北京市2011-2020年高考物理专项分类汇编之3—功和能、动量（解析卷）

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北京市2011-2020年高考专项分类汇编之3—
功和能、动量
（1）动能定理
1.
2012年理综北京卷22．（16分）如图所示，质量为m的小物块在粗糙水平桌面上做直线运动，经距离l后以速度v飞离桌面，最终落在水平地面上。已知l=1.4m，v=3.0m/s，m=0.10kg，物块与桌面间的动摩擦因数μ=0.25，桌面高h=0.45m.。不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求
(1)小物块落地点距飞出点的水平距离s；
(2)小物块落地时的动能Ek；
(3)小物块的初速度大小v0。
解析：（1）小物块落地所用时间为t，有
s
小物块落地点距飞出点的水平距离m
（2）根据机械能守恒，小物块落地时的动能为
J
（3）在桌面上滑行过程中根据动能定理有
则m/s
2.
2012年理综北京卷23.(18分)
摩天大楼中一部直通高层的客运电梯，行程超过百米。电梯的简化模型如1所示。考虑安全、舒适、省时等因索，电梯的加速度a随时间t变化的。已知电梯在t=0时由静止开始上升，a一t图像如图2所示。电梯总质最m=2.0×103kg。忽略一切阻力，重力加速度g取10m/s2。
（1）求电梯在上升过程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
（2）类比是一种常用的研究方法。对于直线运动，教科书中讲解了由v-t图像求位移的方法。请你借鉴此方法，对比加速度和速度的定义，根据图2所示a-t图像，求电梯在第1s内的速度改变量△v1和第2s末的速率v2；
（3）求电梯以最大速率上升时，拉力做功的功率P；再求在0～11s时间内，拉力和重力对电梯所做的总功W。
解析：（1）如图2所示a一t图像可知0～11s电梯处于超重，加速度越大拉力越大，根据牛顿第二定律得
N
30～41s电梯处于失重，加速度越大拉力越小，根据牛顿第二定律得
N
（2）v-t图像中根据面积求位移，那么在a-t图像中根据面积求速度的改变
第1s内的速度改变量等于a-t图像与t轴所夹的前1s内的三角形面积
m/s
由于初速为0，第2s末的速率v2等于a-t图像与t轴所夹的前2s内的梯形面积
m/s
（3）由于前11s一直在加速，所以11s末电梯以最大速率上升，此时速度等于a-t图像与t轴所夹的前11s内的梯形面积
m/s
此时电梯的加速度为0，根据牛顿第二定律。拉力做功的功率
W
电梯受拉力和重力两个力，拉力和重力对电梯所做的总功W就是合力的功，根据动能定理等于前11s内动能的改变量
J
（2）机械能守恒定律
3.
2011年理综北京卷
15．由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的
A．质量可以不同
B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同
D．速率可以不同
答：A
【解析】万有引力是卫星的向心力
，解得周期
，环绕速度
，可见周期相同的情况下轨道半径必然相同，B错误，轨道半径相同必然环绕速度相同，D错误，同步卫星相对于地面静止在赤道上空，所有的同步卫星轨道运行在赤道上空同一个圆轨道上，C错误，同步卫星的质量可以不同，A正确。
（3）功和能
4.2015年理综北京卷23．（18分）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计，物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动，与桌面间的动摩擦因数为μ，以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为F=kx，k为常量。
⑴请画出F随x变化的示意图；并根据F-x图像求物块沿x轴从O点运动到位置x的过程中弹力所做的功。
⑵物块由x1向右运动到x3，然后由x3返回到x2，在这个过程中，
a．求弹力所做的功，并据此求弹性势能的变化量；
b．求滑动摩擦力所做的功；并与弹力做功比较，说明为什么不存在与摩擦力对应的“摩擦力势能”的概念。
【答案】（1），（2）
；
解析：（1））F随x变化的示意图如图示，在图象中，面积为外力拉弹簧时外力所做的功
弹簧的弹力对物块做负功，
（2）a.分段研究：从x1到x3过程中，弹簧的弹力做负功，为
从x3到x2过程中，弹簧的弹力做正功，为[]
则全过程弹簧的弹力作功为
