北师大版七年级数学下册第五章生活中的轴对称 5.3简单的轴对称图形 第1课时 等腰三角形的性质 (共33张PPT)

3 简单的轴对称图形
第五章 生活中的轴对称
第1课时 等腰三角形的性质
学习目标
1.理解并掌握等腰三角形的性质；(重点)　
2.探索并掌握等腰三角形的轴对称性及其相关性质，
能初步运用其解决有关问题．(难点).
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,
能找出对称轴吗？
复习巩固
探究：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去
阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？
情境导入
情境导入
观察下列图片，它们有什么共同的特征？
等腰三角形
等腰三角形的性质
如图,在△ABC中,AB=AC，则三角形为等腰三角形.
它的各部分名称分别是什么？
A
B
C
(1)相等的两条边都叫腰;
腰
腰
底边
(2)另一边叫底边;
顶角
底角
底角
(3)两腰的夹角∠A叫顶角;
(4)腰与底边夹角∠B、∠C叫底角.
剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形ABC有什么特点？
互动探究
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形是轴对称图形.
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
重合的角

　
A
C
B
D
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜一猜： 由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠B =∠C.
(3)∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线.
(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高.
(5)BD=CD，AD为底边上的中线.
A
B
C
D
现象
A
B
C
D
解：在ΔABC中，∵AD是角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
在ΔABD和ΔACD中,
∵AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD，
∴ΔABD≌ΔACD.
∴BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90?.
∴AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高.
三线合一吗？
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.
归纳总结
等腰三角形的两个底角相等.
画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？
1.等腰三角形的顶角一定是锐角.
2.等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、
钝角都可以.
3.钝角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边.
5.等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.
6.等腰三角形底边上的中线一定平分顶角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
1.按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，再沿折痕剪开.
你有哪些办法可以得到一个等腰三角形？与同伴交流.
议一议
2.你能尝试用圆规吗？
例1 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角
形的底角的大小是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
典例精析
解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.
A
解 ∵AB=AC, BD=BC=AD,（已知）
∴∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD.(等边对等角）
设∠A=x°,∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°，
又∵∠BDC+∠ADB=180°，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.
∵∠ABC=∠C=∠BDC=2x°，
∴x+2x+2x=180.（三角形内角和等于180°）
解得 x=36 .∴∠A=36°，∠C=72°.
例2 如图，在ΔABC中，AB=AC , 点D在AC上，且
BD=BC=AD , 求∠A和∠C的度数.
C
D
B
A
如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC.
设 ∠C=x，则 ∠DAC=x.
在△ABD中， 根据三角形内角和定理，得
∠B+∠ADB+26°=180°，解得∠B= ∠ADB=77°.
在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
26°+x+77°+x=180°，解得∠C=x= 38.5°.
针对训练：
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
典例精析
图②
图①
证明：(1)如图①，过A作
AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图②
图①
G
方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
1.填空：
（1）等腰直角三角形的每一个锐角的度数是 ；
（2）如果等腰三角形的底角等于40°，那么它的
顶角的度数是_________ ；
（3）如果等腰三角形有一个内角等于80°，那么这
个三角形的最小内角等于____________ ；
20°或50°
当堂跟踪练习
100°
45°
(4)△ ABC中，AB=AC,∠A= 36?,则∠B= ______，
∠C= ____；
(5)△ ABC中，AB=AC,∠B= 36?,则∠A= ______，
∠C= ____.
72°
72°
108°
36°
方法总结：等边对等角！
2.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，
请找出它的对称轴.
解：∵OA=AB，
∴∠ABO=∠O=15°，∴∠BAO=150°,
∴∠BAC=180°-∠BAO=30°.
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠BAC=30°，
∴∠CBO=135°，∴∠CBD=180°-∠CBO=45°.
∵BC=CD，∴∠D=∠CBD=45°，∴∠OCD=120°,
∴∠1=180°－∠OCD=60°.
3.如图，∠AOB=15°，且OA=AB=BC=CD.求∠1的度数.
⌒
15°
1
C
D
B
O
A
⌒
4.如图，在ΔABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D, E是底边上两点，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度数.
C
E
D
B
A
解 :∵AB=AC,∴∠B=∠C，
∴∠B=∠C=（180°－120°）÷2=30°.
又∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=30°.
同理，∠CAE=∠C=30°.
∴∠DAE=∠BAC－∠BAD
－∠CAE=120°－30°－30°
=60°.
5.A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
A
B
分别以A、B、C为顶角
顶点来分类讨论！
8个
这样分类就不会漏啦！
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
拓展提升：
等腰三角形的性质
课堂小结
等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合（三线合一）
1．等腰三角形的性质：
等腰三角形是轴对称图形；等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”)，它们所在
的直线都是等腰三角形的对称轴；等腰三角形的两个底角相等．
2．运用等腰三角性质解题的一般思想方法：
方程思想、整体思想和转化思想．
板书设计
本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高
教学反思