假命题，则参数的取值范围就是设之为真命题时的补集．若题中命题甲、乙一真一假，则需分类讨论：甲真乙假、甲假乙真，分别求出参数的取值范围，最后取并集．
已知命题：若x2＋3x＋2<0，则－2解：逆命题：若－2——数学思想——
分类讨论数学思想的应用
“命题一真一假”是常考题型，应引起重视，其解决方法是分两种情况讨论：一种是p真且q假，另一种是p假且q真．然后求两部分的并集．
【例5】 设有两个命题p：|x|＋|x＋1|≥m的解集为R，q：函数f(x)＝－(7－3m)x是减函数，若这两个命题中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
【思路分析】 先把命题p和命题q的m的范围解出来．再分情况讨论．
【解】 若命题p为真，则可得m≤1；若命题q为真，则7－3m>1，即m<2.
∵命题p和q中有且只有一个为真命题有两种情况：
①p真，q假；②p假，q真．
由①得∴m∈?，由②得
∴1故m的取值范围为{m|1P：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；Q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根，如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．
解：P真：a＝0时显然成立；a≠0时，即?01．下列语句不是命题的有( C )
①x2－3＝0；②与一条直线相交的两直线平行吗？
③3＋1＝5；④5x－3>6.
A．①③④
B．①②③
C．①②④
D．②③④
解析：命题是能够判断真假的语句．①②④不能判断真假，故①②④不是命题．
2．有下列四个命题，其中真命题是( C )
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“面积相等的三角形全等”的否命题；
③“若m≤1，则方程x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④“若M∩P＝P，则M?P”的逆否命题．
A．①②
B．②③
C．①②③
D．③④
解析：若M∩P＝P，则P?M，故原命题为假命题，则其逆否命题也为假命题，其他三个命题为真命题．
3．给出四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2；②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0；③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0；④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么( A )
A．①的逆命题为真
B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假
D．④的逆命题为假
解析：①的逆命题为“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”其为真命题，故①的逆命题为真．
4．“a2＋b2≠0”的含义为( A )
A．a，b不全为0
B．a，b全不为0
C．a，b至少有一个为0
D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0
解析：“若a2＋b2≠0，则a，b至少有一个不为0”，即a，b不全为0.
5．判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，且b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)对任意x∈N，x3>x2；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
解：(1)假命题．举例如a＝1，b＝2，c＝3，d＝0.而a≠c，b≠d，则a＋b＝c＋d.
(2)假命题．当x＝0时，x3＝x2，故对任意x∈N，x3>x2为假命题．
(3)真命题．方程x2－2x＋m＝0无实数根，则Δ＝(－2)2－4m<0，解得m>1.
(4)假命题．任何三角形均有外接圆，故为假命题．
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