(共21张PPT)
欢迎各位老师到来，请多多指教。
教师：但小英
班级：高一17班
课题：
3.1.1 方程的根与函数的零点
2011年10月18日
课标要求：
结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
重点及难点
重点是函数零点和方程根的概念
难点是方程根的存在性及方程根的个数的判断，要充分利用函数的单调性进行判断。
合作探究
探究一：方程的根与函数的零点
问题：方程的根与相对应的函数图象有什么关系？
求方程 的根 。
答案：
写出函数 的图像与 轴的交点坐标
答案（ ，0）
我们发现，方程的根就是函数图象与 轴的交点的横坐标
探究一元二次方程与相应二次函数的关系
一元二次方程 方程的根 二次函数 函数的图像 图像与
轴的交点
一般的一元二次方程
与相应二次函数 的关系
我们也发现，函数图象与 轴的交点的横坐标就是方程的根
函数的零点概念：
对于函数 ，我们把使
的实数 叫做函数 的零点。
注意：函数的零点就是方程的根，这个根应该在函数的定义域内。零点与点
的区别
函数 的零点就是方程 的实数
根，也就是函数 的图像与 轴的
交点的横坐标。
方程 有实数根
函数 的图像与 轴有交点
函数 有零点
例1： 求下列函数的零点
分析：充分利用公式法、分解因式法求零点
探究二：函数零点存在的条件
如果函数 在区间 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有 ，那么，函数 在区间 内有零点，即存在 ，使得 ， 这个 也就是方程 的根。
注意：函数图像必须是连续的。
例2：求函数
的零点的个数。
课堂练习
利用函数图像判断下列方程有没有根，有几个根。
高考连接
函数 的零点所在的大致区间
是( )
答案：B
,4)
3
(
,1),
.(
C
归纳总结
函数零点的概念
求零点的方法
布置作业
92页1.2
谢谢各位 再见§3.1.1 方程的根与函数的零点
设计者：数应系07 徐忠星 2007211866
教学分析
函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法。
学情分析：
学生程度差异性;中低等程度的学生占大多数，程度较高的学生占少数。
知识、心理、能力储备：学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会话简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，这就为学生理解函数的零点提供了帮助，初步的数形结合知识也足以让学生直观理解函数零点的存在性，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍函数的零点，从认知规律上讲，应该是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要内容，学生应该有较好的基础，对于它的根的个数以及存在性学生比较熟悉，学生理解起来没有太大问题，这也为我们归纳方程的根与函数的零点的联系提供了知识基础，但是学生对其他函数的图象和性质认识不深（比如抽象函数），对于高次方程还不熟悉，我们缺乏更多类型的例子，让学生从特殊到一般归纳出方程的根与函数的零点的内在联系，跨度较大，学生理解比较抽象。因此了解函数的零点、方程的根与函数的零点的联系应该是学生的学习的难点，也是我们教学的重点。另外，函数零点存在性定理的表示对学生而言是比较抽象难懂的，故而我们在教学过程中应联系生活事例，加强师生互动，尽可能多地给学生思考的时间，并提供不同类型的充分的二次函数让学生观察，研讨，从而真正理解教学内容。
三维目标
知识目标：让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点；
技能目标：通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界；
情感目标：通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐。
教学重难点
重点：理解函数的零点概念，理解并掌握方程的根与函数的零点的关系；
难点：发现并探究零点存在性定理，进一步理解掌握及应用。
课时安排：1课时
教学过程：
一、导入新课(直接导入)
教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点。
1、先观察下列三个一元二次方程的根与其相应的函数的图象：
①方程与函数；
②方程与函数；
③方程与函数；
教师引导学生解方程，画函数图象（教师在黑板画出第一个函数图象），并引导学生发现方程的根与函数图象和x轴交点坐标的关系。
容易知道，①中方程的两个根为，函数图象与x轴有两个交点（-1,0）,(3,0), ②中方程的两个实数根为，函数图象与x轴有一个交点（1,0），③中方程无实数根，函数图象与x轴无交点。
在上面的三个例子中，我们发现：
方程有根，函数图象与x轴就有交点，并且方程的根与函数图象与x轴的交点横坐标相等。
2、那这个结论对一般的一元二次方程及其相应的函数也成立吗？（学生同桌之间交流完成下表）
方程 ， 无根
函数 （，0）（，0） （，0） 无交点
学生自行验证上述结论，结论成立。
3、这个结论对一般的方程及其相应的函数也成立吗？
函数y=f(x)与x轴的交点在x轴上，交点的纵坐标为0，那么，横坐标就是0= f(x)的解，也就是方程f(x)= 0的根。若方程有根，则说明所求的横坐标存在，即函数图象与x轴的交点存在，且方程的根与函数图象与x轴的交点横坐标相等。结论依然成立。
二、构建概念
由上述结论可知，函数图象与x轴的交点可以把函数图象和方程联系起来，这样的点他还有一个特别的名字：零点。那么，怎样用数学语言来描述零点呢？
请看课本第87页的定义：
定义（教师板书）：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
说明：1、零点不是点，而是实数；
2、零点就是方程的根。
我们结合所学的零点一起来描述一下刚刚的结论：
方程f(x)= 0有根
函数y=f(x)图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
三、例题演练
