人教版七年级全册数学培优讲义（Word版 无答案）
文档属性
| 名称 | 人教版七年级全册数学培优讲义（Word版 无答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 5.5MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-01 10:21:12 | ||
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文档简介
目录
第01讲 与有理数有关的概念（2--8）
第02讲 有理数的加减法（3--15）
第03讲 有理数的乘除、乘方（16--22）
第04讲 整式（23--30）
第05讲 整式的加减（31--36)
第06讲 一元一次方程概念和等式性质(37--43)
第07讲 一元一次方程解法(44--51)
第08讲 实际问题与一元一次方程(52--59)
第09讲 多姿多彩的图形(60--68)
第10讲 直线、射线、线段(69--76)
第11讲 角(77--82)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定(83--90)
第13讲 平行线的性质及其应用(91--100)
第14讲 平面直角坐标系（一）(101--106)
第15讲 平面直角坐标系（二）(107--112)
第16讲 认识三角形(113--119)
第17讲 认识多边形(120--126)
第18讲 二元一次方程组及其解法(127--134)
第19讲 实际问题与二元一次方程组(135--145)
第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)
第21讲 一元一次不等式（组）的应用(156--164)
第22讲 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)
第23讲 数据的收集与整理(175--186)
模拟测试一
模拟测试二
模拟测试三
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8%
02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____
【例２】在－，π，这四个数中有理数的个数（ )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数；按整数、分数分类，有理数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．
【变式题组】
01．在7，0．1 5，－，－301.31.25，－，100.l，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置
15，－，，－，0.1．－5.32，123, 2.333
【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，．－，，…，找规律到第2007个数是 .
【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.
【变式题组】
01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .
02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.
03．（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
【例４】（2008年河北张家口）若l＋的相反数是－3，则m的相反数是____.
【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题＝－4,m＝－8
【变式题组】
01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
A．5 B． C． －5 D． －
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )
A． － 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C． －2，0，1 D． 2，1，0
【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( )
A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝.本题注意数形结合思想，画一条数轴
标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．
【变式题组】
01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝ .
03．a、b、c为不等于O的有理散，则＋＋的值可能是____.
【例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则的值.
【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝
【变式题组】
01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．
02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
A． －4 B． －1 C． 0 D． 4
03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值
【例７】（第l8届迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．
【解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥O
∴(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m
∴ m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
∴m＋n＝O ①
又∵|2m－n－2|＝0
∴2m－n－2＝0 ②
由①②得m＝，n＝－，∴ mn＝－
【变式题组】
01．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－B．
02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,求y的最大值.
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数,,,,,…根据其规律可知第9个数是( )
A． B． C． D．
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A． 6 B． －6 C． D． －
03．在－,π,8.四个数中，有理数的个数为( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3
06．若－a不是负数，则a( )
A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )
①若a＝b,则|a|＝|b| ②若a＝－b,则|a|＝|b|
③若|a|＝|b|，则a＝－b ④若|a|＝|b|,则a＝b
A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，|b|的大小关系正确
的是( )
A． |b|＞a＞－a＞b B． |b| ＞b＞a＞－a
C． a＞|b|＞b＞－a D． a＞|b|＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.
10．已知|x＋2|＋|y＋2|＝0，则xy＝____.
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值.
13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．
14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|??当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3
，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4
；
⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|
，
如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；
⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7
．
培优升级·奥赛检测
01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )
A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001
02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么＋＋＋的所有可能的值为（ ）
A． －1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－2
04．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )
A． －1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m
05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( )
A． 30 B． 0 C． 15 D． 一个与p有关的代数式
06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .
07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 .
08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)共有 组
09．若非零有理数m、n、p满足＋＋＝1．则＝ .
10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值.
11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最大值和最小值.
12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.
13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.
第02讲 有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）
A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－2.5）＋（－3）＋（－1）＋（－1）
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋3＋（－3）＋11＋（－0.25）
【例３】计算
【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
＝
＝＝
【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算＝__________.
【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b
C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和
又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |
将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a
【变式题组】
01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小
【例５】4－（－33）－（－1.6）－（－21）
【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：4－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21
＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61
【变式题组】
01．
02．4－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）
03．178－87.21－（－43）＋153－12.79
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？
⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？
⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1
故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问题.
⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？
02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20
⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；
⑵当这个等式的右边等于2008时求n.
【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
将原式和倒序再相加得
2S＝＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225
∴S＝
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．（第8届希望杯试题）计算（1－－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋）
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（ ）
A．可能是负数 B．不可能是负数
C．比是正数 D．可能是正数，也可能是负数
02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（ ）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）
A．两数一定都是正数 B．两数都不为0
C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（ ）
A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0
06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）
A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃
07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（ ）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2
09．（济南）2＋(－2)的值为__________
10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________
⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________
⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________
11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－3＋2.75－7 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－|
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5
⑴问收工时距离A地多远？
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？
14．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如＋来表示，用＋＋表示等等.现有90个埃及分数：，，，，…，，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？
培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）等于（ ）
A． B． C． D．
02．自然数a、b、c、d满足＋＋＋＝1，则＋＋＋等于（ ）
A． B． C． D．
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
04．（第7届希望杯试题）若a＝，b＝，c＝，则a、b、c大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
05．的值得整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）
A．－22003 B．22003 C．－22004 D．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)2004＝__________
08．＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝__________
09．＝__________
10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________
11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________
12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．
13．计算(－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)
14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.
第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.
4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
解：⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
02． 3．
04．
【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大
【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．
【变式题组】
01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0
02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.
03．(山东烟台)如果a＋b＜0，，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0
C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0
【例３】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴
⑵
⑶
⑷
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶ ⑷
02．⑴ ⑵ ⑶
03．
【例４】（茂名）若实数a、b满足，则＝___________.
【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.
解：当ab＞0，；
当ab＜0，，∴ab＜0，从而＝－1.
【变式题组】
01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（ ）
A．正数 B．0 C．负数 D．非负数
02．若A．b都是非零有理数，那么的值是多少？
03．如果，试比较与的大小.
【例５】已知
⑴求的值； ⑵求的值.
【解法指导】表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵
⑴当时，
当时，
⑵当时，
当时，
【变式题组】
01．（北京）若，则的值是___________.
02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求的值，这里n是正整数.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．
【变式题组】
01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×103
02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）
A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107亩
【例７】（上海竞赛）
【解法指导】找出的通项公式＝
原式＝
＝
＝
＝99
【变式题组】
A． B． C． D．
02．（第10届希望杯试题）已知
求的值.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0
04．若|ab|＝ab，则（ ）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0
05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）
A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1
06．若a＞，则a的取值范围（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1
07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④，其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
08．若ab≠0，则的取值不可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－2
09．的值为（ ）
A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×104
11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.
12．（n为自然数）＝___________.
13．如果，试比较与xy的大小.
14．若a、b、c为有理数且，求的值.
15．若a、b、c均为整数，且.求的值.
培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x、y、z两两不相等，则中负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个
02．计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
03．已知，下列判断正确的是（ ）
A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜0
04．若有理数x、y使得这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）
A． B．0 C． D．
05．若A＝，则A－1996的末位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．9
06．如果，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
07．已知，则a、b、c、d大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c
08．已知a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则＝___________.
09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.
第一组：
第二组：
第三组：
10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？
11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.
32
x
64
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且
证明：⑴
⑵，求m、n的值.
第04讲 整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.
经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.
解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；
⑵不是，因为代数式是与x的商；
⑶是，它的系数为π，次数为2；
⑷是，它的系数为，次数为3.
【变式题组】
01．判断下列代数式是否是单项式
02．说出下列单项式的系数与次数
【例２】 如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.
【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.
解：由题意得
【变式题组】
01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.
02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.
【例３】 已知多项式
⑴这个多项式是几次几项式？
⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.
解：⑴这个多项式是七次四项式；
(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
【变式题组】
01．指出下列多项式的项和次数
⑴ (2)
02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项
⑴ (2)
【例４】 多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值
【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.
解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.
【变式题组】
01．多项式是四次三项式，则m的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
02．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.
03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.
【例５】 已知代数式的值是8,求的值.
【解法指导】 由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.
解：由得由
（3
【变式题组】
01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（ ）
A．28 B．－28 C．32 D．－32
02．（同山）若,则的值为_______________.
03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.
【例６】 证明代数式的值与m的取值无关.
【解法指导】 欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.
证明：原式＝
∴无论m的值为何，原式值都为4.
∴原式的值与m的取值无关.
【变式题组】
01．已知,且的值与x无关，求a的值.
02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（ ）个
A．4 B．12 C．15 D．25
【解法指导】 首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.
解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．
【变式题组】
01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.
02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.
演练巩固·反馈提高
01．下列说法正确的是（ ）
A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式
02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ ）
A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b
03．若多项式的值为1，则多项式的值是（ ）
A．2 B．17 C．－7 D．7
04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）
A． B． C． D．
05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.
07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.
08．若,则代数式xy+mn值为________.
09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.
10．(河北)有一串单项式
(1)请你写出第100个单项式；
⑵请你写出第n个单项式.
11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.
12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？
13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.
14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.
A：计时制：0.05元/分
B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.
此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.
⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.
培优升级·奥赛检测
01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（ ）
A．2007 B．2 C． D．－1
02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
① ②
③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定
05．（广安）已知_____________.
06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.
07．已知＝_____________.
08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________.
09．已知＝______________.
10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.
11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________195
．
12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；
当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.
观察图形，填写下表：
钉子数(n×n) S值
2×2 2
3×3 2+3
4×4 2＋3＋( )
5×5 ( )
写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.
13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
⑴当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；
⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．
第05讲 整式的加减
考点·方法·破译
1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.
2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.
3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.
经典·考题·赏析
【例１】（济南）如果和是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.
解：由题意得，∴
【变式题组】
01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（ ）
A．ax3y2与b m3n2是同类项 B．3xay3与bx3y3是同类项
C．Bx2a＋1y4与ax5yb＋1是同类项 D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项
02．若单项式2X2ym与－xny3是同类项，则m＝___________，n＝___________.
03．指出下列哪些是同类项
⑴a2b与－ab2 ⑵xy2与3y2x (3)m－n与5（n－m） ⑷5ab与6a2b
【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.
