人教版八年级数学上册全册培优资料（Word版 无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学上册全册培优资料（Word版 无答案） |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 12.0MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-01 00:00:00 | ||
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文档简介
第01讲 全等三角形的性质与判定
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE
【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°
C． AC＝DF D．EC＝CF
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.
证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°,
∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90°
∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ
【变式题组】
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A． B． C．bm D．am
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC
C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD
C. ∠ABC＝∠EBD＝45° D. AC∥BE
06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对
C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.
11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
12．如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：AE＝CD；
⑵若AC＝12cm, 求BD的长.
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）
15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）
⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
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01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）
A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.
09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：AF＋EF＝DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：BE＋CF＞EF；
⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.
12．（北京）如图，已知△ABC.
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE.
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.
14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
第02讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN
【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.
证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2
在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD
∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.
02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN
【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.
解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，
∴CE＝CF
在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE
又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°
在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD
∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.
【变式题组】
01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求
02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD
【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.
证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，
∴∠1＝∠3
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF ∴CE＝BD
【变式题组】
01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.
02．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.
演练巩固·反馈提高
01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C． mn D．2 mn
02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③
04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P
08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________
11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.
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01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
03．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________
04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________
05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________
06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)
07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC
08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP
第3讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）
【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.
【变式题组】
01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．
【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．
【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）
【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．
证明：在CD上任取与M不重合的点M’，
∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，
∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，
∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，
即AM＋BM最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
02．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（ ）．
A．48° B．54° C．74° D．78°
02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（ ）
A．80° B．85° C．95° D．110°
04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，－3），N（－1，－3） B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3） D．M（－1，3），N（1，－3）
05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）
A．（3，－5） B．（－5，3） C．（3，5） D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.
09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.
10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．
11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．
12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．
13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）
培优升级·奥赛检测
01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……Pn与P重合，则n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
02．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．
04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．
⑴求证：AB＝CD；
⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．
06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距离是多少？
07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB的周长最短；
⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时 ，四边形ABCD的周长最短；
⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝___________，n＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
第4讲 等腰三角形
考点·方法·破译
1．等腰三角形及其性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）
2．等腰三角形的判定
证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．
3．构造等腰三角形的常用方法
⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形
⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形
经典·考题·赏析
等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.
【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．
解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD＝400，∴∠A＝500
∴∠B＝∠ACB＝
如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B
∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.
【变式题组】
01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A.7 B.11 C.7或11 D．7或10
02.（黄冈）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．
03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
【例２】 如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．
【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．
解：设∠A＝x,
∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ABC＝2x，
∵在△ABC中, ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴x＋2x＋2x＝180°，
x＝36°，∴∠A＝36°．
【变式题组】
01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．
02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．
【例３】 已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．8
【解法指导】 ⊿AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．
解：①如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；
②如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；
③如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.故选D.
【变式题组】
01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP为等腰三角形的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．
03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
04．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【解法指导】 判断⊿MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证∠EMC＝900，而⊿ABD为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有∠AMD＝900,因而只需证∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．
解：的形状是等腰直角三角形，理由如下：
连接，由题意得：
．
．
又，
．
．
．
．
又，
．
．
所以的形状是等腰直角三角形．
【变式题组】
01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．
02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF;
⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．
03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．
⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；
⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．
【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
⑵如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
⑶在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．
解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等
⑵答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等边四边形．
证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BDC≌△CFB，
∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，
∴∠ADC＝∠CFE，
∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，
∴∠ADC＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴CF＝CE，∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等边四边形．
【变式题组】
01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.
02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的长．
03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.
【变式题组】
01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．200 B．1200 C．200或1200 D．3600
02．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）
A．9 B．15 C．15 D．12或15
03.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
04．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（ ）
A．800 B．900 C．1000 D．1080
05．如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF
06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）
A．700 B．1100 C．1400 D．1500
08．（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.
09．如图所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.
10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.
11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：
①，②，③，④．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：是等腰三角形．
证明：
12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
⑵证明：．
13.（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
14.（临沂）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
培优升级·奥赛检测
01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①③④ D．只有①②③④
02．如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）
A.10个 B.12个 C.14个 D.16个
03．如图，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA, ∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.
04．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________.
05．(全国联赛)在等腰RtABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于E,交AB于F．则 ＝_____________
06．如图，在ABC中，AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线，CF⊥BC, BE⊥BC.求证：AE＝AF.
07．（湖州市竞赛试题）如图，在RtABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB
08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．
09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．
10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△中，是底边上的高线，点是线段上不与端点重合的任意一点，连接交于点，连接交于点.
(1) 证明：；
(2) 证明：；
(3) 以线段和为边构成一个新的三角形（点与点重合于点），记△和△的面积分别为和，如果存在点，能使得 , 求∠的取值范围.
11．如图，已知在△中，AB＝AC，∠BAC＝900，AD＝AE, AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G．求证：BG＝AF＋FG
第五讲 等边三角形
考点 方法 破译
1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；
2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．
经典 考题 赏析
【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
(1)求证：△ACE≌△DCB;
(2)求∠AFD的度数；
(3)判断△CMN的形状
【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．
解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC ∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°
∴ ∠ACE＝∠DCB
∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB
(2) ∵∠ACE≌∠DCB, ∴∠1＝∠2
又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD＝∠ACD＝60°
(3) 在△ACM和△DCN中,
∴△ACM≌△DCN ∴CM＝CN
又∵∠DCN ＝60°∴△CMN是等边三角形．
【变式题组】
01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
则∠BAC的大小等于__________ 度
02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD ．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ
04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．
【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数
【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．
解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB ＝22°
∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP ∴∠APB＝∠APD ＝ 150°，BP＝DP ,∠PBA＝∠APD ＝8°
∴∠BPD＝60°, ∴△BPD是正三角形
∵∠PBC＝30° ∴∠PBC＝∠DBC
在△PBC和△DBC中，
∴△PBC≌△DBC , ∴PC＝CD ∴∠CPD＝∠CDP＝8°
∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°
【变式题组】
01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．
02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．
【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．
(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;
(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由
【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°
为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM
解(1)关系为MN＝BM＋NC
证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)
∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°
在△DMB和△DGC中； DB＝DC．BM＝CG
∴△DMB≌△DGC ∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．
在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°
∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°
∴△MND≌△GND ∴ MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC
(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：
在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得
∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC ，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC
仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．
【变式题组】
01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．
02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°
求证：AC＝BC＋DC．
巩固练习 反馈提高
01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝( )
A 105° B 85° C 95° D 75°
第1题图 第2题图
02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝ AB ③ CE＝ BC ④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是( )
A．4个 B 3个 C 2个 D 1个
03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm
04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．
05．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．
06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．
07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F
(1)求证：△ACD≌△BAE：
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．
08．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．
求证：△ADE≌△DFC
09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上， AD＝BE．DB的延长线交EC于F．
求证：(1)DB＝EC；(2) ∠BFC＝60°
10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；
(2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．
第06讲 实 数
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即>0，≥0（n为正整数），≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m?l是同一个数的平方根，∴2m?4 ＋3m?l＝0，5m＝5，m＝l．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．
02．已知m是小于的最大整数，则m的平方根是____．
03．的立方根是____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( )
A．－1 B． 0 C．1 D．2
【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3
∵
∴，∴．
∴，∴，故选C．
【变式题组】
0l．在实数范围内，等式＝0成立，则ab＝____．
02．若，则的平方根是____．
03．（天津）若x、y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
04．已知x是实数，则的值是( )
A． B． C． D．无法确定
【例3】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，
∴ 即，∴，
a ＋b＝12 ＋13＝25．
∴a＋b的平方根为：．
【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．
02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（）y?4?＝0，则x?y＝____．
【例4】若a为?2的整数部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝?2 ?2＝?4．∵a＝2，b?1＝±3 ，∴b＝－2或4
∵．∴a【变式题组】
01．若3＋的小数部分是a，3?的小数部分是b，则a＋b的值为____．
02．的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）·b＝____．
演练巩固 反馈提高
0l．下列说法正确的是( )
A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根
C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
02．设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( )
A．a03．下列各组数中，互为相反数的是( )
A．－9与81的平方根 B．4与 C．4与 D．3与
04．在实数1.414，，0.，5?，，3.，中无理数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个
05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A．b>a B．
C． －a＜b D．－b>a
06．现有四个无理数，，，，其中在＋1与＋1之间的有( )
A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个
07．设m是的平方根，n＝．则m，n的关系是( )
A. m＝±n B.m＝n C .m＝－n D.
08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )
A．－2 B．－1 C．－2 ＋ D．l ＋
09．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，…，，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝．那么12.※4＝____．
12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<13．对实数a、b，定义运算“*”，如下a*b＝，已知3*m ＝36，则实数m＝____．
14．设a是大于1的实数．若a，，在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．
16．已知整数x、y满足＋2＝，求x、y．
17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．
19．若b＝ ＋ ＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．
20．若x、y为实数，且（x?y＋1）2与互为相反数，求的值．
培优升级 奥赛检测
01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?3，则a值为( )
A． 2 B．－1 C． 1 D． 0
02．（黄冈竞赛）代数式＋＋的最小值是( )
A．0 B． 1＋ C．1 D． 2
03．代数式?2的最小值为____．
04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21?5，则a＋b＝____．
05．若＝1，且3＝4，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．
06．已知实数a满足，则a? 20092＝_______．
07．若m满足关系式 ，试确定m的值．
08．（全国联赛）若a、b满足＝7，S＝，求S的取值范围．
09．（北京市初二年级竞赛试题）已知010．（北京竞赛试题）已知实数a、b、x、y满足y＋，，求的值．
11．（全国竞赛试题）巳知x＝，a、b为互质的正整数．且a≤8，?1 (1)试写出一个满足条件的x；(2)求所有满足条件的x．
第7讲 变量与函数
考点·方法·破译
1．函数的概念及其表示方法
⑴函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于给定的每一个x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么,x是自变量，y是x的函数．
⑵函数的表示方法
①解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法；
②列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成表格来表示函数的方法；
③图象法：用图象表示函数关系的方法．
2．自变量取值范围的确定
自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求．
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． x≤2 B． x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
【解法指导】 求x的取值范围，可根据题目要求列出下列式子： 解得x≤2且x≠3, 故选A
【变式题组】
01．（大兴安岭）函数中，自变量x 的取值范围是________
02．(芜湖)函数中自变量x的取值范围是_________
03．函数中自变量x的取值范围是_________
04．已知函数y＝－2x＋1中的自变量x的取值范围是0＜x＜10，则y的取值范围是______
【例２】汽车由北京驶往相距850km的沈阳，它的平均速度为80km/h，求汽车距沈阳的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式，写出自变量的取值范围
【解法指导】⑴此题属于行程问题，其基本数量关系是：速度时间＝路程．因此汽车行驶t(h)的路程是80t(km)与汽车距沈阳的路程s(km)及北京与沈阳的距离850km之间的等量关系是80t＋s＝850;(2)由于s与t都应是非负数可确定自变量的取值范围．
解：由题意得，s＝850－80t
又由于 即 解得 0≤t≤
因此汽车距沈阳的路程s与时间t的函数关系式为s＝850－80t,自变量的取值范围是0≤t≤
【变式题组】
01．已知三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm)，则底边上的高y(cm)关于x的函数关系式为______,自变量的取值范围是__________.
