2020-2021学年江苏省南京师大附中高三上学期期中数学试卷 （Word版含解析）

2020-2021学年江苏省南京师大附中高三（上）期中数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．（3分）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（　　）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（3分）设z＝，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．（3分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（3分）设λ为实数，已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ）．若⊥，则向量+2与之间的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．（3分）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列
B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列
D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
6．（3分）若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则函数f（x）图象的一条对称轴是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝
7．（3分）函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）设实数k，已知函数f（x）＝，若函数f（x）﹣k在区间（0，+∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x1）的取值范围是（　　）
A．[1，e2] B．[﹣1，e） C．[e，e2） D．[2，e2）
9．（3分）某人退休前后各类支出情况如图，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中错误的是（　　）
A．该教师退休前每月储蓄支出2400元
B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C．该教师退休工资收入为6000元/月
D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦点在圆O：x2+y2＝20上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点E（0，3）满足ME⊥ON（O为坐标原点），下列说法正确的有（　　）
A．双曲线C的虚轴长为4
B．双曲线的离心率为
C．双曲线C的一条渐近线方程为y＝x
D．三角形OMN的面积为8
11．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E、F分别为BB1、CD中点，P是BC1上的动点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1F⊥AE
B．三棱锥P﹣AED1的体积与点P位置有关系
C．平面AED1截正方体ABCD﹣A1B1C1D的截面面积为
D．点A到平面AED1的距离为
12．（3分）已知函数f（x）＝+cosx﹣（x∈R），则下列说法错误的有（　　）
A．直线y＝0为曲线y＝f（x）的一条切线
B．f（x）的极值点个数为3
C．f（x）的零点个数为4
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2＝0
三、填空题（共4小题）
13．（3分）二项式（2x﹣）6的展开式中x3的系数为　 　．
14．（3分）已知α、β均为锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝，则cos2β＝　 　．
15．（3分）设a，b为实数，对于任意的a≥2，关于x的不等式x≤eax+b（e为自然对数的底数）在实数域R上恒成立，则b的取值范围为　 　．
16．（3分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为　 　；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为　 　．
三、解答题
17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB＝﹣4cosA，a＝2．
（1）求角A的值；
（2）若三角形ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．已知函数f（x）＝ax（a为常数，a＞0且a≠1）
（1）在下列条件中选择一个条件_____（仅填序号），使得以此条件可以推出数列{an}为等差数列，并说明理由；
①数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；
②数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列的前n项和构成的数列；
（2）在（1）的选择下，若a＝2，b＝（n∈N*），求数列{an?bn}的前n项和Sn．
19．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD，点E是棱BC上一点．
（1）若E是BC中点，求证：平面AD1E⊥平面CC1D1D；
（2）设二面角E﹣AD1﹣D的平面角为θ，且|cosθ|＝，求线段CE的长．
20．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）．
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）．