例1、已知f(x)=有两个零点，求实数的取值范围。若有三个零点，四个呢？
变式：判断的零点个数。（学生易漏掉0个的情况）
四、诱导启发
1、通过上面的学习，同学们都有哪些求函数零点的方法呢？
（①求相应方程的根，②利用函数图象求交点）
2、若一个函数图象不能直接画出，它相应的方程也不易求根，我们又有什么方法来求得它的零点呢？
请同学们看课本例二。
例2、求函数f(x)=的零点的个数。（不易求根，不易画图）
学生会觉得非常困难，激发学生的好奇心和好胜心，并加以引导。
同学们，我们先把这个题目放在一边，来观察函数的图象（之前已在黑板上画出）。我们发现在区间[-2,1]上有零点，计算f(-2)·f(1)在区间[2,4]上呢？
可以发现，f(-2)·f(1)<0, 函数在区间（-2，1）内有零点x=-1，它是方程的一个根，同样地，f(2)·f(4)<0，函数在区间[2,4]上有零点x=3，它也是方程的一个根。
请同学们自己举例观察，看有没有同样的规律存在。
教师给出零点存在性定理，在黑板上板书。
如果函数y=f(x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa)·f(b)<0，那么，函数y=f(x) 在区间（a,b）上有零点，及存在c∈（a,b），使得fc)=0，这个c也就是方程f(x) =0的根。
五、理解归纳
1、一只蚂蚁要从A点到B点，而A、B之间有一条直线，蚂蚁可以不穿过直线到达B点吗？
2、将直线作为x轴，建立适当的直角坐标系，请作一个函数图象，要求A（a，y1）、B（b，y2）都在图象上，问（a，b）上可能有几个零点？
学生可以通过画图直观地认识到（a，b）上可能有零个、奇数个、偶数个、无穷多个零点。教师特别强调零个零点时，函数图像与其它图像的本质区别：函数图像不连续。在有零点个数的不确定，可以让雪深深刻、直观地理解零点存在性定理只能判定区间上零点的存在，而不能确定零点个数。
因此，对零点存在性定理做两点特别说明：
1、“连续不断”的必要性；
2、“存在性”的深层理解。
六、解决疑问
再请同学们看课本例2。
例2、求函数f(x)=的零点的个数。
解：用计算机或计算器做出x，f(x)的对应值表（如课本），
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.079 14.197
由表可知：函数在（2,3）上有零点。
（零点到底有几个呢？此处可让学生先行思考一下）
设其中一个零点为，则有f(x0)=0。而f(x)=在定义域上单调递增，
因此，0x>时，f(x) > f(x0) =0。
即函数只有一个零点。
分析归纳：1、零点存在性定理判断零点在某区间上是否存在零点；
2、利用函数的单调性或函数图象确定零点的个数。
另一种解法：
解：令f(x)==0，则有，绘图知：
在（2,3）上方程有一个根，即函数有一个零点。
七、课堂小结
1、我们今天学习了函数零点的概念，并探究了方程的根与函数零点的关系；
2、求函数零点的一般方法：①求方程的根，②函数图象；
3、研究学习了零点存在性定理并学会定理的应用；
4、在判断零点个数时可以采取的方法：单调性、函数图象；
5、进一步学习、应用了数形结合的思想、转化思想，由特殊到一般的数学方法。
九、作业布置
绿色通道课时作业二十一
附板书设计
§3.1.1方程的根与函数的零点
零点：零点存在性定理： 例题演练例1问题解决例2 探索研究诱导启发课堂小结
作业：
O
a
b
A
B
x
y
y
x
A
B
O
x
y
b
a
o
B
a
A
y
x
b(共18张PPT)
思考一：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y=ax2 +bx+c
(a>0)的图象
判别式
△ =b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1= x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等的
实数根x1 ,x2
结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的实数根。
对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程 f(x) = 0 有实数根
函数零点的定义：
等价关系
函数 y=f(x) 的图象与x轴有公共点
函数 y=f(x) 有零点
1、求下列函数的零点
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是_______.
0，-1，1
1，-1
小结：
求函数y=f(x)的零点，其实就是求方程f(x)=0的实数解。
函数零点的存在性问题
思考二：
（1）函数都有零点吗？
（2）什么条件下的函数必有零点？
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
由 f(－2)>0 ， f(1)<0，f(2)·f(1)<0
则（－2,1）为函数f(x)=x2－2x－3的一个零点所在的区间。
你能找出另一个零点所在的小区间吗？
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
－2
4
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
x
y
0
1
2
1
.
.
.
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线, 并且有f(a)·f(b)<0, 那么,函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
思考: 满足上述两个条件,函数就在指定区间内存在零点,那么，零点是否只有一个
x
y
0
a
b
.
.
.
.
由表3-1和图3.1—3可知f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间
(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
问题发散：如果函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，y=lnx+2x-6.