02．等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)关系的函数解析式正确的是（ ）
A． y＝－0.5x＋20(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)
C． y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20)
03． 某市为了鼓劲居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米 a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费．某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)（x＞12）之间的关系式为______,若该月交水费20a元，则这个月实际用水______米3．
【例３】下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
【解法指导】 要根据曲线判断所给变化中，y是否是x的函数，则需要根据曲线观察对于x的每一个确定的值，是否y都有惟一的一个确定的值与之对应，如果是，则y就是x的函数，观察所给的四个选项，可知B中所示的曲线，当x取一个值时，y有两个值与之对应，根据函数的定义可知y不是x的函数，应选B．
【变式题组】
01．图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（ ）
02．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例４】 如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（ ）
【解法指导】由题意知，此注水过程中分为三段：⑴由于圆柱形开口杯底部固定在长方体水池，也就是说水池被开口杯占据了一部分空间，因此注水时水池中水面上升的速度较快，其图象是一段自原点出发较陡的上升线段；⑵当水的与开口杯口等高时，水开始注入开口杯，也就是说水池中水面高度不变，则其图象是一段平行于t轴的水平线段；⑶当开口杯注满时，水位开始上升，由于水池的此部分空间比⑴段大，因此水池中水面上升的速度要比⑴段速度慢，则其图象是一段比⑴段中上升线段较缓的上升线段，由此可知答案应选B．
【变式题组】
01．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t的函数关系式，大致是下列图象中的（ ）
02．某蓄水池的横截面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ）
03．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图表示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）
【例５】 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象，如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（ ）
图1中的BC边长是8cm
图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2
图中的CD长是4cm
图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】 若把点P由G→C→D→E→F→H对应的图象分别记为第I段、第II段、第III段、第IV段、第V段，则从图1和图2的对应情况可知：
由I的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GC＝4cm，即BC＝8cm；
∴a正确
M点的纵坐标等于S△ABD＝；∴b正确
∵P在CD上的时间从图2知为2秒，∴CD＝＝24cm
ABCDEFGH的周长为（AB＋BC＋DE）2＝40cm
∴ AH＝
∴ y＝ ∴d正确 故选D.
【变式题组】
01．（莆田）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到的位置是（ ）
A． N处 B． P处 C． Q处 D．M处
02．（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路径为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5
演练巩固·反馈提高
01．（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法错误的是（ ）
A． 修车时间为15分钟 B． 学校离家的距离为2000米
C． 到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
02．（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
03．（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，现时打开丙，直到水池中的水排空，水池中的水量V（m3）与时间t(h)之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是
A． 乙＞甲 B． 丙＞甲 C．甲＞乙 D．丙＞乙
04．(杭州)已知点P（x,y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
05．（大连）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥－2 B． x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2
06．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
⑴确定自变量的取值范围；
⑵求当x＝－4，－2时y的值是多少？
⑶求当y＝0,4时，x的值是多少？
⑷当x取何值时y的值最大？当x何值时y的值最小？
（5）当x在什么范围内取值时y随x的增大而增大？当x在什么范围内取值时y随x的增大而减小？
07．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：
⑴这是一次_________米的赛跑；
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______
(3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒
第8讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1．一次函数及图象：
⑴形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），则y叫做x的一次函数，当b＝0，k≠0时，y叫做x的正比例函数．
⑵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0,0），（1，k）两点的直线，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是经过（0，b）、（－，0）两点的直线．
2．一次函数的性质：
当k＞0时，y随自变量x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．函数y＝kx＋b中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．
经典·考题·赏析
【例１】（山东）函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②（ab≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
【解法指导】A中①a＞0，b＞0，②b＜0，a＜0矛盾．B中①a＜0，b＜0，矛盾．C中①a＞0，b＞0②b＞0，a＝0矛盾．D中①a＞0，b＜0②b＜0，a＞0，故选D．
【变式题组】
01．（河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
02．（安徽）已知函数y＝kx＋b的图象如左图，则y＝2kx＋b的图象可能是（ ）
03．下列图象中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，则mn≠0）的图象是（ ）
【例２】（绍兴）如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q（c，d）则a（c－d）－b（c－d）的值为_______．
【解法指导】因为点P(a，b),Q（c，d）在一次函数图象上，∴b＝a＋5，d＝c＋5∴a－b＝－5，c－d＝－5，a（c－d）－b（c－d）＝（c－d）（a－b）＝（－5）×（－5）＝25
【变式题组】
01．如图一条直线l经过不同三点A（a，b）,B（b，a）C（a－b，b－a）则直线l经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B（5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（ ）
A．构成等边三角形B．构成直角三角形C．构成锐角三角形D．三点在同一条直线上
03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a的值为_______．
【例３】如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y＝2x＋b交AB于点E，交CD于点F．直线与y轴的交点为（0，b），则b的变化范围是_____.
【解法指导】直线y＝2x＋b是平行于直线y＝2x的直线，当直线经过B点时，b最小，当x＝3时，y＝1
∴1＝2×3＋b， b＝－5
当直线经过D点时，b最大，
所以当x＝1时，y＝3
∴3＝2×1＋b， b＝1
∴－5≤b≤1
【变式题组】
01．线段y＝－x＋a（1≤b≤3），当a的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
02．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx－1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是_________.
03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：
⑴求过点P（1,4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
⑵设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y＝kx＋t（t＞0）与直线平行且交于x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数关系式．
【例４】已知一次函数y＝kx＋b，当自变量取值范围是2≤x≤6时，函数值的取值范围5≤y≤9.求此函数的解析式．
【解法指导】⑴当k＞0，y随x的增大而增大，∴y＝kx＋b经过（2,5），（6,9）两点
∴∴，∴y＝x＋3
⑵当k＜0，y随x的增大而减小，∴y＝kx＋b经过（2,9），（6,5）两点
∴∴，∴y＝－x＋11
∴所求解析式为y＝x＋3或y＝－x＋11
【变式题组】
01．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则kb的值为（ ）
A．4 B． －6 C．－4或21 D．－6或14
02．（遂宁）已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝2x＋4，对任意一个x，m都取y1,、y2中的最小值，则m的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C．24 D．－9
【例５】如图，直线y＝－5x－5与x轴交于A，与y轴交于B，直线y＝kx＋b与x轴交于 C，与y轴交于B点，CD⊥AB交y轴于E．若CE＝AB,求直线BC 的解析式．
【解法指导】由CE＝AB，CD⊥AB可得△AOB≌△EOC,因而OB＝OC而y＝－5x－5与y轴交于B
∴B(0，－5)
∴C(5,0),而直线BC经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y＝x－5
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是直线y＝－x＋6第一象限上的点，点A(5,0),O是坐标原点，△PAO的面积S．
⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵探究：当P点运动到什么位置时△PAO的面积为10.
02．如图，直线l：y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0,4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
⑴求A、B两点的坐标；
⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
⑶当t为何值时，△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．
03．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（0,2）、B(4,2)两点．
⑴求直线AB的解析式；
⑵点C的坐标为（0,1），过点C作CD⊥AO交AB于D. x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与△ACD全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．
【例６】如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y＝kx＋b（k≠0）经过（1，0），且把△AOB分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值．
【解法指导】欲求k和b的值，需知道直线y＝kx＋b（k≠0）经过两已知点，而点C（1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．
解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴C为OA的中点，因而直线y＝kx＋b过OA中点且平分△AOB的面积时只可能韦中线BC．
∴y＝kx＋b经过C（1，0），（0，2）
∴∴k＝2 b＝2
⑵①设y＝kx＋b与OB交于M（0，t）则有S△OMC＝S△CAN,∴MN∥x轴，∴N(,)
∴直线y＝kx＋b经过,)，（1，0）∴ ∴
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系xOy，已知直线AC的解析式为y＝－x＋2，直线AC交x轴于点C，交于y轴于点A．
⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
⑵过点B作x轴的垂线l，在l上是否存一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
02．（浙江杭州）已知，直线y＝－与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,°，且点P（1,a）为坐标系中的一个动点．
⑴求三角形ABC的面积S△ABC;
⑵证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
⑶要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
演练巩固·反馈提高
01．（芜湖）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能正确的是（ ）
02．一次函数y＝kx－b和正比例函数y＝kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）
03．一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是（）
A． B． C．－1 D．－2
04．直线y1＝kx＋b过第一、二、四象限，则直线y2＝bx－k不经过（）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
05．已知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B.m≤2 C．＜m＜2 D. ＜m≤2
06．如图，点A、B、C、D在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． 1 B．3 C．3(m－1) D． （m－2）
07．（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a＋1）x，y＝（a＋2）x相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． 12.5 B．25 C．12.5a D． 25a
08．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ）
09．（日照）如图，点A的坐标为（－1,0）,点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，－） C．（－，－） D．（－，－）
10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11．观察下列各直角坐标系中的直线AB，点P（x，y）是线段AB上的点，且x、y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：
⑴第5个图中满足条件的点P个数是_______;
⑵第n个图中满足条件的点P个数m与n之间的关系是________.
12．（十堰）直线y＝kx＋b经过点A(－2,0)和y轴上的一点B，如果△ABO（O为坐标原点）的面积为2，则b的值为________.
13．如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝－x＋b恰好平分长方形的面积，则b＝_______.
14．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k＝______.
15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn的坐标是________.
16．点P为直线y＝－3x＋6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_____.
17．已知直线y1＝x，y2＝x＋1，y3＝－x＋5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中最小的值，则y的最大值为_______.
18．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(0,－3),且与函数y＝x＋1的图象相交于点A（）.
⑴求a的值；
⑵若函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点是B,函数y＝x＋1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积(其中O为坐标原点).
19．定义为一次函数y＝px＋q的特征数．
⑴求一次函数y＝－2（x－1）的特征数；
⑵若特征数是的一次函数为正比例函数，求k的值．
20．已知：三点A(a，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A在正比例函数y＝x的图象上．
⑴求a的值；
⑵点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；
21.已知直线ln：y＝－x＋（n是正整数）.当n＝1时，直线l1:y＝－2x＋1与x轴和y轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n＝2时，直线l2：y＝－与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，?…，依次类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn.
?⑴求△A1OB1的面积s1；
⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2010的值.
