人教版数学九年级上册 第24章圆课时基础复习题（Word版含解析）

24.1圆的有关性质
一．选择题
1．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（　　）
A．2
B．4
C．2
D．4.8
2．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（　　）
A．2
B．2
C．2
D．4
3．如图，在⊙O中，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB和∠COD互补，且AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径是（　　）
A．
B．2
C．
D．4
4．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（　　）
A．∠B
B．∠C
C．∠DEB
D．∠D
5．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点且不与点A、B重合．若OP的长为整数，则符合条件的点P有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
6．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为（　　）
A．6
B．3
C．6
D．12
7．如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（　　）
A．AP＝2OP
B．CD＝2OP
C．OB⊥AC
D．AC平分OB
8．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
9．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（　　）
A．
+
B．2+
C．4
D．2+2
10．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（　　）
A．Q点在上，且＞
B．Q点在上，且＜
C．Q点在上，且＞
D．Q点在上，且＜
二．填空题
11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，若M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD＝8m，EM＝8m，则⊙O的半径为　
　m．
12．如图，已知点E为圆外的一点，EA交圆于点B，EC交圆于点D，若＝80°，＝30°，则∠BED＝　
　度．
13．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为　
　°．
14．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是　
　．
15．如图，在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于E，若∠A＝30°，则CD＝　
　．
三．解答题
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
（2）若∠M＝30°，求∠D的度数．
17．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．
18．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，＝60°，＝90°．
（l）求∠ACB的度数．
（2）若AC＝2，BC＝4，求点A，B到直线ED的距离的和．
19．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点．∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）当点P位于什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
2．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：
则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，
∴EG＝AG﹣AE＝2，
在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，
∴EG＝OG，
∴△EOG是等腰直角三角形，
∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，
∵∠DEB＝75°，
∴∠OEF＝30°，
∴OF＝OE＝，
在Rt△ODF中，DF＝＝＝，
∴CD＝2DF＝2；
故选：C．
3．【解答】解：作直径DE，连接CE，如图，
∵∠AOB+∠COD＝180°，∠COD+∠COE＝180°，
∴∠AOB＝∠COE，
∴＝，
∴CE＝AB＝2，
∵DE为直径，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝＝2，
∴OD＝，
即⊙O的半径是．
故选：C．
4．【解答】解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，
∴∠D＝∠A．
故选：D．
5．【解答】解：连接OA，作OC⊥AB于C，
则AC＝AB＝4，
由勾股定理得，OC＝＝3，
则3≤OP＜5，
OP＝3有一种情况，OP＝4有两种情况，
则符合条件的点P有3个，
故选：B．
6．【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE，
∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE＝OC＝×6＝3，
∴CD＝2CE＝6．
故选：A．
7．【解答】解：∵AD为直径，
∴∠ACD＝90°，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴CD∥OB，CD＝OB，
在Rt△ACD中，sinA＝＝，
∴∠A＝30°，
在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；
∵OP∥CD，CD⊥AC，
∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；
∴AP＝CP，
∴OP为△ACD的中位线，
∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；
∴OB＝2OP，
∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．
故选：A．
8．【解答】解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
9．【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，