【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
解：因为化简后为三次二项式，而5x3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1
【变式题组】
01.计算：－（2x2－3x－1)－2(x2－3x＋5)＋(x2＋4x＋3)
02．(台州）（2x－4y）＋2y
03．（佛山）m－n－(m＋n)
【例３】（泰州）求整式3x2－5x＋2与2x2＋x－3的差.
【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．
解：（3x2－5x＋2)－（2x2＋x－3)＝3x2－5x＋2－2x2－x＋3＝x2－6x＋5
【变式题组】
01．一个多项式加上－3x＋2xy得x2－3xy＋y2,则这个多项式是___________．
02．减去2－3x等于6x2－3x－8的代数式是___________．
【例４】当a＝，b＝时，求5（2a＋b)2－3(3a＋2b)2＋2(3a＋2b)的值.
【解法指导】将（2a＋b)2，（3a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.
解：5（2a＋b)2－3(3a＋2b)－3(2a＋b)2＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)2＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)2－(3a＋2b)∵a＝，b＝∴原式＝
【变式题组】
01．（江苏南京）先化简再求值：（2a＋1)2－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.
02．已知a2＋bc＝14,b2－2bc＝－6,求3a2＋4b2－5bC．
【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.
【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.
证明：设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则
1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)
∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d)
∵9(111a＋11b＋c)与（a＋b＋c＋d)均能被9整除
∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除
【变式题组】
01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（ ）
A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz
02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.
【例６】将（x2－x＋1)6展开后得a12x12＋a11x11＋……＋a2x2＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.
【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法.
解：令x＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1
令x＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729
两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730
∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365
【变式题组】
01.已知（2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0
(1)当x＝0时，有何结论;
(2)当x＝1时，有何结论;
(3)当x＝－1时，有何结论;
(4)求a5＋a3＋a1的值.
02.已知ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝(x－2)4
(1)求a＋b＋c＋d＋e.
试求a＋c的值.
【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.
【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.
解：原式＝ax3－ax2＋3ax＋2bx2＋bx＋x3－5
＝(a＋1)x3＋(2b－a)x2＋(3a＋b)x－5
∵原式中的多项式是关于x的二次多项式
∴
∴a＝－1
又当x＝2时，原式的值为－17.
∴(2b＋1)22＋＝－17,∴b＝－1
∴原式＝－x2－4x－5
∴当x＝－2时，原式＝－（－2）2－4（－2）－5＝－1
【变式题组】
01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax3－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx3－5＝___________．
02．(吉林竞赛题）已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝23,x＝－2,y＝－35,则e为（ ）
A．－6 B． 6 C．－12 D．12
演练巩固·反馈提高
01．（荆州）若－3x2my3与2x4yn是同类项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．－1
02．一个单项式减去x2－y2等于x2＋y2,则这个单项式是（ ）
A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2
03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（ ）
A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于2的整式
04．当x＝3时，多项式ax5＋bx3＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（ ）
A．－3 B．－27 C．－7 D．7
05．已知多项式A＝x2＋2y2－z2,B＝－4x2＋3y2＋2z2,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（ ）
A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2 C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2
06．已知，则等于（ ）
A． B．1 C． D．0
07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ）
A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
08．使（ax2－2xy＋y2)－(－ax2＋bxy＋2y2)＝6x2－9xy＋cy2成立的a、b、c的值分别是（ ）
A．３，７，１ B．－３，－７，－１ C．３，－７，－１ D．－３，７，－１
09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋－4中不含ｘy项．
10．(宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________
11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要___________天完成．
12．x2－xy＝－3,2xy－y2＝－8,则2x2－y2＝___________．
13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.
14．若代数式（x2＋ax－2y＋7)－(bx2－2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
15．设A＝x2－2xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,当x＜y＜0时，比较A与B的值的大小.
培优升级·奥赛检测
01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（ ）
A．ab B．a＋b C．1000b＋a D．10a＋b
02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．6个
03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A． B． C．A＋b－c D．3(a＋b－c)
04．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝＋＋……＋＋的值恒为一常数，则此值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简得（ ）
A．2a B．2b C．2 D．－2
06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小时数（ ）
A． B． C． D．
07．如果单项式3xa＋2yb－2与5x3ya＋2的和为8x3ya＋2,那么＝_________．
08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x2＋2x＝3则x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝_________．
09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式（）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．
10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋4＋x3－n－x3＋x－3,B＝3xn＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1,试判断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．
11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：11整除3x－7y＋12z.
12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出来.
13．(太原市竞赛题）将一个三位数的中间数去掉，成为一个两位数，且满足＝9＋4（如155＝915＋45）.试求出所有这样的三位数.
第06讲 一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．
2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．
经典·考题·赏析
【例１】 下面式子是方程的是( )
A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5
【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．
【变式题组】
01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( )
A． 272＋x＝ (196－x) B． (272－x) ＝196 –x
C．×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x
03．根据下列条件列出方程：
⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的与13的差的2倍等于1
【例２】下列方程是一元一次方程的是( )
A．x2－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．＝3 D．x＝0
【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．
【变式题组】
01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥＝4x；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．
02．（江油课改实验区）若（m－2）＝5是一元一次方程，则m的值为( )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
03．（天津）下列式子是方程的是( )
A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1
【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( )
A．8 B．3 C． D．
【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝故选择D．
【变式题组】
01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )
A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2
02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
03．（上海）如果x＝2是方程的根，那么a的值是( )
A．0 B．2 C．－2 D．－6
04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：
(1)某数的3倍比这个数大4；
(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？
(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？
【例4】 （太原）c为任意有理数，对于等式a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的是( )
A．两边都减去－3c B．两边都乘以
C．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c
【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．
【变式题组】
01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )
A．ma＋1＝mb＋1 B．ma?3＝mb?3 C．ma＝mb D．a＝b
02．（大连）由等式3a ?5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )
A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5）
C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5）
03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )
A．如果2x?3 ＝7，那么2x ＝7?x B．如果3x?2＝x＋l，那么3x?x ＝1?2
C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－x ＝1，那么x＝－3
【例5】 利用等式的性质解下列方程：
⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －x?5 ＝4
⑴解：两边都减去7得 x＋7 ?7 ＝19 ?7
合并同类项得 x＝12
⑵解：两边都乘以得x＝ －6
⑶解：两边都加上5得－x?5＋5 ＝4 ＋5
合并同类项得－x ＝9
两边都乘以－3得x＝－27
【解法指导】 要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．
【变式题组】
01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是，回来的速度是，则他的平均速度为( )
A． B． C． D．
02．（杭州）已知是方程2x?ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
03．（郑州）下列变形正确的是( )
A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b
C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由＝0，得x＝0
04．（南京）解方程 ( )
A．同乘以 B．同除以 C．同乘以－ D．同除以
【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）
【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．
解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx?0.02x＝ 1080．
【变式题组】
01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是( )
A．160元 B．128元 C．120元 D．8元
02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：
(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；
(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，
【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值．
【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．
解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：
(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；
(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l0lq ＋4的值为2003.
【变式题组】
01．（广东省竞赛题）已知＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．
02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：＝ ad? bc，已知＝18，则x＝( )
A．－1 B．2 C．3 D．4
演练巩固 反馈提高
01．下面四个式子是方程的是( )
A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x ?5 D．a2 ＋2ab≠b2
02，下列方程是一元一次方程的是( )
A．x2 ?2x?3＝0 B．2x?3y＝3 C．x2?x?1＝ x2＋1 D．
03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )
A． ＝7?x B．＋7 ＝?x C．＋7 ＝x D．＝x＋7
04．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( )
A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200
05．在方程①3x?4 ＝7；②＝3；③5x?2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，那么b的值是( )
A．3 B．5 C．－5 D．－13
07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )
A．－6 B．6 C．8 D．－8
08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( )
A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a?10)(b＋l) ＝3000
C．＝a＋10 D．＝b?1
09．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．
10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x?2＝ 10 ＋x的解是_______．
11．（福州）已知?1＝，试用等式的性质比较m、n的大小．
12.（西宁）已知方程a?2x＝－4的解为x＝4，求式子a3?a2?a的值．
13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．
14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？
15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？
培优升级 奥赛检测
01．下列判断中正确的是( )
A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，
B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解．
C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解．
D．方程2x ?3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解．
02．方程的解是( )
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中
(1)方程ax ＝0的解是x＝l (2)方程ax ＝a的解是x＝l
(3)方程ax ＝1的解是x＝ (4)的解是x＝±1
结论正确的的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3?3 a2?5a ＋4有整数解，则a的值共有( )
A．1个 B．3个 C．6个 D．9个
06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程＋（x?5）＝0的解的个数为( )
A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个
07．若x＝9是方程的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程的解是______．
08．方程的解是_____，方程的解是_____．
09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知 ＝1995，那么x＝____．
10．（“希望杯”邀请赛试题）已知，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．
11．（广西竞赛）解关于x的方程＝－3．
12．a为何值，方程有无数个解．
13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？
14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？
第07讲 一元一次方程解法
考点·方法·破译
1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．
2．会用一元一次方程解决实际问题
经典·考题·赏析
【例１】解方程：5x＋2＝7x－8
【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．
解：移项，得 5x－7x＝－8－2
合并同类项，得 －2x＝－10
系数化为1，得 x＝5
【变式题组】
01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－1
02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ）
A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a
03．解下列方程：
⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1
【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)
【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．
解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12
移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2
合并同类项，得 －13x＝－21
系数化为1，得
【变式题组】
01．（广州）下列运算正确的是（ ）
A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3(x－1)＝－3x＋1
C． －3(x－1)＝－3x－3 D． －3(x－1)＝－3x＋3
02．(黄冈)解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（ ）
A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1
C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1
03．（广州）方程2x＋1＝3(x－1)的解是（ ）
A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4
04．解下列方程：
⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x
【例３】解方程：
【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项
解： 去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12
去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12
移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2
合并，得 －18x＝－3
系数化为1，得
回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：
去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．
这五个步骤要注意灵活运用．
【变式题组】
01．（厦门）如果关于x的方程的解不是负值，那么a与b的关系是（ ）
A． B． C． 5a≥3b D． 5a＝3b
02．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
03．（四川）解方程：
04．（大连）若方程与方程的解相同，求的值．
【例４】解方程：
【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．
解：原方程变形为：
即 50（0.1x－0.2）－2(x＋1)＝3
去括号，得 5x－50－2x－2＝3
移项，得 5x－2x＝3＋10＋2
合并，得 3x＝15
系数化为1，得 x＝5
【变式题组】
01．对方程变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
02．（郑州）解方程：
【例５】解方程：
【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．
解： 移项得
两边分别通分得：
即
解得 x＝1
【变式题组】
01．(大连)解方程，较简便的是（ ）
A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以 D． 先两边都乘以
02．解方程：
03．解方程：
【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．
小明拿到了哪3张卡片？
你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？
【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．
解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12
依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342
合并，得 3x＋18＝342
移项，得 3x＝324
系数化为1，得x＝108
答：这三个数为108，114，120
不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是
假设 x＋x＋6＋x＋12＝86
合并，得 3x＋18＝86
移项，得 3x＝324
系数化为1，得
因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为．
【变式题组】
01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：
1 4 7 10 13 16 19 22
25 28 31 34 37 40 43 46
49 52 55 58 61 64 67 70
…
⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数；
⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？
× × ×
× × ×
× × ×
【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____
【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.