22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．
⑴s与t之间的函数关系式是：_________；
(2）与图③相对应的P点的运动路径是：________；P点出发 _______秒首次到达点B；
⑶写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．
培优升级·奥赛检测
01．已知abc≠0，且＝t，则直线y＝tx＋t一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
02．一个一次函数的图象与直线y＝＋平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(－1,－25),则在线段AB上（包括端点A、B）横坐标、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
03．在一次函数y＝－x＋3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，长方形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
04．在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，若MP＋MQ取最小值，则点M的坐标为________.
05．已知点A（0，2）、B(4,0)，点C、D分别在直线x＝1与x＝2上运动，且CD∥x轴，当AC＋CD＋DB的值最小值，点C的坐标为_____________.
06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B（－4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0）.当四边形ABCD的周长最短时，的值为_________.
07．已知函数y＝（a－2）x－3a－1，当自变量x的值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a的取值范围．
08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b（a为整数）的图象过（98，19），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），若P为质数，q是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．
09．若直线y＝mx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形面积为12，求m.
10．设f（x）＝kx＋1是x的函数，若m（k）表示函数f（x）＝kx＋1在1≤x≤3条件下的最大值，求函数m（k）的解析式，并作出图象．
第9讲 一次函数与方程、不等式
考点·方法·破译
1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．
2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：
⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；
⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．
3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．
经典·考题·赏析
【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定
【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．
【变式题组】
01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
03． 如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．
04． (武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x＞kx＋b＞－2的解集为_________．
【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．
【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足，从而求出m的取值范围．
解：，∴，∵，∴，即，∴－1＜m＜．
【变式题组】
01． 如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于( )
A．9 B．－3 C． D．
02． 若直线与直线相较于x轴上一点，则直线不经过( )
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
03． 两条直线y1＝ax＋b，y2＝cx＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(，)，则这两条直线的解析式为____________．
04． 已知直线y＝3x和y＝2x＋k的交点在第三象限，则k的取值范围是________．
【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的取值可以取( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．
解：由得，
∵两直线交点为整数，
∴x、y均为整数，
又当x为整数时，y为整数，
∴为整数即可，，
∵k－1是整数，
∴k－1＝±1，±3时，x、y为整数，
∴k＝－2，0，2，4．
所以选A．
【变式题组】
01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有( )
A．12对 B．6对 C．5对 D．3对
02． (浙江竞赛试题)直线l：y＝px(p是不等于0的整数)
考点·方法·破译
1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；
3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；
4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；
5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
经典·考题·赏析
【例１】如图，AB∥EF∥DC,∠ABC＝90°,AB＝CD，那么图中有全等三角形（ ）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.
解：⑴∵AB∥EF∥DC,∠ABC＝90. ∴∠DCB＝90.
在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌∴△DCB（SAS ） ∴∠A＝∠D
⑵在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌∴△DCE ∴BE＝CE
⑶在Rt△EFB和Rt△EFC中
∴Rt△EFB≌Rt△EFC（HL）故选C.
【变式题组】
01．（天津）下列判断中错误的是（ ）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有一边对应相等的两个等边三角形全等
02．（丽水）已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且AD＝BE，∠A＝∠FDE，则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.
03．(上海)已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC，E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF（如图所示）.
⑴添加条件∠A＝∠D，∠OEF＝∠OFE，求证：AB＝DC；
⑵分别将“∠A＝∠D”记为①，“∠OEF＝∠OFE”记为②，“AB＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.
【例２】已知AB＝DC，AE＝DF，CF＝FB. 求证：AF＝DE.
【解法指导】想证AF＝DE，首先要找出AF和DE所在的三角形.AF在△AFB和△AEF中，而DE在△CDE和△DEF中，因而只需证明△ABF≌△DCE或△AEF≌△DFE即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.
证明：∵FB＝CE ∴FB＋EF＝CE＋EF，即BE＝CF
在△ABE和△DCF中,
∴△ABE≌△DCF（SSS） ∴∠B＝∠C
在△ABF和△DCE中, ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE
【变式题组】
01．如图，AD、BE是锐角△ABC的高，相交于点O，若BO＝AC，BC＝7，CD＝2，则AO的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
02.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE于D，DE＝4cm，CE＝2cm，则BD＝__________.
\
03．（北京）已知：如图，在△ABC中，∠ ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F. 求证：AB＝FC.
【例３】如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置，点B（E）、C、D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.
【解法指导】⑴∠AFD＝∠DCA
⑵∠AFD＝∠DCA理由如下：由△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，BC＝EF, ∠ABC＝∠DEF, ∠BAC＝∠EDF ∴∠ABC－∠FBC＝∠DEF－∠CBF, ∴∠ABF＝∠DEC
在△ABF和△DEC中,
∴△ABF≌△DEC ∠BAF＝∠DEC ∴∠BAC－∠BAF＝∠EDF－∠EDC, ∴∠FAC＝∠CDF ∵∠AOD＝∠FAC＋∠AFD＝∠CDF＋∠DCA
∴∠AFD＝∠DCA
【变式题组】
01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（ ）
A．42° B．48° C．52° D．58°
02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（ ）
A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°
C． AC＝DF D．EC＝CF
03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证：AB⊥ED；
⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.
【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB. 求证：⑴ AP＝AQ；⑵AP⊥AQ
【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.
证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°,
∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.
在△APB和△QAC中, ∴△APB≌△QAC，
∴AP＝AQ
⑵∵△APB≌△QAC，∴∠P＝∠CAQ, ∴∠P＋∠PAD＝90°
∵∠CAQ＋∠PAD＝90°，∴AP⊥AQ
【变式题组】
01．如图，已知AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，点F是CD的中点，求证：AF⊥CD.
02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）
A． B． C．bm D．am
03．如图，已知五边形ABCDE中，∠ ABC＝∠AED＝90°，AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，则五边形ABCDE的面积为__________
演练巩固·反馈提高
01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）
A．72° B．60° C．58° D．50°
02．如图，△ACB≌△A/C/B/，∠ BCB/＝30°，则∠ACA/的度数是（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（ ）
A. CB＝CD B.∠BAC＝∠DAC
C. ∠BCA＝∠DCA D.∠B＝∠D＝90°
05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE＝∠CBD
C. ∠ABC＝∠EBD＝45° D. AC∥BE
06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC≌△AED.”小明说：“△ABM≌△AEN.”那么（ ）
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对
C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
07．如图，已知AC＝EC, BC＝CD, AB＝ED,如果∠BCA＝119°，∠ACD＝98°,那么∠ECA的度数是___________.
08．如图，△ABC≌△ADE，BC延长线交DE于F，∠B＝25°,∠ACB＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB的度数为_______.
09．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°, DE⊥AB于D, BC＝BD. AC＝3，那么AE＋DE＝______
10．如图，BA⊥AC, CD∥AB. BC＝DE，且BC⊥DE，若AB＝2, CD＝6，则AE＝_____.
11．如图, AB＝CD, AB∥CD. BC＝12cm，同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发，沿CB方向爬行，P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时，△APB≌△QDC.
12．如图, △ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证：AE＝CD；
⑵若AC＝12cm, 求BD的长.
13．（吉林）如图，AB＝AC，AD⊥BC于点D，AD等于AE，AB平分∠DAE交DE于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.
14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C放在直线l上，从另两个顶点A、B分别作l的垂线，垂足分别为D、E.
⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；
⑵若DE＝a，求梯形DABE的面积.（温馨提示：补形法）
15．如图，AC⊥BC, AD⊥BD, AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F.求证：CE＝DF.
16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
⑴阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；
已知△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB＝A1B1，BC＝B1C1，∠C＝∠C1.求证：△ABC≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）
⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.
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01．如图，在△ABC中，AB＝AC，E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝AF，BF、CE相交于点O，连接AO并延长交BC于点D，则图中全等三角形有（ ）
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
02．如图，在△ABC中，AB＝AC，OC＝OD，下列结论中：①∠A＝∠B ②DE＝CE，③连接DE, 则OE平分∠AOB，正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
03．如图，A在DE上，F在AB上，且AC＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE的长等于（）
A．DC B. BC C. AB D.AE＋AC
04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）
A．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等
B．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
05．在△ABC中，高AD和BE所在直线相交于H点,且BH＝AC，则∠ABC＝_______.
06．如图，EB交AC于点M, 交FC于点D, AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C, AE＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF; ③△ACN≌△ABM; ④CD＝DB，其中正确的结论有___________.（填序号）
07．如图，AD为在△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且有BF＝AC，FD＝CD.
⑴求证：BE⊥AC；
⑵若把条件“BF＝AC”和结论“BE⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.
08．如图，D为在△ABC的边BC上一点，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线.求证：AC＝2AE.
09．如图，在凸四边形ABCD中，E为△ACD内一点，满足AC＝AD，AB＝AE, ∠BAE＋∠BCE＝90°, ∠BAC＝∠EAD.求证：∠CED＝90°.
10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.
⑴求证：AF＋EF＝DE;
⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；
⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。
11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13, 求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.
⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.
求证：BE＋CF＞EF；
⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明.
12．（北京）如图，已知△ABC.
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋AC＞AD＋AE.
13．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝180°. AH⊥AH于H，HA的延长线交DE于G. 求证：GD＝GE.
14．已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°, ∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时，如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
第02讲 角平分线的性质与判定
考点·方法·破译
1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.
经典·考题·赏析
【例１】如图，已知OD平分∠AOB，在OA、OB边上截取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD.求证：PM＝PN
【解法指导】由于PM⊥BD，PN⊥AD.欲证PM＝PN只需∠3＝∠4，证∠3＝∠4，只需∠3和∠4所在的△OBD与△OAD全等即可.
证明：∵OD平分∠AOB ∴∠1＝∠2
在△OBD与△OAD中， ∴△OBD≌△OAD
∴∠3＝∠4 ∵PM⊥BD，PN⊥AD 所以PM＝PN
【变式题组】
01．如图，CP、BP分别平分△ABC的外角∠BCM、∠CBN.求证：点P在∠BAC的平分线上.
02．如图，BD平分∠ABC，AB＝BC，点P是BD延长线上的一点，PM⊥AD，PN⊥CD.求证：PM＝PN
【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，且AE＝(AB＋AD)，如果∠D＝120°，求∠B的度数
【解法指导】由已知∠1＝∠2，CE⊥AB，联想到可作CF⊥AD于F，得CE＝CF，AF＝AE，又由AE＝(AB＋AD)得DF＝EB，于是可证△CFD≌△CEB，则∠B＝∠CDF＝60°.或者在AE上截取AM＝AD从而构造全等三角形.
解：过点C作CF⊥AD于点F.∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，点C是AC上一点，
∴CE＝CF
在Rt△CFA和Rt△CEA中， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE ∴AF＝AE
又∵AE＝(AE＋BE＋AF－DF)，2AE＝AE＋AF＋BE－DF，∴BE＝DF
∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴∠F＝∠CEB＝90°
在△CEB和△CFD中，，∴△CEB≌△CFD
∴∠B＝∠CDF 又∵∠ADC＝120°，∴∠CDF＝60°，即∠B＝60°.