（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．
（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；
（ⅱ）若以p0作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列．
参考数据：ξ～N（u，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9644．
21．设a为实数，已知函数f（x）＝ex+ae﹣x+（1﹣a）x﹣2．
（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；
（2）当a≥1时，若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为．
（1）求a，b的值；
（2）当过点P（6，0）的动直线l与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得||?||＝||?||，问：点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．
参考答案
一、单项选择题
1．（3分）已知集合M＝{x|（x﹣1）2＜4，x∈R}，N＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N＝（　　）
A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
解：由M中不等式变形得：﹣2＜x﹣1＜2，
解得：﹣1＜x＜3，即M＝（﹣1，3），
∵N＝{﹣2．﹣1，0，1，2}，
∴M∩N＝{0，1，2}．
故选：A．
2．（3分）设z＝，则z的虚部为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
解：∵z＝＝＝＝+i，
∴z的虚部为，
故选：A．
3．（3分）已知m，n∈R，则“mn＜0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴正半轴上?＞0，即mn＜0，
∴“mn＜0”是“抛物线mx2+ny＝0的焦点在y轴正半轴上”的充要条件．
故选：C．
4．（3分）设λ为实数，已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ）．若⊥，则向量+2与之间的夹角为（　　）
A． B． C． D．
解：λ为实数，已知向量＝（﹣1，2），＝（1，λ），
若⊥，则﹣1×1+2λ＝0，解得λ＝，
所以＝（1，），+2＝（1，3），
设+2与之间的夹角为θ，
则（+2）?＝2+2?＝5+0＝5，
再根据（+2）?＝|+2|?||?cosθ＝??cosθ，
所以??cosθ＝5，求得cosθ＝，
由0≤θ≤π，
所以θ＝，
故选：A．
5．（3分）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．据此可推得（　　）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列
B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列
D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
解：设“宫”的频率为a，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率为a，“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率为a，
“商”经过一次“损”，可得“羽”频率为a，最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是a，
由于a，a，a成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列，
故选：A．
6．（3分）若函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则函数f（x）图象的一条对称轴是（　　）
A．x＝ B．x＝﹣ C．x＝ D．x＝
解：根据函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象，
可得它的一个对称中心的横坐标为x＝＝﹣，
故它的一条对称轴为 x＝＝﹣，
另一条为 x＝＝，
故选：B．
7．（3分）函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
解：作出函数y＝ex与函数y＝x2+2x的图象如下图所示，
由图象可知，函数y＝ex与函数y＝x2+2x的图象有3个交点，则函数f（x）＝ex﹣x2﹣2x有3个零点，
观察选项可知，只有选项B符合题意．
故选：B．
8．（3分）设实数k，已知函数f（x）＝，若函数f（x）﹣k在区间（0，+∞）上有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（x2﹣x1）f（x1）的取值范围是（　　）
A．[1，e2] B．[﹣1，e） C．[e，e2） D．[2，e2）
解：画出函数f（x）图象如图所示：
令y＝f（x）﹣k＝0，可得f（x）＝k，
即y＝f（x）和y＝k有两个不同的交点根据图象可知：
k∈[1，e），由e＝x2﹣1＝k得x1＝lnk，x2＝k+1，
所以（x2﹣x1）?f（x1）＝k2+k﹣klnk，
构造函数h（k）＝k2+k﹣klnk（k∈[1，e）），
由于h′（k）＝2k﹣lnk，h″（k）＝2﹣＞0，k∈[1，e），
所以k∈[1，e）时h′（k）递增，因为h′（k）≥h′（1）＝2＞0，
所以h（k）在k∈[1，e）时递增，所以h（k）∈[2，e2），
故选：D．
9．（3分）某人退休前后各类支出情况如图，已知退休前工资收入为8000元/月，退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，则下面结论中错误的是（　　）