解：∵ 9x－17＝kx
∴ (9－k)x＝17
∴
∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数
∴ 9－k＝1 或 9－k＝17
∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8
【变式题组】
01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ）
A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0
02．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________
演练巩固·反馈提高
01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）
A． 40元 B．35元 C． 28.9元 D． 5.1元
02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）
A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340
C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340
03．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A． 600×0.8－x－20 B．600×0.8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20
04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）
A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时
05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（ ）
A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)
C． x＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D． x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%
07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（ ）
A． B． C．2 D．－2
09．（天津）若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______
10．(广东)若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________
11．(南京)x为何值时，式子与式子满足下列条件：
⑴相等
⑵互为相反数
⑶式子比式子的值小1
12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解．
⑴设十位数上的数为x；
⑵设个位数上的数为y.
13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的少0.34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．
14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？
15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）
培优升级·奥赛检测
01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含酒精的千克数为（ ）
A． a B． C． D．
02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）
A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B． 得y＝10
C． 则 D．3x＝4则
03．（第18届“希望杯”赛题）方程的解是x＝____
A． B． C． D．
04．(广西竞赛题)若方程(m2－1)x2－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m2008－|m－1|的值为（ ）
A． 1或一1 B．1 C． －1 D．2
05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（ ）
A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45
06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（ ）
A． B． C．3 D．－3
07．（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米
A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500
08．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ）
A．0.5小时 B．1小时 C． 1.2小时 D．1.5小时
09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本．
10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．
11．（宁波）已知关于x的方程的解是x＝2，其中a≠0且b≠0,求代数式的值．
12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？
13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？
第08讲 实际问题与一元一次方程
考点·方法·破译
1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型?
2．熟练掌握运用方程解决实际问题?
经典·考题·赏析
【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？
【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）
解：设原进价为x元，根据题意得
当利润为50%时：（1+50%)x＝400 解得x＝
当利润为100%时：（1+100%)x＝400 解得x＝200
所以：×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元）
答：应在240～320元范围内还价?
【变式题组】
01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折?王波两次购物分别付款80元、252元?如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）
A．288元 B．322元
C．288或316元 D．332或363元
02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元?为了扩大销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（ ）
A．1 B．1.8 C．28 D．29
03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（ ）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？
【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费?
解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解得x＝15 50－x＝35
答：中小型车辆分别是15辆、35辆?
【变式题组】
01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ）
A．144 人 B．72人
C．48 人 D．36人
02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？
03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ）
A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支
【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行的时间为半小时?某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同?如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系
解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米
根据题意得（x+40）
解得x＝200
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米?
【变式题组】
01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ）
A．10千米 B．20千米 C．40千米 D．50千米
02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km的车费为5元），3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（ ）
A．8km B．9km C．6km D．10km
03．(南宁) 小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，二人又相距36km，求A、B两地间的路程?
【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m2墙面?每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？
【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1?
解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.
根据题意得＝
解得x＝122 则x－10＝122－10＝112
答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m2的墙面.
【变式题组】
01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20%，则两年后城市绿化面积是原来的（ ）
?A．1.2倍 B．1.4倍 C．1.44倍 D．1.8倍
02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的2/3要同时开甲、乙两龙的时间（ ）
A．小时 B．小时 C．4小时 D．小时
03．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？
【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？
【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程?
解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11－x－(x+2)＝ (9－2x)场
根据题意得3(x+2)+1x(9－2x)＝18
解得x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3
答：该队战平了3场.
【变式题组】
01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？
【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元?
当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜
进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.
方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪种获利多？为什么？
【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解?
解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)
对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)
对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得
解得x＝60 140－x＝140－60＝80
故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三
【变式题组】
01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小时?
02.A市和B市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A市调一台到C市和D市的运输费分别为400元和800元；已知从B市调一台到C市和D市的运输费分别为300元和500元?问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？
【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？
【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比?
解：设站点每隔x分钟开出一辆 根据题意，得，解得x＝6
答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆?
【变式题组】
01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x?
02．（武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2|－1|＝a有三个整数解，则a的值为（ ）
A． 0 B． 2 C．1 D．3
3．（第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
演练巩固·反馈提高
01．（天津）东方商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品的标价为（ ）
A． 2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元
02．（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚 B．赚了8元 C．赔了8元 D．赚了32元
03．（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（ ）
A．1000元 B．2000元 C．4000元 D．3000元
04．（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一年后女生增加3%，男生在校生增加4%，这样在校学生将增加3.6%，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ）
A．200和300 B．300和200 C．320和180 D．180和320
05．（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有（ ）
A． 48人 B．24人 C．36人 D．60人
06．（银川）一列火车通过890米的大桥需要55秒，同样的速度穿过690米隧道需要45秒，则这列火车长（ ）
A．210米 B．230米 C．250米 D．270米
07．（重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不高于800元不纳税；⑵稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800的那一部分的14%的税；⑶稿费高于4000元缴纳全部稿费的11%的税?今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是 _______元?
08．（重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合?如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克?
09．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折?”小明算了一下，如果买50支，比按原价购买便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少？
10．（北京）甲、乙两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，汽车开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？
11．（山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短息各多少条？
12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？
13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？
14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算?
15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由?
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01．（第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装成本不变），销售数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长（ ）
A．2% B．8% C．40.5% D．60%
02．（北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则x：y等于（ ）
A．1：1 B．5：4 C．4：5 D．5：6
03．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份这用户应交煤气费（ ）
A． 60元 B．66元 C．75元 D．78元
04．（四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵?
A．9 B．10 C．12 D．14
05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可以喝矿泉水（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
06．某商场的电视机按原价9折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（ ）
A． B． C． D．
07．（黑龙江省竞赛题）一个六位数的3倍等于，则这个六位数为______
08．（“希望杯”邀请赛试题）某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是______千米/时?
09．（重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？
10．（第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方法：每月用电不超过100度，按每度0.5元元计算；每月用电超过100度，超出部分每度0.40元计算?
⑴若某用户2002年1月份交电费68元，那么该用户1月份用电多少度？
⑵若某用户2002年2月份平均每度电费0.48元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少元？
11．（安徽）某人将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖价1200元，盈利20%，乙种股票卖家也是1200元，但亏损20%，此人此次交易共盈利多少元？
12
第01讲 与有理数有关的概念（2--8）
第02讲 有理数的加减法（3--15）
第03讲 有理数的乘除、乘方（16--22）
第04讲 整式（23--30）
第05讲 整式的加减（31--36)
第06讲 一元一次方程概念和等式性质(37--43)
第07讲 一元一次方程解法(44--51)
第08讲 实际问题与一元一次方程(52--59)
第09讲 多姿多彩的图形(60--68)
第10讲 直线、射线、线段(69--76)
第11讲 角(77--82)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定(83--90)
第13讲 平行线的性质及其应用(91--100)
第14讲 平面直角坐标系（一）(101--106)
第15讲 平面直角坐标系（二）(107--112)
第16讲 认识三角形(113--119)
第17讲 认识多边形(120--126)
第18讲 二元一次方程组及其解法(127--134)
第19讲 实际问题与二元一次方程组(135--145)
第20讲 三元一次方程组和一元一次不等式组(146--155)
第21讲 一元一次不等式（组）的应用(156--164)
第22讲 一元一次不等式（组）与方程（组）的结合(165--174)
第23讲 数据的收集与整理(175--186)
模拟测试一
模拟测试二
模拟测试三
第1讲 与有理数有关的概念
考点·方法·破译
1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量.
2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.
3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数.
经典·考题·赏析
【例1】写出下列各语句的实际意义
⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克
【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”
解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.
【变式题组】
01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ）
A． －18% B． －8% C． ＋2% D． ＋8%
02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( )
A． －5吨 B． ＋5吨 C． －3吨 D． ＋3吨
03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____
【例２】在－，π，这四个数中有理数的个数（ )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数；按整数、分数分类，有理数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－是分数是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．
【变式题组】
01．在7，0．1 5，－，－301.31.25，－，100.l，－3 001中，负分数为 ，整数为 ，正整数 .
02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置
15，－，，－，0.1．－5.32，123, 2.333
【例３】（宁夏）有一列数为－1，，－，．－，，…，找规律到第2007个数是 .
【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－.
【变式题组】
01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 .
02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____.
03．（茂名）有一组数l，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____.
【例４】（2008年河北张家口）若l＋的相反数是－3，则m的相反数是____.
【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题＝－4,m＝－8
【变式题组】
01．（四川宜宾）－5的相反数是( )
A．5 B． C． －5 D． －
02．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，则a＋b＋cd＝______
03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A、B、C内的三个数依次为( )
A． － 1 ,2，0 B． 0，－2，1 C． －2，0，1 D． 2，1，0
【例５】（湖北）a、b为有理数，且a＞0，b＜0，|b|＞a，则a,b、－a,－b的大小顺序是( )
A． b＜－a＜a＜－b B． –a＜b＜a＜－b C． –b＜a＜－a＜b D． –a＜a＜－b＜b
【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝.本题注意数形结合思想，画一条数轴
标出a、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A．
【变式题组】
01．推理①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若a≠b，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b，其中正确的个数为（ ）
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
02．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，则＋＋＝ .
03．a、b、c为不等于O的有理散，则＋＋的值可能是____.
【例６】（江西课改）已知|a－4|＋|b－8|＝0，则的值.
【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a－4|≥0，|b－8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.