【变式题组】
01．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AC＝5，BC＝3.求
02．(河北竞赛)在四边形ABCD中，已知AB＝a，AD＝b.且BC＝DC，对角线AC平分∠BAD，问a与b的大小符合什么条件时，有∠B＋∠D＝180°，请画图并证明你的结论.
【例３】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE.求证：CE＝BD
【解法指导】由于BE平分∠ABC，因而可以考虑过点D作BC的垂线或延长CE从而构造全等三角形.
证明：延长CE交BA的延长线于F，∵∠1＝∠2，BE＝BE，∠BEF＝∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA) ∴CE＝EF，∴CE＝CF ∵∠1＋∠F＝∠3＋∠F＝90°，
∴∠1＝∠3
在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF
∴BD＝CF ∴CE＝BD
【变式题组】
01．如图，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA，CD过点E，求证：AB＝AC＋BD.
02．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.
⑴请你判断FE和FD之间的数量关系，并说明理由；
⑵求证：AE＋CD＝AC.
演练巩固·反馈提高
01．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝n，AB＝m，则△ABD的面积是（ ）
A．mn B．mn C． mn D．2 mn
02．如图，已知AB＝AC，BE＝CE，下面四个结论：①BP＝CP；②AD⊥BC；③AE平分∠BAC；④∠PBC＝∠PCB.其中正确的结论个数有（ ）个
A． 1 B．2 C．3 D．4
03．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.若AQ＝PQ，PR＝PS，下列结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是（ ）
A． ①③ B．②③ C．①② D．①②③
04．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD上任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC且BD＝CD；④∠BDE＝∠CDF.其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②③④
05．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
06．如图，P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，给出下列结论：①AD＝AF；②AB＋EC＝AC＋BE；③BC＋CF＝AB＋AF；④点P是△ABC三条角平分线的交点.其中正确的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
07．如图，点P是△ABC两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．点P到△ABC三边的距离相等 B．点P在∠ABC的平分线上
C．∠P与∠B的关系是：∠P＋∠B＝90° D．∠P与∠B的关系是：∠B＝∠P
08．如图，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，BD与CD相交于D.给出下列结论：①点D到AB、AC的距离相等；②∠BAC＝2∠BDC；③DA＝DC；④DB平分∠ADC.其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
09．如图，△ABC中，∠C＝90°AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论中：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③ DE平分∠ADB；④AB＝AC＋BE.其中正确的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
10．如图，已知BQ是∠ABC的内角平分线，CQ是∠ACB的外角平分线，由Q出发，作点Q到BC、AC和AB的垂线QM、QN和QK，垂足分别为M、N、K，则QM、QN、QK的关系是_________
11．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB＝DC.求证：BE＝CF
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：AD⊥EF.
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01．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（ ）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
02．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝32，且BD:CD＝9:7，则D到AB边的距离为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
03．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的平分线，有一个动点P从A向B运动.已知：DC＝3cm，DB＝4cm，AD＝8cm.DP的长为x(cm)，那么x的范围是__________
04．如图，已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别为E、F、G，且PF＝PG＝PE，则∠BPD＝__________
05．如图，已知AB∥CD，O为∠CAB、∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC，且OE＝2，则两平行线AB、CD间的距离等于__________
06．如图，AD平分∠BAC，EF⊥AD，垂足为P，EF的延长线于BC的延长线相交于点G.求证：∠G＝(∠ACB－∠B)
07．如图,在△ABC中,AB＞AC,AD是∠BAC的平分线,P为AC上任意一点.求证:AB－AC＞DB－DC
08．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP
第3讲 轴对称及轴对称变换
考点·方法·破译
1．轴对称及其性质
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴.
轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.
2．线段垂直平分线
线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系——平分.
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）、或求几条折线段的最小值等情况时，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件.
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是（ ）
【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴.故选D.
【变式题组】
01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（ ）
02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD沿虚线EF折叠，使点A落在点G上，点D落在点H上；然后再沿虚线GH折叠，使B落在点E上，点C落在点F上，叠完后，剪一个直径在BC上的半圆，再展开，则展开后的图形为（ ）
【例2】（襄樊）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，则与点B’关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（0，－1） B．（1，1） C．（2，－1） D．（1，－1）
【解法指导】在△ABC中，点B的坐标为（－1，1），将△ABC向右平移两个单位长度得到△A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－1＋2，1），即B’（1，1）.由关于x轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于x轴对称的点的坐标是（1，－1），故应选D.
【变式题组】
01．若点P（－2，3）与点Q（a，b）关于x轴对称，则a、b的值分别是（ ）
A．－2，3 B．2，3 C．－2，－3 D．2，－3
02．在直角坐标系中，已知点P（－3，2），点Q是点P关于x轴的对称点，将点Q向右平移4个单位得到点R，则点R的坐标是___________.
03．（荆州）已知点P（a＋1，2a－1）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为___________.
【例3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°），沿线段CD折叠，使点B落在B1处，若∠ACB1＝70°，则∠ACD＝（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
【解法指导】由折叠知∠BCD＝∠B1CD.设∠ACD＝x，则∠BCD＝∠B1CD＝∠ACB1＋∠ACD＝70°＋x.又∠ACD＋∠BCD＝∠ACB，即x＋（70°＋x）＝90°，故x＝10°.故选D.
【变式题组】
01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在点D’、C’的位置.若∠EFB＝65°，则∠AED’等于（ ）
A．70° B．65° C．50° D．25°
02．如图，△ABC中，∠A＝30°，以BE为边，将此三角形对折，其次，又以BA为边，再一次对折，C点落在BE上，此时∠CDB＝82°，则原三角形中∠B＝___________.
03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）.小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.
⑵实践与运用：
将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小.
【例4】如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，E为垂足，EF交BC的延长线于点F，求证：∠B＝∠CAF．
【解法指导】∵EF是AD的中垂线，则可得△AEF≌△DEF，∴∠EAF＝∠EDF．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．
证明：∵EF是AD的中垂线，∴AE＝DE，∠AEF＝∠DEF，EF＝EF，∴△AEF≌△DEF，∴∠2＋∠4＝∠3，∴∠3＝∠B＋∠1，∴∠2＋∠4＝∠B＋∠1，∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠4
【变式题组】
01．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则点D在__________的垂直平分线上．
02．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝15°，DE⊥AC于E，且AE＝EC，若AB＝3cm，则DC＝___________cm．
03．如图，△ABC中，∠BAC＝126°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG＝___________．
04.△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线交AC于F，若AB＝12cm，△BCF的周长为20cm，则△ABC的周长是___________cm．
【例5】（眉山）如图，在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF．
【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所作的△DEF如图⑤⑥所示．
【变式题组】
01．（泰州）如图，在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________个．
02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成16个 全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
⑵涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1－3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）
【例6】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，若牧童从A处出发牵牛到河岸CD处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？
【解法指导】⑴所求问题可转化为CD上取一点M，使其AM＋BM为最小；⑵本题利用轴对称知识进行解答．
解:先作点A关于直线CD的对称点A’，连接A’B交CD于点M，则点M为所求，下面证明此时的AM＋BM最小．
证明：在CD上任取与M不重合的点M’，
∵AA’关于CD对称，∴CD为线段AA’的中垂线，
∴AM＝A’M，M’＝A’M’,在△A’M’B中，有A’B＜A’M’＋BM’，
∴A’M＋BM＜A’M’＋BM’，∴AM＋BM＜AM’＋BM’，
即AM＋BM最小．
【变式题组】
01．（山西）设直线l是一条河，P、Q两地相距8千米，P、Q两地到l地距离分别为2千米、5千米，欲在l上的某点M处修建一个水泵站向P、Q两地供水．现在如下四种铺设管道方案，图中的实线表示辅设的管道，则铺设的管道最短的是（ ）
02．若点A、B是锐角∠MON内两点，请在OM、ON上确定点C、点D，使四边形ABCD周长最小，写出你作图的主要步骤并标明你确定的点．
演练巩固·反馈提高
01．（黄冈）如图，△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C’＝48°，则∠B的度数是（ ）．
A．48° B．54° C．74° D．78°
02．（泰州）如图，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
03．图1是四边形纸片ABCD，其中∠B＝120°，∠D＝50°，若将其右下角向内折出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图2所示，则∠C＝（ ）
A．80° B．85° C．95° D．110°
04．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于y轴成轴对称的图形，若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）
A．M（1，－3），N（－1，－3） B．M（－1，－3），N（－1，3）
C．M（－1，－3），N（1，－3） D．M（－1，3），N（1，－3）
05．点P关于x轴对称的对称点P’的坐标是（－3，5），则点P关于y轴对称的对称点的坐标是（ ）
A．（3，－5） B．（－5，3） C．（3，5） D．（5，3）
06．已知M（1－a，2a＋2）关于y轴对称的点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．－1＜a＜1 B．－1≤a≤1 C．a＞1 D．a＞－1
07．（杭州）如图，镜子中号码的实际号码是___________．
08．（贵阳）如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为___________cm2.
09．已知点A（2a＋3b，－2）和B（8，3a＋2b）关于x轴对称，则a＋b＝___________.