∵∠ACB＝60°，
∴∠APB＝120°，
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA＝30°，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴AB＝6，
∴AD＝BD＝3，
∴PD＝，PA＝PB＝PC＝2，
∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，
∴四边形PEOD是矩形，
∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，
∴CE＝＝＝2，
∴OC＝CE+OE＝2+，
∴点C的纵坐标为2+，
故选：B．
10．【解答】解：连接AD，OB，OC，
∵＝180°，且＝，＝，
∴∠BOC＝∠DOC＝45°，
在圆周上取一点E连接AE，CE，
∴∠E＝AOC＝67.5°，
∴∠ABC＝112.5°＜130°，
取的中点F，连接OF，
则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，
∴∠ABF＝∠ABO+∠OBF＝45°+（180°﹣22.5°）＝123.75°＜130°，
∴Q点在上，且＜，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：连接OC，如图所示：
∵M是⊙O弦CD的中点，CD＝8m，
∴EM⊥CD，CM＝DM＝CD＝4（m），
设⊙O的半径为xm，
在Rt△COM中，由勾股定理得：OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝42+（8﹣x）2，
解得：x＝5，
即⊙O的半径为5m，
故答案为：5．
12．【解答】解：连接AD、OA、OC、OB、OD，如图所示：
∵＝80°，＝30°，
∴∠AOC＝80°，∠BOD＝30°，
∴∠BAD＝∠BOD＝15°，∠ADC＝∠AOC＝40°，
∴∠BED＝∠ADC﹣∠BAD＝40°﹣15°＝25°，
故答案为：25．
13．【解答】解：∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝55°，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠C＝∠CFO＝55°，
∴∠COF＝70°，
∴的度数是70°，
∵∠B＝55°，
∴的度数是110°，
∴的度数是110°﹣70°＝40°，
故答案为：40
14．【解答】解：连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2
∴x＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4
15．【解答】解：由圆周角定理得，∠COB＝2∠A＝60°，
∴CE＝OCsin∠COE＝2×＝，
∵AE⊥CD，
∴CD＝2CE＝2，
故答案为：2，
三．解答题（共4小题）
16．【解答】解：（1）∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，CE＝DE＝CD，
∵CD＝16，
∴CE＝DE＝8
设OB＝x，
又∵BE＝4，
则OE＝OB﹣BE＝x﹣4，
在Rt△ODE中
∴x2＝（x﹣4）2+82，
解得：x＝10，
∴⊙O的直径是2×10＝20．
（2）如图，连接BD，
∵∠M＝30°，
∴∠DOB＝2∠M＝60°，
∵OB＝OD，
∴△BOD为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴＝30°．
17．【解答】解：∵∠A＝40°，
∴劣弧BC的度数为80°，
则优弧BC的度数为：360°﹣80°＝280°，
∴∠D＝140°．
18．【解答】解：（1）∵在△ABC中，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，＝60°，＝90°，
∴∠EAC＝60°，∠CBD＝90°，AE＝AC，BC＝BD，
∴∠AEC＝∠ACE＝×（180°﹣∠EAC）＝60°，∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠CBD）＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）
过A作AQ⊥EC于Q，过B作BF⊥CD于F，则∠AQC＝∠BFD＝90°，
∵∠ACE＝60°，∠BCD＝45°，
∴∠QAC＝30°，∠FBC＝∠BCD＝45°，
∵AC＝2，BC＝4，
∴CQ＝AC＝＝1，
由勾股定理得：AQ＝＝，2BF2＝42，
解得：BF＝2，
AQ+BF＝+2，
所以点A，B到直线ED的距离的和是+2．
19．【解答】解：（1）PA+PB＝PC，理由如下：
如图1，在PC上截取PD＝PA，连接AD．由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；∴AB＝AC，
∵∠APC＝60°．PD＝PA，
∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△PAB和△DAC中，，
∴△PAB≌△DAC（SAS）
∴PB＝DC，
∵PD+DC＝PC，
∴PA+PB＝PC；
（2）解：△ABC是圆内接等边三角形，面积一定，则当点P到AB的距离最大时，△ABP的面积最大，此时点P为的中点，
∴当点P为的中点时，四边形APBC面积最大，
∵CA＝CB，
∴，
又∵，
∴PC为⊙O的直径，
∴∠PAC＝90°，又∠ACP＝30°，
∴PA＝PC＝1，
由勾股定理得，AC＝＝，
∴四边形APBC面积＝×1××2＝；
∴当P是弧AB中点时，四边形APBC的面积最大为．
24.2点和圆、直线和圆的位置关系
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠ABO＝30°，则∠C的度数是（　　）
A．70°
B．45°
C．30°
D．20°
2．等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，点P是圆上不与A、B、C重合的点，∠BPC的度数是（　　）
A．60°
B．120°
C．60°或120°
D．无法确定
3．在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（　　）
A．小于60°
B．等于60°
C．大于60°
D．大于或等于60°
4．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AC＝5，BD＝3，则AB的长是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．8
5．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B、过圆上点C作⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，若PA＝4，则△PEF的周长是（　　）
