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形如y=Asin()函数模型的建立：
模型准备(匀速圆周运动)——模型假设(三角函数模型)——模型建立(H=rsin()+h).
选择题
1.把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(
)
A.
y=sinx-
B.
y=sin
x+
C.y=sin
(x-)
D.
y=sin
(x+)
【答案】D
【解析】根据图象变换的方法,y=sinx的图象向左平移个单位长度后得到y=sinx+的图象.
2.已知a是实数，则函数的部分图象不可能是(
)
【答案】D
【解析】当a=0时,f(x)=1,是选项C,当函数f(x)=1+
asin
ax的周期,振幅为|a|,
所以当|a|<1时,T>2π。
当|a|>1时T<2π,由此可知A,B有可能出现,D不可能.
3.为了得到函数y=4sin(x-),x∈R的图象,只需将函数y=4sin(x-),x∈R的图象上的所有点(
)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
【答案】A
【解析】函数y=4sin(x-)的图象上各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,
得到y=4sin(x-),x∈R的图象.
4.已知函数f(x)=Acos()(A>0,)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(
)
A.
f(x)=2cos
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2cos
D.f(x)=2sin
【答案】B
【解析】由图象知A=2，周期的四分之一为，∴.
将点代入f(x)的解析式得sin=1，结合，得.
故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin.故选B。
5.将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的得到函数y=f(x)的图象,若y=f(x)在上的最大值为,则的取值个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
【解析】将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,可得y=sin(x-)的图象.再将横坐标缩短为原来的得到函数y=f(x)=sin(x-)的图象.
∵x∈，∴x-∈，
当时，则=1，解得=5.
当时，由题意可得sin=，
作出函数y=sin[(x-1)]与y=的图象如图。
由图可知，此时函数y=sin[(x-1)]与y=的图象有唯一交点，则sin=有唯一解.
综上，的取值个数为2.故选B。
6.已知函数f(x)=sin,若.且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则=(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】∵，∴直线是函数f(x)图象的一条对称轴，
又∵f(x)再区间上有最小值,无最大值,∴当时，f(x)取得最小值。
∴
又∵
又∵，∴k=1，即故选B。
7.下列函数中，图象的一部分如图所示的是(
)
A.
f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
【答案】C
【解析】解法一(代值验证法):把(-,0)代入选项,可排除B,D；再将(,3)代入,可排除A.故C正确.
解法二(逐一定参法):设
f(x)=Asin.
由图知,A=3,又,∴
由点(-,0),令-×+=0,得=.
∴f(x)=3sin.故选C。
8.已知函数f(x)=sin的最小正周期为，则该函数的图象(
)
A.关于直线x=对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于点对称
【答案】A
【解析】∵∴f(x)=sin.
∴其对称中心为.故B、D不符合；
其对称轴方程由
当k=0时，x=就是它的一条对称轴.故选A。
9.将函数y=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,则所得函数(
)
A.是奇函数
B.其图象以x=为一条对称轴
C.其图象以为一个对称中心
D.在区间上为单调递减函数
【答案】C
【解析】函数y=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,
可得f(x)=2sin[2(x+)+]=2sin(+2x)=2cos2x,
对于A,f(-x)=2cos2(-x)=2cos2x=f(x),所以函数为偶函数,故A不正确;
对于B,当x=时,f()=2cos=0,故B不正确;
对于C,当x=时,f()=2cos=-2,故C不正确;
对于D，f(x)=2cos2x,由解得
即函数f(x)的单调递减区间为
又
∴f(x)再区间上为单调递减函数，故D正确；故选D。
10.对于函数f(x)=sin(2x+)，下列命题：
①函数f(x)=sin(2x+)对任意x都有f(+x)=f(-x).
②函数f(x)=sin(2x+)图象关于对称.
③函数f(x)=sin(2x+)图象可看作是把y=sin2x的图象向右平移个单位而得到.