10．如图，在△ABC中，OE、OF分别是AB、AC中垂线，且∠ABO＝20°，∠ABC＝45°，求∠BAC和∠ACB的度数．
11．如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A球经过的路线，并写出作法．
12．如图，P为∠ABC的平分线与AC的垂直平分线的交点，PM⊥BC于M，PN⊥BA的延长线于N．求证：AN＝MC．
13．（荆州）有如图“”的8张纸条，用每4张拼成一个正方形图案，拼成的正方形的每一行和每一列中，同色的小正方形仅为2个 ，且使每个正方形图案都是轴对称图形，在网格中画出你拼成的图．（画出的两个图案不能全等）
培优升级·奥赛检测
01．（浙江竞赛试题）如图，直线l1与直线l2相交，∠α＝60°，点P在∠α内（不在l1l2上）．小明用下面的方法作P的对称点：先以l1为对称轴作点P关于l1的对称点P1,再以l2为对称轴作P1关于l2的对称点P2，然后再以l1为对称轴作P2关于l1的对称点P3，以l2为对称轴作P3关于l2的对称点P4，……如此继续，得到一系列P1、P2、P3……Pn与P重合，则n的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
02．在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．
⑴如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（－2，0），B（－1，0），C（－1，2），△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；
⑵如果点P的坐标是（－a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是点P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．
03．（荆州）某住宅小区拟栽种12棵风景树，若想栽成6行，每行4棵，且6行树所处位置连成线后能组成精美的对称图案，请你仿照举例在下面方框中再设计两种不同的栽树方案．
04．（宜昌）已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于P、M．
⑴求证：AB＝CD；
⑵若∠BAC＝2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．
05．在△ABC中，∠BAC＝90°，点A关于BC边的对称点为A’，点B关于AC边的对称点为B’，点C关于AB边的对称点为C’，若S△ABC＝1，求S△A’B’C’．
06．（湖州市竞赛试题）小王同学在小组数学活动中，给本小组出了这样一道“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线l，在直线l两边各放一粒围棋子A、B，使线段AB长a厘米，并关于直线l对称，在图中P1处有一粒跳棋子，P1距A点b厘米、与直线l的距离C厘米，按以下程序起跳：第1次，从P1点以A为对称中心跳至P2点；第2次，从P2点以l为对称轴跳至P3点；第3次，从P3点以B为对称中心跳至P4点；第4次，从P4以l为对称轴跳至P1点；
⑴画出跳棋子这4次跳过的路径并标注出各点字母；（画图工具不限）
⑵棋子按上述程序跳跃2011次后停下，假设a＝8，b＝6，c＝3，计算这时它与A的距离是多少？
07．（湖州）如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．
⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝___________时，△PAB的周长最短；
⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时 ，四边形ABCD的周长最短；
⑶设M、N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，请求出m＝___________，n＝___________（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．
第4讲 等腰三角形
考点·方法·破译
1．等腰三角形及其性质
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：⑴等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）；⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）
2．等腰三角形的判定
证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：⑴从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；⑵从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边．
3．构造等腰三角形的常用方法
⑴角平分线＋平行线＝等腰三角形 ⑵角平分线＋垂线（或高）＝等腰三角形
⑶线段中垂线构造等腰三角形 ⑷将2倍角转化为相等角构造等腰三角形
经典·考题·赏析
等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为400，则这个等腰三角形的底角为________________.
【解法指导】 若问题中涉及到三角形的高，则要分别考虑三角形的高是在三角形的外，三角形内的情况．
解：如图1，当一腰上的高在三角形内时，∠ACD＝400，∴∠A＝500
∴∠B＝∠ACB＝
如图2，当一腰上的高在三角形外时，∠ACD＝400，∠DAC＝500
∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝2∠B
∴∠B＝∠ACB＝250，故填650或250.
【变式题组】
01．（呼和浩特）在等腰⊿ABC中，AB＝AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A.7 B.11 C.7或11 D．7或10
02.（黄冈）在⊿ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为500，则∠B＝___________度．
03.（襄樊）在⊿ABC中，AB＝AC＝12cm，BC＝6cm,D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1cm的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，那么当t＝_________秒时，过D、P两点的直线将⊿ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．
【例２】 如图，在⊿ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝BD＝BC，求∠A的度数．
【解法指导】 图中的等腰三角形多，可利用等腰三角形的性质，用方程的思想求角的度数．
解：设∠A＝x,
∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝2x，
∵AB＝AC，∴∠ C＝∠ABC＝2x，
∵在△ABC中, ∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°
∴x＋2x＋2x＝180°，
x＝36°，∴∠A＝36°．
【变式题组】
01．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BD＝BC,AD＝DE＝EB，求∠A的度数．
02．如图，在⊿ABC中，AB＝AC，BC＝BD＝ ED＝EA，求∠A的大小．
【例３】 已知坐标原点O和点A（2，－2），B是坐标轴上的一点．若⊿AOB是等腰三角形，则这样的点B一共有（ ）个
A．4 B．5 C．6 D．8
【解法指导】 ⊿AOB是等腰三角形，但不能确定哪条边是等腰三角形的底，因而要分三种情况进行说明①AO＝OB,②OA＝AB,③BA＝BO,又∵B是坐标轴上的点．要考虑x轴与y轴两种情况．
解：①如图1，当OA是底边时，B在OA的中垂线上，又B在坐标轴上，因而B是OA中垂线与坐标轴的交点；
②如图2，当OA为腰时，若O为顶点，则B在以O为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点；
③如图3，当OA为腰时，若A为顶点，则B在以A为圆心，OA为半径的圆上，又B在坐标轴上，因而B是圆与坐标轴的交点.故选D.
【变式题组】
01．(海南竞赛试题)在平面直角坐标系xOy内，已知A（3，－3），点P是y轴上一点，则使⊿AOP为等腰三角形的点P共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
02．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0),点B的坐标是（0，），点C在坐标平面内．若以A、B、C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30度，则满足条件的点C有_________个．
03.（南昌）如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＞600，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片中的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
04．（济南）如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【例４】 （枣庄）两个全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．
【解法指导】 判断⊿MEC为等腰直角三角形，M为直角顶点，即想证∠EMC＝900，而⊿ABD为等腰三角形，M是BD的中点，若连接AM则有∠AMD＝900,因而只需证∠DME＝∠AMC,利用全等三角形即可．
解：的形状是等腰直角三角形，理由如下：
连接，由题意得：
．
．
又，
．
．
．
．
又，
．
．
所以的形状是等腰直角三角形．
【变式题组】
01．如图，在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC的中点,以P为直角顶点的两边分别与边AB、AC交于点E、F，当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，⊿PEF也始终是等腰三角形，请你说明理由．
02．如图，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝900，D是BC的中点，DE⊥AB垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G．
⑴求证：AD⊥CF;
⑵连接AF，试判断⊿ACF的形状，并说明理由．
03．如图，⊿ABC中，∠ACB＝900，AC＝BC,CO为中线．现将一直角三角板顶点放在点O上并绕点O旋转，若三角板的两直角边分别交AC、CB的延长线于点G、H．
⑴试写出图中除AC＝BC,OA＝OB＝OC外其他所有相等的线段；
⑵请选一组你写出的相等线段给予证明．
【例５】 我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
⑴请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
⑵如图，在中，点分别在上，设相交于点，若，．请你写出图中一个与相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
⑶在中，如果是不等于的锐角，点分别在上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
【解法指导】 证明两条线段相等时，若两条线段在同一三角形中，可证明它们所对的角相等．若两条线段在不同的三角形中，则证它们所在的两个三角形全等，若三角形不全等，即可通过构造全等三角形或等腰三角形解决问题．
解：⑴如：平行四边形、等腰梯形等
⑵答：与∠A相等的角是∠BOD（或∠COE），四边形DBCE是等对边四边形；
⑶答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE．
证法一：如图1，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BCF≌△CBG，
∴BF＝CG，
∵∠BDF＝∠ABE＋∠EBC＋∠DCB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠BDF＝∠BEC，
可证△BDF≌△CEG，
∴BD＝CE
∴四边形DBCE是等边四边形．
证法二：如图2，以C为顶点作∠FCB＝∠DBC，CF交BE于F点．
∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC为公共边，
∴△BDC≌△CFB，
∴BD＝CF，∠BDC＝∠CFB，
∴∠ADC＝∠CFE，
∵∠ADC＝∠DCB＋∠EBC＋∠ABE，∠FEC＝∠A＋∠ABE，
∴∠ADC＝∠FEC，
∴∠FEC＝∠CFE，
∴CF＝CE，∴BD＝CE，
∴四边形DBCE是等边四边形．
【变式题组】
01．如图，在ABC中，∠B＝2∠C，AD为∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD.
02．(天津初赛试题)如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠BAD＝1050，∠ABC＝∠ADC＝450，若AB＝2，求CD的长．
03．如图，在ABC中，AB＝AC，D在AB上，F在AC延长线上，BD＝CF．求证DE＝EF.
【变式题组】
01．(重庆)已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
A．200 B．1200 C．200或1200 D．3600
02．（云南）已知等腰三角形的两边分别为6和3，则此等腰三角形周长为（ ）
A．9 B．15 C．15 D．12或15
03.（云南）如图，等腰ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则BEC的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
04．如图，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF，若∠A＝180，则∠GEF的度数是（ ）
A．800 B．900 C．1000 D．1080
05．如图，RtABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（ ）
A．∠ACD＝∠B B.CH＝CE＝EF C.CH＝HD D.AC＝AF
06．如图，ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论：①BDF和CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE;③ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＝CF.其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①
07.（武汉）如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC, ∠ABC＝∠ADC＝700,则∠DAO＋∠DCO的大小是（ ）
A．700 B．1100 C．1400 D．1500
08．（滨州）已知等腰ABC的周长为10，若设腰长为x，则x的取值范围是____________.
09．如图所示，在ABC中，已知AB＝AC，∠A＝360，BC＝2，BD是ABC的角平分线，则AD＝___________.
10．(威海)如图，AB＝AC，BD＝BC,若∠A＝400，则∠ABD的度数是_________.
11．(乌鲁木齐) 在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，并写下了四个等式：
①，②，③，④．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：是等腰三角形．
证明：
12．（泰安） 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，在同一条直线上，连结．
⑴请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；
⑵证明：．
13.（包头）如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点．
⑴如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？
⑵若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？
14.（临沂）如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
培优升级·奥赛检测
01．如图，∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC,PB与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，下列结论：①GA＝GP;②③BP垂直平分CE；④FP＝FC;其中正确的判断有（ ）
A．只有①② B．只有③④ C．只有①③④ D．只有①②③④
02．如图，点A是网格图形中的一个网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于2.5的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（ ）
A.10个 B.12个 C.14个 D.16个
03．如图，在ABC中，AB＝BC,MN＝NA, ∠BAM＝∠NAC,则∠MAC＝_________.
04．如图，AA’、BB’分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA’＝BB’＝AB.则∠BAC的度数为______________.
05．(全国联赛)在等腰RtABC中，AC＝BC＝1，M是BC的中点，CE⊥AM于E,交AB于F．则 ＝_____________
06．如图，在ABC中，AB＝AC,EF为过点A的任意一条直线，CF⊥BC, BE⊥BC.求证：AE＝AF.
07．（湖州市竞赛试题）如图，在RtABC中，∠ACB＝900，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC,交CD于K，交BC于E，F是BE上一点，且BF＝CE，求证：FK∥AB
08.(四川省初二数学联赛试题)有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，求等腰三角形纸片的顶角的度数．
09.如图，在ABC中，∠ABC＝460，D是边BC上一点，DC＝AB, ∠DAB＝210，求∠CAD的度数．
10.（浙江省杭州市中考试题）如图，在等腰△中，是底边上的高线，点是线段上不与端点重合的任意一点，连接交于点，连接交于点.
(1) 证明：；
(2) 证明：；
(3) 以线段和为边构成一个新的三角形（点与点重合于点），记△和△的面积分别为和，如果存在点，能使得 , 求∠的取值范围.