解：因为|a－4|≥0，|b－8|≥0，又|a－4|＋|b－8|＝0，∴|a－4|＝0，|b－8|＝0即a－4＝0，b－8＝0，a＝4，b＝8.故＝＝
【变式题组】
01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a＞b＞c，求a＋b＋C．
02．（毕节）若|m－3|＋|n＋2|＝0，则m＋2n的值为( )
A． －4 B． －1 C． 0 D． 4
03．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a－b|＝b－a，求a和b的值
【例７】（第l8届迎春杯）已知(m＋n)2＋|m|＝m，且|2m－n－2|＝0．求mn的值．
【解法指导】本例关键是通过分析(m＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m的符号特征,从而把问题转化为(m＋n)2＝0，|2m－n－2|＝0，找到解题途径.
解：∵(m＋n)2≥0，|m|≥O
∴(m＋n)2＋|m|≥0，而(m＋n)2＋|m|＝m
∴ m≥0,∴(m＋n)2＋m＝m，即(m＋n)2＝0
∴m＋n＝O ①
又∵|2m－n－2|＝0
∴2m－n－2＝0 ②
由①②得m＝，n＝－，∴ mn＝－
【变式题组】
01．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5且|2a－b–l|＝0，求a－B．
02．（第16届迎春杯）已知y＝|x－a|＋|x＋19|＋|x－a－96|，如果19＜a＜96．a≤x≤96,求y的最大值.
演练巩固·反馈提高
01．观察下列有规律的数,,,,,…根据其规律可知第9个数是( )
A． B． C． D．
02．（芜湖）－6的绝对值是( )
A． 6 B． －6 C． D． －
03．在－,π,8.四个数中，有理数的个数为( )
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
04．若一个数的相反数为a＋b，则这个数是( )
A． a－b B． b－a C． –a＋b D． –a－b
05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( )
A． 0和6 B． 0和－6 C． 3和－3 D． 0和3
06．若－a不是负数，则a( )
A． 是正数 B． 不是负数 C． 是负数 D． 不是正数
07．下列结论中，正确的是( )
①若a＝b,则|a|＝|b| ②若a＝－b,则|a|＝|b|
③若|a|＝|b|，则a＝－b ④若|a|＝|b|,则a＝b
A． ①② B． ③④ C． ①④ D． ②③
08．有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a、b，－a，|b|的大小关系正确
的是( )
A． |b|＞a＞－a＞b B． |b| ＞b＞a＞－a
C． a＞|b|＞b＞－a D． a＞|b|＞－a＞b
09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.
10．已知|x＋2|＋|y＋2|＝0，则xy＝____.
11．a、b、c三个数在数轴上的位置如图，求＋＋＋
12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a、a＋b也可以表示成0、b、的形式，试求a、b的值.
13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a＞b＞c，求a＋b－C．
14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.
15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b|??当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．
回答下列问题:
⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3
，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4
；
⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|
，
如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；
⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7
．
培优升级·奥赛检测
01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )
A． 1998 B． 1999 C． 2000 D． 2001
02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a、b、c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc＜0;②|a－b|＋|b－c|＝|a－c|；③（a－b）(b－c)(c－a)＞0；④|a|＜1－bc．其中正确的结论有( )
A． 4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个
03．如果a、b、c是非零有理数，且a＋b＋c＝0．那么＋＋＋的所有可能的值为（ ）
A． －1 B． 1或－1 C． 2或－2 D． 0或－2
04．已知|m|＝－m，化简|m－l|－|m－2|所得结果( )
A． －1 B． 1 C． 2m －3 D． 3－ 2m
05．如果0＜p＜15，那么代数式|x－p|＋|x－15|＋|x－p－15|在p≤x≤15的最小值( )
A． 30 B． 0 C． 15 D． 一个与p有关的代数式
06．|x＋1|＋|x－2|＋|x－3|的最小值为 .
07．若a＞0，b＜0，使|x－a|＋|x－b|＝a－b成立的x取值范围 .
08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m、n满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m，n)共有 组
09．若非零有理数m、n、p满足＋＋＝1．则＝ .
10．（19届希望杯试题）试求|x－1|＋|x－2|＋|x－3|＋…＋|x－1997|的最小值.
11．已知(|x＋l|＋|x－2|)（|y－2|＋|y＋1|）（|z－3|＋|z＋l|）＝36，求x＋2y＋3的最大值和最小值.
12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.
13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.
第02讲 有理数的加减法
考点·方法·破译
1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.
2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.
3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.
4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.
经典·考题·赏析
【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（ ）
A．0.3元 B．16.2元 C．16.8元 D．18元
【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．
【变式题组】
01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（ ）
A．8℃ B．－8℃ C．6℃ D．2℃
02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________
03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________
【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）
【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.
解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85
【变式题组】
01．（－2.5）＋（－3）＋（－1）＋（－1）
02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）
03．0.125＋3＋（－3）＋11＋（－0.25）
【例３】计算
【解法指导】依进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.
解：原式＝
＝
＝＝
【变式题组】
01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）
02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，再把面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算＝__________.
【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（ ）
A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－b
C．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a
【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.
解：∵a＜0，b＞0，∴a＋b是异号两数之和
又a＋b＜0，∴a、b中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |
将a、b、－a、－b表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a＞b＞－b＞a
【变式题组】
01．若m＞0，n＜0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
02．若m＜0，n＞0，且| m |＞| n |，则m＋n ________ 0.（填＞、＜号）
03．已知a＜0，b＞0，c＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a、b、c、a＋b、a＋c的大小
【例５】4－（－33）－（－1.6）－（－21）
【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.
解：4－（－33）－（－1.6）－（－21）＝4＋33＋1.6＋21
＝4.4＋1.6＋（33＋21）＝6＋55＝61
【变式题组】
01．
02．4－（＋3.85）－（－3）＋（－3.15）
03．178－87.21－（－43）＋153－12.79
【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…
⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？
⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？
⑶求这列数中所有正数的和.
【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.
解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)
⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1
故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.
⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169
【变式题组】
01．(杭州)观察下列等式
1－＝，2－＝，3－＝，4－＝…依你发现的规律，解答下列问题.
⑴写出第5个等式；
⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？
02．观察下列等式的规律
9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20
⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；
⑵当这个等式的右边等于2008时求n.
【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.
解：设S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
则有S＝＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋）
将原式和倒序再相加得
2S＝＋＋（＋＋＋）＋（＋＋＋＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋＋＋＋＋…＋＋）
即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝＝1225
∴S＝
【变式题组】
01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210
02．（第8届希望杯试题）计算（1－－－…－）（＋＋＋…＋＋）－（1－－－…－）（＋＋＋…＋）
演练巩固·反馈提高
01．m是有理数，则m＋|m|（ ）
A．可能是负数 B．不可能是负数
C．比是正数 D．可能是正数，也可能是负数
02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（ ）
A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±5
03．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ）
A． 1 B．0 C．－1 D．－3
04．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ ）
A．两数一定都是正数 B．两数都不为0
C．至少有一个为负数 D．至少有一个为正数
05．下列等式一定成立的是（ ）
A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0
06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（ ）
A．－4℃ B．4℃ C．－3℃ D．－5℃
07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（ ）
A．－a B．0 C．2a D．－2a
08．设x是不等于0的有理数，则值为（ ）
A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2
09．（济南）2＋(－2)的值为__________
10．用含绝对值的式子表示下列各式：
⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________
⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________
⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________
11．计算下列各题：
⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25
⑶－0.5－3＋2.75－7 ⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－|
12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99
13．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：
＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5
⑴问收工时距离A地多远？
⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？
14．将1997减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的……以此类推，直到最后减去余下的，最后的得数是多少？
15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如＋来表示，用＋＋表示等等.现有90个埃及分数：，，，，…，，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？
培优升级·奥赛检测
01．（第16届希望杯邀请赛试题）等于（ ）
A． B． C． D．
02．自然数a、b、c、d满足＋＋＋＝1，则＋＋＋等于（ ）
A． B． C． D．
03．（第17届希望杯邀请赛试题）a、b、c、d是互不相等的正整数，且abcd＝441，则a＋b＋c＋d值是（ ）
A．30 B．32 C．34 D．36
04．（第7届希望杯试题）若a＝，b＝，c＝，则a、b、c大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b
05．的值得整数部分为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（ ）
A．－22003 B．22003 C．－22004 D．22004
07．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m＋1，则(4m＋1)2004＝__________
08．＋（＋）＋（＋＋）＋ … ＋（＋＋…＋）＝__________
09．＝__________
10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________
11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________
12．已知(a＋b)2＋|b＋5|＝b＋5，且|2a－b－1|＝0，求aB．
13．计算(－1)(－1) (－1) … (－1) (－1)
14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.
第03讲 有理数的乘除、乘方
考点·方法·破译
1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.
2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.
3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.
4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.
5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.
经典·考题·赏析
【例１】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
⑸
【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
解：⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
02． 3．
04．
【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大
【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．
【变式题组】
01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（ ）
A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞0
02．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.
03．(山东烟台)如果a＋b＜0，，则下列结论成立的是（ ）
A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0
04．(广州)下列命题正确的是（ ）
A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0
C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0
【例３】计算
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.
解：⑴
⑵
⑶
⑷
【变式题组】
01．⑴ ⑵ ⑶ ⑷
02．⑴ ⑵ ⑶
03．
【例４】（茂名）若实数a、b满足，则＝___________.
【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.
解：当ab＞0，；
当ab＜0，，∴ab＜0，从而＝－1.
【变式题组】
01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（ ）
A．正数 B．0 C．负数 D．非负数
02．若A．b都是非零有理数，那么的值是多少？
03．如果，试比较与的大小.
【例５】已知
⑴求的值； ⑵求的值.
【解法指导】表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
解：∵
⑴当时，
当时，
⑵当时，
当时，
【变式题组】
01．（北京）若，则的值是___________.
02．已知x、y互为倒数，且绝对值相等，求的值，这里n是正整数.
【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（ ）
A．0.135×106 B．1.35×106 C．0.135×107 D．1.35×107
【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a的整数位数是1位.故答案选B．
【变式题组】
01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（ ）
A．1.03×105 B．0.103×105 C．10.3×104 D．103×103
02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（ ）
A．25.3×105亩 B．2.53×106亩 C．253×104亩 D．2.53×107亩
【例７】（上海竞赛）
【解法指导】找出的通项公式＝
原式＝
＝
＝
＝99
【变式题组】
A． B． C． D．
02．（第10届希望杯试题）已知
求的值.
