4．2 圆锥曲线的共同特征
4．3 直线与圆锥曲线的交点
知识点
圆锥曲线的共同特征及直线与圆锥曲线的交点
[填一填]
1．圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0
1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1时，圆锥曲线是抛物线．
2．直线与圆锥曲线的交点
设M(x0，y0)是曲线C1：f(x，y)＝0和C2：g(x，y)＝0的一个交点．因为点M在曲线C1上，所以它的坐标满足方程f(x，y)＝0；因为点M在曲线C2上，所以它的坐标也满足方程g(x，y)＝0.从而，曲线C1和C2的任意一个交点的坐标都满足方程组反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线某一个交点的坐标．
[答一答]
直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点．反之，直线与圆锥曲线只有一个交点时，一定相切，这种说法对吗？为什么？
提示：直线与圆锥曲线相切时，有且只有一个交点，是正确的．但直线与圆锥曲线只有一个交点时，不一定相切．
因为直线与双曲线、抛物线只有一个交点时，还有相交的情况，若直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都属直线与双曲线、直线与抛物线相交，而非相切．
1．椭圆的第二定义的几个注意点：
(1)椭圆的第二定义的集合语言叙述为：点集P＝{M|＝e,0(2)由椭圆的第二定义知，椭圆上任意一点到焦点的距离与它到相应准线的距离之比都等于离心率．
(3)由椭圆的对称性知，椭圆有两条准线，且两准线间的距离为.
(4)该定义中需注意定点F不在定直线l上．
2．双曲线的第二定义的几个注意点：
(1)第二定义中的定直线是任意直线，定点也是任意的，这样得到的双曲线方程，不一定是标准形式．
(2)应用双曲线的第二定义要把握两个关键点：(ⅰ)是点到焦点的距离比点到准线的距离；(ⅱ)必须是点到焦点的距离与点到对应准线的距离比，求双曲线的方程一般采用定义法和待定系数法．
3．点与椭圆的位置关系：
已知点P(x0，y0)，椭圆C：＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆C的位置关系有：
若＋<1，则点P在椭圆内；若＋＝1，则点P在椭圆上；若＋>1，则点P在椭圆外．
4．直线与圆锥曲线位置关系的综合问题：
常见的题型有：位置关系的判定、弦长问题、弦的中点问题、对称问题以及存在性、参数范围问题等．
解决此类问题要综合运用解析几何及其他的数学知识灵活处理，提高推理、运算能力和分析问题、解决问题的能力．
解析几何与代数的综合试题，是历年高考的热点，高考的形势是越来越强调在知识的交汇点命题，所以，平时应注重这方面试题的解答与练习．
5．直线与圆锥曲线交点个数的判定：
对于直线l：y＝kx＋l，圆锥曲线C：f(x，y)＝0，它们的交点个数通常有以下两种判定方法：
(1)解方程组求得实数解的组数就是直线与圆锥曲线的交点个数．
(2)联立方程组消去y(或x)得到形如ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)的方程，其判别式为Δ＝b2－4ac，其中a≠0，则
①当Δ＞0时，方程有两个不等的实数解，直线与圆锥曲线有两个交点；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数解，直线与圆锥曲线有一个交点；
③当Δ＜0时，方程无实数解，直线与圆锥曲线没有交点．
类型一 圆锥曲线共同特征的应用
【例1】 曲线上的点M(x，y)到定点F(5,0)的距离和它到直线l：x＝的距离之比是常数.
(1)求此曲线方程；
(2)在曲线求一点P使|PF|＝5.
【思路探究】 (1)可由|MF|与d(d为M到l：x＝的距离)比为，列出M(x，y)满足的关系，进而求出曲线的方程．
(2)由|PF|＝5，可得P到l的距离为4，从而可求得P的坐标．
【解】 (1)设d是点M到定直线l的距离，根据题意，曲线上的点M满足＝，
由此得＝，
即＝，
两边平方整理得－＝1.
(2)设P(x，y)到l的距离为d，由|PF|＝5，得d＝4.即＝4，解得x＝或x＝－.由于|x|≥4，故x＝－不合题意，舍去．
由x＝得y＝±.
∴点P的坐标为.
规律方法
圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．
已知动点M(x，y)到点F(－2，0)的距离与到定直线x＝－6的距离之比为，求点M的轨迹方程．
解：方法1：由题意得＝，整理，得＋＝1，即为点M的轨迹方程．
方法2：由椭圆的第二定义可知点M的轨迹是椭圆，其中c＝2，－＝－6，则a2＝24，即a＝2，又e＝＝＝，与已知条件相符．故椭圆中心在原点，其方程为＋＝1.
类型二 圆锥曲线的最值
【例2】 已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两个点，M是椭圆上的动点．
(1)求|MA|＋|MB|的最大值和最小值；
(2)求|MB|＋|MA|的最小值及此时点M的坐标．
【思路探究】 (1)利用椭圆的第一定义，数形结合确定最值；(2)注意到e＝，则|MA|＝，即点M到右准线的距离，可利用数形结合求何时取得最小值．
【解】 (1)如图，连接MF，BF，由＋＝1，得a＝5，b＝3，c＝4，故椭圆的右焦点为A(4,0)，左焦点为F(－4，0)．
∵|MA|＋|MF|＝2a＝10，
∴|MA|＋|MB|＝10－|MF|＋|MB|.
∵||MB|－|MF||≤|BF|＝＝2，
∴－2≤|MB|－|MF|≤2，
∴10－2≤|MA|＋|MB|≤10＋2，
即|MA|＋|MB|的最大值为10＋2，最小值为10－2.
(2)由题意得椭圆的右准线方程为x＝.如上图所示，过点M作MM′垂直于椭圆的右准线，设垂足为点M′，则点M到右准线的距离为|MM′|，由椭圆的第二定义，得＝e＝，
∴|MA|＝|MM′|，
∴|MB|＋|MA|＝|MB|＋|MM′|.
由上图，易知当点B，M，M′共线时，|MB|＋|MM′|取得最小值，|BM′|＝－2＝.将y＝2代入椭圆方程，有＋＝1，
∴x＝(舍去负值)．
故|MB|＋|MA|的最小值为，此时点M的坐标为(，2)．
规律方法
凡涉及圆锥曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离问题，利用圆锥曲线的第二定义可进行两种距离的转化，从而达到求值的目的．要注意的是，对于椭圆与双曲线，各有两个焦点，曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离之比才是离心率．同时，解题时还要关注是“动点到焦点的距离与到相应准线的距离之比”，还是“动点到准线的距离与到相应焦点的距离之比”，切忌混淆．
已知点A(3,2)，F(2,0)，在双曲线x2－＝1上求一点P，使|PA|＋|PF|的值最小．
解：由题意知a＝1，b＝，则c＝2，e＝＝2.
设点P到焦点F(2,0)相应的准线的距离为d，则＝2，即|PF|＝d，于是|PA|＋|PF|＝|PA|＋d.
这样问题就转化为在双曲线x2－＝1上求一点P，使点P到定点A(3,2)的距离与到右准线的距离之和最小，即当直线PA垂直于准线时符合题意，此时点P的坐标为(，2)．
类型三 直线和圆锥曲线的交点问题
【例3】 已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，求弦AB的长．
【思路探究】 可先求出A、B两点坐标再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解．
【解】 方法1：∵直线l过椭圆＋＝1的右焦点F1(1,0)，
又直线的斜率为2，
∴直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
由方程组
得交点A(0，－2)，B(，)．
则|AB|＝
＝
＝＝.
方法2：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A、B的坐标为方程组的解．
消y得3x2－5x＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
方法3：由方程组
消x得3y2＋2y－8＝0.
则y1＋y2＝－，y1y2＝－.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝.
规律方法
关于弦长的求法基本思路是：(1)求出端点坐标，利用两点间的距离公式求解．(2)结合根与系数的关系，利用变形公式l＝或l＝求解．(3)把弦长看成某一线段的长，利用平面几何方法求解．
椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，a＋b＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：2m－k为定值．
解：(1)因为e＝＝，
所以a＝c，b＝c.代入a＋b＝3得，
c＝，a＝2，b＝1.
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)(k≠0，k≠±)．①
①代入＋y2＝1，解得P(，－)．
直线AD的方程为：y＝x＋1.②
①与②联立解得M(，)．
由D(0,1)，P(，－)，N(x,0)三点共线知＝，解得N(，0)．
所以MN的斜率为m＝
＝＝，
则2m－k＝－k＝(定值)．
——多维探究——
圆锥曲线探索性问题的探究
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．
【解】 (1)因为e＝，所以＝，于是a2＝3b2.
设椭圆C上任一点P(x，y)，
则|PQ|2＝x2＋(y－2)2＝a2＋(y－2)2＝－2y2－4y＋4＋3b2(－b≤y≤b)．
当0当b≥1时，|PQ|2在y＝－1时取到最大值，且最大值为3b2＋6，由3b2＋6＝9解得b2＝1.
于是a2＝3，椭圆C的方程是＋y2＝1.
(2)假设点M(m，n)存在，则有m2＋n2>1.
∵|AB|＝2，
∴S△OAB＝
·2
＝.
∵m2＋n2>1，
∴0<<1，∴1－>0.
当且仅当＝1－，
即m2＋n2＝2>1时S△OAB有最大值.
由得
所以所求M的坐标为
(，)，(，－)，(－，)，(－，－)．
规律方法
(1)本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重点，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值．
(2)本题的第一个易错点是表达不出椭圆C上的点到Q(0,2)的距离的最大值；第二个易错点是没有掌握探索性问题的解题步骤；第三个易错点是没有正确使用基本不等式．
已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px得(－2)2＝2p×1，
∴p＝2，故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.
(2)存在，假设存在符合题意的直线l的方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0.
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
由直线OA与l的距离d＝，可得＝，
解得t＝±1，
∵－1?[－，＋∞]，1∈[－，＋∞)，
∴符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.
1．过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则这样的直线l有( C )
A．1条
B．2条
C．3条
D.4条
解析：由于a＝1，所以2a＝2<4，故当A，B分别在左右两支上时，有2条，由于过F垂直于x轴的弦长恰好为4，故A，B均在右支上时有1条，所以共有3条．
2．斜率为1的直线与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|
的最大值是( C )
A．2
B.
C.
D.
解析：设直线方程为y＝x＋t，
由
得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
故(x1－x2)2＝.
而|AB|＝·，
∴|AB|＝·≤.
故|AB|的最大值是.