④函数f(x)=sin(2x+)图象可看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.其中正确的命题个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】对①，∵f(x)=sin(2x+)，f()=sin=1,
∴x=为函数f(x)=sin(2x+)的对称轴，即对任意x都有f(+x)=f(-x),故①正确。
对②，f()=sin(2×+)=sin=0，
∴为函数f(x)=sin(2x+)的对称中心，故②正确.
对③，y=sin2x的图象向右平移个单位得到y=sin2(x-)=sin(2x-)≠f(x)，故③错误.
对④，y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y=sin(2x+)=f(x)，故④正确。故选C。
填空题
1.函数y=sin(5x-)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为
.
【答案】y=sin(10x-)
【解析】将原函数的图象向右平移个单位长度，
得到y=sin[5(x-)]=sin(5x-)的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得到函数y=sin(10x-)的图象。
2.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是
.
【答案】y=1+cos2x
【解析】将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，
得到函数y=sin[2(x+)]的图象，即y=sin(2x+)=cos2x的图象，
再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是y=1+cos2x.
故答案为：y=1+cos2x。
3.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为
.
【答案】y=-cos2x-3
【解析】依据左加右减，上加下减的规则写出解析式。
y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，
得到y=cos[2(x+)+]=cos(2x+)=-cos2x。
再向下平移3个单位长度得到y=-cos2x-3的图象。
4.已知函数f(x)=Asin()的部分图象如图，则函数f(x)的解析式为
.
【答案】f(x)=2sin()
【解析】由题意得，知A=2，T=2()=4,∴
因为图象过点(,0)，所以f()=2sin()=0.
∵，∴
又∵f()=-2，∴∴f(x)=2sin().
5.将函数f(x)=cos2x得图象纵坐标伸长到原来得2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)得图象，则g()=
.
【答案】-2
【解析】将函数f(x)=cos2x得图象纵坐标伸长到原来得2倍，
所得图象对应的解析式为y=2cos2x,
则g(x)=2cos2(x+)=2cos(2x+),故g()=2cos(2×+)=-2.
故答案为：-2.
6.函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C，则以下结论中正确的是
.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x=对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间上是增函数;
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
【答案】②③
【解析】f()=3sin(2×-)=3sin(-)=-.f()=3sin()=0，故①错误，②正确。
令解得故③正确。
函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，得到y=3sin2(x-)=3sin(2x-)的图象，故④错误。
故答案为：②③。
解答题
1.已知函数f(x)=Asin()的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为,求f(x)得解析式。
【答案】f(x)=2sin(2x+)
【解析】由最低点，得A=2。
在X轴上两相邻两个交点的距离为，故
由点在图象上得2sin()=-2，即sin()=-1，故
∴又.
故f(x)=2sin(2x+).
2.已知函数f(x)=2sin(
-)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
【答案】(1)+1;
(2).
【解析】(1)∵f(x)为偶函数，∴
-=k,∴=。。
又，∴f(x)=2sin(
)+1=2cos+1.
又函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为，
∴,∴f(x)=2cos+1.
∴f()=2cos(2×)+1=+1.
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到f(x-)得图象，再将所得的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到f(-)得图象。
∴g(x)=f(-)=2cos[2(-)]+1=2cos(-)+1.
当(-)时，g(x)单调递减。
∴函数g(x)得单调递减区间是.
3.已知函数f(x)=sin()是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和ω的值.
【答案】ω=或2.
【解析】∵f(x)在R上是偶函数,
∴当x=0时,f(x)取得最大值或最小值,即sin=±1,得=k.
又
由f(x)的图象关于点对称,可知sin=0,解得
又f(x)在上是单调函数,∴T≥,即≥,∴0<ω≤2,
∴当k=1时,ω=;当k=2时,ω=2.
综上，ω=或2.
4.已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴。
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若,求sinα的值。
【答案】(1)(2).
【解析】(1)
由于直线是函数的图象的一条对称轴,
所以解得
又，∴.