11．如图，已知在△中，AB＝AC，∠BAC＝900，AD＝AE, AF⊥BE交BC于F，过F作FG⊥CD交BE的延长线于G．求证：BG＝AF＋FG
第五讲 等边三角形
考点 方法 破译
1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；
2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；
3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．
经典 考题 赏析
【例1】如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．
(1)求证：△ACE≌△DCB;
(2)求∠AFD的度数；
(3)判断△CMN的形状
【解法指导】根据等边三角形的性质，利用全等三角形中边角的关系可解决问题．
解：(1)∵等边三角形DAC与等边三角形EBC ∴AC＝DC，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°
∴ ∠ACE＝∠DCB
∴在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB
(2) ∵∠ACE≌∠DCB, ∴∠1＝∠2
又∵∠1＋∠DFA＝＝∠2＋∠ACD ∴∠AFD＝∠ACD＝60°
(3) 在△ACM和△DCN中,
∴△ACM≌△DCN ∴CM＝CN
又∵∠DCN ＝60°∴△CMN是等边三角形．
【变式题组】
01．(天津)如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，
则∠BAC的大小等于__________ 度
02．(荆州)如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
03．如图，在正△ABC中，D,E分别是BC、AC上的一点，且AE＝CD ．AD与BE相交于点P，且BQ⊥AD于Q．求证BP＝2PQ
04．(黄冈)如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q是BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连接PQ交AC于D，求DE的长．
【例2】P是△ABC内一点，∠PBC＝30°，∠PBA＝8°，且∠PAB＝∠PAC＝22°，求∠APC的度数
【解法指导】 由于∠PAB ＝∠PAC,因而PA平分∠BAC,根据角平分线的特点可构造全等三角形，其方法一：在AB边上截取；方法二：延长AC边，又由于∠BPA＝150°是特殊角，考虑∠BPA的完整性，因而取方法二的可能性更大．
解：延长AC到D，使AD＝AB，连接PD、BD,∵∠PBA＝8°∠PAB ＝22°
∴∠BPA＝150°，在△ABP和△ADP中，∴△ABP≌△ADP ∴∠APB＝∠APD ＝ 150°，BP＝DP ,∠PBA＝∠APD ＝8°
∴∠BPD＝60°, ∴△BPD是正三角形
∵∠PBC＝30° ∴∠PBC＝∠DBC
在△PBC和△DBC中，
∴△PBC≌△DBC , ∴PC＝CD ∴∠CPD＝∠CDP＝8°
∴∠APC＝∠APD一∠CPD＝150°一8°＝142°
【变式题组】
01．如图，D是等边三角形ABC内一点，E为ABC外部一点，满足DA＝DB，BE＝BA，∠DBE＝∠DBC．求∠BED的度数．
02．如图．D是△ABC外一点．AB＝AC＝BD＋CD，∠ABD＝60°求∠ACD的度数．
【例3】如图(1)，△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB、AC交于点M和N，连接MN．
(1)探究：MN、NC之间的关系，并加以证明;
(2)若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，再探究线段BM、MN、NC之间的关系，在图(2)中画出相应的图形．并就结论说明理由
【解法指导】对于(1)，这时在△DMB中，有∠DBM＝∠DBC＋∠CBA＝30°＋60°＝90°
为了把BM，MN，NC集中到一个三角形中去，将△DMB 绕D点顺时针旋转120°得到△DGC．如图(3)．从而有MB＝GC．而此时恰又有△MND≌△GND·得MN＝NG＝NC＋CG＝NC＋BM．对于(2)，此时的图形(4)，仍作(1)中的旋转，类似地可以推得MN＝CN一BM
解(1)关系为MN＝BM＋NC
证明：延长AC到G，使CG＝BM，连接DG，如图(3)
∠ABD＝∠ABC＋∠CBD＝60°十30°＝90°同理也有∠ACD＝90°
在△DMB和△DGC中； DB＝DC．BM＝CG
∴△DMB≌△DGC ∴DM＝DG．∠MDB＝∠GDC．
在△MND和△GND中，ND公用，DM＝DG，∠MDN＝60°
∠GDN＝∠GDC＋∠DCN＝∠MDB＋∠CDN＝60°
∴△MND≌△GND ∴ MN＝GN＝GC十NC＝BM＋NC
(2)此时．图形如图(4)，有关系式MN＝CN—BM理由如下：
在CN上截取GG＝BM．连接DG，如图(4)与(1)中情况类似．可推得
∠ABD＝∠ACD＝90°．且Rt△DMB≌△DGC ，得DM＝DG．∠MDB＝∠GDC
仍与(1)中情况娄似，可推得△MND≌△GND．就有MN＝GN＝NC—CG＝NC—BM．
【变式题组】
01．用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成四边形ABCD，把一个含60°角的三角尺与这个四边形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合．两边分别与AB、AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转
(1)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD相交于点E，F时，(如图1)，通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；
(2)当三角尺的两边分别与四边形的两边BC、CD的延长线相交于点F时(如图2)，你在(1)中得到的结论还成立吗，简要说明理由．
02．如图．四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°
求证：AC＝BC＋DC．
巩固练习 反馈提高
01．如图．△ABC是等边三角形，AD⊥BC，点E在AC上，且AE＝AD，则∠DEC＝( )
A 105° B 85° C 95° D 75°
第1题图 第2题图
02．如图，等边△ABC，D在AC上，延长BC到E．使CE＝CD，若BD＝DE，给出下列结论：① BD平分∠ABC ② AD ＝ AB ③ CE＝ BC ④∠A＝2∠E，其中正确结论的个数是( )
A．4个 B 3个 C 2个 D 1个
03．(河北)如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC 上的点，将△ABC沿直线DE折叠，点A落在A’处，且A’在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为__________ cm
04．在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°，得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP＝__________．
05．如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别在AB、BC、AC上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，试判断△DEF是否为等边三角形，并说明理由．
06．请你用三种不同的分割方法，将图中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形(在图中画出分割线，并标出必要的角的度数) ．
07．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点．AB＝3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F
(1)求证：△ACD≌△BAE：
(2)过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．
08．如图：△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连接DC，AE．
求证：△ADE≌△DFC
09．如图：△ABC是等边三角形，点D、E分别在CA、AB的延长线上， AD＝BE．DB的延长线交EC于F．
求证：(1)DB＝EC；(2) ∠BFC＝60°
10．(常德)如图1，若△ABC与△ADE为等边三角形，M、N分别是EB、CD的中点，易证：CD＝BE，△AMN是等边三角形．
(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时，CD＝BE是否仍然成立? 若成立请证明，若不成立请说明理由；
(2) 当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形? 若成立请证明，若不成立请说明理由．
第06讲 实 数
考点·方法·破译
1．平方根与立方根：
若＝a(a≥0)则x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝±，其中a的平方根为x＝叫做a的算术平方根．
若x3＝a，则x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x＝．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数（p、q是两个互质的整数，且q≠0）的形式．
3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即>0，≥0（n为正整数），≥0(a≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．
【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m?l是同一个数的平方根，∴2m?4 ＋3m?l＝0，5m＝5，m＝l．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____．
02．已知m是小于的最大整数，则m的平方根是____．
03．的立方根是____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．
【例2】（全国竞赛）已知非零实数a、b满足，则a＋b等于( )
A．－1 B． 0 C．1 D．2
【解法指导】若有意义，∵a、b为非零实数，∴b2>0∴a－3≥0 a≥3
∵
∴，∴．
∴，∴，故选C．
【变式题组】
0l．在实数范围内，等式＝0成立，则ab＝____．
02．若，则的平方根是____．
03．（天津）若x、y为实数，且，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
04．已知x是实数，则的值是( )
A． B． C． D．无法确定
【例3】若a、b都为有理效，且满足．求a＋b的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．∵，
∴ 即，∴，
a ＋b＝12 ＋13＝25．
∴a＋b的平方根为：．
【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m、n是有理数，且（＋2）m＋(3－2)n＋7＝0求m、n．
02．（希望杯试题）设x、y都是有理数，且满足方程（）x＋（）y?4?＝0，则x?y＝____．
【例4】若a为?2的整数部分，b?1是9的平方根，且，求a＋b的值．
【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成，?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分＝?2 ?2＝?4．∵a＝2，b?1＝±3 ，∴b＝－2或4
∵．∴a【变式题组】
01．若3＋的小数部分是a，3?的小数部分是b，则a＋b的值为____．
02．的整数部分为a，小数部分为b，则（＋a）·b＝____．
演练巩固 反馈提高
0l．下列说法正确的是( )
A．－2是(－2)2的算术平方根 B．3是－9的算术平方根
C． 16的平方根是±4 D．27的立方根是±3
02．设，b＝ －2，，则a、b、c的大小关系是( )
A．a
A．－9与81的平方根 B．4与 C．4与 D．3与
04．在实数1.414，，0.，5?，，3.，中无理数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D． 5个
05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( )
A．b>a B．
C． －a＜b D．－b>a
06．现有四个无理数，，，，其中在＋1与＋1之间的有( )
A． 1个 B．2个 C． 3个 D ．4个
07．设m是的平方根，n＝．则m，n的关系是( )
A. m＝±n B.m＝n C .m＝－n D.
08．（烟台）如图，数轴上 A、B两点表示的数分别为－1和，点B关于点A的对称点C，则点C所表示的数为( )
A．－2 B．－1 C．－2 ＋ D．l ＋
09．点A在数轴上和原点相距个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，，…，，．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝，如3※2＝＝．那么12.※4＝____．
12．（长沙中考题）已知a、b为两个连续整数，且a<
14．设a是大于1的实数．若a，，在数轴上对应的点分别是A、B、C，则三点在数轴上从左自右的顺序是____．
15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．
16．已知整数x、y满足＋2＝，求x、y．
17．已知2a?1的平方根是±3，3a＋b?1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．
18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O移动的路程．
19．若b＝ ＋ ＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求（mn?2）(3mn ＋4)的平方根与立方根．
20．若x、y为实数，且（x?y＋1）2与互为相反数，求的值．
培优升级 奥赛检测
01．（荆州市八年级数学联赛试题）一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a?3，则a值为( )
A． 2 B．－1 C． 1 D． 0
02．（黄冈竞赛）代数式＋＋的最小值是( )
A．0 B． 1＋ C．1 D． 2
03．代数式?2的最小值为____．
04．设a、b为有理数，且a、b满足等式a2＋3b＋b＝21?5，则a＋b＝____．
05．若＝1，且3＝4，则在数轴上表示a、b两数对应点的距离为____．
06．已知实数a满足，则a? 20092＝_______．
07．若m满足关系式 ，试确定m的值．
08．（全国联赛）若a、b满足＝7，S＝，求S的取值范围．
09．（北京市初二年级竞赛试题）已知0
11．（全国竞赛试题）巳知x＝，a、b为互质的正整数．且a≤8，?1
第7讲 变量与函数
考点·方法·破译
1．函数的概念及其表示方法
⑴函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于给定的每一个x值，y都有唯一确定的值与其对应，那么,x是自变量，y是x的函数．
⑵函数的表示方法
①解析法：用含有自变量的代数式表示函数的方法；
②列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成表格来表示函数的方法；
③图象法：用图象表示函数关系的方法．
2．自变量取值范围的确定
自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义，且必须符合实际问题的要求．
经典·考题·赏析
【例１】（兰州）函数中自变量x的取值范围是（ ）
A． x≤2 B． x＝3 C． x＜2且x≠3 D．x≤2且x≠3
【解法指导】 求x的取值范围，可根据题目要求列出下列式子： 解得x≤2且x≠3, 故选A
【变式题组】
01．（大兴安岭）函数中，自变量x 的取值范围是________
02．(芜湖)函数中自变量x的取值范围是_________
03．函数中自变量x的取值范围是_________
04．已知函数y＝－2x＋1中的自变量x的取值范围是0＜x＜10，则y的取值范围是______
【例２】汽车由北京驶往相距850km的沈阳，它的平均速度为80km/h，求汽车距沈阳的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式，写出自变量的取值范围
【解法指导】⑴此题属于行程问题，其基本数量关系是：速度时间＝路程．因此汽车行驶t(h)的路程是80t(km)与汽车距沈阳的路程s(km)及北京与沈阳的距离850km之间的等量关系是80t＋s＝850;(2)由于s与t都应是非负数可确定自变量的取值范围．
解：由题意得，s＝850－80t
又由于 即 解得 0≤t≤
因此汽车距沈阳的路程s与时间t的函数关系式为s＝850－80t,自变量的取值范围是0≤t≤
【变式题组】
01．已知三角形的面积为20cm2,设它的底边长为x(cm)，则底边上的高y(cm)关于x的函数关系式为______,自变量的取值范围是__________.