3．抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标为x3，则恒有( B )
A．x3＝x1＋x2
B．x1x2＝x1x3＋x2x3
C．x1＋x2＋x3＝0
D.x1x2＋x2x3＋x3x1＝0
解析：由得ax2－kx－b＝0，
可知x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－.
∴(x1＋x2)x3＝×(－)＝－，
∴x1x2＝x1x3＋x2x3.
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2＝x1＋x3，则有( C )
A．|FP1|＋|FP2|＝|FP3|
B．|FP1|2＋|FP2|2＝|FP3|2
C．2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|
D．|FP2|2＝|FP1|·|FP3|
解析：∵2x2＝x1＋x3，∴2(x2＋)＝(x1＋)＋(x3＋)，即2|FP2|＝|FP1|＋|FP3|.
PAGE§4 曲线与方程
4．1 曲线与方程
知识点. 曲线的方程与方程的曲线
[填一填]
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
[答一答]
到两坐标轴距离相等的点满足的方程是x－y＝0吗？为什么？
提示：到两坐标轴距离相等的点满足的方程不只是x－y＝0，还有x＋y＝0，以方程x－y＝0的解为坐标的点都在曲线上，但曲线上的点的坐标不都是这个方程的解，有些是方程x＋y＝0的解，所以方程x－y＝0不是已知曲线的方程，曲线也不是该方程的曲线．
1．曲线的方程，方程的曲线的定义的几个注意点：
(1)只有满足了定义中的两个条件，才能称“方程f(x，y)＝0是曲线C的方程”和“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”．
(2)方程f(x，y)＝0无实数解，则曲线C不存在；若方程f(x，y)＝0只有有限个实数解，则曲线C是一些孤立的点；若方程f(x，y)＝0可分解成f1(x，y)·f2(x，y)……fn(x，y)＝0，则曲线C是由f1(x，y)＝0，f2(x，y)＝0，……fn(x，y)＝0表示的曲线的全体构成的．
(3)坐标系建立以后，平面上的点M与实数对(x，y)建立了一一对应关系，点的运动形成了曲线C.与之对应的实数对x与y的约束关系，就形成了方程f(x，y)＝0，即
(4)定义的实质是平面曲线的点集{M|P(M)}和方程f(x，y)＝0的解集{(x，y)|f(x，y)＝0}之间的一一对应关系，由曲线和方程的这一对应关系．既可以通过方程研究曲线的性质，又可以求出曲线的方程．
2．求曲线方程的步骤的实质是将产生曲线的几何条件逐步转化为代数方程，即：
3．由曲线的方程讨论曲线的性质，一般包括以下几个方面：
(1)研究曲线的组成和范围，即看一下所求的曲线是由哪些基本曲线组成的．在某些情况下可以根据方程求得方程所表示曲线的大致范围；
(2)研究曲线与坐标轴是否相交．如果相交，求出交点的坐标，因为曲线与坐标轴的交点是确定曲线位置的关键点；
(3)研究曲线的对称性；
(4)研究曲线的变化趋势，即y随x的增大或减小的变化情况；
(5)根据方程画出曲线的大致形状，在画曲线时，可充分利用曲线的对称性，通过列表描点的方法，先画出曲线在一个象限的图像，然后根据对称性画出整条曲线．
类型一 曲线与方程的定义
【例1】 (1)设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )
A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0
C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0
(2)试说明过点P(5，－1)且平行于x轴的直线l和方程|y|＝1所代表的曲线之间的关系．
【思路探究】 (1)本题考查命题形式的等价转换．
(2)“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可．其中“曲线上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，即纯粹性；“以方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，即完备性．这是判断方程是不是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则．本题中曲线上的每一点都满足方程，即满足纯粹性，但以方程的解为坐标的点不都在曲线上，即不满足完备性．
【解析】 (1)题中所给命题不正确，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故选项A，C错误，选项B显然错误，故选D.
(2)解：如图所示，过点P且平行于x轴的直线l的方程为y＝－1，因而在直线l上的点的坐标都满足|y|＝1，所以直线l上的点都在方程|y|＝1表示的曲线上．但是以|y|＝1这个方程的解为坐标的点不会都在直线l上，因此方程|y|＝1不是直线l的方程，直线l只是方程|y|＝1所表示曲线的一部分．
【答案】 (1)D (2)见解析
规律方法
在解曲线与方程概念的有关问题时，都必须同时满足两层含义：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．这是识别曲线和方程关系的基本依据．
(1)若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题正确的是( B )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是在曲线C上
解析：本题重在考查曲线和方程的定义．只有正确地理解曲线与方程的定义，才能准确作答．易知选项A，C，D错误．
(2)已知A(2,0)，B(0,2)，能不能说线段AB的方程是x＋y－2＝0？为什么？
解：不能说线段AB的方程是x＋y－2＝0，如点(－3,5)的坐标是方程x＋y－2＝0的一个解，但点(－3,5)不在线段AB上，所以线段AB的方程不是x＋y－2＝0，而是x＋y－2＝0(0≤x≤2)．
类型二 曲线的组成
【例2】 (1)方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？
【思路探究】 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．
【解】 (1)由方程(x＋y－1)＝0可得：或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)．
(2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴∴
∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
规律方法
曲线的方程是曲线的代数体现，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．
说明方程(x＋y－1)＝0所表示的图形．
解：由(x＋y－1)＝0，
得或x2＋y2－4＝0，
即或x2＋y2＝4.
由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<2，得直线与圆相交，
∴表示直线在圆x2＋y2＝4外的部分．
故原方程表示圆心在原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4外的部分．
类型三 求曲线的方程
【例3】 如图，已知F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且·＝·，求动点P的轨迹方程．
【思路探究】 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后由·＝·得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．
【解】 设点P(x，y)，则Q(－1，y)，＝(x＋1,0)，＝(2，－y)，＝(x－1，y)，＝(－2，y)，由·＝·，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.
规律方法
(1)求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．
(2)直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．
已知在Rt△ABC中，|AB|＝2a(a>0)，求直角顶点C的轨迹方程．
解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x，y)．
方法1：由△ABC是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得x2＋y2＝a2.依题意可知x≠±a.故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
方法2：由△ABC是直角三角形可知AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1(AC，BC的斜率是显然存在的)，即·＝－1(x≠±a)．化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
方法3：连接OC，由△ABC是直角三角形可知|OC|＝|OA|＝|OB|，且点C与点A，B都不重合，所以＝a(x≠±a)．化简得直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝a2(x≠±a)．
——易错警示——
求轨迹方程漏条件致错
【例4】 等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
【误解】 设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|
＝|AB|，即＝，两边平方，得(x－4)2＋(y－2)2＝10，即另一端点C的轨迹是以A(4,2)为圆心，以为半径的圆．
【正解】 设另一个端点C的坐标为(x，y)，依题意得|AC|＝|AB|，即＝，两边平方，得(x－4)2＋(y－2)2＝10.令＝4，＝2，得x＝5，y＝－1.因为A，B，C三点不共线，所以轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)．故另一个端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10，且其轨迹不包括点(3,5)，(5，－1)，这是以A(4,2)为圆心，以为半径的圆，且除去点(3,5)，(5，－1)．
规律方法
上述求得的轨迹方程忽视了A，B，C不共线这个隐含条件，因为A，B，C为三角形的顶点，所以A，B，C三点不共线，即B，C不能重合，且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．
点M与已知点P(2,2)连线的斜率是它与点Q(－2,0)连线的斜率的2倍，求点M的轨迹方程．
解：设点M的坐标为(x，y)，当x＝2时，直线PM的斜率不存在；当x＝－2时，直线MQ的斜率不存在，均不合题意；当x≠±2时，由已知得＝2×，化简整理得，点M的轨迹方程为xy＋2x－6y＋4＝0(x≠±2)．
1．一条线段长为10，两端点A，B分别在x轴和y轴上滑动，M点在线段AB上，且＝4，则点M满足的方程为( B )
A．x2＋16y2＝64
B．16x2＋y2＝64
C．x2＋16y2＝8
D.16x2＋y2＝8
解析：设M点坐标为(x，y)，由A，B分别在x轴、y轴上，且＝4，得A(5x,0)，B(0，y)．又由|AB|＝10，得(5x)2＋(y)2＝100，整理得16x2＋y2＝64.
2．?ABCD的顶点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)，顶点D在直线3x－y＋1＝0上移动，则顶点B满足的方程为( A )
A．3x－y－20＝0
B．3x－y－10＝0
C．3x－y－12＝0
D.3x－y－9＝0
解析：设AC，BD交于点P，∵点A，C的坐标分别为(3，－1)，(2，－3)．
∴P点坐标为(，－2)．
设B为(x，y)，则D为(5－x，－4－y)，
∵点D在直线3x－y＋1＝0上，
∴15－3x＋4＋y＋1＝0，
即3x－y－20＝0.
3．平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与斜线AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹为( A )
A．一条直线
B．一个圆
C．一个椭圆
D.抛物线
解析：设l转到l1位置时l1∩α＝C1，由l⊥AB，l1⊥AB，知AB⊥平面ACC1，且由l，l1确定的平面交α于CC1，故当l转动时，l与平面α的交点在直线CC1上．
4．如图，已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2＋y2＝1，动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ>0)，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线？
解：设MN切圆于点N，则动点M组成的集合是P＝{M|MN|＝λ|MQ|，λ>0}，∵圆的半径|ON|＝1，
∴|MN|2＝|MO|2－|ON|2
＝|MO|2－1.
设点M的坐标为(x，y)，则
＝λ，
整理得(λ2－1)(x2＋y2)－4λ2x＋(1＋4λ2)＝0.
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ＝1时，方程化为x＝，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点(，0)；当λ≠1时，方程化为(x－)2＋y2＝，它表示圆，该圆的圆心坐标为(，0)，半径为.
PAGE3.2 双曲线的简单性质
知识点 双曲线的简单性质
[填一填]
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其简单性质如下：
(1)双曲线是以x轴和y轴为对称轴的轴对称图形，也是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心．
(2)双曲线－＝1(a>0，b>0)都在两条平行直线x＝－a和x＝a的两侧，因此双曲线上点的横坐标满足x≤－a或x≥a.
(3)双曲线与它的对称轴的交点A1(－a,0)，A2(a,0)叫作双曲线的顶点．显然顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点．两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴，它的长度等于2a.设B1(0，－b)，B2(0，b)为y轴上的两个点，我们把线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长度为2b.a为实半轴长，b为虚半轴长．
(4)＝e叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率，因为c>a>0，所以e＝>1.决定双曲线的开口大小，越大，双曲线的开口就越大．
(5)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
[答一答]
1．等轴双曲线(实轴长与虚轴长相等的双曲线)的离心率和渐近线方程分别是什么？
提示：等轴双曲线是一种特殊的双曲线，离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x.