演练巩固·反馈提高
01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．1个或3个
02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（ ）
A．互为相反数 B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数
C．都是负数 D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数
03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（ ）
A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0
04．若|ab|＝ab，则（ ）
A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜0
05．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式的值为（ ）
A．－3 B．1 C．±3 D．－3或1
06．若a＞，则a的取值范围（ ）
A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞1
07．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④，其中能判断a、b互为相反数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
08．若ab≠0，则的取值不可能为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．－2
09．的值为（ ）
A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－210
10．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ）
A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×104
11．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.
12．（n为自然数）＝___________.
13．如果，试比较与xy的大小.
14．若a、b、c为有理数且，求的值.
15．若a、b、c均为整数，且.求的值.
培优升级·奥赛检测
01．已知有理数x、y、z两两不相等，则中负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个或2个
02．计算归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．5
03．已知，下列判断正确的是（ ）
A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜0
04．若有理数x、y使得这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（ ）
A． B．0 C． D．
05．若A＝，则A－1996的末位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．9
06．如果，则的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
07．已知，则a、b、c、d大小关系是（ ）
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c
08．已知a、b、c都不等于0，且的最大值为m，最小值为n，则＝___________.
09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.
第一组：
第二组：
第三组：
10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？
11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：，，，，，，，，，，，，，，，，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝时，求m的值和这m个数的积.
12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x的值.
32
x
64
13．(第12届“华杯赛”试题)已知m、n都是正整数，并且
证明：⑴
⑵，求m、n的值.
第04讲 整式
考点·方法·破译
1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.
2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.
3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.
4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.
经典·考题·赏析
【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.
【解法指导】 理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.
解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；
⑵不是，因为代数式是与x的商；
⑶是，它的系数为π，次数为2；
⑷是，它的系数为，次数为3.
【变式题组】
01．判断下列代数式是否是单项式
02．说出下列单项式的系数与次数
【例２】 如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.
【解法指导】 单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.
解：由题意得
【变式题组】
01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.
02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.
【例３】 已知多项式
⑴这个多项式是几次几项式？
⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？
【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.
解：⑴这个多项式是七次四项式；
(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.
【变式题组】
01．指出下列多项式的项和次数
⑴ (2)
02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项
⑴ (2)
【例４】 多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值
【解法指导】 多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.
解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.
【变式题组】
01．多项式是四次三项式，则m的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±1
02．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.
03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.
【例５】 已知代数式的值是8,求的值.
【解法指导】 由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.
解：由得由
（3
【变式题组】
01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（ ）
A．28 B．－28 C．32 D．－32
02．（同山）若,则的值为_______________.
03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.
【例６】 证明代数式的值与m的取值无关.
【解法指导】 欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.
证明：原式＝
∴无论m的值为何，原式值都为4.
∴原式的值与m的取值无关.
【变式题组】
01．已知,且的值与x无关，求a的值.
02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
【例７】 （北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（ ）个
A．4 B．12 C．15 D．25
【解法指导】 首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.
解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．
【变式题组】
01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.
02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.
演练巩固·反馈提高
01．下列说法正确的是（ ）
A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式
02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（ ）
A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b
03．若多项式的值为1，则多项式的值是（ ）
A．2 B．17 C．－7 D．7
04．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（ ）
A． B． C． D．
05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定
06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.
07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.
08．若,则代数式xy+mn值为________.
09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.
10．(河北)有一串单项式
(1)请你写出第100个单项式；
⑵请你写出第n个单项式.
11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.
12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？
13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.
14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.
A：计时制：0.05元/分
B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.
此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.
⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；
(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.
培优升级·奥赛检测
01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（ ）
A．2007 B．2 C． D．－1
02．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（ ）
① ②
③ ④
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④
03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（ ）
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定
05．（广安）已知_____________.
06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.
07．已知＝_____________.
08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________.
09．已知＝______________.
10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b＞c，则M与P大小关系______________.
11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5＝________________195
．
12．（安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S＝2；
当n＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n＝2时增加了3种，即S＝2+3＝5.
观察图形，填写下表：
钉子数(n×n) S值
2×2 2
3×3 2+3
4×4 2＋3＋( )
5×5 ( )
写出(n－1)×(n－1)和n×n的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3)对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式.
13．（青岛）提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
⑴当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
⑵当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
⑶当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；
⑷一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．
第05讲 整式的加减
考点·方法·破译
1．掌握同类项的概念，会熟练地进行合并同类项的运算.
2．掌握去括号的法则，能熟练地进行加减法的运算.
3．通过去括号，合并同类项和整式加减的学习，体验如何认识和抓住事物的本质特征.
经典·考题·赏析
【例１】（济南）如果和是同类项，那么a、b的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【解法指导】同类项与系数的大小无关，与字母的排列顺序也无关，只与是否含相同字母，且相同字母的指数是否相同有关.
解：由题意得，∴
【变式题组】
01.（天津）已知a＝2,b＝3,则（ ）
A．ax3y2与b m3n2是同类项 B．3xay3与bx3y3是同类项
C．Bx2a＋1y4与ax5yb＋1是同类项 D．5m2bn5a与6n2bm5a是同类项
02．若单项式2X2ym与－xny3是同类项，则m＝___________，n＝___________.
03．指出下列哪些是同类项
⑴a2b与－ab2 ⑵xy2与3y2x (3)m－n与5（n－m） ⑷5ab与6a2b
【例２】(河北石家庄）若多项式合并同类项后是三次二项式，则m应满足的条件是___________.
【解法指导】合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
解：因为化简后为三次二项式，而5x3＋3已经为三次二项式，故二次项系数为0，即－2m－2＝0,∴m＝－1
【变式题组】
01.计算：－（2x2－3x－1)－2(x2－3x＋5)＋(x2＋4x＋3)
02．(台州）（2x－4y）＋2y
03．（佛山）m－n－(m＋n)
【例３】（泰州）求整式3x2－5x＋2与2x2＋x－3的差.
【解法指导】在求两个多项式的差时，应先将这两个多项式分别用括号括起来，再去括号，而去括号可以用口诀：去括号，看符号，是“＋”号，不变号，是“－”号，全变号，去了括号后，有同类项再合并同类项．
解：（3x2－5x＋2)－（2x2＋x－3)＝3x2－5x＋2－2x2－x＋3＝x2－6x＋5
【变式题组】
01．一个多项式加上－3x＋2xy得x2－3xy＋y2,则这个多项式是___________．
02．减去2－3x等于6x2－3x－8的代数式是___________．
【例４】当a＝，b＝时，求5（2a＋b)2－3(3a＋2b)2＋2(3a＋2b)的值.
【解法指导】将（2a＋b)2，（3a＋2b)分别视为一个整体，因此可以先合并“同类项”再代入求值，对于多项式求值问题，通常先化简再求值.
解：5（2a＋b)2－3(3a＋2b)－3(2a＋b)2＋2(3a＋2b)＝(5－3)(2a＋b)2＋(2－3)(3a＋2b)＝2(2a＋b)2－(3a＋2b)∵a＝，b＝∴原式＝
【变式题组】
01．（江苏南京）先化简再求值：（2a＋1)2－2(2a＋1)＋3,其中a＝2.
02．已知a2＋bc＝14,b2－2bc＝－6,求3a2＋4b2－5bC．
【例５】证明四位数的四个数字之和能被9整除，因此四位数也能被9整除.
【解法指导】可用代数式表示四位数与其四个数之和的差，然后证这个差能被9整除.
证明：设此四位数为1000a＋100b＋10c＋d,则
1000a＋100b＋10c＋d－（a＋b＋c＋d)＝999a＋99b＋9c＝9(111a＋11b＋c)
∵111a＋11b＋c为整数，∴1000a＋100b＋10c＋d＝9(111a＋11b＋c)＋（a＋b＋c＋d)
∵9(111a＋11b＋c)与（a＋b＋c＋d)均能被9整除
∴1000a＋100b＋10c＋d也能被9整除
【变式题组】
01．已知a＜b＜c,且x＜y＜z,下列式子中值最大的可能是（ ）
A．ax＋by＋cz B．ax＋cy＋bz C．bx＋cy＋az D．bx＋ay＋cz
02．任何三位数减去此三位数的三个数字之和必为9的倍数.
【例６】将（x2－x＋1)6展开后得a12x12＋a11x11＋……＋a2x2＋a1x＋a0,求a12＋a10＋a8＋……＋a4＋a2＋a0的值.
【解法指导】要求系数之和，但原式展开含有x项，如何消去x项，可采用赋特殊值法.
解：令x＝1得a12＋a11＋……＋a1＋a0＝1
令x＝－1得a12－a11＋a10－……－a1＋a0＝729
两式相加得2（a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0）＝730
∴a12＋a10＋a8＋……＋a2＋a0＝365
【变式题组】
01.已知（2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0
(1)当x＝0时，有何结论;
(2)当x＝1时，有何结论;
(3)当x＝－1时，有何结论;
(4)求a5＋a3＋a1的值.
02.已知ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝(x－2)4
(1)求a＋b＋c＋d＋e.
试求a＋c的值.
【例７】(希望杯培训题）已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5,当x＝2时的值为－17.求当x＝－2时，该多项式的值.
【解法指导】设法求出a、b的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列，多项式的次数等概念，挖掘隐含a、b的等式.
解：原式＝ax3－ax2＋3ax＋2bx2＋bx＋x3－5
＝(a＋1)x3＋(2b－a)x2＋(3a＋b)x－5
∵原式中的多项式是关于x的二次多项式
∴
∴a＝－1
又当x＝2时，原式的值为－17.