A．4
B．8
C．10
D．12
6．如图，点A，B，D在⊙O上，∠A＝15°，BC是⊙O的切线，点B为切点，OD的延长线交BC于点C，若BC的长为2，则DC的长是（　　）
A．1
B．4﹣2
C．2
D．4﹣4
7．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F，若AE＝5，AC＝4，则BE的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（　　）
A．8
B．10
C．13
D．14
9．如图，⊙O的直径AB＝8cm，AM和BN是它的两条切线，切点分别为A、B，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．设AD＝x，BC＝y，则y与x的函数图象是（　　）
A．xy＝16
B．y＝2x
C．y＝2x2
D．xy＝8
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，过点O作OD⊥AC交⊙O于点D，连接CD，若∠P＝30°，AP＝12，则CD的长为（　　）
A．2
B．3
C．2
D．4
二．填空题
11．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（8，0），⊙O半径为3，B为⊙O上任意一点，P是AB的中点，则OP的最小值是　
　．
12．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是　
　．
13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20cm，BC＝7cm，AC＝15cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是　
　．
14．如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝8cm，AB＝6cm，以O为圆心，4cm为半径作⊙O，点C为⊙O上一个动点，连接BC，D是BC的中点，连接AD，则线段AD的最大值是　
　cm．
15．如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝　
　．
三．解答题
16．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点A的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．
17．如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D，过点D作⊙O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H．
（1）求证：E为BC的中点；
（2）若⊙O的面积为12π，两个三角形△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，求△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比．
18．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数．
19．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°
（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，
∴∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∴∠C＝30°．
故选：C．
2．【解答】解：如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BPC＝∠A＝60°，
∵∠A+∠P′＝180°，
∴∠P′＝180°﹣60°＝120°，
∴当P点在上时，∠BPC＝120°．
故选：C．
3．【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
4．【解答】解：∵AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．
∴AP＝AC，BD＝BP，
∴AB＝AP+BP＝AC+BD，
∵AC＝5，BD＝3，
∴AB＝5+3＝8．
故选：D．
5．【解答】解：∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在弧AB上，
∴AE＝CE，FB＝CF，PA＝PB＝4，
∴△PEF的周长＝PE+EF+PF＝PA+PB＝8．
故选：B．
6．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点B为切点，
∴OB⊥BC，
∵∠A＝15°，
∴∠BOC＝2∠A＝30°，
∵BC＝2，
∴OC＝2BC＝4，OB＝OD＝2，
∴DC＝OC﹣OD＝4﹣2．
故选：B．
7．【解答】解：连接OD，如图，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴＝，即＝，
∴BE＝．
故选：B．
8．【解答】解：连接PE、PF、PG，AP，
由题意可知：∠PEC＝∠PFA＝PGA＝90°，
∴S△PBC＝BCPE＝×4×2＝4，
∴由切线长定理可知：S△PFC+S△PBG＝S△PBC＝4，
∴S四边形AFPG＝S△ABC+S△PFC+S△PBG+S△PBC＝5+4+4＝13，
∴由切线长定理可知：S△APG＝S四边形AFPG＝，
∴＝×AGPG，
∴AG＝，
由切线长定理可知：CE＝CF，BE＝BG，
∴△ABC的周长为AC+AB+CE+BE
＝AC+AB+CF+BG
＝AF+AG
＝2AG
＝13，
故选：C．
9．【解答】解：作DF⊥BN交BC于F，
∵AM和BN是⊙O的两条切线，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，又∵DF⊥BN，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BFD＝90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF＝AD＝x，DF＝AB＝8，
∵BC＝y，
∴FC＝BC﹣BF＝y﹣x；
∵AM和BN是⊙O的两条切线，DE切⊙O于E，
∴DE＝DA＝x，CE＝CB＝y，
则DC＝DE+CE＝x+y，
在Rt△DFC中，DC2＝DF2+CF2，
∴（x+y）2＝64+（x﹣y）2，
∴xy＝16
故选：A．
10．【解答】解：∵PC为切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵∠P＝30°，
∴OP＝2OC，∠POC＝90°﹣∠P＝60°，