2．双曲线与椭圆的离心率有哪些异同？
提示：双曲线的离心率算法与椭圆相同，都是e＝，但因c>a，所以e>1.又因为双曲线与椭圆的形状不同，所以离心率的几何意义不同，对于椭圆，它决定其“扁平”程度，而对于双曲线，它决定其“张口”大小．
1．关于双曲线的几何性质的几个方面：
(1)双曲线的对称性与椭圆的对称性完全相同，并且含对称中心的区域称为双曲线的内部．
(2)双曲线只有两个顶点，即实轴的两个端点，而椭圆有四个顶点，这与椭圆不同．
(3)利用双曲线的渐近线，可以帮助我们准确地画出双曲线的草图．具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线．
(4)根据关系式：c2＝a2＋b2，＝e2－1，e＝，可知在a，b，c，e四个参数中，已知其中两个就可求得另外两个．
(5)若双曲线的焦点在x轴上，渐近线的倾斜角为α(0<α<)，则cosα＝＝，即e＝.
(6)抛物线和双曲线的一支的区别：
当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的斜率(曲线在某一点的斜率是指曲线在这一点的切线的斜率)接近于坐标轴所在直线的斜率，也就是抛物线接近于和坐标轴所在直线平行；而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的斜率接近于它的渐近线的斜率．
2．两条特殊双曲线：
(1)共轭双曲线：
以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线．如双曲线－＝1与－＝1是一对共轭双曲线．共轭双曲线有公共的渐近线，且焦点在以中心为圆心，半焦距c为半径的圆上．求双曲线－＝1的共轭双曲线方程
，只需将方程中的“1”改为“－1”即可．
(2)等轴双曲线：
实轴长与虚轴长相等的双曲线，叫作等轴双曲线，方程记为x2－y2＝a2.所有的等轴双曲线的渐近线方程均为y＝±x，并且离心率e＝.特别地xy＝1是一条等轴双曲线．
3．关于双曲线的标准方程－＝1(a>0，b>0)有以下几个结论：
(1)与双曲线－＝1有共同渐近线的双曲线方程可表示为－＝t(t≠0)；
(2)若双曲线的渐近线方程是y＝±x，则双曲线的方程可表示为－＝t(t≠0)；
(3)与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可表示为－＝1(－b2(4)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为＋＝1(mn<0)；
(5)与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可表示为＋＝1(b2<λ利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度．
类型一 由双曲线的性质求标准方程
【例1】 求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)实轴长为16，离心率为；
(2)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
【思路探究】 由双曲线的几何性质，列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c的值．
【解】 (1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)．
由题意知2a＝16，＝，c2＝a2＋b2，
解得c＝10，a＝8，b＝6，
所以双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
(2)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由已知得a＝，c＝2，
∴b2＝c2－a2＝1.
∴双曲线的标准方程为：－y2＝1.
规律方法
根据双曲线的性质求双曲线的标准方程时，一般采用待定系数法．首先要根据题目中给出的条件，确定焦点所在的位置，然后设出标准方程的形式，找出a，b，c的关系，列出方程求值，从而得到双曲线的标准方程．
(1)已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2?3，且经过P(，2)，求双曲线方程；
(2)求焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)的双曲线方程．
解：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意可得?
故所求双曲线方程为－＝1.
(2)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，
∴＝.
－＝1，解得
∴所求的双曲线方程为－＝1.
类型二 双曲线的渐近线
【例2】 求过点(2，－2)且与－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程．
【思路探究】 由于双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，但焦点的位置不确定，所以应进行分类讨论．
【解】 方法1：当焦点在x轴上时，由于＝，故可设方程为－＝1，将(2，－2)代入方程，得b2＝－2(舍)．当焦点在y轴上时，可知＝，故可设方程为－＝1，将(2，－2)代入方程，得a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
方法2：因为与双曲线－y2＝1有公共的渐近线，可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠0)，将(2，－2)代入方程，得λ＝－2.
所以双曲线的方程为－y2＝－2，
即－＝1.
规律方法
求解双曲线的方程主要依据双曲线的焦点所在的坐标轴，设双曲线的方程．或者利用与已知双曲线有公共渐近线的双曲线系较为方便．
已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为2，求双曲线的标准方程．
解：当双曲线的焦点在x轴上时，
由
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1；
当双曲线的焦点在y轴上时，
由解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
综上可知，所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
类型三 求双曲线的离心率
【例3】 求符合下列条件的双曲线的离心率．
(1)双曲线的渐近线方程为y＝±x；
(2)过焦点且垂直于实轴的弦的两个端点与另一焦点的连线所成角为90°；
(3)双曲线－＝1(0【思路探究】 由题设条件直接求a，c的值或把作为整体转化为e的方程，解方程求之．
【解】 (1)若焦点在x轴上，则＝，
∴e＝＝；
若焦点在y轴上，则＝，
即＝，∴e＝＝.
综上，双曲线的离心率为或.
(2)如图所示，∠AF1B＝90°，
∴|F1F2|＝|AB|.
∴2c＝，即2＝，
∴2e＝e2－1.即e2－2e－1＝0，
∴e＝1＋或e＝1－(舍)．
∴离心率为1＋.
(3)方法1：由l过两点(a,0)，(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c.
将b＝代入，平方后整理，得
16()2－16×＋3＝0.令＝x，
则16x2－16x＋3＝0，
解得x＝或x＝.
即e＝，有e＝.∴e＝或e＝2.
∵0，
∴离心率为2.
方法2：依题意，直线l：bx＋ay－ab＝0.
由原点到l的距离为c，
得＝c，即ab＝c2.
∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，
即3b4－10a2b2＋3a4＝0.
∴3()2－10＋3＝0.
解得＝或＝3.
又0∴e＝＝2.
方法3：如图，设A(a,0)，B(0，b)，则|AB|＝c.
令∠BAO＝α，则cosα＝＝，sinα＝＝e.又sin2α＋cos2α＝1，
∴e2＋＝1，即3e4－16e2＋16＝0.∴e2＝或e2＝4，即e＝或e＝2.又01，∴e＝>.∴离心率e＝2.
规律方法
求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2＝a2＋b2，直接求a，c的值．而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．
在本题的第(3)小题中，要注意条件0(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)与抛物线y2＝8x有公共焦点，且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，则该双曲线的离心率为( C )
A.
B.
C．2
D.4
(2)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线过点(4，－2)，则它的离心率为( D )
A.
B.
C.
D.
解析：(1)因为抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，所以双曲线－＝1(a>0，b>0)中c＝2.又双曲线上的点到坐标原点的最短距离为1，所以a＝1.故该双曲线的离心率e＝＝2.
(2)设过点(4，－2)的渐近线方程为y＝－x，
∴－2＝－×4，∴a＝2b.
方法1：设b＝k(k>0)，则a＝2k，c＝k，
∴e＝＝＝.
方法2：e2＝＋1＝＋1＝，
故e＝.
——多维探究——
巧妙运用双曲线的标准方程及其性质
通过近三年的高考试题分析，对双曲线的标准方程与几何性质的考查主要是：焦点、顶点、离心率、渐近线方程等知识，均以选择题、填空题的形式出现，一般不会在解答题中出现，难度中等偏下．
【例4】 设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是________．
【思路分析】 第1步：求出双曲线的焦点坐标；
第2步：根据双曲线的定义求a，b.
【解析】 方法1：椭圆＋＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，根据定义2a＝|－|＝4，故a＝2.又b2＝32－a2＝5，故所求双曲线方程为－＝1.
方法2：设双曲线方程为＋＝1(27<λ<36)，由于曲线过点(，4)，故＋＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为－＝1.
【答案】 －＝1
规律方法
求解双曲线的标准方程最常用的方法是定义法和待定系数法．但本例可利用共焦点的曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线方程，再根据另外一个条件求出这个系数．
若双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则它的一条渐近线方程为( D )
A．y＝x＋1
B．y＝3x－1
C．y＝－3x＋1
D.y＝x
解析：由－＝1，可知虚半轴长b＝，而离心率e＝＝＝2，解得a＝1.故渐近线方程为y＝±x.
1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：由已知得＝，又c2＝a2＋b2，∴e＝＝.
2．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( A )
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由题意知，焦距为10，∴c＝5，
又∵P(2,1)在双曲线的渐近线上，
∴a＝2b，联立得a2＝20，b2＝5，
故双曲线方程－＝1.
3．已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( A )
A.
B．4
C．3
D.5
解析：由y2＝12x，焦点坐标为(3,0)．
∴a2＋b2＝9，∴b＝.
双曲线的一条渐近线为y＝x.
∴d＝＝.
4．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为2.
解析：由双曲线标准方程－＝1知a2＝m>0，b2＝m2＋4，
∴c2＝a2＋b2＝m＋m2＋4，由e＝得＝5，
∴m>0且＝5，∴m＝2.经检验符合题意．
5．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.求双曲线E的离心率．
解：∵双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
∴＝2，
∴＝2，故c＝a，
从而双曲线E的离心率e＝＝.
PAGE§3 双曲线
3．1 双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
[填一填]
我们把平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线．定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．
[答一答]
1．定义中为何规定到定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数，且该常数的值大于零且小于|F1F2|?
提示：设该距离之差的绝对值为2a，当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
故只有当到定点F1，F2的距离之差的绝对值大于零且小于|F1F2|时，动点的轨迹才是双曲线．
2．双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离之差的绝对值为常数，若没有“绝对值”，则动点的轨迹是什么？
提示：若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支．若设动点为点M，则当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支．
知识点二 双曲线的标准方程
[填一填]
(1)如果焦点F1，F2在x轴上，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2＋b2.
(2)如果焦点F1，F2在y轴上，双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，其焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2＋b2.