∴(2b＋1)22＋＝－17,∴b＝－1
∴原式＝－x2－4x－5
∴当x＝－2时，原式＝－（－2）2－4（－2）－5＝－1
【变式题组】
01．（北京迎春杯）当x＝－2时，代数式ax3－bx＋1＝－17.则x＝－1时，12ax－3bx3－5＝___________．
02．(吉林竞赛题）已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e,其中a、b、c、d、e为常数，当x＝2,y＝23,x＝－2,y＝－35,则e为（ ）
A．－6 B． 6 C．－12 D．12
演练巩固·反馈提高
01．（荆州）若－3x2my3与2x4yn是同类项，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．－1
02．一个单项式减去x2－y2等于x2＋y2,则这个单项式是（ ）
A．2x2 B．2y2 C．－2x2 D．－2y2
03．若M和N都是关于x的二次三项式，则M＋N一定是（ ）
A．二次三项式 B．一次多项式 C．三项式 D．次数不高于2的整式
04．当x＝3时，多项式ax5＋bx3＋cx－10的值为7.则当x＝－3时，这个多项式的值是（ ）
A．－3 B．－27 C．－7 D．7
05．已知多项式A＝x2＋2y2－z2,B＝－4x2＋3y2＋2z2,且A＋B＋C＝0,则多项式c为（ ）
A．5x2－y2－z2 B．3x2－y2－3z2 C．3x2－5y2－z2 D．3x2－5y2＋z2
06．已知，则等于（ ）
A． B．1 C． D．0
07．某人上山的速度为a千米/时，后又沿原路下山，下山速度为b千米/时，那么这个人上山和下山的平均速度是（ ）
A．千米/时 B．千米/时 C．千米/时 D．千米/时
08．使（ax2－2xy＋y2)－(－ax2＋bxy＋2y2)＝6x2－9xy＋cy2成立的a、b、c的值分别是（ ）
A．３，７，１ B．－３，－７，－１ C．３，－７，－１ D．－３，７，－１
09．k＝___________时，多项式3x2－2kxy＋3y2＋－4中不含ｘy项．
10．(宿迁）若2a－b＝2,则6＋8a－4b＝___________
11．某项工程，甲独做需m天完成，甲乙合作需n天完成，那么乙独做需要___________天完成．
12．x2－xy＝－3,2xy－y2＝－8,则2x2－y2＝___________．
13．设ａ表示一个两位数，ｂ表示一个三位数，现在把ａ放ｂ的左边组成一个五位数，设为ｘ，再把ｂ放a的左边，也组成一个五位数，设为y,试问x－y能被9整除吗？请说明理由.
14．若代数式（x2＋ax－2y＋7)－(bx2－2x＋9y－1)的值与字母x的取值无关，求a、b的值.
15．设A＝x2－2xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,B＝－2x2＋xy－y2,当x＜y＜0时，比较A与B的值的大小.
培优升级·奥赛检测
01．A是一个三位数，b是一位数，如果把b置于a的右边，则所得的四位数是（ ）
A．ab B．a＋b C．1000b＋a D．10a＋b
02．一个两位数的个位数字和十位数字交换位置后，所得的数比原来的数大9，这样的两位数中，质数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．6个
03．有三组数x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它们的平均数分别是a、b、c，那么x1＋y1－z1,x2＋y2－z2,x3＋y3－z3的平均数是（ ）
A． B． C．A＋b－c D．3(a＋b－c)
04．如果对于某一特定范围内x的任何允许值P＝＋＋……＋＋的值恒为一常数，则此值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
05．（江苏竞赛）已知a＋b＝0,a≠0,则化简得（ ）
A．2a B．2b C．2 D．－2
06．如果a个同学在b小时内共搬运c块砖,那么c个同学以同样速度搬a块砖，所需的小时数（ ）
A． B． C． D．
07．如果单项式3xa＋2yb－2与5x3ya＋2的和为8x3ya＋2,那么＝_________．
08．（第１６届“希望杯”邀请赛试题）如果x2＋2x＝3则x4＋7x3＋8x2－13x＋15＝_________．
09．将1,2,3……100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a,另一个记作b,代入代数式（）中进行计算，求出其结果，50组数代入后可求的50个值，则这50个值的和的最大值时_________．
10．已知两个多项式A和B，A＝nxn＋4＋x3－n－x3＋x－3,B＝3xn＋4－x4＋x3＋nx2－2x－1,试判断是否存在整数n,使A－B为五次六项式．
11．设xyz都是整数，且11整除7x＋2y－5z.求证：11整除3x－7y＋12z.
12．(美国奥林匹克竞赛题）在一次游戏中，魔术师请一个而你随意想一个三位数(a、b、c依次是这个数的百位、十位、个位数字）并请这个人算出5个数，，，与的和N，把N告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数，现在设N＝3194，请你当魔术师，求出来.
13．(太原市竞赛题）将一个三位数的中间数去掉，成为一个两位数，且满足＝9＋4（如155＝915＋45）.试求出所有这样的三位数.
第06讲 一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1．了解一元一次方程、等式的概念，能准确进行辨析．
2．掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用．
经典·考题·赏析
【例１】 下面式子是方程的是( )
A．x＋3 B． x＋y＜3 C．2x2 ＋3 ＝0 D．3＋4 ＝2＋5
【解法指导】判断式子是方程，首先要含有等号，然后看它是否含有未知数，只有同时具有这两个条件的就是方程．2x2 ＋3 ＝0是一个无解的方程，但它是方程，故选择C．
【变式题组】
01．在①2x ＋3y －1．②2 ＋5 ＝15－8，③1－x＝x＋l，④2x ＋y＝3中方程的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
02．（安徽舍肥）在甲处工作的有272人，在乙处工作的有196人，如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调多少人到甲处，则下列方程正确的是( )
A． 272＋x＝ (196－x) B． (272－x) ＝196 –x
C．×272 ＋x ＝196－x D． (272 ＋x) ＝196－x
03．根据下列条件列出方程：
⑴3与x的和的2倍是14 ⑵x的2倍与3的差是5 ⑶x的与13的差的2倍等于1
【例２】下列方程是一元一次方程的是( )
A．x2－2x－3＝0 B．2x－3y＝4 C．＝3 D．x＝0
【解法指导】判断一个方程是一元一次方程，要满足两个条件：①只含有一个未知数；②未知数的次数都是1，只有这样的方程才是一元一次方程．故选择D．
【变式题组】
01．以下式子：①－2 ＋10＝8；②5x ＋3 ＝17；③xy；④x＝2；⑤3x ＝1；⑥＝4x；⑦（a＋b）c＝ac＋bc；⑧ax＋b其中等式有___________个；一元一次方程有___________个．
02．（江油课改实验区）若（m－2）＝5是一元一次方程，则m的值为( )
A．±2 B．－2 C．2 D．4
03．（天津）下列式子是方程的是( )
A．3×6＝ 18 B．3x－8 c．5y＋6 D．y÷5＝1
【例3】若x＝3是方程－kx＋x＋5 ＝0的解，则k的值是( )
A．8 B．3 C． D．
【解法指导】 方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，所以－3k＋3 ＋5 ＝0，k＝故选择D．
【变式题组】
01．（海口）x＝2是下列哪个方程的解( )
A．3x＝2x－1 B．3x －2x＋2 ＝0 C．3x －1 ＝2x＋1 D．3x＝2x－2
02．（自贡）方程3x ＋6 ＝0的解的相反数是( )
A．2 B．－2 C．3 D．－3
03．（上海）如果x＝2是方程的根，那么a的值是( )
A．0 B．2 C．－2 D．－6
04．（徐州）根据下列问题，设未知数并列出方程，然后估算方程的解：
(1)某数的3倍比这个数大4；
(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁，小明爸爸40岁，问小明几岁？
(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台，比去年同期增加50%，问去年8月份出售A型电机多少台？
【例4】 （太原）c为任意有理数，对于等式a＝2×0.25a进入下面的变形，其结果仍然是等式的是( )
A．两边都减去－3c B．两边都乘以
C．两边都除以2c D．左边乘以2右边加上c
【解法指导】等式的性质有两条：①等式两边都加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等；②等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，故选择A．
【变式题组】
01．（青岛）如果ma＝ mb，那么下列等式不一定成立的是( )
A．ma＋1＝mb＋1 B．ma?3＝mb?3 C．ma＝mb D．a＝b
02．（大连）由等式3a ?5 ＝2a＋b得到a＝11的变形是( )
A．等式两边都除以3 B．等式两边都加上（2a －5）
C．等式两边都加上5 D．等式两边都减去（2a －5）
03．（昆明）下列变形符合等式性质的是( )
A．如果2x?3 ＝7，那么2x ＝7?x B．如果3x?2＝x＋l，那么3x?x ＝1?2
C．如果－2x ＝5，那么x＝－5＋2 D．如果－x ＝1，那么x＝－3
【例5】 利用等式的性质解下列方程：
⑴x ＋7 ＝19 ⑵－5x ＝30 ⑶ －x?5 ＝4
⑴解：两边都减去7得 x＋7 ?7 ＝19 ?7
合并同类项得 x＝12
⑵解：两边都乘以得x＝ －6
⑶解：两边都加上5得－x?5＋5 ＝4 ＋5
合并同类项得－x ＝9
两边都乘以－3得x＝－27
【解法指导】 要使方程x＋7 ＝19转化为x＝a（常数）的形式，要去掉方程左边的7，因此要减7，类似地考虑另两个方程如何转化为x＝a的形式．
【变式题组】
01．（黄冈）某人在同一路段上走完一定的路程，去的速度是，回来的速度是，则他的平均速度为( )
A． B． C． D．
02．（杭州）已知是方程2x?ay＝3的一个解，那么a的值是( )
A．1 B．3 C．－3 D．－1
03．（郑州）下列变形正确的是( )
A．由x＋3＝4得x＝7 B．由a＋b＝0，得a＝b
C．由5x＝4x－2得x＝2 D．由＝0，得x＝0
04．（南京）解方程 ( )
A．同乘以 B．同除以 C．同乘以－ D．同除以
【例6】 根据所给出的条件列出方程：小华在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息1080元，问他存人的本金是多少元？（只列方程）
【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型，应正确理解利息税的含义，清楚本息和：本金＋利息（除税后）是解题的关键．题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家．
解：设他存入的本金是x元，则5个月的利息是2%×5x＝0.1x元，需交利息税0.lx×20%＝0.02x元，根据题意得：x ＋0. lx?0.02x＝ 1080．
【变式题组】
01．（甘肃）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打八折的基础上，再打八折销售，则该商品现在售价是( )
A．160元 B．128元 C．120元 D．8元
02．（辽宁）根据下列条件，列出方程并解之：
(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7，求某数；
(2)长方形的周长是50厘米，长与宽之比为3∶2，求长方形面积，
【例7】 （“希望杯”邀请赛试题）已知p、q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是l．求代数式40p ＋l0lq ＋4的值．
【解法指导】用代入法可得到p、q的关系式，再综合运用整数知识：偶数＋奇数＝奇数、奇数＋奇数＝偶数、偶数＋偶数＝偶数．
解：把x＝l代入方程px ＋5q ＝97，得p＋5q ＝97，故p与5q中必有一个数是偶数：
(1)若p＝2，则Sq＝ 95，q＝19，40p ＋l01q ＋4 ＝40×2 ＋101×19 ＋4＝ 2003；
(2)若5q为偶数，则q＝2，p＝87，但87不是质数，与题设矛盾，舍去．∴40p ＋l0lq ＋4的值为2003.