A．该教师退休前每月储蓄支出2400元
B．该教师退休后的旅行支出是退休前旅行支出的3倍
C．该教师退休工资收入为6000元/月
D．该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少
解：∵退休前工资收入为8000元/月，每月储蓄的金额占30%，
则该教师退休前每月储蓄支出8000×30%＝2400元，故A正确；
该教师退休后每月储蓄的金额比退休前每月储蓄的金额少1500元，
则该教师退休后每月储蓄的金额为900元，设该教师退休工资收入为x元/月，
则x?15%＝900，即x＝6000元/月，故C正确；
该教师退休前的旅行支出为8000×5%＝400元，退休后的旅行支出为6000×15%＝900元，
∴该教师退休后的旅行支出不是退休前旅行支出的3倍，故B错误；
该教师退休前的其他支出为8000×20%＝1600元，退休后的其他支出为6000×25%＝1500元，
∴该教师退休后的其他支出比退休前的其他支出少，故D正确．
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的焦点在圆O：x2+y2＝20上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点E（0，3）满足ME⊥ON（O为坐标原点），下列说法正确的有（　　）
A．双曲线C的虚轴长为4
B．双曲线的离心率为
C．双曲线C的一条渐近线方程为y＝x
D．三角形OMN的面积为8
解：令圆中y＝0，可得x＝±2，由题意可得双曲线的焦点坐标为：（±2，0），
且双曲线的渐近线的方程为：y＝±x，代入圆的方程可得x2+x2＝20，所以可得x＝±＝±，
由题意可得M（，），N（﹣，），
所以＝（﹣，3﹣），＝（﹣，），
因为ME⊥ON，所以?＝0，
即（﹣，3﹣）?（﹣，）＝0，
整理可得：﹣+＝0，c＝2＝，
解得：b＝4，a＝2，
所以双曲线的方程为：﹣＝1；
可得虚轴长为8，所以A不正确；
离心率e＝＝＝，所以B正确；
渐近线的方程为：y＝±2x，所以C不正确；
可得M（2，4），N（﹣2，4），
则S△MON＝|MN|?yN＝×4×4＝8，
所以D正确，
故选：BD．
11．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，E、F分别为BB1、CD中点，P是BC1上的动点，则下列说法正确的有（　　）
A．A1F⊥AE
B．三棱锥P﹣AED1的体积与点P位置有关系
C．平面AED1截正方体ABCD﹣A1B1C1D的截面面积为
D．点A到平面AED1的距离为
解：A选项，取AB中点G，连接FG，A1G，记A1G与AE交点为O，
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB，∠A1AG＝∠ABE＝，
因为E，F分别为BB1，CD中点，所以AG＝BE，FG∥AD，
因此Rt△A1AG≌Rt△ABE，所以∠AA1G＝∠BAE，∠A1GA＝∠AEB，
因此∠OAG+∠OGA＝∠BAE+∠A1GA＝，因此∠AOG＝，即AE⊥A1G，
又在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以FG⊥平面ABB1A1，
因为AE?平面ABB1A1，所以FG⊥AE，
又A1G∩FG＝G，A1G?平面A1FG，所以A1F⊥AE，故A正确．
B选项，因为在正方体中AB∥C1D1，且AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1为平行四边形，
因此BC1∥AD1，又BC1?平面AED1，AD1?平面AED1，
所以BC1∥平面AED1．
因此棱BC1上的所有点到平面AED1的距离都相等，
又P是棱BC1上的动点，
所以三棱锥P﹣AED1的体积始终为定值，故B错误．
C选项，取B1C1的中点M，连接EM，MD1，则EM∥BC1，且EM＝BC1，
则EM∥AD1，
又正方体中，AB＝2，所以MD1＝AE＝＝，
BC1＝AD1＝2，
因此EM＝BC1＝，
所以平面AED1截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面为等腰梯形EMD1A，
因此该等腰梯形的高为h＝＝＝．
所以该截面的面积S＝（AD1+EM）?h＝，故C正确．
D选项，设点A1到平面AA1D1D的距离为d，
因为BB1∥平面AA1D1D，
所以点E到平面AA1D1D的距离为AB＝2，
即点E到平面AA1D1的距离为2，
所以V＝×2＝??22?2＝，
在△AED1中，AD1＝2，AE＝，ED1＝＝3，
所以cos∠EAD1＝＝，因此sin∠EAD1＝，
所以S＝?AD1?AE?sin∠EAD1＝?2??＝3，
又V＝V＝?S?d＝，所以d＝，
即点A1到平面AED1的距离为，故D错误．
故选：AC．
12．（3分）已知函数f（x）＝+cosx﹣（x∈R），则下列说法错误的有（　　）
A．直线y＝0为曲线y＝f（x）的一条切线
B．f（x）的极值点个数为3
C．f（x）的零点个数为4
D．若f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则x1+x2＝0
解：∵f（x）＝+cosx﹣（x∈R），
∴f′（x）＝﹣sinx，令f′（x）＝0，得sinx＝，
画出函数y＝和y＝sinx的图象，如图1示：
，
显然x∈（，+∞），（﹣，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
x∈（0，），（﹣∞，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
f（0）＝1﹣，f（）＝0，f（﹣）＝0，
故f（x）的大致图象如图2示：
，
对于A：f′（）＝0，f（）＝0，
所以切线的方程为：y﹣f（）＝f′（）（x﹣），即y＝0，A正确；
对于B：结合图1，两函数y＝和y＝sinx的图象有3个交点，
故f′（x）＝0有3个不同的解，即f（x）有3个极值点，故B正确；
对于C：x＝，x＝﹣为其2个零点，故C错误；
对于D：因为f（﹣x）＝＝f（x），
所以f（x）为偶函数，