02．等腰三角形的周长是40cm，腰长y(cm)与底边长x(cm)关系的函数解析式正确的是（ ）
A． y＝－0.5x＋20(0＜x＜20) B．y＝－0.5x＋20(10＜x＜20)
C． y＝－2x＋40(10＜x＜20) D．y＝－2x＋40(0＜x＜20)
03． 某市为了鼓劲居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过12米3，按每立方米 a 元收费；若超过12米3，则超过部分每立方米按2a元收费．某户居民五月份交水费y(元)与用水量x(米3)（x＞12）之间的关系式为______,若该月交水费20a元，则这个月实际用水______米3．
【例３】下列曲线中，表示y不是x的函数的是（ ）
【解法指导】 要根据曲线判断所给变化中，y是否是x的函数，则需要根据曲线观察对于x的每一个确定的值，是否y都有惟一的一个确定的值与之对应，如果是，则y就是x的函数，观察所给的四个选项，可知B中所示的曲线，当x取一个值时，y有两个值与之对应，根据函数的定义可知y不是x的函数，应选B．
【变式题组】
01．图中分给给出了x与y的对应关系，其中y是x的函数是（ ）
02．下列函数中，与y＝x表示同一个函数的是（ ）
A． B． C． D．
【例４】 如右图，圆柱形开口杯的底部固定在长方体池底，向水池匀速注入水（倒在杯外），水池中水面高度是h ，注水时间是t,则h与t之间的关系大致为下面图中的（ ）
【解法指导】由题意知，此注水过程中分为三段：⑴由于圆柱形开口杯底部固定在长方体水池，也就是说水池被开口杯占据了一部分空间，因此注水时水池中水面上升的速度较快，其图象是一段自原点出发较陡的上升线段；⑵当水的与开口杯口等高时，水开始注入开口杯，也就是说水池中水面高度不变，则其图象是一段平行于t轴的水平线段；⑶当开口杯注满时，水位开始上升，由于水池的此部分空间比⑴段大，因此水池中水面上升的速度要比⑴段速度慢，则其图象是一段比⑴段中上升线段较缓的上升线段，由此可知答案应选B．
【变式题组】
01．如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t的函数关系式，大致是下列图象中的（ ）
02．某蓄水池的横截面示意图如图所示，分深水区和浅水区，如果这个注满水的蓄水池以固定的流量把水全部放出，下面的图象能大致表示水的深度h和放水时间t之间的关系的是（ ）
03．用均匀的速度向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图表示（图中OAB为一折线），这个容器的形状是图中的（ ）
【例５】 已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G→C→D→E→F→H相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的函数图象，如图2，若AB＝6cm，则下列四个结论中正确的个数有（ ）
图1中的BC边长是8cm
图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2
图中的CD长是4cm
图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】 若把点P由G→C→D→E→F→H对应的图象分别记为第I段、第II段、第III段、第IV段、第V段，则从图1和图2的对应情况可知：
由I的两端点横坐标，知由G到C运动2秒，可得GC＝4cm，即BC＝8cm；
∴a正确
M点的纵坐标等于S△ABD＝；∴b正确
∵P在CD上的时间从图2知为2秒，∴CD＝＝24cm
ABCDEFGH的周长为（AB＋BC＋DE）2＝40cm
∴ AH＝
∴ y＝ ∴d正确 故选D.
【变式题组】
01．（莆田）如图1，在长方形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到的位置是（ ）
A． N处 B． P处 C． Q处 D．M处
02．（重庆綦江）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD运动至点D停止，设点P运动的路径为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（ ）
A． 3 B． 4 C． 5
演练巩固·反馈提高
01．（益阳）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，图中描述了他上学的情景，下列说法错误的是（ ）
A． 修车时间为15分钟 B． 学校离家的距离为2000米
C． 到达学校时共用时间20分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
02．（宜昌）由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降，若该水库的蓄水量V（万米3）与干旱的时间t（天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A． 干旱开始时，蓄水量每天减少20万米3
B．干旱开始后，蓄水量每天增加20万米3
C．干旱开始时，蓄水量为200万米3
D．干旱第50天时，蓄水量为1200万米3
03．（黑龙江大兴安岭）一个水池接有甲、乙、丙三个水管，先打开甲，一段时间后再打开乙，水池注满水后关闭甲，现时打开丙，直到水池中的水排空，水池中的水量V（m3）与时间t(h)之间的函数关系如图，则关于三个水管每小时的水流量，下列判断正确的是
A． 乙＞甲 B． 丙＞甲 C．甲＞乙 D．丙＞乙
04．(杭州)已知点P（x,y）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C． 第三象限 D．第四象限
05．（大连）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥－2 B． x＞－2且x≠2 C．x≥0且x≠2 D．x≥－2且x≠2
06．已知某一函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题．
⑴确定自变量的取值范围；
⑵求当x＝－4，－2时y的值是多少？
⑶求当y＝0,4时，x的值是多少？
⑷当x取何值时y的值最大？当x何值时y的值最小？
（5）当x在什么范围内取值时y随x的增大而增大？当x在什么范围内取值时y随x的增大而减小？
07．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系式如图所示，那么你可知道：
⑴这是一次_________米的赛跑；
⑵甲、乙两人中先跑到终点的是_______
(3) 乙在这次赛跑中的速度为______米/秒
第8讲 一次函数的图象与性质
考点·方法·破译
1．一次函数及图象：
⑴形如y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0），则y叫做x的一次函数，当b＝0，k≠0时，y叫做x的正比例函数．
⑵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象是经过（0,0），（1，k）两点的直线，一次函数y＝kx＋b（k≠0）是经过（0，b）、（－，0）两点的直线．
2．一次函数的性质：
当k＞0时，y随自变量x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．函数y＝kx＋b中的系数符号，决定图象的大致位置的增减性．
经典·考题·赏析
【例１】（山东）函数y＝ax＋b①和y＝bx＋a②（ab≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ）
【解法指导】A中①a＞0，b＞0，②b＜0，a＜0矛盾．B中①a＜0，b＜0，矛盾．C中①a＞0，b＞0②b＞0，a＝0矛盾．D中①a＞0，b＜0②b＜0，a＞0，故选D．
【变式题组】
01．（河北）如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系所对应的图象应为（ ）
02．（安徽）已知函数y＝kx＋b的图象如左图，则y＝2kx＋b的图象可能是（ ）
03．下列图象中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m、n为常数，则mn≠0）的图象是（ ）
【例２】（绍兴）如图，一次函数y＝x＋5的图象经过点P(a，b)和Q（c，d）则a（c－d）－b（c－d）的值为_______．
【解法指导】因为点P(a，b),Q（c，d）在一次函数图象上，∴b＝a＋5，d＝c＋5∴a－b＝－5，c－d＝－5，a（c－d）－b（c－d）＝（c－d）（a－b）＝（－5）×（－5）＝25
【变式题组】
01．如图一条直线l经过不同三点A（a，b）,B（b，a）C（a－b，b－a）则直线l经过（ ）
A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
02．（南京市八年级竞赛试题）已知三点A(2,3),B（5,4）C(－4,1)依次连接这三点，则（ ）
A．构成等边三角形B．构成直角三角形C．构成锐角三角形D．三点在同一条直线上
03．（四川省初二数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点（0,1），它与坐标轴围成的图是等腰直角三角形，则a的值为_______．
【例３】如图，已知正方形ABCD的顶点坐标为A(1,1)、B(3,1)、C(3,3)、D(1,3),直线y＝2x＋b交AB于点E，交CD于点F．直线与y轴的交点为（0，b），则b的变化范围是_____.
【解法指导】直线y＝2x＋b是平行于直线y＝2x的直线，当直线经过B点时，b最小，当x＝3时，y＝1
∴1＝2×3＋b， b＝－5
当直线经过D点时，b最大，
所以当x＝1时，y＝3
∴3＝2×1＋b， b＝1
∴－5≤b≤1
【变式题组】
01．线段y＝－x＋a（1≤b≤3），当a的值由－1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
02．（新知杯上海）在平面直角坐标系中有两点P（－1,1），Q(2,2)，函数y＝kx－1的图象与线段PQ延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是_________.
03．（济南）阅读下面的材料：在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义．下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y＝k1x＋b1（k1≠0）的图象为直线l1，一次函数y＝k2x＋b2（k2≠0）的图象为直线l2，若k1＝ k2，且b1＝b2，我们就称直线l1与直线l2平行．解答下面的问题：
⑴求过点P（1,4）且与已知直线y＝－2x－1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图象；
⑵设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y＝kx＋t（t＞0）与直线平行且交于x轴于点C，求出△ABC的面积S关于t的函数关系式．
【例４】已知一次函数y＝kx＋b，当自变量取值范围是2≤x≤6时，函数值的取值范围5≤y≤9.求此函数的解析式．
【解法指导】⑴当k＞0，y随x的增大而增大，∴y＝kx＋b经过（2,5），（6,9）两点
∴∴，∴y＝x＋3
⑵当k＜0，y随x的增大而减小，∴y＝kx＋b经过（2,9），（6,5）两点
∴∴，∴y＝－x＋11
∴所求解析式为y＝x＋3或y＝－x＋11
【变式题组】
01．已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应y的值为1≤y≤9，则kb的值为（ ）
A．4 B． －6 C．－4或21 D．－6或14
02．（遂宁）已知整数x满足－5≤x≤5，y1＝x＋1，y2＝2x＋4，对任意一个x，m都取y1,、y2中的最小值，则m的最大值是（ ）
A．1 B． 2 C．24 D．－9
【例５】如图，直线y＝－5x－5与x轴交于A，与y轴交于B，直线y＝kx＋b与x轴交于 C，与y轴交于B点，CD⊥AB交y轴于E．若CE＝AB,求直线BC 的解析式．
【解法指导】由CE＝AB，CD⊥AB可得△AOB≌△EOC,因而OB＝OC而y＝－5x－5与y轴交于B
∴B(0，－5)
∴C(5,0),而直线BC经过（0，－5），（5,0）可求得解析式y＝x－5
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是直线y＝－x＋6第一象限上的点，点A(5,0),O是坐标原点，△PAO的面积S．
⑴求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
⑵探究：当P点运动到什么位置时△PAO的面积为10.