【变式题组】
01．（广东省竞赛题）已知＝3x ＋1，则（64x2 ＋48x ＋9）2009＝_______．
02．（第18届“希望杯”竞赛题）对任意四个有理数a、b、c、d，定义新运算：＝ ad? bc，已知＝18，则x＝( )
A．－1 B．2 C．3 D．4
演练巩固 反馈提高
01．下面四个式子是方程的是( )
A．3 ＋2 ＝5 B．x＝2 C．2x ?5 D．a2 ＋2ab≠b2
02，下列方程是一元一次方程的是( )
A．x2 ?2x?3＝0 B．2x?3y＝3 C．x2?x?1＝ x2＋1 D．
03．“x的一半比省的相反数大7”用方程表达这句话的意思是( )
A． ＝7?x B．＋7 ＝?x C．＋7 ＝x D．＝x＋7
04．（石家庄）把1200g洗衣粉分别装入5个大小相同的瓶子中，除一瓶还差15g外，其余四瓶都装满了，问装满的每个瓶子中有洗衣粉多少克？若设装满的每个瓶子有xg洗衣粉，列方程为( )
A．5x ＋15＝ 1200 B．5x －15 ＝1200 C．4x ＋15＝ 1200 D．4（x＋15)＝1200
05．在方程①3x?4 ＝7；②＝3；③5x?2 ＝3；④3（x＋1）＝2（2x＋1）中解为x＝1的方程是( )
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
06．如果方程2n＋b＝n?1的解是n＝－4，那么b的值是( )
A．3 B．5 C．－5 D．－13
07．若“△”是新规定的某种运算符号，设a△b＝ a2 ＋b则（－2）△x＝10中x为( )
A．－6 B．6 C．8 D．－8
08．（武汉）小刚每分钟跑am，用6分钟可以跑完3000m，如果每分钟多跑l0m，则可以提前1分钟跑完3000m，下列等式不正确的是( )
A．(a＋10)(b－1) ＝ab B．（a?10)(b＋l) ＝3000
C．＝a＋10 D．＝b?1
09．已知关于x的方程(m＋2)xm＋4 ＝2m－1是一元一次方程，则x＝_______．
10．在数值2，－3，4，－5中，是方程4x?2＝ 10 ＋x的解是_______．
11．（福州）已知?1＝，试用等式的性质比较m、n的大小．
12.（西宁）已知方程a?2x＝－4的解为x＝4，求式子a3?a2?a的值．
13．三个连续自然数的和是33，求这三个数．
14．某班有70人，其中会游泳的有52人，会滑冰的有33人，这两项都不会的有6人，这两项都会的有多少人？
15．甲车队有司机80人，乙车队有50人，要使两个车队的司机人数一样多，应该从甲车队调多少个司机到乙车队？
培优升级 奥赛检测
01．下列判断中正确的是( )
A．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x同解，
B．方程2x －3 ＝1与方程x(2x －3)＝x没有相同的解．
C．方程x(2x －3)＝x的解是方程2x －3 ＝1的解．
D．方程2x ?3 ＝1的解是方程x(2x －3)＝x的解．
02．方程的解是( )
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
03．（江苏省竞赛题）已知a是任意有理数，在下面各题中
(1)方程ax ＝0的解是x＝l (2)方程ax ＝a的解是x＝l
(3)方程ax ＝1的解是x＝ (4)的解是x＝±1
结论正确的的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
04．（“希望杯”邀请赛）已知关于x的一元一次方程(3a ＋8b)x＋7 ＝0无解，则ab是( )
A．正数 B．非正数 C．负数 D．非负数
05．（第十一届“希望杯”邀请赛试题）已知a是不为0的整数，并且关于x的方程ax＝2a3?3 a2?5a ＋4有整数解，则a的值共有( )
A．1个 B．3个 C．6个 D．9个
06．（“祖冲之杯”邀请赛）方程＋（x?5）＝0的解的个数为( )
A．不确定 B．无数个 C．2个 D．3个
07．若x＝9是方程的解，则a＝______；又若当a＝1时，则方程的解是______．
08．方程的解是_____，方程的解是_____．
09．（北京市“迎春杯”竞赛试题）已知 ＝1995，那么x＝____．
10．（“希望杯”邀请赛试题）已知，那么19x99 ＋3x＋27的值为____．
11．（广西竞赛）解关于x的方程＝－3．
12．a为何值，方程有无数个解．
13．（“五羊杯”竞赛题）若干本书分给小朋友，每人m本，则余14本；每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几人？有多少本书？
14．（上海市竞赛题）甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出人数后，甲队人数是乙队人数的k（是不等于1的正整数）倍还多6人，问乙队原有多少人？
第07讲 一元一次方程解法
考点·方法·破译
1．熟练掌握一元一次方程的解法步骤，并会灵活运用．
2．会用一元一次方程解决实际问题
经典·考题·赏析
【例１】解方程：5x＋2＝7x－8
【解法指导】 当方程两边都含有未知数时，通常把含未知数项移到方程的左边，已知数移到方程的右边，注意移项要变号．
解：移项，得 5x－7x＝－8－2
合并同类项，得 －2x＝－10
系数化为1，得 x＝5
【变式题组】
01．(广东)关于x的方程2(x－1)－a＝0的根是3，则a的值是（ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－1
02．（陕西）如果a、b是已知数，则－7x＋2a＝－5x＋2b的解是（ ）
A． a－b B． －a－b C． b－a D． b＋a
03．解下列方程：
⑴2x＋3x＋4x＝18 (2)3x＋5＝4x＋1
【例２】解方程： 11－2(x＋1)＝3x＋4(2x－3)
【解法指导】 此题中含有括号，应先按去括号法则去掉括号，去括号时，要注意符号，括号前是“＋”号不变号；括号前是“－”，各项均要变号，有数字因数使用乘法分配律时，不要漏乘括号里的项，再通过移项、合并系数化为1，从而求出方程的解．
解： 去括号，得 11－2x－2＝3x＋8x－12
移项，得 －2x－3x－8x＝－12－11＋2
合并同类项，得 －13x＝－21
系数化为1，得
【变式题组】
01．（广州）下列运算正确的是（ ）
A． －3（x－1）＝－3x－1 B． －3(x－1)＝－3x＋1
C． －3(x－1)＝－3x－3 D． －3(x－1)＝－3x＋3
02．(黄冈)解方程：－2(x－1)－4(x－2)＝1去括号结果，正确的是（ ）
A． －2x＋2－4x－8＝1 B． －2x＋1－4x＋2＝1
C． －2x－2－4x－8＝1 D． －2x＋2－4x＋8＝1
03．（广州）方程2x＋1＝3(x－1)的解是（ ）
A． x＝3 B． x＝4 C． x＝－3 D． x＝－4
04．解下列方程：
⑴7(2x－1)－3(4x－1)＝5(3x＋2)－1 (2)3(100－2x)＝400＋15x
【例３】解方程：
【解法指导】方程中含有字母，去分母是首先要考虑的，去掉分母后可能出现括号，去分母时，方程两边同乘以各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项
解： 去分母时，得 4(2x－1)－2(10x＋1)＝3(2x＋1)－12
去括号，得 8x－4－20x＝6x＋3－12
移项，得 8x－20x－6x＝3－12＋4＋2
合并，得 －18x＝－3
系数化为1，得
回顾小结：我们已经学习了解一元一次方程的基本方法步骤：
去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并；⑸系数化为1．
这五个步骤要注意灵活运用．
【变式题组】
01．（厦门）如果关于x的方程的解不是负值，那么a与b的关系是（ ）
A． B． C． 5a≥3b D． 5a＝3b
02．(银川)甲、乙两船航行于A、B两地之间，由A到B航行的速度为每小时35千米，由B到A航速为每小时25千米，今甲船由A地开往B地，乙船由B地开往A地，甲先航行2小时，两船在距B地120千米处相遇，求两地的距离，若设两地的距离为x千米，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
03．（四川）解方程：
04．（大连）若方程与方程的解相同，求的值．
【例４】解方程：
【解法指导】原方程的分子、分母有小数，可先利用分数的性质把小数化成整数，再按解方程步骤来解，注意：分数的性质是一个分数的分子、分母而言，而等式的性质是对一个等式的左边、右边而言，要注意区别防止出错．
解：原方程变形为：
即 50（0.1x－0.2）－2(x＋1)＝3
去括号，得 5x－50－2x－2＝3
移项，得 5x－2x＝3＋10＋2
合并，得 3x＝15
系数化为1，得 x＝5
【变式题组】
01．对方程变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
02．（郑州）解方程：
【例５】解方程：
【解法指导】对于解一元一次方程五步骤应灵活运用，有取有舍，灵活运用，此题如果直接去分母，计算量较大，观察分母的数字特征分类通分，可以减少计算量．
解： 移项得
两边分别通分得：
即
解得 x＝1
【变式题组】
01．(大连)解方程，较简便的是（ ）
A．先去分母 B．先去括号 C． 先两边都除以 D． 先两边都乘以
02．解方程：
03．解方程：
【例６】有一些分别标有6，12，18，24，…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大6，小明拿到了相邻的三张卡片，且这些卡片的数之和为342．
小明拿到了哪3张卡片？
你能拿到相邻3张卡片，使得这些卡片上的数之为是86吗？
【解法指导】⑴先用含字母的式式表示出这三张卡片的数字，然后用一元一次方程求解．⑵属于开放式问题，要注意体会这类问题的思维方式，掌握解题技巧及策略．
解：设小明拿到的三张卡上的数字为x,x＋6,x＋12
依题意得： x＋x＋6＋x＋12＝342
合并，得 3x＋18＝342
移项，得 3x＝324
系数化为1，得x＝108
答：这三个数为108，114，120
不能使这三张卡片上的数字和为86，理由是
假设 x＋x＋6＋x＋12＝86
合并，得 3x＋18＝86
移项，得 3x＝324
系数化为1，得
因为这些卡片上的数字都是6的倍数，故不可能为．
【变式题组】
01．下图是按一定规律排列的数构成的一个数表：
1 4 7 10 13 16 19 22
25 28 31 34 37 40 43 46
49 52 55 58 61 64 67 70
…
⑴用一方框按上图框的样子，任意框住9个数，若这9个数的和是549，求方框中最后一个数；
⑵若按如图所示的斜框任意框住9个数，且这9个数的和是360，则斜框中的第一个数是什么？
× × ×
× × ×
× × ×
【例７】（河南省竞赛题）若关于x的方程9x－17＝kx的解为正整数，则k的值为k＝_____
【解法指导】把x的值用k的代数式表示，利用整除性求出k的值.