若f（x1）＝f（x2），则f（x1）＝f（x2）＝f（﹣x2），
所以x1＝﹣x2，即x1+x2＝0，故D正确．
故选：C．
三、填空题
13．（3分）二项式（2x﹣）6的展开式中x3的系数为　240　．
解：二项式（2x﹣）6的展开式的通项公式为
Tr+1＝?（2x）6﹣r?（﹣）r＝26﹣r??（﹣1）r?x，
令6﹣＝3可得r＝2，
∴二项式（2x﹣）6的展开式中x3的系数为：（﹣1）2??24＝240．
故答案为：240．
14．（3分）已知α、β均为锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝，则cos2β＝　　．
解：∵α、β均为锐角，且sinα＝，故cosα＝＝＝，
∴sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝2cos2α﹣1＝．
∵cos（α+β）＝，∴sin（α+β）＝＝，
∴sin2（α+β）＝2sin（α+β）cos（α+β）＝，cos2（α+β）＝2cos2（α+β）﹣1＝，
则cos2β＝cos[2（α+β）﹣2α]＝cos2（α+β）cos2α+sin2（α+β）sin2α＝×+＝，
故答案为：．
15．（3分）设a，b为实数，对于任意的a≥2，关于x的不等式x≤eax+b（e为自然对数的底数）在实数域R上恒成立，则b的取值范围为　[﹣ln2﹣1，+∞）　．
解：当x≤0时，x≤eax+b恒成立；
当x＞0时，x≤eax+b即为lnx≤ax+b，
考虑函数y＝lnx的图象和直线y＝ax+b的平行线y＝ax+t，
即b≥tmax，
当a≥2时，设直线y＝ax+t与函数y＝lnx相切，设切点为（m，lnm），
由y＝lnx的导数为y′＝，
可得＝a，即am＝1，am+t＝lnm，即t＝lnm﹣1，
由a≥2可得0＜≤，即0＜m≤，
则t≤﹣ln2﹣1，
故b的取值范围是[﹣ln2﹣1，+∞）．
故答案为：[﹣ln2﹣1，+∞）．
16．（3分）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为　　；若该六面体内有一球，则该球表面积的最大值为　　．
解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为，
如图，在棱长为的正四面体S﹣ABC中，
取BC中点D，连结SD、AD，
作SO⊥平面ABC，垂足O在AD上，
则AD＝SD＝＝，OD＝AD＝，SO＝＝，
∴该六面体的体积：
V＝2VS﹣ABC＝2××××＝．
当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，
过球心O作OE⊥SD，则OE就是球半径，
∵SO×OD＝SD×OE，
∴球半径R＝OE＝＝＝，
∴该球表面积的最大值为：S球＝4π?＝．
故答案为：，．
三、解答题
17．在△ABC中，设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB＝﹣4cosA，a＝2．
（1）求角A的值；
（2）若三角形ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：（1）由余弦定理可得b?+c?＝＝a＝2＝﹣4cosA，
即cosA＝﹣，
由0＜A＜π，可得A＝；
（2）S△ABC＝bcsinA＝bc?sin＝bc＝，
则bc＝，
由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc?cos
＝（b+c）2﹣bc＝4，
即b+c＝＝，
则△ABC的周长为2+．
18．已知函数f（x）＝ax（a为常数，a＞0且a≠1）
（1）在下列条件中选择一个条件_____（仅填序号），使得以此条件可以推出数列{an}为等差数列，并说明理由；
①数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列；
②数列{f（an）}是首项为4，公差为2的等差数列；
③数列{f（an）}是首项为4，公比为2的等比数列的前n项和构成的数列；
（2）在（1）的选择下，若a＝2，b＝（n∈N*），求数列{an?bn}的前n项和Sn．
解：（1）若选条件①时：
由题设知：f（an）＝4×2n﹣1＝2n+1＝a（a为常数，a＞0且a≠1），则an＝loga2n+1＝（n+1）loga2，
又an+1﹣an＝（n+2）loga2﹣（n+1）loga2＝loga2为常数，
∴数列{an}是首项为2loga2，公差为loga2的等差数列，故选条件①；
若选条件②时：
由题设知：f（an）＝4+2（n﹣1）＝2n+2＝a（a为常数，a＞0且a≠1），则an＝loga（2n+2），
又an+1﹣an＝loga（2n+4）﹣loga（2n+2）＝loga≠常数，此时数列{an}不是等差数列，故不能选条件②；
若选条件③时：
由题设知：f（an）＝＝2n+2﹣4＝a（a为常数，a＞0且a≠1），则an＝loga（2n+2﹣4），
又an+1﹣an＝loga（2n+3﹣4）﹣loga（2n+2﹣4）＝loga≠常数，此时数列{an}不是等差数列，故不能选条件③；
综合以上，知选条件①可以推出数列{an}为等差数列；
（2）由（1）知：an＝（n+1）loga2，
又a＝2，b＝（n∈N*），∴anbn＝，
∴Sn＝++…+，
又Sn＝+…++，
两式相减得：Sn＝1+++…+﹣＝1+﹣，
整理得：Sn＝3﹣．
19．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，AA1＝A1B1＝AB＝1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面ABCD，点E是棱BC上一点．
（1）若E是BC中点，求证：平面AD1E⊥平面CC1D1D；
（2）设二面角E﹣AD1﹣D的平面角为θ，且|cosθ|＝，求线段CE的长．
【解答】（1）证明：取BC中点M，连接AM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，∴AM⊥BC，
∴AM⊥AD，
又AA1⊥平面ABCD，
∴AM，AD，AA1两两垂直，
