利用二分法求方程的近似解
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课件19张PPT。利用二分法求方程的近似解如何利用函数性质判定方程解的存在?复习回顾若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点处的函数值符号相反(f(a)·f(b)<0)则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个实数解。知道了方程解存在,我们如何来求这个方程的解?探究新知如下函数f(x)的图像与直角坐标系中的x轴有交点(x0,0),知x0是方程f(x)=0的解在[-1,5]上,f(x)的图像是一条连续的曲线,且f(-1)·f(5)<0
x0∈[-1,5]
取[-1,5]中点2,f(2)·f(5)<0
x0∈[2,5]
取[2,5]中点3.5.......就是每次都取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法,其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小,使区间两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值. 探究新知二分法的定义：
对于在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,叫做二分法.例4 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.解 令f(x)=2x3+3x-3 观察表可知f(0)·f(1)<0，说明这个函数在区间[0,1]内有零点x0取区间(0,1)的中点 x1=0.5
然后用计算器算得 f(0.5)=-1.25
因为 f(0.5)·f(1)<0
所以 x0∈(0.5,1)
再取区间(0.5,1)的中点x1=0.75
然后用计算器算得 f(0.75)=0.09375
因为 f(0.5)·f(0.75)<0,
所以 x0∈(0.5,0.75).......如此就得到方程实数解所在区间的列表同理可得
x0∈(0.625,0.75),……
x0∈(0.7421875,0.744140625)
由于 |0.7421875-0.744140625| =0.001953125<0.01
此时区间(0.7421875,0.744140625)的两个端点精确到0.01的近似值都是0.74,所以原方程精确到0.01的近似解为0.74给定精确度ε,用二分法求函数零点x0的步骤:
1、确定初始区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0
2、求区间[a,b]的中点x1,x1=a1+0.5(b1-a1)=0.5(b1+a1)
3、计算：f(x1)
判断: (1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
(2)如果f(a)f(x1)<0,则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4、判断是否达到精确度ε,则若|a–b|<ε，则得到零点近似值是(a,b)区间内的任一点;否则重复2～4步骤. 利用十分法求方程实数解的过程选定初始区间练习 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x=7的近似解（精确到0.1）解 令f(x)=2x+3x-7观察表可知f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0取区间(1,2)的中点 x1=1.5，
然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33.
因为 f(1)·f(1.5)<0,
所以 x0∈(1,1.5)
再取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25，
然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87.
因为 f(1.25)·f(1.5)<0,
所以 x0∈(1.25,1.5)区间列表同理可得 x0∈(1.375,1.5)
x0∈(1.375,1.4375)
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4,所以
原方程精确到0.1的近似解为1.4二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根,它在现实生活中也有许多重要的应用,
请解答下面的题目： 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理？1.函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )
A.没有零点 B.有一个零点
C.有两个零点 D.有无数个零点
?2.方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( )补充练习BB3.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )补充练习B小结掌握用二分法求函数方程近似解的步骤
x0∈[-1,5]
取[-1,5]中点2,f(2)·f(5)<0
x0∈[2,5]
取[2,5]中点3.5.......就是每次都取区间的中点,将区间一分为二,再经比较,按需要留下其中一个小区间的方法,其实质是不断把函数零点所在的区间逐步缩小,使区间两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值. 探究新知二分法的定义：
对于在区间[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,叫做二分法.例4 求方程2x3+3x-3=0的一个实数解,精确到0.01.解 令f(x)=2x3+3x-3 观察表可知f(0)·f(1)<0，说明这个函数在区间[0,1]内有零点x0取区间(0,1)的中点 x1=0.5
然后用计算器算得 f(0.5)=-1.25
因为 f(0.5)·f(1)<0
所以 x0∈(0.5,1)
再取区间(0.5,1)的中点x1=0.75
然后用计算器算得 f(0.75)=0.09375
因为 f(0.5)·f(0.75)<0,
所以 x0∈(0.5,0.75).......如此就得到方程实数解所在区间的列表同理可得
x0∈(0.625,0.75),……
x0∈(0.7421875,0.744140625)
由于 |0.7421875-0.744140625| =0.001953125<0.01
此时区间(0.7421875,0.744140625)的两个端点精确到0.01的近似值都是0.74,所以原方程精确到0.01的近似解为0.74给定精确度ε,用二分法求函数零点x0的步骤:
1、确定初始区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0
2、求区间[a,b]的中点x1,x1=a1+0.5(b1-a1)=0.5(b1+a1)
3、计算：f(x1)
判断: (1)如果f(x1)=0,则x1就是f(x)的零点,计算终止;
(2)如果f(a)f(x1)<0,则令b=x1 (此时零点x0∈(a,x1)中)
(3)如果f(a)f(x1)>0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)中)
4、判断是否达到精确度ε,则若|a–b|<ε，则得到零点近似值是(a,b)区间内的任一点;否则重复2～4步骤. 利用十分法求方程实数解的过程选定初始区间练习 借助计算器或计算机用二分法求方程2x＋3x=7的近似解（精确到0.1）解 令f(x)=2x+3x-7观察表可知f(1)·f(2)<0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0取区间(1,2)的中点 x1=1.5，
然后用计算器算得 f(1.5)≈0.33.
因为 f(1)·f(1.5)<0,
所以 x0∈(1,1.5)
再取区间(1,1.5)的中点 x1=1.25，
然后用计算器算得 f(1.25)≈-0.87.
因为 f(1.25)·f(1.5)<0,
所以 x0∈(1.25,1.5)区间列表同理可得 x0∈(1.375,1.5)
x0∈(1.375,1.4375)
由于 |1.375-1.4375|=0.0625<0.1
此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4,所以
原方程精确到0.1的近似解为1.4二分法不仅仅用于求函数的零点和方程的根,它在现实生活中也有许多重要的应用,
请解答下面的题目： 在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子,10km长,大约有200多根电线杆子呢.想一想,维修线路的工人师傅怎样工作最合理？1.函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )
A.没有零点 B.有一个零点
C.有两个零点 D.有无数个零点
?2.方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( )补充练习BB3.下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )补充练习B小结掌握用二分法求函数方程近似解的步骤