∵AP＝12，
即OA+OP＝12，
∴3OC＝12，解得OC＝4，
∴∠AOC＝120°，
∵OD⊥AC，
∴＝，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
而OD＝OC，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝OC＝4．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：根据题意，当P在⊙O内，且OP+PA＝OA时，OP有最小值，如图，
∵A（8，0），⊙O半径为3，
∴OA＝8，OB＝3，
∴AB＝8+3＝11，
∵P是AB的中点，
∴AP＝5，5，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣5.5＝2.5，
∴OP的最小值是2.5，
故答案为2.5．
12．【解答】解：作OB⊥AB，连接OA，
∵∠CAD＝60°，
∴∠CAB＝120°，
∵AB和AC与⊙O相切，
∴∠OAB＝∠OAC，
∴∠OAB＝∠CAB＝60°
∵AB＝3cm，
∴OA＝6cm，
∴由勾股定理得OB＝3cm，
∴光盘的半径是3cm．
故答案为：3cm．
13．【解答】解：如图1所示，
S△ABC＝r（AB+BC+AC）＝r×42＝21r，
过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，如图2，
设CD＝x，
由勾股定理得：在Rt△ABD中，
AD2＝AB2﹣BD2＝400﹣（7+x）2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣x2＝225﹣x2，
∴400﹣（7+x）2＝225﹣x2，
解得：x＝9，
∴AD＝12，
∴S△ABC＝BC×AD＝×7×12＝42，
∴21r＝42，
∴r＝2，
该圆的最大面积为：S＝πr2＝π22＝4π（cm2），
故答案为：4πcm2．
14．【解答】解：由题意知OB＝10
连接OC，作直角△ABO斜边中线OE，连接ED，则DE＝OC＝2，AE＝OB＝5．
因为AD＜DE+AE，
所以当DE、AE共线时AD＝AE+DE最大为7cm．
故答案为：7．
15．【解答】解：连接OO1、AO1、BO1，作O1
D⊥OB于D，O1
E⊥AB于E，O1
F⊥OA于F，如图所示：
则O1
D＝O1
E＝O1
F＝r1，
∵M是AB的中点，
∴B（0，2），A（2，0），
则S△OO1B＝×OB×r1＝r1，
S△AO1O＝×AO×r1＝r1
S△AO1B＝×AB×r1＝××r1＝2r1
S△AOB＝×2×2＝2；
∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝（3+）r1＝2，
∴r1＝＝﹣1；
同理得：r2＝，r3＝…
∴rn＝，
依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝；
故答案为：．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：连接OA，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，
∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠E＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF；
（2）解：连接AB，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，
又∵tan∠P＝，即，
∴PB＝，
∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，
∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，
∴△APB∽△CPA，
∴，即PA2＝PBPC，
∴，解得PA＝．
17．【解答】解：（1）连接BD、OE，
∵AB是直径，则∠ADB＝90°＝∠ADO+∠ODB，
∵DE是切线，
∴∠ODE＝90°＝∠EDB+∠BDO，
∴∠EDB＝∠ADO＝∠CAB，
∵∠ABC＝90°，即BC是圆的切线，
∴∠DBC＝∠CAB，
∴∠EDB＝∠EBD，而∠BDC＝90°，
∴E为BC的中点；
（2）△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3，
则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，
∴AD：BM＝，
而△ADH∽△MBH，
∴DH：BH＝，
则DH＝HM，
∴HM：BH＝，
∴∠BMH＝30°＝∠BAC，
∴∠C＝60°，DE是直角三角形的中线，
∴DE＝CE，
∴△DEC为等边三角形，
⊙O的面积：12π＝（AB）2π，
则AB＝4，∠CAB＝30°，
∴BD＝2，BC＝4，AC＝8，而OE＝AC＝4，
四边形OBED的外接圆面积S2＝π（2）2＝4π，
等边三角形△DEC边长为2，则其内切圆的半径为：，面积为，
故△DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：．
18．【解答】（1）证明：∵到点O的距离等于a的所有点组成图形G，
∴图形G为△ABC的外接圆⊙O，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴＝，
∴AD＝CD；
（2）如图，∵AD＝CM，AD＝CD，
∴CD＝CM，
∵DM⊥BC，
∴BC垂直平分DM，
∴BC为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵＝，
∴OD⊥AC，
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1．
19．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠ABC＝65°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°；
（Ⅱ）连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠COE＝2∠BAC＝50°，
∴∠OEC＝40°
24.3正多边形和圆
一．选择题
1．正六边形的半径与边心距之比为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（　　）
A．1：2：3
B．1：：
C．：：1
D．无法确定
3．如图，正八边形ABCDEFGH中，∠EAG大小为（　　）
A．30°
B．40°
C．45°
D．50°
4．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
5．如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　　）