[答一答]
若方程－＝1为双曲线的方程，则m，n满足什么条件？能否断定此时焦点在x轴上？为什么？
提示：若方程－＝1为双曲线的方程，则应满足m·n>0.不能，当m>0，n>0时，焦点在x轴上，当m<0，n<0时，焦点在y轴上．
1．双曲线定义的几个注意点：
(1)要注意在定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“常数不等于零”．
①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．
若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在．
②若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支．
③若将“常数不等于零”改成“等于零”，则此时动点轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
(2)设M(x，y)为双曲线上的任意一点，若点M在双曲线右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a(a>0)；若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|
＝－2a(a>0)，因此得到，|MF1|－|MF2|＝±2a.这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的．
2．双曲线的标准方程的几个注意点：
(1)双曲线的方程是与选择的坐标系有关的，选择的坐标系不同，则方程形式也不同，当且仅当以双曲线的两对称轴为坐标轴时的方程才称为标准方程．
(2)当焦点在x轴上时，方程中的含x2项的系数为正；焦点在y轴上时，方程中的含y2项的系数为正．反之，可以根据标准方程中含x2项，含y2项的正负来判断双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上．
(3)双曲线方程的a，b的大小关系是不确定的，可大、可小，也可相等．但必有c>a>0，c>b>0.
(4)双曲线与椭圆的比较：
题型一 双曲线定义的应用
【例1】 (1)若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是( )
A．m－a
B.(m－a)
C．m2－a2
D.－
(2)双曲线－＝1上一点P到左焦点F1的距离|PF1|＝10，求点P到右焦点F2的距离|PF2|.
【思路探究】 点P在双曲线上，点P满足双曲线定义中的条件．
【解析】 (1)利用椭圆和双曲线的定义列出关于|PF1|，|PF2|的方程组，分别求出|PF1|，|PF2|的值，从而得到|PF1|·|PF2|的值．
由椭圆和双曲线的对称性可知，不妨设点P在第一象限，
由椭圆和双曲线的定义得
解得
∴|PF1|·|PF2|＝m－a，故选A.
(2)解：由题意知，a＝3，点P在双曲线上，由题意可得||PF1|－|PF2||＝2a＝6.∴|10－|PF2||＝6，解之得|PF2|＝4，或|PF2|＝16.
【答案】 (1)A (2)见解析
(1)已知双曲线－＝1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为9.
解析：设|PF1|＝3，
则有||PF2|－|PF1||＝6，即||PF2|－3|＝6，
∴|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)，
即点P到另一个焦点的距离为9.
(2)如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)，过焦点F1的弦AB(A，B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求△ABF2的周长．
解：∵|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，
∴(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝4a，
又|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝m，
∴|AF2|＋|BF2|＝4a＋(|AF1|＋|BF1|)＝4a＋m.
∴△ABF2的周长等于|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.
题型二 求双曲线的标准方程
【例2】 根据下列条件求双曲线的标准方程．
(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．
【思路探究】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．
【解】 (1)方法1：(待定系数法)
由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得－＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
方法2：(定义法)
由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，
∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.
即双曲线的标准方程为－＝1.
(2)方法1：若焦点在x轴上，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
所以解得
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．
同理有
解得(不合题意，舍去)．
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
方法2：设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．将点M(1,1)，N(－2，5)代入上述方程，得
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
规律方法
求双曲线标准方程的常用方法：
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．
(2)用待定系数法，具体步骤如下：
求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在x轴上，经过点(4，－2)和(2，2)；
(2)焦点在y轴上，且经过点(2，－5)，a＝2；
(3)以椭圆＋＝1的长轴端点为焦点，且经过点(3，)；
(4)经过点A(2，)，B(3，－2)．
解：(1)因为双曲线的焦点在x轴上，所以设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为点(4，－2)和(2，2)在双曲线上，所以解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0)．由a＝2，点(2，－5)在双曲线上，可得
解得b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由点(3，)在双曲线上，则有
解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
(4)可设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．
∵点A(2，)，B(3，－2)在双曲线上，
∴解得
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
题型三 双曲线型轨迹方程的求法
【例3】 已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过点A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．
【思路探究】 寻找动点F的几何等量关系式，由双曲线的定义即得其轨迹方程．
【解】 设点F(x，y)为轨迹上的任一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a′，|FB|＋|CB|＝2a′(其中a′表示椭圆的长半轴长)，所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2<|AB|，即|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，点F在以A，B为焦点的双曲线的下支上，且2a＝2，c＝7，b2＝48，所以点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．
规律方法
解决与双曲线有关的轨迹问题时，其关键是寻找动点满足的几何等量关系式，利用双曲线的定义得其轨迹，由已知条件确定基本量即得轨迹方程．解题时要注意几何等量关系式中是否含有绝对值，从而正确判断其轨迹，此外还要注意所求轨迹上是否有不能取到的点．
已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解：如图，设动圆M的半径为r，圆C1与圆C2的半径均为.
由已知条件得|MC1|＝r＋，
|MC2|＝r－，
∴|MC1|－|MC2|＝2.
∵C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8，
∴2<|C1C2|.
根据双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)，C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．
∵a＝，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14，
∴点M的轨迹方程是－＝1(x≥)．
题型四 双曲线方程的实际应用
【例4】 一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2
s．已知A，B两地相距800
m，并且此时的声速为340
m/s，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
【思路探究】 由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差，可知A，B两处与爆炸点的距离差，并且此距离差小于A，B两地距离，因此，爆炸点应位于以A，B为焦点的双曲线上．因为爆炸点离A处比离B处更远，所以爆炸点应在靠近B处的一支上．
【解】 如图所示，建立直角坐标系，使A，B两点在x轴上，并且原点O为线段AB的中点．
设爆炸点P的坐标为(x，y)，则|PA|－|PB|＝340×2＝680，即2a＝680，∴a＝340.
又|AB|＝2c＝800，∴c＝400.
∴b2＝c2－a2＝44
400.
∴所求曲线的方程为－＝1(x≥340)．
规律方法
利用两个不同观测点，测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在双曲线的方程，但不能确定爆炸点的位置．如果再增设一个观测点C，利用A，B两处测得爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定出爆炸点的准确位置，这也是双曲线的一个重要应用．对此问题如感兴趣不妨一试！
如图所示，某村在P处有一堆肥，今要把此堆肥料沿道路PA或PB送到成矩形的一块田ABCD中去，已知PA＝100
m，BP＝150
m，BC＝60
m，∠APB＝60°，能否在田中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送肥较近而另一侧的点则沿PB送肥较近？如果能，请说出这条界线是什么曲线，并求出它的方程．
解：能．田地ABCD中的点可分为三类：第一类沿PA送肥近，第二类沿PB送肥较近，第三类沿PA或PB送肥一样近，由题意知，界线是第三类点的轨迹．
设M是界线上的任一点，
则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，
即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值)，
故所求界线是以A、B为焦点的双曲线一支．
若以直线AB为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系，如图．则所求双曲线为－＝1，其中a＝25，
2c＝|AB|＝＝50.
∴c＝25，b2＝c2－a2＝3
750.
因此，双曲线方程为
－＝1(25≤x≤35，y≥0)，
即为所求界线的方程．
——易错警示——
双曲线定义的错误应用
【例5】 设F1，F2是双曲线－＝1的焦点，点P在双曲线上．若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离．
【误解1】 双曲线的实轴长为8，由|PF1|－|PF2|＝8，即9－|PF2|＝8，所以|PF2|＝1.
【误解2】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.
【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，所以|PF2|＝1或17.
因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10<|F1F2|，不符合公理“两点之间线段最短”应舍去，所以|PF2|＝17.
规律方法
错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．
双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，那么k等于( B )
A．1 B．－1 C. D．－
解析：因为一个焦点是(0,3)，所以焦点在y轴上，所以将双曲线方程化为标准方程－＝1，则a2＝－，b2＝－，而c2＝9，所以－－＝9，所以k＝－1，故选B.
若方程－＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<－3.
解析：当即k>3时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；
当即k<－3时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．
所以若方程表示双曲线，则实数k的取值范围是k>3或k<－3.
1．已知F1(－8,3)，F2(2,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则P点的轨迹是( D )
A．双曲线
B．双曲线的一支
C．直线
D．一条射线
解析：F1，F2是两定点，|F1F2|＝10，所以满足条件|PF1|－|PF2|＝10的点P的轨迹应为一条射线．
2．已知双曲线的中心在原点，且一个焦点是F1(－，0)，点P位于双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则双曲线方程为( B )
A.－y2＝1
B．x2－＝1
C.－＝1
D.－＝1
解析：由PF1的中点坐标为(0,2)得P(，4)，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则有
解得a2＝1，b2＝4，
故所求双曲线方程为x2－＝1.
3．若＋＝1表示双曲线，则λ的取值范围是－2<λ<－1，焦点坐标为(－1,0)，(1,0)．
解析：由方程＋＝1表示双曲线得，(2＋λ)(1＋λ)<0，
∴－2<λ<－1.
∴2＋λ>0,1＋λ<0.
∴a2＝2＋λ，b2＝－1－λ，
∴c2＝a2＋b2＝2＋λ－1－λ＝1.
∴焦点坐标为(－1,0)，(1,0)．
4．在双曲线－＝1上任取一点P，与双曲线两焦点F1，F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2切点的坐标．
解：如图所示，M，N，Q是切点，由已知得a＝4，b＝3，c＝5.
根据圆的切线长定理及双曲线定义可得|NF2|＝|MF2|，|PM|＝|PQ|，|QF1|＝|F1N|，
∴|NF2|＋|MF2|＝|PF2|＋|F1F2|－|PM|－|F1N|，
2|NF2|＝|PF2|－|PF1|＋|F1F2|.
∴|NF2|＝(8＋10)＝9，|ON|＝|NF2|－|OF2|＝4.
∴切点N的坐标为(－4,0)，根据对称性，当P在双曲线右支时，切点N的坐标为(4,0)．
即所求切点坐标为(－4,0)或(4,0)．
PAGE2．2 抛物线的简单性质
知识点一 抛物线的简单性质
[填一填]
(1)对称性：抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，抛物线的对称轴叫作抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴．
(2)范围：抛物线y2＝2px(p>0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的顶点．当抛物线的方程为标准方程时，抛物线的顶点是坐标原点．
(4)离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率．可见，抛物线的离心率为e＝1.
(5)通径：通过焦点而垂直于x轴的直线与抛物线y2＝2px(p>0)两交点的坐标分别为(，p)，(，－p)，连接这两点的线段叫作抛物线的通径，它的长为2p.
[答一答]
你能熟练地写出抛物线y2＝10x的焦点坐标、顶点坐标和准线方程吗？
提示：∵y2＝10x，∴p＝5，∴焦点坐标为(，0)，顶点坐标为(0,0)，准线方程为x＝－.