由
所以函数f(x)的单调递增区间为
(2)由题意可得，.
由
又
5.已知函数)的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标；
(2)先将的图象纵坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度，最后将图象向上平移1个单位长度后得到的图象，求函数y=在上的单调递减区间和最值。
【答案】(1)对称中心为
(2)单调递减区间是；有最大值2，有最小值1-.
【解析】(1)由所给图象知：A=2，
∴
又
由
∴的对称中心为
(2)易知
当时，由
∴的单调递减区间是；
当时，，当2x=时，有最大值，最大值为-(-1)+1=2。
当2x=时，即时，有最小值，最小值为-cos()+1=1-。
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形如y=Asin()函数模型的建立：
模型准备(匀速圆周运动)——模型假设(三角函数模型)——模型建立(H=rsin()+h).
选择题
1.把函数y=sinx的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为(
)
A.
y=sinx-
B.
y=sin
x+
C.y=sin
(x-)
D.
y=sin
(x+)
2.已知a是实数，则函数的部分图象不可能是(
)
3.为了得到函数y=4sin(x-),x∈R的图象,只需将函数y=4sin(x-),x∈R的图象上的所有点(
)
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变
4.已知函数f(x)=Acos()(A>0,)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为(
)
A.
f(x)=2cos
B.f(x)=2sin
C.f(x)=2cos
D.f(x)=2sin
5.将函数y=sinx的图象向右平移个单位长度,再将横坐标缩短为原来的得到函数y=f(x)的图象,若y=f(x)在上的最大值为,则的取值个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
6.已知函数f(x)=sin,若.且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则=(
)
A.
B.
C.
D.
7.下列函数中，图象的一部分如图所示的是(
)
A.
f(x)=3sin
B.f(x)=3sin
C.f(x)=3sin
D.f(x)=3sin
8.已知函数f(x)=sin的最小正周期为，则该函数的图象(
)
A.关于直线x=对称
B.关于点对称
C.关于直线x=对称
D.关于点对称
9.将函数y=2sin(2x+)的图象向左平移个单位长度,则所得函数(
)
A.是奇函数
B.其图象以x=为一条对称轴
C.其图象以为一个对称中心
D.在区间上为单调递减函数
10.对于函数f(x)=sin(2x+)，下列命题：
①函数f(x)=sin(2x+)对任意x都有f(+x)=f(-x).
②函数f(x)=sin(2x+)图象关于对称.
③函数f(x)=sin(2x+)图象可看作是把y=sin2x的图象向右平移个单位而得到.
④函数f(x)=sin(2x+)图象可看作是把y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到.其中正确的命题个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
填空题
1.函数y=sin(5x-)的图象向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得图象的函数解析式为
.
2.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数是
.
3.将函数y=cos(2x+)的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为
.
4.已知函数f(x)=Asin()的部分图象如图，则函数f(x)的解析式为
.
5.将函数f(x)=cos2x得图象纵坐标伸长到原来得2倍(横坐标不变)，再向左平移个单位长度后得到函数g(x)得图象，则g()=
.
6.函数f(x)=3sin(2x-)的图象为C，则以下结论中正确的是
.(写出所有正确结论的编号)
①图象C关于直线x=对称；
②图象C关于点对称；
③函数f(x)在区间上是增函数;
④由y=3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
解答题
1.已知函数f(x)=Asin()的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为,求f(x)得解析式。
2.已知函数f(x)=2sin(
-)为偶函数,且函数f(x)的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f()的值；
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间.
3.已知函数f(x)=sin()是R上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,求和ω的值.
4.已知函数，直线是函数f(x)的图象的一条对称轴。
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若,求sinα的值。
5.已知函数)的部分图象如图所示.
(1)求的解析式及对称中心坐标；
(2)先将的图象纵坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度，最后将图象向上平移1个单位长度后得到的图象，求函数y=在上的单调递减区间和最值。
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