由功能关系，得
b.物体向右由x1运动到x3的过程摩擦力作功
物体由由x3返回到x2的过程摩擦力做功
全程摩擦力做功
若物体直接由x1位置运动到x2位置，摩擦力做功为
可知，两次沿不同路径从相同出发点运动到同一位置，摩擦力做功不同，说明摩擦力做功与路径有关。]
而弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关，因此存在弹性势能的概念，摩擦力做功与路程成正比，而非像弹簧弹力做功一样与路径无关，只与初末位置有关，所以不存在
“摩擦势能”的概念。
（4）动量和动量定理
5.2015年理综北京卷18．“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是
（
A
）
A．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小
B．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小
C．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大
D．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力
解析：绳子从伸直到第一次下降至最低点的过程中，拉力逐渐增大，由牛顿第二定律可得，人先做加速度减小的加速运动，当时加速度减小到0，人的速度最大，即动量最大，动能也最大。此后人继续向下运动（），人做加速度增大的减速运动，动量一直减小到零，全程拉力向上，其冲量一直向上，选项A正确、选项C和D错误。B、拉力与运动方向相反，一直做负功，但动能先增大后减小，选项B错误。故选A。
6.2018年北京卷、22．（16分）2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。某滑道示意图如下，长直助滑道AB与弯曲滑道BC平滑衔接，滑道BC高h
=
10
m，C是半径R
=
20
m圆弧的最低点。质量m
=
60
kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a
=
4.5
m/s2，到达B点时速度vB
=
30
m/s。取重力加速度。
（1）求长直助滑道AB的长度L；
（2）求运动员在AB段所受合外力的冲量I的大小；
（3）若不计BC段的阻力，画出运动员经过C点时的受力图，并求其所受支持力FN的大小。
解：（1）根据匀变速直线运动公式，有
（2）根据动量定理，有
（3）运动员经C点时的受力分析如答图2
根据动能定理，运动员在BC段运动的过程中，有：
根据牛顿第二定律，有
得
FN=
3900N
7.2016年北京卷18.如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。下列说法正确的是
A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【答案】B
【解析】从轨道1变轨到轨道2，需要加速。故v2p>v1p；人造卫星在万有引力作用下绕地球运行，在任意位置，无论在轨道1还是轨道2，都是在P点，与地球距离相等，加速度均相同，因此B正确；在轨道1不同的位置离地球距离不同，加速度大小不同，故C不正确；动量是矢量，在轨道2不同位置，卫星的速度方向不同，所以动量方向不同，则动量不相同，故D错误。
8.2016年北京卷24．(20分)
（1）动量定理可以表示为Δp=FΔt，其中动量p和力F都是矢量。在运用动量定理处理二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。例如，质量为m的小球斜射到木板上，入射的角度是θ，碰撞后弹出的角度也是θ，碰撞前后的速度大小都是v，如图1所示。碰撞过程中忽略小球所受重力。
a．分别求出碰撞前后x、y方向小球的动量变化Δpx、Δpy；
b．分析说明小球对木板的作用力的方向。
（2）激光束可以看作是粒子流，其中的粒子以相同的动量沿光传播方向运动。激光照射到物体上，在发生反射、折射和吸收现象的同时，也会对物体产生作用。光镊效应就是一个实例，激光束可以像镊子一样抓住细胞等微小颗粒。
一束激光经S点后被分成若干细光束，若不考虑光的反射和吸收，其中光束①和②穿过介质小球的光路如图②所示，图中O点是介质小球的球心，入射时光束①和②与SO的夹角均为θ，出射时光束均与SO平行。请在下面两种情况下，分析说明两光束因折射对小球产生的合力的方向。
a.?光束①和②强度相同；
b.?光束①比②强度大。
【答案】（1）a.