知识点二 抛物线的四种标准方程形式
[填一填]
[答一答]
求顶点在原点，通过点(2,4)，且以坐标轴为轴的抛物线的标准方程．
提示：若x轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，∵点(2,4)在抛物线上，∴16＝4p，∴p＝4.∴抛物线方程为y2＝8x.
若y轴是抛物线的轴，则设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
∵点(2,4)在抛物线上，∴22＝8p，
∴p＝，∴抛物线方程为x2＝y.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝8x或x2＝y.
1．抛物线的几何性质的几个注意点：
(1)抛物线的几何性质和椭圆比较起来，差别较大，它的离心率等于1；它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴、一条准线；它没有中心，通常称抛物线为无心圆锥曲线，而称椭圆为有心圆锥曲线．
(2)给出各种标准形式的抛物线方程，能熟练说出开口方向、焦点坐标、对称轴和准线方程；反过来，也能根据各种类型的抛物线的示意图，说出抛物线的类型．
(3)通过抛物线的焦点作垂直于轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，称为抛物线的“通径”(如图)，由A(，p)、B(，－p)，可得通径的长|AB|等于2p.从而可以根据顶点和通径的端点A，B，作出抛物线的近似图形，要掌握这种画抛物线草图的方法，并且通径越长，抛物线开口越大，即p越大，开口越大，p越小，开口越小．
2．焦半径公式的作用如下：
利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷，一般地说，凡涉及过焦点的直线与抛物线的交点问题，利用此公式来解较简单．
题型一 由抛物线的方程求几何性质
【例1】 已知抛物线的方程x2＝ay，求它的焦点坐标和准线方程．
【思路探究】 参数a≠0，a可能取正值，也可能取负值，不要忽略a<0的情况．
【解】 当a>0时，∵2p＝a，∴p＝，
∴焦点坐标为F(0，)，准线方程为y＝－；
当a<0时，x2＝－(－a)y，
∵2p＝－a，∴p＝－.
∴焦点坐标为F(0，－(－))，
即F(0，)，准线方程为y＝－.
综上所述，抛物线的焦点坐标为F(0，)，准线方程为y＝－.
规律方法
在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向，焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解．
已知抛物线方程y＝－x2，求抛物线的开口方向、对称轴、焦点坐标、准线方程及焦点到准线的距离．
解：将该抛物线方程y＝－x2化成标准方程为x2＝－2y，
可知抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∵p＝1，∴焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝，焦点到准线的距离为1.
题型二 由抛物线的几何性质求标准方程
【例2】 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(4，－8)，求它的标准方程．
【思路探究】 由题中条件知抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，将点M(4，－8)的坐标代入即可得答案．
【解】 由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)．
∵点M在抛物线上，
∴(－8)2＝2p×4，解得p＝8.
故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
规律方法
已知抛物线的几何性质求抛物线的标准方程的步骤如下：(1)通过确定抛物线的焦点所在的坐标轴和开口方向，确定抛物线的标准方程形式；(2)建立关于p的方程，并求出p的值；(3)写出所求抛物线的标准方程．其中最关键的是确定抛物线的焦点所在的坐标轴及抛物线的开口方向．
若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线及对称轴的距离分别是10和6，求点P的横坐标及抛物线的方程．
解：设点P的坐标为(x，y)，
则根据题意有
解得或
故点P的横坐标为9或1，相应的抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
题型三 定点、定值、最值问题
【例3】 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，已知|AF|，|MF|，|BF|成等差数列．
(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q.
(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程．
【思路探究】 (1)可先求出线段AB的垂直平分线的方程，再求其所过的定点．(2)求抛物线方程的关键是求p的值．
【解】 (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值．
由题意得x0＝，则线段AB的中点坐标可设为(x0，t)，其中t＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|?p＝0)．而kAB＝＝＝＝，故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知其过定点Q(x0＋p,0)．
(2)由|MF|＝4，|OQ|＝6，
得x0＋＝4，x0＋p＝6.
解得p＝4，x0＝2.
∴抛物线的方程为y2＝8x.
规律方法
对于定点或定值问题，通常把变动的元素用参数表示，然后计算(找)出需要的结果．若问题中没有给出定值是什么，则应在待定条件下探究变动元素，从而找出定值，然后证明．设而不求法和根与系数的关系是解决圆锥曲线这方面问题的关键，需熟练掌握．
(1)已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为－1.
(2)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2.
解析：(1)由题意得，点P到准线的距离为d1＋1，设抛物线的焦点为F，则d1＋1＝|PF|，∴d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|PF|＋d2－1，又焦点到直线的距离为d＝，∴d1＋d2＝|PF|＋d2－1≥－1.
(2)本题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P，使得点P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小，易得其最小值为点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即最小值d＝＝2.
——数学思想——
抛物线中的数形
结合思想的应用
利用抛物线的图形结合所学平面几何知识可以很容易得到所要解决的问题的答案．这种方法在选择题和填空题中经常使用．
【例4】 过点P(0,4)与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有________条．
【解析】 作出抛物线y2＝2x的图像如图，可以看出点P在y轴上，由图中看出过点P有3条直线与抛物线只有一个公共点．其中包括y轴(斜率不存在的切线)，过点P与x轴平行的直线以及过点P与抛物线相切的斜率存在的一条直线．
【答案】 3
规律方法
抛物线中与对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点，y轴与抛物线只有一个交点，这是我们解题中容易忽视漏掉的地方．
本题通过抛物线的定义借助等腰三角形建立角之间的联系，从而利用平行线的性质解决问题．
若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在抛物线上移动，
(1)当|PA|＋|PF|取最小值时，求点P的坐标，并求这个最小值．
(2)求点P到点M(－，1)的距离与它到直线x＝－的距离之和的最小值．
解：
(1)如图所示，显然点A(3,2)在抛物线y2＝2x的内部，过点P作准线l的垂线，垂足为P′，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PP′|，由平面几何知识可知，当AP′⊥l时，|PA|＋|PF|取最小值．
∵准线方程x＝－，
∴最小值为3－(－)＝，此时点P的纵坐标为2，代入方程y2＝2x，得x＝2.∴点P的坐标为(2,2)时，|PA|＋|PF|有最小值，最小值为.
(2)由抛物线定义知点P到直线x＝－的距离等于它到焦点F的距离．因此问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点M的距离与点P到焦点F的距离之和最小．显然，连接MF，则直线MF与抛物线的交点即为点P，故最小值为|MF|＝＝.
1．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|＝( B )
A.
B．3
C.
D．2
解析：抛物线的焦点坐标是F(2,0)，过点Q作抛物线的准线的垂线，垂足是A，则|QA|＝|QF|，抛物线的准线与x轴的交点为G，因为＝4，则点Q是PF的四等分点，由于三角形QAP与三角形FGP相似，所以可得＝＝，所以|QA|＝3，所以|QF|＝3.
2．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则( D )
A．通径AB的长为8，△AOB的面积为4
B．通径AB的长为8，△AOB的面积为2
C．通径AB的长为4，△AOB的面积为4
D．通径AB的长为4，△AOB的面积为2
解析：|AB|＝2p＝4，焦点坐标为(0，－1)，∴S△AOB＝×1×4＝2.
3．对于抛物线y2＝10x，下列结论正确的是②⑤.
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤抛物线的准线方程为x＝－.
解析：y2＝10x的焦点为(，0)，准线方程为x＝－，抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋＝，通径长为2p＝10.
4．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，求△AKF的面积．
解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线l的方程为x＝－1，故与抛物线相交且斜率为的直线方程为y＝(x－1)，由得A点坐标为(3,2)，
∴|AK|＝4，
∴S△AKF＝×4×2＝4.
PAGE§2 抛物线
2．1 抛物线及其标准方程
知识点一 抛物线的定义
[填一填]
平面内与一个定点F和一条定直线l(不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．
[答一答]
在定义中，隐含着定点F不在定直线l上．平面内到定点A(2,3)和定直线3x－4y＋6＝0距离相等的点的轨迹是抛物线吗？为什么？
提示：不是抛物线，而是过点A且与定直线垂直的一条直线，因为点A(2,3)在定直线3x－4y＋6＝0上．
知识点二 抛物线的标准方程
[填一填]
焦点在x轴正半轴上，坐标为(，0)，准线方程为x＝－的抛物线的标准方程是：y2＝2px(p>0)．
[答一答]
抛物线的标准方程共有几种形式？其每种形式表示的意义有什么不同？
提示：抛物线的标准方程有4种形式：
y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py.(p>0)
y2＝2px表示焦点在x轴的正半轴上，坐标为(，0)，准线方程为x＝－，p>0的抛物线．
y2＝－2px表示焦点在x轴的负半轴上，坐标为(－，0)，准线方程为x＝，p>0的抛物线．
x2＝2py表示焦点在y轴的正半轴上，坐标为(0，)，准线方程为y＝－，p>0的抛物线．
x2＝－2py表示焦点在y轴的负半轴上，坐标为(0，－)，准线方程为y＝，p>0的抛物线．
1．抛物线定义的几个注意点：
(1)定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
(2)定义的实质可归纳为“一动三定”，一个动点，设为M；一定点F，叫作抛物线的焦点；一条定直线l，叫作抛物线的准线；一定值，即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.
(3)由定义知抛物线上一点到焦点的距离与它到准线的距离相等，因此这两种距离可以相互转化．凡涉及到抛物线上一点到焦点的距离都可以转化为到准线的距离．
2．抛物线的标准方程的几个注意点：
(1)抛物线的标准方程有四种类型．若x为一次项，则焦点在x轴上；若y为一次项，则焦点在y轴上．
(2)标准方程中仅有一个参数p，它能确定抛物线的形状，是抛物线定形的条件．
(3)焦点F的位置，是抛物线定位的条件，它决定了抛物线方程的类型，也就是说，知道了焦点的位置，其标准方程就仅有一种形式，否则标准方程可能有四种类型．
(4)标准方程中右边一次项系数的正、负号决定抛物线的开口方向，若为正号，则抛物线的开口朝正方向，否则朝负方向．
(5)求抛物线标准方程常用的方法：
①待定系数法，即设出适合条件的抛物线的标准方程，利用已知条件建立待定系数的方程，并求解出待定系数，进而写出方程．
②定义法，抛物线的定义是求其标准方程的基础，只要由抛物线的定义得到参数p的值，即可求得抛物线的方程．
题型一 抛物线的定义及其应用
【例1】 (1)若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．y2＝8x
B．y2＝－8x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
(2)点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程．
【思路探究】 (1)可利用抛物线定义的条件．
(2)解决此题应利用抛物线定义较简单．
【解析】 (1)设动圆的半径为r，圆心为O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.