A．2cm
B．cm
C．cm
D．1cm
6．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，则∠ADB的度数为（　　）
A．45°
B．25°
C．22.5°
D．20°
8．如图，在正六边形ABCDEF中，△BCD的面积为2，则△BCF的面积为（　　）
A．8
B．6
C．4
D．3
9．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ABD的度数为（　　）
A．36°
B．72°
C．108°
D．144°
10．如图，以正六边形ABCDEF的对角线BD为边，向右作等边三角形BDG，若四边形BCDG的面积为4，则五边形ABDEF的面积为（　　）
A．6
B．8
C．10
D．12
二．填空题
11．若正多边形的一条边与过这条边顶点的半径夹角为72°，则此正多边形的边数为　
　．
12．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则△ACE的周长为　
　．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为　
　．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝　
　度．
15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB．连接OA、OB、BC，若BC是⊙O的内接正十二边形的一边，则∠ABC＝　
　．
三．解答题
16．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．
（1）∠CPD＝　
　°；
（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．
17．如图，⊙O外接于正方形ABCD，P为弧AD上一点，且AP＝1，PC＝3，求正方形ABCD的边长和PB的长．
参考答案
1．D
2．C
3.
C
4．D
5．A
6．B
7．C
8．C
9．B
10．C
11．10
12．6
13．10
14．36
15．15°
16．解：（1）如图，连接BD，
∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，
∴∠DBC＝45°，
∵∠CPD＝∠DBC，
∴∠CPD＝45°．
答案为：45；
（2）如图，作CH⊥DP于H，
∵CP＝2，∠CPD＝45°，
∴CH＝PH＝2，
∵DC＝4，
∴DH＝＝＝2，
∴DP＝PH+DH＝2+2．
17．解：连接AC，作AE⊥PB于E，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BCD＝90°，∠ACB＝45°，
∴AC是⊙O的直径，△ABC是等腰直角三角形，
∴∠APC＝90°，AC＝AB，
∴AC＝＝＝，
∴AB＝＝，
∵∠APB＝∠ACB＝45°，AE⊥PB，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝AP＝，
∴BE＝＝＝，
∴PB＝PE+BE＝+＝2．
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九年级数学
24.4
弧长与扇形面积
一、选择题
1.
将圆心角为90°，面积为4π
cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为(　　)
A.
1
cm
B.
2
cm
C.
3
cm
D.
4
cm
2.
如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E，则的长为
(　　)
A.π
B.π
C.π
D.π
3.
如图，用一张半径为24
cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)．如果圆锥形帽子的底面圆半径为10
cm，那么这张扇形纸板的面积是(　　)
A．240π
cm2
B．480π
cm2
C．1200π
cm2
D．2400π
cm2
4.
（2020·泰州）如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
5.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A.
2－π
B.
4－π
C.
2－π
D.
π
6.
如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3
B．1∶π
C．1∶4
D．2∶9
7.
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD＝30°，CD＝4，则S阴影＝(　　)
A.
2π
B.
π
C.
π
D.
π
　　　
8.
如图，在△AOC中，OA＝3
cm，OC＝1
cm，将△AOC绕点O顺时针旋转90°后得到△BOD，则AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积为(　　)
A.
cm2
B．2π
cm2
C.
cm2
D.
cm2
二、填空题
9.
如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，AB＝3
cm，则劣弧的长为________
cm.
　　　　　
10.
(2020·绥化)已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是______度．
11.
（2020·黄石）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC的外接圆，则的长等于
．
12.
如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12
cm，OA＝13
cm，则扇形OAC中的长是________
cm.(结果保留π)
13.
一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为________．
14.
如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至四边形AB′C′D′的位置．若AB＝16
cm，则图中阴影部分的面积为________．
15.
一个圆锥形漏斗，某同学用三角尺测得其高度的尺寸(单位：cm)如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为________cm2.
16.
（2020·凉山州）如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点．若阴影部分的面积是，则半圆的半径OA的长为
．
三、解答题
17.
已知一个圆锥的轴截面△ABC(如图0)是等边三角形，它的表面积为75π
cm2，求这个圆锥的底面圆的半径和母线长．
18.