∵四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，∴四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是菱形，A1D1＝A1B1＝1，
以A为原点，以AM，AD，AA1为坐标轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，
则A（0，0，0），D（0，2，0），C（，1，0），D1（0，1，1），
若E为BC得中点，则E（，0，0），
∴＝（，0，0），＝（0，1，1），＝（﹣，1，0），＝（0，﹣1，1），
设平面AD1E的法向量为＝（x1，y1，z1），则，即，
令z1＝1可得＝（0，﹣1，1），
设平面CDD1C1的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，
令x2＝1可得＝（1，，），
∴＝0﹣+＝0，∴⊥，
∴平面平面AD1E⊥平面CC1D1D．
（2）解：设E（，m，0），﹣1≤m≤1，则＝（，m，0），
设平面EAD1的法向量为＝（x3，y3，z3），则，即，
令x3＝m可得＝（m，﹣，），
∵AM⊥平面ADD1A1，∴＝（1，0，0）为平面ADD1的一个法向量，
∴cos＜，＞＝＝＝，
∴|cosθ|＝＝，解得m＝±，
又CM＝1，∴CE＝1±．
20．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍．本次比赛启用了新的排球用球MIKSA﹣V200W，已知这种球的质量指标ξ（单位：g）服从正态分布N（270，52）．比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军积分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2分，负队积1分．已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p（0＜p＜1）．
（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在（260，265]内的排球个数（计算结果取整数）．
（2）第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f（p）．
（ⅰ）求出f（p）的最大值点p0；
（ⅱ）若以p0作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X，求X的分布列．
参考数据：ξ～N（u，σ2），则p（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826，p（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9644．
解：（1）∵ξ服从正态分布N（270，52），
∴P（260，275]＝＝＝0.1359，
∴质量指标在（260，265]内的排球个数约为1000×0.1359≈136个；
（2）（ⅰ）前三场赢两场，第四场必赢，f（p）＝C32p3（1﹣p），
因此f′（p）＝3[3p2（1﹣p）+p3（﹣1）]＝3p2（3﹣4p）．
令f′（p）＝0，得p＝，
当p∈（0，）时，f′（p）＞0，f（p）在（0，）上为增函数；
当p∈（，1）时，f′（p）＜0，f（p）在（，1）上为减函数．
∴f（p）的最大值点p0＝，
从而p0＝，
（ⅱ）X的可能取值为3，2，1，0，
P（X＝3）＝（）3+C32×（）3×＝，P（x＝2）＝C42×（）3×（）2＝，
P（X＝1）＝C42×（）2×（）5＝，
P（X＝0）＝（）3+C31×（）×（）3＝．
∴X的分布列：
X 3 2 1 0
P



21．设a为实数，已知函数f（x）＝ex+ae﹣x+（1﹣a）x﹣2．
（1）当a＝2时，求f（x）的单调区间；
（2）当a≥1时，若f（x）有两个不同的零点，求a的取值范围．
解：（1）a＝2时，f（x）＝ex+2e﹣x﹣x﹣2，
则f′（x）＝ex﹣2e﹣x﹣1，f″（x）＝ex+2e﹣x＞0，
故f′（x）在R递增，而f′（ln2）＝0，
故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增；
（2）f（x）＝ex+ae﹣x+（1﹣a）x﹣2，
则f′（x）＝ex﹣ae﹣x+（1﹣a），f″（x）＝ex+ae﹣x，
∵a≥1，∴f″（x）＞0，f′（x）在R递增，
而f′（lna）＝elna﹣ae﹣lna+1﹣a＝0，
故f（x）在（﹣∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
故f（x）min＝f（lna）＝a+1+（1﹣a）lna﹣2，
若f（x）有两个不同的零点，
则f（x）min＝f（lna）＝a+1+（1﹣a）lna﹣2＜0，
解得：a＞e，
故a的取值范围是（e，+∞）．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为．
（1）求a，b的值；
（2）当过点P（6，0）的动直线l与椭圆C交于不同的点A，B时，在线段AB上取点Q，使得||?||＝||?||，问：点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明理由．
解：（1）由题意，，解得，
∴a＝2，b＝；
（2）点Q总在直线x＝上．
证明如下：由（1）可得，椭圆方程为．
由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x﹣6），
代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2﹣48k2x+144k2﹣12＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
设Q（x0，y0），由||?||＝||?||，得：
（6﹣x1）（x0﹣x2）＝（x1﹣x0）（6﹣x2）（考虑线段在x轴上的射影即可），
∴12x0＝（6+x0）（x1+x2）﹣2x1x2，
于是，
整理得x0＝，
∴点Q总在直线x＝上．