第五章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(淄博中考)下列图形中，不是轴对称图形的是(C)
2．(绍兴中考)我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②，它是一个轴对称图形，其对称轴有(B)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3．下列说法中正确的有(A)
①任何一个图形都有对称轴；②两个全等三角形一定关于某条直线对称；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC与△A′B′C′全等；④点A，B在直线l的两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，△ABC内有一点D是三条边的垂直平分线的交点，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(A)
A．100°
B．80°
C．70°
D．50°
,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
5．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆柱形水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为(C)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，M为AD上任意一点，则下列结论中错误的是(D)
A．DE＝DF
B．ME＝MF
C．AE＝AF
D．BD＝CD
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC＝60°；③点D到AB的距离等于CD的长．其中正确的个数是(C)
A．1
B．2
C．3
D．0
,第7题图) ,第8题图)
8．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q，若击打小球P，经过球台的边AB反弹后恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的(B)
A．点Q1
B．点Q2
C．点Q3
D．点Q4
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(D)
A．80°
B．75°
C．65°
D．45°
,第9题图) ,第10题图) ,第12题图)
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝12，则DE等于(C)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若一个三角形的一个角的平分线恰好是对边上的高，则这个三角形的形状是等腰三角形．
12．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝15度．
,第13题图) ,第15题图) ,第16题图)
14．等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是45°或36°.
15．如图，M为长方形纸片ABCD的边AD的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1＝40°，则∠BMC的度数为110°.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，连接BF，∠A＝50°，AB＋BC＝16
cm，则△BCF的周长和∠EFC分别等于16
cm，40°.
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝100°，∠C′＝30°.求∠B的度数．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠C＝∠C′＝30°，
∴∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－100°－30°＝50°
18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，MN⊥AB于点N，MN交BC的延长线于点M，若∠A＝40°，求∠M的度数．
解：∠M＝20°
19．(6分)如图，AB＝AC，AE⊥BC，DC＝CA，AD＝DB，求∠DAE的度数．
解：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠DAB，
∴∠ADC＝2∠B，
∵DC＝CA，
∴∠ADC＝∠DAC＝2∠B，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠B＋∠B＋∠DAB＋∠DAC＝180°，
即2∠B＋∠B＋2∠B＝180°，
∴∠B＝36°，
∴∠DAC＝72°，∠BAC＝108°，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴∠BAC＝∠EAC＝54°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠EAC＝18°
20．(6分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点．
(2)请计算出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
解：(1)画图略
(2)重叠部分的面积为×4×4－×2×2＝8－2＝6
21．(8分)如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C，D.
(1)∠PCD＝∠PDC吗？为什么？
(2)OP是CD的垂直平分线吗？为什么？
解：(1)∠PCD＝∠PDC.
理由：∵OP是∠AOB的平分线，且PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC
(2)OP是CD的垂直平分线．
理由：∵∠OCP＝∠ODP＝90°，
在△POC和△POD中，
∴△POC≌△POD(AAS)，
∴OC＝OD，
由PC＝PD，OC＝OD，可知点O，P都是线段CD的垂直平分线上的点，
从而OP是线段CD的垂直平分线
22．(8分)如图，在△ABC中，AB＝12
cm，AC＝6
cm，BC＝10
cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．
(1)求AE的长；
(2)求△ADE的周长．
解：(1)∵△BCD和△BED关于BD对称，∴△BCD≌△BED，
∴BE＝BC＝10
cm，
∴AE＝12－10＝2(cm)
(2)∵△BCD≌△BED，
∴DC＝DE，
∴△ADE的周长＝AE＋AD＋DE＝AE＋AC＝8
cm
23．(10分)如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)设直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
解：(1)画图略，连接B′B″，作线段B′B″的垂直平分线EF
(2)连接B′O，∵△ABC和△A′B′C′关于MN对称，
∴∠BOM＝∠B′OM，
又∵△A′B′C′和△A″B″C″关于EF对称，
∴∠B′OE＝∠B″OE，
∴∠BOB″＝∠BOM＋∠B′OM＋∠B′OE＋∠B″OE＝2(∠B′OM＋∠B′OE)＝2∠MOE＝2α，即∠BOB″＝2α
24．(10分)已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.
(1)如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；
(2)如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．
解：(1)当点D在BC的中点上时，DE＝DF，
证明：∵D为BC中点，
∴BD＝CD，
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△BED和△CFD中，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴DE＝DF
(2)CG＝DE＋DF.证明：连接AD，
∵S三角形ABC＝S三角形ADB＋S三角形ADC，
∴AB·CG＝AB·DE＋AC·DF，
∵AB＝AC，∴CG＝DE＋DF
25．(12分)如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E，F分别在AB，AC边上，连接AD，DE，DF，且∠ADE＝∠ADF＝60°.
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法.