02．如图，直线l：y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0,4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
⑴求A、B两点的坐标；
⑵求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
⑶当t为何值时，△COM≌△AOB，并求此时M点的坐标．
03．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝kx＋b经过A（0,2）、B(4,2)两点．
⑴求直线AB的解析式；
⑵点C的坐标为（0,1），过点C作CD⊥AO交AB于D. x轴上的点P和A、B、C、D、O中的两个点所构成的三角形与△ACD全等，这样的三角形有_____个，请子啊图中画出其中两个三角形的示意图．
【例６】如图，已知直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A和点B.另一条直线y＝kx＋b（k≠0）经过（1，0），且把△AOB分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分的面积比为1:5,求k和b的值．
【解法指导】欲求k和b的值，需知道直线y＝kx＋b（k≠0）经过两已知点，而点C（1，0）在直线上，因而只需求出另一点的坐标即可．
解：⑴由题意得（2，0）、B(0，2)，∴C为OA的中点，因而直线y＝kx＋b过OA中点且平分△AOB的面积时只可能韦中线BC．
∴y＝kx＋b经过C（1，0），（0，2）
∴∴k＝2 b＝2
⑵①设y＝kx＋b与OB交于M（0，t）则有S△OMC＝S△CAN,∴MN∥x轴，∴N(,)
∴直线y＝kx＋b经过,)，（1，0）∴ ∴
【变式题组】
01．如图，在平面直角坐标系xOy，已知直线AC的解析式为y＝－x＋2，直线AC交x轴于点C，交于y轴于点A．
⑴若一个等腰直角三角形OBD的顶点D与点C重合，直角顶点B在第一象限内，请直接写出点B的坐标；
⑵过点B作x轴的垂线l，在l上是否存一点P，使得△AOP的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
⑶试在直线AC上求出到两坐标轴距离相等的所有点的坐标．
02．（浙江杭州）已知，直线y＝－与x轴、y轴分别交于点A、B,以线段AB为直角边的第一象限内作等腰Rt△ABC,°，且点P（1,a）为坐标系中的一个动点．
⑴求三角形ABC的面积S△ABC;
⑵证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数；
⑶要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值．
演练巩固·反馈提高
01．（芜湖）关于x的一次函数y＝kx＋k2＋1的图象可能正确的是（ ）
02．一次函数y＝kx－b和正比例函数y＝kbx在同一直角坐标系内的大致图象不可能的是（）
03．一次函数y＝（m－1）x＋m2＋2的图象与y轴的交点的纵坐标是3，则m的值是（）
A． B． C．－1 D．－2
04．直线y1＝kx＋b过第一、二、四象限，则直线y2＝bx－k不经过（）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
05．已知一次函数y＝（1－2m）x＋m－2，函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限，则m的取值范围是（ ）
A．m＞ B.m≤2 C．＜m＜2 D. ＜m≤2
06．如图，点A、B、C、D在一次函数y＝－2x＋m的图象上，它们的横坐标依次为－1，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（ ）
A． 1 B．3 C．3(m－1) D． （m－2）
07．（绍兴）如图，在x轴上有五个点，它们横坐标依次为1，2，3，4，5.分别过这些点作x轴的垂线与三条直线y＝ax，y＝（a＋1）x，y＝（a＋2）x相交，其中a＞0，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． 12.5 B．25 C．12.5a D． 25a
08．（重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D作匀速运动，那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（ ）
09．（日照）如图，点A的坐标为（－1,0）,点B在直线y＝x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（，－） C．（－，－） D．（－，－）
10．（义务）李老师给出了一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出这个函数的一个特征.甲：它的图象经过第一象限；乙：它的图象经过第二象限；丙：在第一象限内函数值y随x增大而增大.在你学习的函数中，写出一个满足上述特征的函数解析式_________.
11．观察下列各直角坐标系中的直线AB，点P（x，y）是线段AB上的点，且x、y都是整数，请根据图中所包含的规律，回答下列问题：
⑴第5个图中满足条件的点P个数是_______;
⑵第n个图中满足条件的点P个数m与n之间的关系是________.
12．（十堰）直线y＝kx＋b经过点A(－2,0)和y轴上的一点B，如果△ABO（O为坐标原点）的面积为2，则b的值为________.
13．如图，长方形OABC的顶点B的坐标为（6，4），直线y＝－x＋b恰好平分长方形的面积，则b＝_______.
14．如图，点B、C分别在两条直线y＝2x和y＝kx上，点A、D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k＝______.
15．（东营）正方形A1B1C1O1,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…按如图所示的方式放置．点A1,A2,A3,…和C1,C2，C3,…分别在直线y＝kx＋b(k＞0)和x轴上，已知点B1（1，1），B2（3，2）则Bn的坐标是________.
16．点P为直线y＝－3x＋6上的一点，且点P到两坐标轴距离相等，则P点坐标为_____.
17．已知直线y1＝x，y2＝x＋1，y3＝－x＋5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1、y2、y3中最小的值，则y的最大值为_______.
18．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点P(0,－3),且与函数y＝x＋1的图象相交于点A（）.
⑴求a的值；
⑵若函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点是B,函数y＝x＋1的图象与y轴的交点是C,求四边形ABOC的面积(其中O为坐标原点).
19．定义为一次函数y＝px＋q的特征数．
⑴求一次函数y＝－2（x－1）的特征数；
⑵若特征数是的一次函数为正比例函数，求k的值．
20．已知：三点A(a，1)、B(3,1)、C(6,0)，点A在正比例函数y＝x的图象上．
⑴求a的值；
⑵点P为x轴上一动点，当△OAP与△CBP周长的和取得最小值时，求点P的坐标；
21.已知直线ln：y＝－x＋（n是正整数）.当n＝1时，直线l1:y＝－2x＋1与x轴和y轴分别交于点A1和B1.设△A1OB1(O是平面直角坐标系的原点)的面积为s1.当n＝2时，直线l2：y＝－与x轴和y轴分别交于点A2和B2，设△A2OB2的面积为s2，?…，依次类推，直线ln与x轴和y轴分别交于点An和Bn，设△AnOBn的面积为Sn.
?⑴求△A1OB1的面积s1；
⑵求s1＋s2＋s3＋…＋s2010的值.
22.（长沙）在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．
⑴s与t之间的函数关系式是：_________；
(2）与图③相对应的P点的运动路径是：________；P点出发 _______秒首次到达点B；
⑶写出当3≤s≤8时，y与s之间的函数关系式，并在图③中补全函数图象．
培优升级·奥赛检测
01．已知abc≠0，且＝t，则直线y＝tx＋t一定通过（ ）
A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限
02．一个一次函数的图象与直线y＝＋平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点(－1,－25),则在线段AB上（包括端点A、B）横坐标、纵坐标都是整数的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
03．在一次函数y＝－x＋3的图象上取点P，作PA⊥x轴，PB⊥y轴，垂足分别为A、B，长方形OAPB的面积为2，则这样的点P共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
04．在直角坐标系中，x轴上的动点M（x，0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，若MP＋MQ取最小值，则点M的坐标为________.
05．已知点A（0，2）、B(4,0)，点C、D分别在直线x＝1与x＝2上运动，且CD∥x轴，当AC＋CD＋DB的值最小值，点C的坐标为_____________.
06．在直角坐标系中，有两个点A(－8,3)、B（－4，5）以及动点C（0，n）、D（m，0）.当四边形ABCD的周长最短时，的值为_________.
07．已知函数y＝（a－2）x－3a－1，当自变量x的值范围为3≤x≤5时，y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，求实数a的取值范围．
08．（荆州市八年级数学联赛试题）已知一次函数y＝ax＋b（a为整数）的图象过（98，19），它与x轴的交点为（p，0），与y轴的交点为（0，q），若P为质数，q是正整数，问符合条件的一次函数是否存在？若存在，求出解析式；若存在，说明理由．
09．若直线y＝mx－3，y＝－1，y＝3和x＝1所围成的四边形面积为12，求m.
10．设f（x）＝kx＋1是x的函数，若m（k）表示函数f（x）＝kx＋1在1≤x≤3条件下的最大值，求函数m（k）的解析式，并作出图象．
第9讲 一次函数与方程、不等式
考点·方法·破译
1． 一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y＝0时则为一元一次方程．
2． 一次函数与二元一次方程(组)的关系：
⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；
⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．
3． 一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．
经典·考题·赏析
【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为( )
A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定
【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．
【变式题组】
01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
03． 如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．
04． (武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式x＞kx＋b＞－2的解集为_________．
【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．
【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足，从而求出m的取值范围．
解：，∴，∵，∴，即，∴－1＜m＜．
【变式题组】
01． 如果直线y＝kx＋3与y＝3x－2b的交点在x轴上，当k＝2时，b等于( )
A．9 B．－3 C． D．
02． 若直线与直线相较于x轴上一点，则直线不经过( )
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
03． 两条直线y1＝ax＋b，y2＝cx＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c而解出它们的交点坐标为(，)，则这两条直线的解析式为____________．
04． 已知直线y＝3x和y＝2x＋k的交点在第三象限，则k的取值范围是________．
【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k为整数，当直线y＝x－2与y＝kx＋k的交点为整点时，k的取值可以取( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．
解：由得，
∵两直线交点为整数，
∴x、y均为整数，
又当x为整数时，y为整数，
∴为整数即可，，
∵k－1是整数，
∴k－1＝±1，±3时，x、y为整数，
∴k＝－2，0，2，4．
所以选A．
【变式题组】
01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p和q(p≠q)，构成函数y＝px－2和y＝x＋q，并使这两个函数图象的交点在直线x＝2的右侧，则这样的有序数对(p，q)共有( )
A．12对 B．6对 C．5对 D．3对
02． (浙江竞赛试题)直线l：y＝px(p是不等于0的整数)