北师大版七年级数学下册 4.3探索三角形全等的条件 第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等 (共24张PPT)

3 探索三角形全等的条件
第四章 三角形
第2课时 利用“角边角”“角角边”判定三角形全等
情境引入
学习目标
1．探索并正确理解三角形全等的判定方法
“ASA”和“AAS”;
2．会用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”
证明两个三角形全等．（重点）
如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，
现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的
办法是带哪块去？
学生活动：学生先自主探究出答案，然后再与同学进行交流．
教师点拨：显然仅仅带①或②是无法配成完全一样的玻璃的，
而仅仅带③则可以，为什么呢？
本节课我们继续研究三角形全等的判定方法．
情境导入
三角形全等的判定（“角边角”）
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？
A
B
C
A
B
C
图一
图二
“两角及夹边”
“两角和其中一角的对边”
它们能判定两个三角形全等吗？
作图探究
先任意画出一个△ABC，再画一个△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A， ∠B ′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
C
B
A
C
B
A′
B′
C′
E
D
作法：
（1）画A'B'=AB ;
（2）在A'B'的同旁画∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E相交于点C'.
想一想：从中你能发现什么规律？
知识要点
“角边角”判定方法
文字语言：有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）.
几何语言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B′ （已知），
∠B=∠B′ （已知），
在△ABC和△A′ B′ C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例1 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边），
∠ACB＝∠DBC（已知），
解：
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（ASA ）.
典例精析
B
C
A
D
判定方法：两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等．
例2 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=∠C,试说明：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：证明△ACD≌△ABE,就可以得出AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），
∴ △ACD≌△ABE（ASA)，
∴AD=AE.
问题：若三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm，你能画出这个三角形吗?
60°
45°
用“角角边”判定三角形全等
合作探究
60°
45°
思考：
这里的条件与一中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为一中的条件吗？
75°
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”.
归纳总结
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC和△A′B′C′中，
∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF.求说明：△ABC≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F,
解：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°,
∴△ABC≌△DEF（ASA ）.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC和△DEF中，
例4 如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.试说明： (1)△BDA≌△AEC；
解：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA，
∠ABD＝∠CAE，
AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS).
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
解：∵△BDA≌△AEC,
方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．
1. △ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，若要直接用“ASA”判定△ABC≌△DEF ，则应补充的条件是
.
2. 在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（　）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　
C．不一定全等　　 D．以上都不对
当堂跟踪练习
B
∠A＝∠D
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，能否判别下面的两个三角形全等，并说明理由.
不能，因为BC虽然是公共边，但不是对应边.
A
B
C
D
4.已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2,
试说明：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
解： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC和△ADC中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已证），
AC=AC （公共边），
∴ △ABC≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
学以致用：如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为三块,他是否可以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适?你能说明其中理由吗?
3
2
1
答：带1去，因为有两角且夹边相等的两个三角形全等.
能力提升：已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′ ，AD、A′ D′ 分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝ A′D′ ，并用一句话说出你的发现.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
解：因为△ABC ≌△A′B′C′ ，
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
因为AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，所以∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在△ABD和△A'B'D'中，
∠ADB=∠A'D'B'（已证），
∠ABD=∠A'B'D'（已证），
AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'.所以AD=A'D'.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
全等三角形对应边上的高也相等.
课堂小结
角边角
角角边
内容
有两角及夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA”)；
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“AAS”）
应用
为证明线段和角相等提供了新的证法
注意
注意“角角边”“角边角”中两角与边的区别
1．角边角：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，
简写成“角边角”或“ASA”．
2．角角边：两角分别相等且其中一组等角的对边相等
的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．
板书设计
本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法．在寻找判定方法说明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方法去寻找所缺少的条件．从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练
教学反思