，，方向沿y轴正方向；
b.
y轴负方向
（2）a.
两光束对小球的合力的方向沿SO向左
b.
两光束对小球的合力的方向指向左上方
【解析】
（1）a.在沿x轴方向，
在沿y轴方向，
沿y轴正方向
b.设木板对小球的两个方向的作用力分别为Fx、Fy；
依题意，对小球由动量定理可得：，。
由牛顿第三定律可知，小球对木板的作用力；
即小球对木板的作用力沿y轴负方向。
（2）设每个粒子的动量为p。
激光束穿出介质球后，粒子动量大小不变。
以水平向右为x轴为正方向，以竖直向上为y轴为正方向。
对①光束：；；
对②光束：；；
设Δt时间内，①光束与介质球作用的粒子数为N1，②光束与介质球作用的粒子数为N2；根据动量定理可得：介质小球对①光束的作用力为，；
同理：介质小球对②光束的作用力为，；
由牛顿第三定律可得，光束对小球的作用力：，；
，；
因此两光束对介质小球的总作用力：，
a.两束光强度相同时，N1=N2，此时Fx′沿x轴负向，Fy′=0，故两光束对小球的合力的方向沿SO向左；
b.①光束强度大时，N1>N2，此时Fx′沿x轴负向，Fy′沿y轴负向，故两光束对小球的合力的方向指向左上方。
（5）动量守恒定律
9.
2014年理综北京卷
22.（16分）如图所示，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A和B分别静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A无初速度释放，A与B碰撞后结合为一个整体，并沿桌面滑动。已知圆弧轨道光滑，半径R=0.2m;A和B的质量相等;A和B整体与桌面之间的动摩擦因数μ=0.2。取重力加速度g=10m/s2。求:
（1）
碰撞前瞬间A的速率v；
（2）
碰撞后瞬间A和B整体的速率v'
;
(3)
A和B整体在桌面上滑动的距离l.
【答案】（1）2m/s
（2）1
m/s
（3）0.25m
【解析】（1）滑块从圆弧最高点滑到最低点的过程中，根据机械能守恒定律，有
（2）滑块A与B碰撞，根据动量守恒定律，有
（3）滑块A与B粘在一起滑行，根据动能定理，有所以
所以l=0.25m
（6）碰撞
10.2020年北京卷13．在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度；静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是
A．将1号移至高度释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度
B．将1、2号一起移至高度释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都守恒
C．将右侧涂胶的1号移至高度释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号仍能摆至高度
D．将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都不守恒
答案∶D
解析∶A．1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为零，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度，故A错误；
B．1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故B错误；
C．1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度，故C错误；
D．碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D正确。
故选D。
（7）动量和能量
11.2019年北京卷24.（20分）雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒，这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。雨滴间无相互作用且雨滴质量不变，重力加速度为g。
（1）质量为m的雨滴由静止开始，下落高度h时速度为u，求这一过程中克服空气阻力所做的功W。
（2）将雨滴看作半径为r的球体，设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系数。
a．设雨滴的密度为ρ，推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式；
b．示意图中画出了半径为r1、r2（r1>r2）的雨滴在空气中无初速下落的v–t图线，其中_________对应半径为r1的雨滴（选填①、②）；若不计空气阻力，请在图中画出雨滴无初速下落的v–t图线。
（3）由于大量气体分子在各方向运动的几率相等，其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘，证明：圆盘以速度v下落时受到的空气阻力f
∝v2（提示：设单位体积内空气分子数为n，空气分子质量为m0）。
答案：
(1)
(2)
a．
b．
①
，
如答图示
(3)
详见解析
解析：
(1)对雨滴由动能定理得：
解得
；
(2)a.