(2)解：如图，设点M的坐标为(x，y)．
由已知条件，“点M到点F的距离比它到直线l：x＋5＝0的距离小1”，就是“点M到点F的距离等于它到直线
x＋4＝0的距离”．
根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F(4,0)为焦点的抛物线．
∵＝4，∴p＝8.
∵焦点在x轴的正半轴上，
∴点M的轨迹方程为y2＝16x.
【答案】 (1)A (2)见解析
规律方法
若将条件化为|MF|＋1＝|x＋5|，其中|MF|用两点间距离公式表示，再化简也可得方程，但这种化简过程比较繁琐．
(1)过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( D )
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．抛物线
解析：(1)如图所示，设P为满足条件的一点，不难得出结论：P到点A的距离等于到y轴的距离，故点P在以A为焦点，以y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D.
(2)动点M到定点F(1,0)的距离与到定直线x＝－1的距离相等，求动点M的轨迹方程．
解：方法1：(直接法)设M(x，y)，
则＝|x＋1|，化简得y2＝4x，即为所求的点M的轨迹方程．
方法2：(定义法)由题意，所求的轨迹是以点F为焦点的抛物线，在坐标系中是标准位置，故其方程为y2＝4x.
题型二 求抛物线的标准方程
【例2】 根据下列条件求抛物线的标准方程．
(1)焦点是直线2x－3y－2＝0与x轴的交点；
(2)准线是过椭圆＋＝1的左焦点且与x轴垂直的直线；
(3)过点P(－2，－4)．
【思路探究】 (1)求出焦点坐标，即得抛物线的标准方程．(2)求出准线方程，即得抛物线的标准方程．(3)已知抛物线上一点，标准方程有两种形式，设出标准方程，用待定系数法求解．
【解】 (1)令y＝0，得x＝1，即焦点为(1,0)，于是有＝1，即p＝2，故抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)因为a＝3，b＝2，所以c＝＝，即椭圆的左焦点为(－，0)．由题可知，抛物线的准线方程为x＝－，于是有－＝－，p＝2.故抛物线的标准方程为y2＝4x.
(3)如图所示，因为点P在第三象限，所以满足条件的抛物线的标准方程为y2＝－2p1x(p1>0)或x2＝－2p2y(p2>0)．
分别将点P的坐标代入上述方程，解得p1＝4，p2＝.所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为y2＝－8x和x2＝－y.
规律方法
求抛物线的标准方程的两种方法：
(1)直接法：直接利用已知条件确定参数p及其开口方向．
(2)待定系数法：根据题设条件，设出抛物线的方程，并待定出参数p.对于焦点在x轴上的抛物线，为避免分类讨论，可将抛物线方程设成y2＝mx(m≠0)的形式．若m>0，则开口向右；若m<0，则开口向左；若m有两个，则抛物线的标准方程有两种．同理，对于焦点在y轴上的抛物线也可用此法求解．
根据下列条件写出抛物线的标准方程．
(1)焦点到准线的距离是5；
(2)焦点为直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点；
(3)焦点F在y轴上，点A(m，－2)在抛物线上，且|AF|＝3.
解：(1)由题意知p＝5，则2p＝10.因为没有说明焦点所在坐标轴和开口方向，所以四种类型的抛物线都有可能，故抛物线的标准方程为y2＝10x，y2＝－10x，x2＝10y，x2＝－10y.
(2)直线x－2y－4＝0与坐标轴的交点坐标为(4,0)，(0，－2)．
当焦点坐标为(4,0)时，抛物线的标准方程为y2＝16x；
当焦点坐标为(0，－2)时，抛物线的标准方程为x2＝－8y.
(3)由题意可设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由|AF|＝3，得＋2＝3，∴p＝2，∴抛物线的标准方程为x2＝－4y.
题型三 抛物线方程的实际应用
【例3】 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3
m，车与箱共高4
m，此车能否通过此隧道？请说明理由．
【思路探究】 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5
m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．
【解】
能通过．理由如下：建立如图所示的平面直角坐标系．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.
已知集装箱的宽为3
m，
当x＝时，y＝－，而桥高为5
m，
所以5－＝4>4.
故卡车可通过此隧道．
规律方法
(1)本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图表、字母等)表达、分析、解决问题．
(2)在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．
某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6
m时，水面宽10
m，抛物线的方程可能是( A )
A．x2＝－y
B．x2＝－y
C．x2＝－y
D．x2＝－y
解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则P(5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p(－6)，∴p＝.
∴抛物线方程为x2＝－y.
题型四 求抛物线上一点到定点的最值问题
【例4】 已知抛物线x2＝4y，点P是此抛物线上的动点，点A的坐标为(12,6)，求点P到点A的距离与到x轴距离之和的最小值．
【思路探究】 由于x轴平行于准线，所以|PF|和P到准线的距离d相等，故|PA|＋|PC|＝|PA|＋d－1＝|PF|＋|PA|－1.
【解】 将x＝12代入x2＝4y得y＝36>6，∴点A在抛物线外部，抛物线焦点为F(0,1)，准线l：y＝－1，过P作PB⊥l于点B，交x轴于点C，则|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PB|－1＝|PA|＋|PF|－1.由下图可知，当A，P，F三点共线时，|PA|＋|PF|最小，
∴|PA|＋|PF|的最小值为|FA|＝13.
故|PA|＋|PC|的最小值为12.
规律方法
解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种解题方法：①定义法；②函数法．
在抛物线y2＝2x上求一点P，使其到直线l：x＋y＋4＝0的距离最小，并求最小距离．
解：方法1：设P(x0，y0)是抛物线上的点，则x0＝，P到直线x＋y＋4＝0的距离为d＝＝＝≥＝.
故当点P的坐标为时，d有最小值.
方法2：因为无实根，所以直线与抛物线没有公共点．
设与直线x＋y＋4＝0平行的直线为x＋y＋m＝0.
①消去x得y2＋2y＋2m＝0，设此直线与抛物线相切，即只有一个公共点．
所以Δ＝4－8m＝0，所以m＝.
代入①得y＝－1，x＝.
即点P到直线x＋y＋4＝0最小，距离d＝＝.
——易错警示——
抛物线的应用错误
【例5】 求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的圆的圆心的轨迹方程．
【误解】 设轨迹上任意一点P(x，y)，圆(x－3)2＋y2＝9的圆心A(3,0)，半径r＝3.设圆P的半径为r0，如图所示，|AP|＝r0＋3.P到直线l：x＝－3的距离|PP′|＝r0＋3，故P的轨迹是以A(3,0)为焦点．以l：x＝－3为准线的抛物线，其方程为y2＝12x(x>0)．
【正解】 设轨迹上任意一点为P(x，y)．圆(x－3)2＋y2＝9的圆心A(3,0)，半径r＝3，由题意|AP|＝r＋|x|，
∴＝|x|＋3(x≠0)．
当x>0时，y2＝12x；当x<0时，y＝0.
∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)和y＝0(x<0)．
求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．
解：(1)若直线斜率不存在，则过点P(0,1)的直线方程为x＝0，由得即直线x＝0与抛物线只有一个公共点．
(2)若直线的斜率存在，设为k，则过点P(0,1)的直线方程为y＝kx＋1，由方程组消去y，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，得即直线y＝1与抛物线只有一个公共点；
当k≠0时，直线与抛物线只有一个公共点，则Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，所以k＝，直线方程为y＝x＋1.综上所述，所求直线方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.
1．抛物线x2＝ay的准线方程是y＝2，则实数a的值为( B )
A．8
B．－8
C.
D．－
解析：∵抛物线准线为y＝2，∴－＝2，∴a＝－8.
2．动圆过点(0,1)且与直线y＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( C )
A．y＝0
B．x2＋y2＝1
C．x2＝4y
D．y2＝4x
解析：根据抛物线的定义知，圆心的轨迹是以(0,1)为焦点，y＝－1为准线的抛物线，其抛物线的标准方程是x2＝4y.
3．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为( D )
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：∵x2＝4y，当y＝4时，A点坐标为(4,4)或(－4,4)，焦点为(0,1)，
∴点A与抛物线的焦点的距离为5.
4．抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，焦点坐标为(2,0)．
解析：∵y2＝8x，∴2p＝8，p＝4，
∴准线为x＝－＝－2，焦点为(2,0)．
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，求|AB|的值．
解：∵y2＝4x，∴准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝2＋(x1＋x2)．
又∵x1＋x2＝6，∴|AB|＝2＋6＝8.
PAGE1．2 椭圆的简单性质
知识点一 椭圆的对称性及范围
[填一填]
(1)椭圆＋＝1是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心为椭圆的中心．
(2)椭圆上所有的点都位于直线x＝±a，y＝±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b.
[答一答]
如果知道椭圆在第一象限的图像，能否画出其他象限的图像？
提示：可以．因为椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，如把第一象限的图像关于x轴、y轴对称，就可得到第四、第二象限内的图像．又知椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，所以作出以原点为对称中心的中心对称图形就可得到第三象限内的图像，坐标轴上的点亦如此．
知识点二 椭圆的顶点、离心率
[填一填]
(1)椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．椭圆＋＝1中的a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长．
(2)我们规定椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率，用e表示，即e＝.显然0[答一答]
你能运用三角知识解释为什么e＝越大，椭圆越扁，e＝越小，椭圆越接近于圆吗？
提示：如图所示，在Rt△BF2O中，
cos∠BF2O＝，越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆，当a＝b时，图形变为圆．
1．关于椭圆的简单性质的几个注意点：
(1)椭圆的焦点F1，F2必在它的长轴上．
(2)a是椭圆的长半轴长，b是椭圆的短半轴长，c是椭圆的半焦距，它们满足关系式a2＝b2＋c2(a>b>0，a>c>0)．
(3)求椭圆的离心率通常有两种方法：
①若给定椭圆的方程，则根据焦点位置确定a2，b2，求出a，c的值，利用公式e＝直接求解．
②若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c，e满足的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.