（1）求函数y=f(x)的零点的个数；
（2）求函数y=(x)所有零点之和；
（3）如果R上的奇函数有零点，试问零点个数有什么特点？所有零点之和你能得出什么结论吗？偶函数呢？
若函数y=ax2-x-1在R上恰有一个零点，求实数a的取值范围.
题1发散：条件改为在区间（0，1）上呢？
提高练习:
4.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ）
A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3)
5.下列函数在区间[1，2]上有零点的是（ ）
(A)f(x)=3x2-4x+5 (B)f(x)=x -5x-5
(C)f(x)=lnx-3x+6 (D)f(x)=ex+3x-6
6.若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象是连续
不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值是( )
（A）0 （B）正数 （C）负数 （D）无法判断
B
D
D
练一练:
★ 课堂小结
一元二次方程的根及其相应二次函数
的图象与x轴交点的关系
函数零点的概念
函数零点与方程的根的关系
★ 数学思想与方法
（1）由特殊到一般的基本方法;
（2）注意数形结合思想方法的运用。
小结：
若函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续不断，且满足以下条件：
1、f(a)f(b)<0；
2、在(a,b)上具有单调性；
则该函数在(a,b)上有且只有一个零点!
作业 、
已知：函数f(x)=x2+ax+b的两个零点是1和2，求函数f(x)的解析式。
1. 若函数y=2ax2-x-1在区间（0，1）有一个零点，求实数a的取值范围.
思考:
3.(共15张PPT)
提出问题：
一元二次方程 的根与二次函数 的图象有什么关系？
先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数的图象:
方程 与函数
0
3
2
2
=
-
-
x
x
3
2
2
-
-
=
x
x
y
方程 与函数
0
1
2
2
=
+
-
x
x
1
2
2
+
-
=
x
x
y
方程 与函数
0
3
2
2
=
+
-
x
x
3
2
2
+
-
=
x
x
y
O
指出：
（1）方程x2-2x-3=0的根与函数
y= x2-2x-3的图象之间的关系；
（2）方程x2-2x+1=0的根与函数
y= x2-2x+1的图象之间的关系；
（3）方程x2-2x+3=0的根与函数
y= x2-2x+3的图象之间的关系.
判别式
=b2-4ac >0 0 <0
二次函数y=ax2+bx+c
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
的根
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴的交点
有两个不等的
实数根x1，x2
有两个相等实数根x1=x2
没有实数根
x
y
x1
x2
x
y
x1=x2
x
y
一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a≠0）的图象有如下关系：
(x1,0)，
(x2,0)
(x1,0)
没有交点
结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是
推广到一般情形是:
函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况
方程f(x)=0的实根情况
若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;
若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.
想一想：推广到一般情形又怎样呢？
定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zero point).
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
引出函数零点的概念
剖析概念,你能得出什么结论吗？
结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
想一想,怎样求函数的零点呢？
求函数的零点有两种方法：
①代数法:求方程f(x)=0的实数根；
②几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
下面我们来探究二次函数的零点情况
1、用代数法探究
结论：二次函数
(1)△>0,二次函数有两个零点；
(2)△=0,二次函数有一个二重零点或二阶零点；
(3)△<0,二次函数没有零点。
2、用数形结合法探究(以 为例)
观察二次函数 的图象,填空：
①在区间[-2,1]上有零点 ;
f(-2)= ;f(1)= ;
f(-2)·f(1) 0。
②在区间[2,4]上有零点 ;
f(2)·f(4) 0。
-1
5
- 4
<
3
<
想一想：怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢？
让我们来看一个例子
x
y
0
-4
1
3
-1
观察下面函数y=f(x)的图象
·
·
·
·
a
d
c
b
①在区间[a,b]上 (有/无
零点;f(a)·f(b) 0.
②在区间[b,c]上 (有/无零点);
f(b)·f(c) 0.
③在区间[c,d]上 (有/无零点);f(b)·f(c) 0.
有
有
有
<
<
<
？你知道判断一个函数在给定区间上是否存在零点的方法了吗？
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c∈(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：
思考:若函数y=f(x)在区间[a,b]上有零点，是否一定有f(a)·f(b)<0？
例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3--1）和图象（图3.1--3）.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
表3--1
分析：先说明它存在零点，再求零点的个数。
巩固深化
图3.1--3
由表3--1和图3.1--3可知，f(2)<0,f(3)>0，即f(2)· f(3) <0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.
0 1 2 3 4
练习.函数 的零点所在的大致区间是( )
A . (1, 2) B . (2, 3)
C . 和(3, 4) D . (e, +∞)
分析:从已知的区间(a,b) ,求f(a),f(b),判断是否有f(a)·f(b)<0.
解:因为f(1)=-2<0,f(2)=ln2-1<0,故在(1,2)内没有零点,非A.又f(3)=ln3-2/3>0,所以f(2)·f(3)<0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点,选B.
1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a≠0）的图象的关系；
2、函数零点的概念；
3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法。
习题3.1 第2、3题
