苏科版九年级数学期末复习教案：圆与线段比例

教学内容
圆与比例线段
教学目标
掌握相似的灵魂-比例
重点
利用相似三角形解决实际问题
难点
灵活运用比例
教学过程
知识解读：
比例线段在求线段的长度，证明线段等积式、线段相等、两直线平行，线段倍分关系等方面有广泛的应用；
由相似三角形得对应边成比例，是研究比例线段的最重要方法，而角在圆中转化灵活，为寻找构造相似三角形、得到比例线段提供可能性
当直线形与圆结合时，就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手
多视点观察图形
多元素分析图形。图中有没有特殊点，特殊线，特殊三角形，特殊四边形，全等三角形，相似三角形
将以上分析组合，寻找练习
例题精讲
例1：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC弧的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G，若EF∶AE＝3∶4，则CG∶GB＝
；
试一试：添加与直径相关的辅助线，寻找与CG，GB所在三角形的相似三角形
例2：如图，已知D为等腰△ABC底边BC上的任意一点，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，连接BE，CE，则图中相似三角形有
对
解析：运用等腰三角形性质、圆的相关性质挖掘相等的角，进而证明相似关系。
例3：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC与以AB为直径的圆O交于点D，E是BC的中点，连接DE，OE
判断ED与圆O的位置关系并说明理由
求证：
若，DE＝2，求AD的长
解析：对于（2），排出干扰，由条件出发，寻找熟悉的相似三角形，通过线段的代换证明；对于（3），将转化为恰当的线段比，引入参数并建立关于此参数的方程
例4：如图①，元O的弦CE垂直于直径AB，垂足为点G，点D在弧CB上，作直线CD，ED，与直线AB分别交于点F，M，连接OC
求证：
若将题中的“点D在弧CB上”改为“点D在弧AE上”，其余条件不变，如图②，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由
解析：对于（1），需要证明△OMC∽△OCF；对于（2），判断是否成立的关键是判断△OMC与△OCF是否仍相似
例5：如图，AB是圆O直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E作圆O的切线交AB的延长线于点F，切线为点G，连接AG交CD于点K
求证：KE＝GE
若，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由
在（2）的条件下，若，AK＝，求FG的长
解析：（1）（2）是（3）的基础，为条件的转化运用创造条件
例6：如图，已知四边形ABCD为任意一个圆内接四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
托勒密定理：
托勒密是古希腊天文学家、数学家。约在公元150年，他写出天文学巨著《天文学大成》。在天文学的推动下，托勒密提出如下命题：圆内接四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积。史称“托勒密定理”
解析：将问题转化为比例线段的证明，为此需构造相似三角形
综合练习：
练习1：如图，已知圆O是△ABC的外接圆，BC是圆O的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E，若BC＝，CD＝，则DE＝
练习2：如图，已知△ABC内接于圆O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝，则CD＝
练习3：如图，△ABC内接于圆O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，圆O的半径OC＝13，则AB＝
练习4：如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，以BC为直径的圆O与AD相切，点E为AD的中点，下列结论中：①AB＋CD＝AD；②；③AB·CD＝；④∠ABE＝∠DCE。其中正确的有
练习5：如图，AB是圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD与圆O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若圆O的半径为4，BC＝6，则PA＝
练习6：如图，在以AB为直径的半圆中，有一内接正方形CDEF，其边长为1，若AC＝a，BC＝b，则下列关系中不正确的是（
）
A.
a－b＝1
B.
ab＝1
C.
a＋b＝
D.
练习7：如图，△ABC内接于圆O，且∠ABC＝∠C，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交直线AB于点E，连接BD；
求证：∠ADB＝∠E
求证：
当点D运动到什么位置时，△DBE∽△ADE
练习8：已知圆O上有两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E
如图1，求证：EA·EC＝EB·ED
如图2，若弧AB等于弧BC，AD是圆O的直径，求证AD·AC＝2BD·BC
如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长
练习9：如图，AB为圆O的直径，P点为半径OA上异于O点和A点的一个点，过P点作直线AB垂直的弦CD，连接AD，作BE⊥AB，OE∥AD交BE于E点，连接AE，DE，AE交CD于F点
求证：DE为圆O的切线
若圆O的半径为3，，求AD的长
请猜想PF与FD的数量关系，并加以证明
练习10：如图，△ABC是圆O的内接三角形，点D在弧BC上，点E在弦AB上（点E不与点A重合），且四边形BDCE为菱形
求证：AC＝CE
求证
已知圆O的半径为3
①若AB∶AC＝5∶3，求BC的长
②当AB∶AC为何值时，AB·AC的值最大
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