（2020·临沂）已知的半径为，的半径为.以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，交于点，过点作的平行线交于点.
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求阴影部分的面积.
19.
如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．
20.
如图所示，圆锥的底面圆的半径为10
cm，高为10
cm.
(1)求圆锥的全面积；
(2)若一只小虫从底面上一点A出发，沿圆锥侧面绕行到母线SA上的点M处，且SM＝3AM，求它所走的最短路程．
21.
如图，PB切⊙O于点B，直线PO交⊙O于点E，F，过点B作PO的垂线BA，垂足为D，交⊙O于点A，连接AO并延长交⊙O于点C，连接BC，AF，BF.
(1)若∠AOF＝120°，⊙O的半径为3，
求：①∠CBF的度数；
②的长；
③阴影部分的面积．
(2)若AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
(3)求证：直线PA为⊙O的切线．
(4)若BC＝6，AD∶FD＝1∶2，求⊙O的半径．
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九年级数学
24.4
弧长与扇形面积
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】
A　【解析】设扇形的半径为R，根据题意得＝4π，解得R＝4，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr＝，解得r＝1，即所围成的圆锥的底面圆的半径为1
cm.
2.
【答案】B　[解析]如图，连接OE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3.
∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=40°.∴的长==π.
3.
【答案】A　[解析]
∵扇形的弧长l＝2·π·10＝20π(cm)，
∴扇形的面积S＝lR＝×20π×24＝240π(cm2)．
4.
【答案】
A
【解析】本题考查了由于△CDE与△COD同底等高，面积相等，因此阴影部分面积与扇形BOC面积相等．而∠COB＝∠CDE＝36°，根据扇形面积公式可求得阴影部分面积为10π．
5.
【答案】A　【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,
∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.
6.
【答案】D
7.
【答案】
B　【解析】如解图，连接OC，设CD与OB交于点E，∵在⊙O中，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝2，∵∠BCD＝30°，∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，在Rt△EOD中，OE＝＝2，∴OD＝4，∴BE＝OB－OE＝4－2＝2，在△DOE和△CBE中，CE＝DE，∠CEB＝∠DEO，OE＝BE，∴△DOE≌△CBE，∴S阴影＝S扇形OBD＝＝π.
8.
【答案】B　[解析]
如图，AC边在旋转过程中所扫过的图形的面积即阴影部分的面积．S阴影＝S△OCA＋S扇形OAB－S扇形OCD－S△ODB.由旋转知△OCA≌△ODB，∴S△OCA＝S△ODB，∴S阴影＝S扇形OAB－S扇形OCD＝－＝2π(cm2)．故选B.
二、填空题
9.
【答案】π　【解析】由OA＝OB，∠AOB＝60°.可得△AOB为等边三角形，∴⊙O的半径OA＝AB＝3
cm，∴l＝×π×3＝π(cm)．
10.
【答案】100
【解析】设圆心角的度数是n，则2π×2.5＝．解得n＝100．
11.
【答案】EQ
\F(,2)π
【解析】由AB、BC、AC长可推导出△ACB为等腰直角三角形，连接OC，得出∠BOC＝90°，计算出OB的长就能利用弧长公式求出的长了．
∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2，AC＝，BC＝，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，
∵OB＝，∴的长为：EQ
\F(90π×,180)＝EQ
\F(,2)π．
12.
【答案】10π　[解析]
由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．
13.
【答案】12π
14.
【答案】32π
cm2　[解析]
由旋转的性质得∠BAB′＝45°，四边形AB′C′D′≌四边形ABCD，
则图中阴影部分的面积＝四边形ABCD的面积＋扇形ABB′的面积－四边形AB′C′D′的面积＝扇形ABB′的面积＝＝32π(cm2)．
15.
【答案】15π
16.
【答案】3
【解析】如答图，连接OC、OD、CD，则∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°．∵OB＝OD＝OC，∴△OCD和△OBD均为正三角形．∴∠ODC＝∠BOD＝60°．∴AB∥CD．∴S△BCD＝S△OCD．∴S阴影部分＝S扇形OCD．∴．解得r＝3，于是半圆的半径OA的长为3．故答案为3．
三、解答题
17.
【答案】
解：∵轴截面△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2OC.