请你用以下几种方法证明．
(1)将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABG，使得AC和AB重合，然后通过全等三角形的相关知识获证；
(2)利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证；
(3)利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
解：(1)如图①，将△ACD绕着点A顺时针旋转至△ABG，使得AC与AB重合，连接DG，
∴△ABG≌△ACD，
∴AG＝AD，∠GAB＝∠DAC，
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠GAD＝60°，∴△AGD是等边三角形，
∴∠ADG＝∠AGD＝60°，
∵∠ADE＝60°，∴G，E，D三点共线，
∴△AGE≌△ADF，∴AE＝AF
(2)如图②，在DE上截取DG＝DF，连接AG，
∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，AD＝AD，
∴△ADG≌△ADF，∴AG＝AF，∠1＝∠2，
∵∠ADB＝60°＋∠3＝60°＋∠2，∴∠3＝∠2，∴∠3＝∠1，
∵∠AEG＝60°＋∠3，∠AGE＝60°＋∠1，
∴∠AEG＝∠AGE，∴AE＝AG，∴AE＝AF
(3)如图③，过A作AG⊥DE于G，AH⊥DF于H，
∵∠ADE＝∠ADF＝60°，∴AG＝AH，
∵∠FDC＝60°－∠1，∴∠AFH＝∠DFC＝60°＋∠1，
∵∠AED＝60°＋∠1，∴∠AEG＝∠AFH，
∴△AEG≌△AFH，∴AE＝AF
1第五章检测题
(时间：120分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(淄博中考)下列图形中，不是轴对称图形的是(
)
2．(绍兴中考)我国传统建筑中，窗框(如图①)的图案玲珑剔透、千变万化，窗框一部分如图②，它是一个轴对称图形，其对称轴有(
)
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
3．下列说法中正确的有(
)
①任何一个图形都有对称轴；②两个全等三角形一定关于某条直线对称；③若△ABC与△A′B′C′成轴对称，则△ABC与△A′B′C′全等；④点A，B在直线l的两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．如图，△ABC内有一点D是三条边的垂直平分线的交点，若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的大小是(
)
A．100°
B．80°
C．70°
D．50°
,第4题图) ,第5题图) ,第6题图)
5．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆柱形水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为(
)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，M为AD上任意一点，则下列结论中错误的是(
)
A．DE＝DF
B．ME＝MF
C．AE＝AF
D．BD＝CD
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法：①AD是∠BAC的角平分线；②∠ADC＝60°；③点D到AB的距离等于CD的长．其中正确的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．0
,第7题图) ,第8题图)
8．如图，在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q，若击打小球P，经过球台的边AB反弹后恰好击中小球Q，则小球P击出时，应瞄准AB边上的(
)
A．点Q1
B．点Q2
C．点Q3
D．点Q4
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为(
)
A．80°
B．75°
C．65°
D．45°
,第9题图) ,第10题图) ,第12题图)
10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝12，则DE等于(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．若一个三角形的一个角的平分线恰好是对边上的高，则这个三角形的形状是(
)三角形．
12．如图，正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有(
)种．
13．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝(
)度．
,第13题图) ,第15题图) ,第16题图)
14．等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为BC上的一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是(
).
15．如图，M为长方形纸片ABCD的边AD的中点，将纸片沿BM，CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处．若∠A1MD1＝40°，则∠BMC的度数为(
).
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，交AC于点F，连接BF，∠A＝50°，AB＋BC＝16
cm，则△BCF的周长和∠EFC分别等于(
).
三、解答题(共72分)
17．(6分)如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝100°，∠C′＝30°.求∠B的度数．
18．(6分)如图，在△ABC中，AB＝AC，MN⊥AB于点N，MN交BC的延长线于点M，若∠A＝40°，求∠M的度数．
19．(6分)如图，AB＝AC，AE⊥BC，DC＝CA，AD＝DB，求∠DAE的度数．
20．(6分)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上，点E在BC边上，且点E在小正方形的顶点上，连接AE.
(1)在图中画出△AEF，使△AEF与△AEB关于直线AE对称，点F与点B是对称点．
(2)请计算出△AEF与四边形ABCD重叠部分的面积．
21．(8分)如图，已知P点是∠AOB平分线上一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足为C，D.
(1)∠PCD＝∠PDC吗？为什么？
(2)OP是CD的垂直平分线吗？为什么？
22．(8分)如图，在△ABC中，AB＝12
cm，AC＝6
cm，BC＝10
cm，点D，E分别在AC，AB上，且△BCD和△BED关于BD对称．
(1)求AE的长；
(2)求△ADE的周长．
23．(10分)如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称．
(1)画出直线EF；
(2)设直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角α的数量关系．
24．(10分)已知在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.
(1)如图1，当点D在边BC的什么位置时，DE＝DF？并给出证明；
(2)如图2，过点C作AB边上的高CG，垂足为G，试猜想线段DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系？并给出证明．
25．(12分)如图，△ABC是等边三角形，点D是BC边上一动点，点E，F分别在AB，AC边上，连接AD，DE，DF，且∠ADE＝∠ADF＝60°.
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有AE＝AF，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法.
请你用以下几种方法证明．
(1)将△ACD绕点A顺时针旋转至△ABG，使得AC和AB重合，然后通过全等三角形的相关知识获证；
(2)利用AD是∠EDF的角平分线，构造△ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证；
(3)利用AD是∠EDF的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
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