(4)凡涉及椭圆上的点与焦点的连线问题，通常可考虑利用定义来解决．
(5)绘制反映椭圆基本形状和大小的草图的方法：
在画图时，利用了椭圆的对称性，利用图形的几何性质，可以简化画图过程，保证图形的准确性．根据椭圆的几何性质，用下面方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图：以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形；由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点；用曲线将四个顶点连成一个椭圆，画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性．
2．与椭圆有关的最值问题：
(1)与椭圆有关的最值问题均具有较强的综合性，涉及数学知识的多种知识点，诸如几何、三角函数等，亦与椭圆的定义、方程联系紧密，思维能力要求比较高．
(2)常用的方法有如下四种：①利用定义转化为几何问题来处理；②利用参数方程转化为三角函数的最值来处理；③利用数与形的结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解；④利用函数求最值的探求方法，将其转化为函数的最值问题来处理，此时应充分注意椭圆中x，y的范围，常常是化为闭区间上的二次函数的最值求解．
题型一 已知椭圆方程，研究其几何性质
【例1】 已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
【思路探究】 将椭圆方程化为标准形式，用m表示出a，b，c，再由e＝，求出m的值，然后再求2a,2b，焦点坐标，顶点坐标．
【解】 椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝>0，
∴m>，即a2＝m，b2＝.
∴c＝＝.
由e＝，得
＝，解得m＝1，
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，
两焦点坐标分别为F1，F2，
顶点坐标分别为A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，
B2.
规律方法
求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a，b的数值，进而求出c及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．
求椭圆x2＋9y2＝81的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．
解：把已知方程化成标准方程得＋＝1，则a＝9，b＝3，c＝＝6，所以椭圆的长轴长2a＝18，短轴长2b＝6，离心率e＝＝，焦点为F1(－6，0)，F2(6，0)，顶点为A1(－9,0)，A2(9,0)，B1(0，－3)，B2(0,3)．
题型二 利用椭圆的几何性质，求椭圆的方程
【例2】 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一焦点坐标为(－3,0)，一顶点坐标为(0,5)；
(2)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；
(3)一顶点为A(2,0)，离心率为.
【思路探究】 根据题中所给条件，结合椭圆的简单性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)．若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上和y轴上这两种情况进行讨论．
【解】 (1)由椭圆的一个焦点坐标为(－3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c＝3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b＝5，所以a2＝b2＋c2＝25＋9＝34.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知a＝5，c＝3，所以b2＝25－9＝16，又焦点所在坐标轴可为x轴，也可为y轴，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a＝2，e＝＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝2，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，因为b＝2，e＝＝，所以＝，所以a2＝8，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
规律方法
由椭圆的简单性质求椭圆标准方程的步骤：
(1)确定焦点所在的位置，进而确定椭圆标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论；
(2)由条件直接确定a，b的值或建立关于a，b，c的方程(组)，解出a，b的值；
(3)写出椭圆的标准方程．
(1)与椭圆9x2＋5y2＝45有共同的焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，则此椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
解析：(1)方法1：由9x2＋5y2＝45，得＋＝1，其焦点坐标分别为F1(0,2)，F2(0，－2)．
设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为点M(2，)在椭圆上，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，
即2a＝＋＝4，
解得a＝2.
又c＝2，所以b2＝a2－c2＝8，
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法2：由方法1，知F1(0,2)，F2(0，－2)，设所求椭圆的标准方程为＋＝1(λ>0)．
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ1＝8，λ2＝－2(舍去)，所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)方法1：若椭圆的焦点在x轴上，
设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
若椭圆的焦点在y轴上，
设其标准方程为＋＝1(a>b>0)，
由题意，得
解得
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
方法2：设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由题意，得
或
解得或
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.
题型三 求椭圆的离心率
【例3】 已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．
【思路探究】 求离心率，即求，只需求出a，c的值或将a，c用同一个量表示．本题没有具体数值，因此只需得出a，c的关系，这由PF1⊥F1A，PO∥AB易得．
【解】 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)，c2＝a2－b2，
则P(－c，b)，即P(－c，)．
∵AB∥PO，∴kAB＝kOP，即－＝.
∴b＝c.又a＝＝c，∴e＝＝.
规律方法
将垂直与平行的条件用坐标表示，得到a，c的关系式是关键．
已知椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，与x轴正半轴交于点A，O为坐标原点，如果椭圆上存在点M，使∠OMA＝90°，求离心离e的取值范围．
解：以OA为直径的圆的方程为(x－)2＋y2＝，问题转化为该圆与椭圆有交点，
∴由
消去y，并整理得(a2－b2)x2－a3x＋a2b2＝0，
解之得x1＝，x2＝a.
由于M点不在x轴上，故舍去x＝a，
∴x＝＝.
由于0∴题型四 椭圆中的最值问题
【例4】 如图，已知定点A(2,1)，椭圆＋＝1的一个焦点F2(1,0)，P是椭圆上的点．求：|PA|＋|PF2|的最值．
【思路探究】 可利用椭圆的定义将问题转化求解．
【解】 ∵焦点F2(1,0)在x轴上，
∴m－8＝1，即m＝9，椭圆方程为＋＝1.
设椭圆的左焦点为F1，|PA|＋|PF2|＝|PA|＋2a－|PF1|＝6＋(|PA|－|PF1|)．
如图，连接AF1并延长交椭圆于P1，反向延长AF1交椭圆于P2，P1，P2分别使|PA|＋|PF2|取得最大值6＋和最小值6－.
规律方法
利用椭圆的定义将问题转化，借助“三角形两边之和大于第三边”与“三角形两边之差小于第三边”，而当三点共线时取得最小(大)值．
F1是椭圆＋＝1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1,1)为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值是( B )
A．9－
B．6－
C．3＋
D．6＋
解析：如图，连接F2A并延长交椭圆于点P′，P是椭圆上一动点，连接PF1，PF2，PA.
∵|PF1|＋|PA|＋|AF2|≥|PF1|＋|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝|P′F1|＋|P′F2|＝|P′F1|＋|P′A|＋|AF2|，
∴|PF1|＋|PA|＋|AF2|≥|P′F1|＋|P′A|＋|AF2|.
∴|PF1|＋|PA|≥|P′F1|＋|P′A|
＝|P′F1|＋|P′F2|－|AF2|＝6－.
(当P与P′重合时取“＝”号)
——易错警示——
忽视离心率的范围致错
【例5】 如图，设椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使·＝0，则椭圆的离心率e的取值范围是________．
【误解】 由题意·＝0，
得⊥.
∴点P在以F1F2为直径的圆上，
又P在椭圆上，∴圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点，由图知，b≤c，
即b2≤c2?a2－c2≤c2?≥?e≥，
∴椭圆的离心率e的取值范围是[，＋∞)．
【正解】 由题意·＝0，得⊥.
∴点P在以F1F2为直径的圆上，
又P在椭圆上，∴圆x2＋y2＝c2与椭圆＋＝1有公共点，由图知，b≤c即b2≤c2即≤e<1，∴椭圆的离心率e的取值范围是[，1)．
【答案】 [，1)
规律方法
本题在求解过程中，因忽视离心率的范围导致错解，对于椭圆的离心率必须满足0直线y＝－x与椭圆C：＋＝1(a>b>0)交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为( C )
A.
B.
C.－1
D．4－2
解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|＝|OA|＝|OB|＝|OF1|＝c，由y＝－x，得∠AOF2＝，∠AOF1＝.∴|AF2|＝c，|AF1|＝c.由椭圆的定义知，|AF1|＋|AF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.
1．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||等于( C )
A.
B．－
C.
D．4
解析：易知||＝，∴||＝2a－||＝4－＝.
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长、短轴
B．有相等的焦距
C．有相同的焦点
D．有相同的顶点
解析：对于＋＝1，有c2＝25－9＝16，∴c＝4，对于＋＝1，有c2＝25－k－(9－k)＝16，∴c＝4.故它们有相等的焦距．
3．椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F到过顶点A(－a,0)，B(0，b)的直线的距离为，则椭圆的离心率为( A )
A.
B.
C.
D.
解析：如图，过点F作FP⊥AB，交AB于点P，连接BF，|AB|＝，|AF|＝a－c，|FP|＝，由△AFB的面积公式得·＝(a－c)·b.又因为b2＝a2－c2，
整理得8c2－14ac＋5a2＝0，
所以8()2－14·＋5＝0，即8e2－14e＋5＝0.所以e＝或e＝(舍去)，所以e＝.
4．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为＋＝1.
解析：由两个焦点三等分长轴知3×2c＝2a，即a＝3c，又a＝9，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴所求椭圆的标准方程为：＋＝1.
5．已知＋＝1(m>0，n>0)，当m·n取得最小值时，求椭圆＋＝1的离心率．
解：∵＋＝1(m>0，n>0)，
∴＋≥2，
即m·n≥8，当且仅当＝，
即n＝2m时等号成立，∴
∴m＝2，n＝4，
∴c2＝n2－m2＝16－4＝12，
∴c＝2，∴e＝＝.
PAGE第三章 圆锥曲线与方程
本章知识要览
本章的主要内容包括椭圆、抛物线、双曲线和曲线与方程四部分，重点是椭圆、抛物线、双曲线的定义、方程和几何性质，难点是坐标法的应用．圆锥曲线是解析几何研究的主要曲线，也是解析几何的核心内容，在生产实践和科学试验中有着广泛的应用．掌握椭圆、抛物线、双曲线的标准方程和几何性质是进一步研究其他曲线的基础，也是今后继续学习高等数学的重要阶梯．
本章是在集合与对应、函数的图像与性质、坐标平面上的直线、圆等基础上，对“由已知条件求曲线的方程，再从所得的方程来研究曲线的几何性质”的解析法的进一步深化．用解析法研究圆锥曲线是从初等数学过渡到高等数学的开始和阶梯，也是学习其他科学技术的基础，而学习圆锥曲线，需要综合运用过去学过的数学知识，因此，学习这一章，起着承前启后的作用．
学好本章的关键在于正确理解和掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线的性质这两个问题．为此建议在学习中做到以下几个方面：
1．搞清概念，对概念定义应“咬文嚼字”地学习.
2．熟悉曲线，能“速写”出符合题目数量特征要求的曲线．
3．熟练运用代数、三角、几何和向量等知识．
4．处理问题时要在“大处着眼”，即在整体上把握问题的综合信息和处理问题的数学思想；在“小处着手”，即在细节上能熟练运用各种数学知识和方法．
5．充分利用好“数形结合”的思想方法，结合定义与图形进行运算．
§1 椭圆
1．1 椭圆及其标准方程
知识点一
椭圆的定义
[填一填]
我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
[答一答]
定义中的常数为什么要大于焦距|F1F2|？如果小于或等于|F1F2|会出现什么情况？
提示：当常数等于|F1F2|时，轨迹是线段F1F2，当常数小于|F1F2|时，轨迹不存在．
知识点二
椭圆的标准方程
[填一填]
(1)椭圆上任意一点的坐标都是方程＋＝1(a>b>0)的解；以方程＋＝1(a>b>0)的解为坐标的点都在椭圆上．我们将方程＋＝1(a>b>0)叫作椭圆的标准方程，焦点坐标是F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)如果椭圆的焦点在y轴上，其焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)．它的标准方程为＋＝1(a>b>0)，其中b2＝a2－c2.