由题意，得π·OC·AC＋π·OC2＝75π，
∴3π·OC2＝75π，∴OC2＝25.
∵OC>0，∴OC＝5
cm，
∴AC＝2OC＝2×5＝10(cm)．
即这个圆锥的底面圆的半径为5
cm，母线长为10
cm.
18.
【答案】
证明：（1）连接AP，过点作直线BC的垂线，垂足为点M，如下图：
∵线段的中点是点，以的长为半径画弧∴
∴∠PAO1＝∠PO1A，∠PAO2＝∠PO2A，∴∠O1A
O2=∠PAO1+∠PAO2＝90°
∴△O1A
O2是直角三角形∵∴∠O1A
O2=∠ABC＝90°
又∵∠O2MB=90°∴四边形ABM
O2是平行四边形∴O2M＝AB=
O1A－O1B=
∴是的切线；
（2）
∵，，，
∴O1A
=
又∵∠O1A
O2=90°∴cos∠A
O1
O2=∴∠A
O1
O2=60°
在Rt△B
O1
C中：
设O1
O2与的交点为点N，则阴影部分的面积为：
.
【解析】（1）证切线常用的方法有“作垂线证半径”和“作半径证垂直”
，考虑到题目中的已知条件，用“作垂线证半径”更简便一些，为此我们可以过点作直线BC的垂线，垂足为点M；同时考虑到∠O1A
O2可能是直角，可以连接AP用等腰三角形的等角对等边和三角形内角和定理进行证明；条件中还给出了平行线，因此可以证明∠ABC＝90°，则四边形ABM
O2是平行四边形，最后证明O2M＝AB=
O1A－O1B=
，问题得以解决.
（2）求阴影部分的面积，可以根据割补法来求.解决问题的关键是分别求出△BO1C和扇形BO1N的面积，根据已知条件，可以先求出O1A
=，然后根据三角函数求出
∠A
O1
O2的度数，需要的数据再通过三角函数求出，问题得解.
19.
【答案】
解：连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，
∴CD⊥AB.
由已知，得AB＝16
，∠DBF＝45°，
∴BF＝BD＝AB＝CD＝8
，
∴阴影部分的面积是－－[×－]＝64(分米2)．
答：阴影部分的面积是64平方分米．
20.
【答案】
解：(1)SA＝＝40(cm)，
S全＝S底＋S侧＝π×102＋10π×40＝500π(cm2)．
故圆锥的全面积是500π
cm2.
(2)如图，设圆锥的侧面展开图为扇形SAA′，点M对应扇形上的点M′，圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为n°.
由题意，得SM′＝SM＝SA＝×40＝30(cm)．
又∵S侧＝10π×40＝π×402，
∴n＝90，∴∠ASM′＝90°.
由勾股定理，得AM′＝＝＝50(cm)．
即它所走的最短路程是50
cm.
21.
【答案】
解：(1)①∵∠AOF＝120°，
∴∠ABF＝60°.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝30°.
②连接OB.
∵∠AOF＝120°，
∴∠AOE＝60°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOE＝∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，
∴＝＝2π.
③∵∠AOE＝60°，EF⊥AB于点D，
∴∠OAB＝30°.
∵AC＝6，∴BC＝3，∴AB＝3
.
∵OA＝3，∴OD＝，
∴S△AOB＝AB·OD＝×3
×＝
.
∵S扇形OAB＝π×32＝3π，
∴阴影部分的面积＝S扇形OAB－S△AOB＝3π－
.
(2)∵EF⊥AB于点D，∴AD＝BD＝4.
设OA＝x，则OD＝OE－DE＝x－2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即x2＝(x－2)2＋42，解得x＝5，
∴⊙O的半径为5.
(3)证明：连接OB.
∵PB是⊙O的切线，∴∠PBO＝90°.
∵EF⊥AB于点D，∴＝，
∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
(4)∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，
∴OD＝BC＝3.
设AD＝y.∵AD∶FD＝1∶2，
∴FD＝2y，∴OA＝OF＝FD－OD＝2y－3.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得OA2＝AD2＋OD2，即(2y－3)2＝y2＋32.
解得y1＝4，y2＝0(不合题意，舍去)．
∴OA＝2y－3＝5，即⊙O的半径为5.