半径为r的雨滴体积为：，其质量为
雨滴的加速度为0，即当雨滴的重力与阻力相等时速度最大，设最大速度为，则有：
其中
联立以上各式解得：
由可知，雨滴半径越大，最大速度越大，所以①对应半径为r1的雨滴，
不计空气阻力，雨滴做自由落体运动，图线如答图示：
(3)设在极短时间Δt内，空气分子与雨滴碰撞，设空气分子的速率为u，
在Δt内，空气分子个数为：，其质量为
设向下为正方向，对圆盘下方空气分子由动量定理有：
对圆盘上方空气分子由动量定理有：
圆盘受到的空气阻力为：
联立解得：。
（8）力学综合题
12.
2013年北京卷23．（18分）蹦床比赛分成预备运动和比赛动作两个阶段。最初，运动员静止站在蹦床上；在预备运动阶段，他经过若干次蹦跳，逐渐增加上升高度，最终达到完成比赛动作所需的高度；此后，进入比赛动作阶段。
把蹦床简化为一个竖直放置的轻弹簧，弹力大小F=kx
（x为床面下沉的距离，k为常量）。质量m=50kg的运动员静止站在蹦床上，床面下沉x0=0.10m；在预备运动中，假定运动员所做的总功W全部用于其机械能；在比赛动作中，把该运动员视作质点，其每次离开床面做竖直上抛运动的腾空时间均为Δt=2.0s，设运动员每次落下使床面压缩的最大深度均为xl。取重力加速度g=I0m/s2，忽略空气阻力的影响。
⑴求常量k，并在图中画出弹力F随x变化的示意图；
⑵求在比赛动作中，运动员离开床面后上升的最大高度hm；
⑶借助F-x图像可以确定弹性做功的规律，在此基础上，求x1和W的值。
答：（1）k=5000N/m
（2）
hm=5m
（3）x1=
1.1m
W=2525J
【
解析】（1）床面下沉x0=0.10m时，运动员受力平衡，
mg=kx0，
解得：k=mg/x0=5.0×103N/m。
弹力F随x变化的示意图如答图2所示。
（2）运动员从x=0处离开床面，开始腾空，其上升、下落时间相等，
。
（3）参考由速度—时间图象求位移的方法，F-x图象下的面积等于弹力做的功，从x处到x=0，弹力做功WT，
运动员从x1处上升到最大高度hm的过程，根据动能定理，有：
.
解得：。
对整个预备运动，由题述条件以及功能关系，有：，
解得：W=2525J≈2.5×103J。
13.2020年北京卷14．在无风的环境里，某人在高处释放静止的篮球，篮球竖直下落；如果先让篮球以一定的角速度绕过球心的水平轴转动（如图）再释放，则篮球在向下掉落过程中偏离竖直方向做曲线运动。其原因是，转动的篮球在运动过程中除受重力外，还受到空气施加的阻力和偏转力。这两个力与篮球速度的关系大致为：，方向与篮球运动方向相反；，方向与篮球运动方向垂直。下列说法正确的是
A．、是与篮球转动角速度无关的常量
B．篮球可回到原高度且角速度与释放时的角速度相同
C．人站得足够高，落地前篮球有可能向上运动
D．释放条件合适，篮球有可能在空中持续一段水平直线运动
答案∶C
解析∶A．篮球未转动时，篮球竖直下落，没有受到偏转力的作用，而篮球转动时，将受到偏转力的作用，所以偏转力中的与篮球转动角速度有关，故A错误；
B．空气阻力一直对篮球做负功，篮球的机械能将减小，篮球的角速度也将减小，所以篮球没有足够的能量回到原高度，故B错误；
C．篮球下落过程中，其受力情况如下图所示：
篮球下落过程中，由受力分析可知，随着速度不断增大，篮球受到f1和f2的合力沿竖直方向的分力可能比重力大，可使篮球竖直方向的分速度减小为零或变成竖直向上，所以篮球可能向上运动，故C正确；
D．如果篮球的速度变成水平方向，则空气阻力的作用会使篮球速度减小，则篮球受到的偏转力f2将变小，不能保持f2与重力持续等大反向，所以不可能在空中持续一段水平直线运动，故D错误。
故选C。
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