[答一答]
1．如何用几何图形解释b2＝a2－c2？a，b，c在椭圆中分别表示哪些线段的长？
提示：椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助右图帮助记忆．a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半．
2．如何判断焦点的位置？
提示：看＋＝1中a，b的大小，如果a>b>0，则焦点在x轴上，如果01．关于椭圆的定义需要注意以下两点：
(1)定义中的“平面内”这一限制条件不可缺少，否则就成了空间图形，不是平面曲线了．
(2)在椭圆定义的集合表示中，要注意“2a>|F1F2|”这个条件，若没有这个条件，动点的轨迹不一定为椭圆．
2．椭圆的标准方程需要注意以下几点：
(1)要熟记a，b，c三个量的关系．
椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助右图帮助记忆，a，b，c分别为直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以a>b，a>c，且a2＝b2＋c2，其中c是焦距的一半，叫半焦距．
(2)椭圆的标准方程实际上有两种，取决于焦点所在的坐标轴．
①＋＝1(a>b>0)，焦点在x轴上，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)，焦距|F1F2|＝2c.
②＋＝1(a>b>0)，焦点在y轴上，焦点坐标为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距|F1F2|＝2c.
在问题中没有明确说明焦点位置时，两种情况都应注意．
3．关于求椭圆的标准方程的几个注意点：
(1)求椭圆方程，一般先定型，再定量．“定型”即判定焦点位置，选择标准方程的形式；“定量”即根据题设条件，求出a2，b2的值．
(2)若焦点能判定出在x轴(或y轴)上，则方程只有一解；若焦点不确定在哪个坐标轴上，则方程有两解．在解题时要认真区别，不要漏解．
当焦点位置无法判断时，常设椭圆的方程为Ax2＋By2＝C(A，B，C同号且不为0)，避免分焦点在x轴、y轴上讨论．
4．关于椭圆的参数方程需要注意如下两点：
(1)每个椭圆的参数方程不是唯一的，我们通常所用的只是其中之一，实质上椭圆参数方程就是一个三角代换．
(2)椭圆上每个点都可用一个参数表示，参数变化，点变动．
题型一
椭圆定义的应用
【例1】 如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．
【思路探究】 解决椭圆上的点与焦点构成的三角形的面积问题，一般是利用椭圆的定义和余弦定理进行处理．
【解】 由已知a＝2，b＝，
所以c＝＝＝1，
|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，
由余弦定理，得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|.②
②代入①解得|PF1|＝.
∴S△PF1F1＝|PF1|·|F1F2|·sin120°
＝××2×＝，
即△PF1F2的面积是.
规律方法
凡涉及到椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|＋|MF2|＝2a(M为椭圆上的点，F1、F2是椭圆的焦点)，一般进行整体变换；其次，考虑该点的坐标(x0，y0)适合椭圆的方程＋＝1，然后再进行代数转换．
下列说法中正确的是( C )
A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，到F1，F2两点的距离之和为6的点的轨迹是椭圆
C．到两点F1(－4,0)，F2(4,0)的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D．到F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：椭圆是到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．
A选项中|F1F2|＝8，到F1，F2两点的距离之和为常数8的点的轨迹是线段F1F2.
B选项中到F1，F2两点的距离之和6小于F1，F2的距离，这样的轨迹不存在．
C选项中点(5,3)到F1，F2的距离之和为＋＝4>|F1F2|＝8，故C选项中的轨迹是椭圆．
D选项中所求点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．
椭圆＋＝1的焦距是16，两焦点的坐标分别是(－8,0)，(8,0)；若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，F2为另一焦点，则△ABF2的周长是40.
解析：由椭圆方程＋＝1可知a2＝100，b2＝36，
∴c2＝a2－b2＝64，∴c＝8.∴焦距2c＝16.
两焦点坐标为F1(－8,0)，F2(8,0)．
由椭圆的定义可知，△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝2a＋2a＝4a＝40.
题型二
与椭圆有关的轨迹问题
【例2】 已知圆B：(x＋1)2＋y2＝16及点A(1,0)，C为圆B上任意一点，求AC的垂直平分线l与线段CB的交点P的轨迹方程．
【思路探究】 P为AC垂直平分线上的点，则|PA|＝|PC|，而BC为圆的半径，从而4＝|PA|＋|PB|，可得点P轨迹为以A，B为焦点的椭圆．
【解】 如图所示，连接AP.
∵l垂直平分AC，∴|AP|＝|CP|.
∴|PB|＋|PA|＝|BP|＋|CP|＝4，
∴P点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
∵2a＝4,2c＝|AB|＝2，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3.
∴点P的轨迹方程为＋＝1.
规律方法
求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：
(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；
(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程．
一动圆与圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：由题意得，两定圆的圆心与半径分别为O1(－3,0)，r1＝1，O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题意可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，
∴|MO1|＋|MO2|＝10.
由椭圆的定义知，点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，
∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.
题型三
椭圆标准方程的求法
【例3】 求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点坐标为(－1,0)，(1,0)，并且经过点(，)；
(2)焦点在x轴上，且经过点(2,0)和(0,1)；
(3)经过两点P1(，)，P2(0，－)．
【思路探究】 利用椭圆定义直接求a，b或利用待定系数法求a，b.
【解】 (1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
方法1：由椭圆的定义及两点间的距离公式知
2a＝＋＝4，
所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法2：因为椭圆过点(，)，
所以代入椭圆方程可得＋＝1.①
又a2－b2＝c2＝1，②
联方①②可解得a2＝4，b2＝3.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，
所以解得
故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(3)方法1：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得
解得
因为<，所以不符合题意，舍去．
②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
依题意得解得
因为<，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法2：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．依题意得
解得即5x2＋4y2＝1，
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
规律方法
求椭圆方程的常用方法——待定系数法
采用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
(1)根据已知条件判断焦点所在的坐标轴，设出相应的标准方程；
(2)将已知条件代入，求出a，b(a2＝b2＋c2，a>b>0)；
(3)写出椭圆的标准方程．
注意：若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．
求符合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；
(2)焦点在y轴上，与y轴的一个交点为P(0，－10)，点P到离它较近的一个焦点的距离等于2；
(3)求经过两点(2，－)，的椭圆的标准方程．
解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，
所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
因为2a＝＋＝10，所以a＝5.
又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.
故所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)∵椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
∵点P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10.
∵点P到离它较近的一个焦点的距离为2，
∴－c－(－10)＝2，∴c＝8，
∴b2＝a2－c2＝36.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(3)方法1：①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
由已知条件得
解得a2＝4，b2＝8，a2综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
方法2：设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－)，的坐标分别代入，
得解得
所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.
——数学思想——
(一)数学思想方法——整体思想
【例4】 如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
【思路分析】 运用整体思想直接求出|PF1|·|PF2|，无需单独求，以减少运算量，另外若条件中出现了椭圆上的点，则应考虑椭圆的定义．
【解】 在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2.
∴c＝＝1.
又∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.①
由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②
①式两边平方得：
|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，③
③式－②式得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
∴S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4.
规律方法
一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题，或把距离之积当作整体来研究，减少运算量，使问题简单化．
已知F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．
解：设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
根据椭圆定义m＋n＝20，
△F1PF2中，由余弦定理得
m2＋n2－2mncos∠F1PF2＝122.
∴m2＋n2－mn＝144.
∴202－3mn＝144.∴mn＝.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝××＝.
(二)相关法求轨迹方程
【例5】 已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆＋y2＝1上任一点，求AQ的中点M的轨迹方程．
【思路分析】 求中点M(x，y)的轨迹方程，可以设出Q(x0，y0)，利用中点坐标公式，找出x，y与中间变量x0，y0之间的关系，再利用已知与x0，y0之间的关系，从而得到关于x，y之间关系的方程．
【解】 设中点M的坐标为(x，y)，
点Q的坐标为(x0，y0)，
利用中点坐标公式，得
∴
∵Q(x0，y0)在椭圆＋y2＝1上，
∴＋y＝1.
将x0＝2x－1，y0＝2y代入上式，
得＋(2y)2＝1.
故所求AQ中点M的轨迹方程为(x－)2＋4y2＝1.
规律方法
由已知条件先写出Q点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示Q点的坐标并代入Q点的坐标所满足的方程，整理即得所求的轨迹方程，动点M与曲线上的动点Q称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法．
已知圆x2＋y2＝1，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP′，则线段PP′的中点M的轨迹方程是( A )
A．4x2＋y2＝1
B．x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．x2＋＝1
解析：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝y0，∵P(x0，y0)在圆x2＋y2＝1上，
∴x＋y＝1.①
将x0＝2x，y0＝y代入方程①，得4x2＋y2＝1.
∴点M的轨迹是一个椭圆，其方程为4x2＋y2＝1.
1．已知椭圆＋＝1上一点P到其中一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为( D )
A．2
B．3
C．5
D．7
解析：∵＋＝1，∴a＝5，b＝4，设椭圆的两焦点分别为F1，F2，|PF1|＝3，由椭圆的定义知|PF2|＝2a－3＝10－3＝7.
2．已知过椭圆4x2＋2y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则点A，B与椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为( A )
A．2
B．2
C.
D．1
解析：由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，故△ABF2的周长为4a＝2.
3．椭圆x2＋＝1的一个焦点是(0，)，则k＝( B )
A．－6
B．6
C.＋1
D．1－
解析：∵椭圆x2＋＝1的一个焦点是(0，)，
∴k－1＝()2，∴k＝6.
4．已知方程(k2－1)x2＋3y2＝1是焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
解析：方程(k2－1)x2＋3y2＝1可化为＋＝1(k2－1>0)．由焦点在y轴上得0<<，即k2－1>3，∴k>2或k<－2.
5．椭圆＋＝1上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，求|ON|的长．
解：如图，设椭圆的右焦点为F2，连接MF2.
∵O是F1F2的中点，N是MF1的中点，
∴|ON|＝|MF2|.
∵椭圆方程为＋＝1，∴a＝5，
∴|MF1|＋|MF2|＝10，
又∵|MF1|＝2，∴|MF2|＝8，
∴|ON|＝|MF2|＝4.
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