解：∵ 9x－17＝kx
∴ (9－k)x＝17
∴
∵ x为正整数，∴9－k为17的正整数因数
∴ 9－k＝1 或 9－k＝17
∴ k＝8 或 k＝－8 故k＝±8
【变式题组】
01．(成都)要使一元一次方程－kx＝k的解为x＝－1，必须满足的条件是（ ）
A．可取一切数 B． k＜ 0 C． k≠0 D． k＞0
02．(“五羊杯”竞赛题)已知关于x的方程9x－3＝kx＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k＝___________
演练巩固·反馈提高
01．（苏州）某商品现在售价为34元，比原售价降低了15%，则原价是（ ）
A． 40元 B．35元 C． 28.9元 D． 5.1元
02．（新疆）汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员掀一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒，汽车离山谷x米，根据题意，列出方程为（ ）
A． 2x＋4×20＝4×340 B．2x－4×20＝4×340
C． 2x＋4×72＝4×340 D． 2x－4×20＝4×340
03．(陕西)一件标价为600元的上衣，按8折销售仍可获利20元，设这件上衣的成本为x元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ）
A． 600×0.8－x－20 B．600×0.8＝x－20 C．600×8－x＝20 D．600×8＝x－20
04．(长沙)一轮船往返于A、B两港之间，逆水航行需3小时，顺水航行需2小时，水流速度是3千米/时，则轮船在静水中速度是（ ）
A． 18千米/时 B． 15千米/时 C． 12千米/时 D． 20千米/时
05．（武汉）已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是（ ）
A．2 B．－2 C． D．
06．（陕西）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007提6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息税），设到期后银行向储户支付现金为x元，则所列方程正确的是（ ）
A． x－5000＝5000×30.6% B．x＋5000×20%＝5000(1＋3.06%)
C． x＋5000×3.06%×20%＝5000(1＋3.06%) D． x＋5000×3.06%×20%＝5000×30.6%
07．(南通)关于x的方程mx－1＝2x的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A． m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2
08．若x＝2不是方程2x＋b＝3x的解，则b不等于（ ）
A． B． C．2 D．－2
09．（天津）若是关于x的一元一次方程，则这个方程的解为x＝_______
10．(广东)若2x－1＝3,3y＋2＝8，则2x＋3y＝_________
11．(南京)x为何值时，式子与式子满足下列条件：
⑴相等
⑵互为相反数
⑶式子比式子的值小1
12．（随州）一个两位数，个位数是十位上的数的2倍，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么所得到的两位数比原两位数大36，求原两位数，根据下列设法列方程求解．
⑴设十位数上的数为x；
⑵设个位数上的数为y.
13．(北京)国外营养学家做了一项研究，甲组同学每天正常进餐，乙组同学每天除正常进餐外，每人还增加六百亳升牛奶．一年后发现，乙组同学平均身高的增长值比甲组同学平均身高的增长值多2.01cm，甲组同学平均身高的增长值比乙组同学平均增长值的少0.34cm，求甲、乙两组同学平均身高的增长值．
14．（北海）某校一、二两班共有95人，体育锻炼的平均达标率（达到标准的百分率）是60%，如果一班达标率是40%，二班达标率是78%，求一、二班的人数各是多少？
15．某车间有60名工人，生产一种螺栓和螺帽，平均每人每小时生产螺栓15个或螺帽10个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺帽，才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？（每个螺栓配两个螺帽）
培优升级·奥赛检测
01．（南昌）把a千克的纯酒精溶在b千克水里，再从中取b千克溶液，在这b千克溶液中含酒精的千克数为（ ）
A． a B． C． D．
02．下列四组变形中属于移项变形的是（ ）
A． 5x＋4＝0 则5x＝－4 B． 得y＝10
C． 则 D．3x＝4则
03．（第18届“希望杯”赛题）方程的解是x＝____
A． B． C． D．
04．(广西竞赛题)若方程(m2－1)x2－mx＋8＝x是关于 x的一元一次方程，则代数式m2008－|m－1|的值为（ ）
A． 1或一1 B．1 C． －1 D．2
05．如果2005－200.5＝x－20.05，那么x等于（ ）
A．1814.25 B． 1824.55 C．1774.45 D．1784.45
06．若x＝0是关于x的方程x－3n＝1的根，则n等于（ ）
A． B． C．3 D．－3
07．（第十三届“五羊杯”竞赛题）五羊中学学生郊游，沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长（ ）米
A． 2070 B． 1575 C． 2000 D．1500
08．（武汉市选拔赛试题）一只小船从甲港到乙港逆流航行需2小时，水流速度增加一倍后，再从甲港到乙港航行需3小时，水流速度增加后，则乙港返回甲港需航行（ ）
A．0.5小时 B．1小时 C． 1.2小时 D．1.5小时
09．（北京市“迎春杯”竞赛题）光明中学初中一年级一、二、三班，向希望学校共捐书385本，一班与二班捐出的本数之比为4：3，班与三班捐书的本数之比为6：7，那么二班捐出_________本．
10．（武汉市选拔赛试题）甲、乙两地相距70千米，有两辆汽车同时从两地相向出发，并连续往返于甲、乙两地，从甲地开出的为第一辆汽车，每小时行30千米，从乙地开出的为第二辆汽车，每小时行40千米，当从甲地开出的第一辆汽车第二次从甲地出发后与第二辆汽车相遇，这两辆汽车分别行驶了______千米和_____千米．
11．（宁波）已知关于x的方程的解是x＝2，其中a≠0且b≠0,求代数式的值．
12．（湖北孝感市竞赛题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？
13．（“希望杯”邀请赛）铁路旁有一条平行小路上有一行人与一骑车人同时向东行进，行人速度为3.6千米/时，骑车人速度为10.8千米/时，如果有一列火车从他们背后过来，它通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，问这列火车的车身长为多少米？
第08讲 实际问题与一元一次方程
考点·方法·破译
1．会分析实际问题中的数量关系，从而建立数学模型?
2．熟练掌握运用方程解决实际问题?
经典·考题·赏析
【例１】（贵阳）根据调查的统计，个体服装店销售衣服只要高出进价的20%便可盈利，但老板们常以高出进价50%～100％标价，假如购买一件衣服标价为300元的服装，应在什么范围内还价？
【解法指导】市场营销中涉及的数量关系：⑴商品利润＝商品售价－商品进价：⑴商品利润率＝；⑶商品售价＝进价×（1+利润率）
解：设原进价为x元，根据题意得
当利润为50%时：（1+50%)x＝400 解得x＝
当利润为100%时：（1+100%)x＝400 解得x＝200
所以：×（1+20%）＝320（元） 200×（1+20%）＝240（元）
答：应在240～320元范围内还价?
【变式题组】
01．（黑龙江）某超市推出如下的优惠方案：⑴一次性购物不超过100元不享受优惠；⑵一次性购物超过100元但不超过300元一律九折；⑶一次性购物超过300元一律八折?王波两次购物分别付款80元、252元?如果王波一次性购买与上两次相同的商品，则应付款（ ）
A．288元 B．322元
C．288或316元 D．332或363元
02．（北京市海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元售价是每件10元?为了扩大销售量把每件商品的售价降低百分之x出售要求卖出一件所获得的利润是降价前所获得的利润的百分之90，则x等于（ ）
A．1 B．1.8 C．28 D．29
03．（菏泽）某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，则标价为（ ）
A．26元 B．27元 C．28元 D．29元
【例２】（南京）某停车场收费标准如下：中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆，某天有45辆中小型车中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，停车场中、小型汽车各有多少辆？
【解法指导】本题中的等量关系：缴费停车总数＝中型停车费+小型停车费?
解：设中型车辆有x辆，则小型车辆有(50－x)辆，根据题意得6x+4(50－x)＝230，解得x＝15 50－x＝35
答：中小型车辆分别是15辆、35辆?
【变式题组】
01．(东营) 学校计划将若干名学生平均分成24个读书小组,若每个小组比原计划多1人,则要比原计划少分出6个小组,那么学生总数是（ ）
A．144 人 B．72人
C．48 人 D．36人
02．(湖南) 某学校在对口援助边远山区学校活动中,原计划赠书3000册,由于学生的积极响应,实际赠书3780册 其中初中部比原计划多赠了20%,高中部比原计划多赠了30%,问该校初、高中原计划各赠书多少册？
03．(佛山) 小敏准备用21元钱买笔和笔记本，已知每只笔3元，每本笔记本2元2角，他买了两本笔记本之后，还可以买几支笔（ ）
A．1支 B．2支 C． 3支 D．4支
【例3】(北京) 京津城际铁路于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行的时间为半小时?某次试车时，试验列车有北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同?如果这次试车时，由天津返回北京比去天津市平均每小时多行驶40千米，那么这次是车是由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
【解法指导】在行程问题中，通常要运用“路程＝速度×时间”关系探求数量关系和相等关系
解：设这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时x千米，由天津返回北京的平均速度是每小时(x+40)千米
根据题意得（x+40）
解得x＝200
答：这次试车时，由北京到天津的平均速度是每小时200千米?
【变式题组】
01．(长沙) 汽车在中途受阻耽误了6分钟，然后将时速由原来的每小时40千米提为每小时50千米，那么要想将耽误的时间补上，则需要这样走（ ）
A．10千米 B．20千米 C．40千米 D．50千米
02．(南昌) 某市出租车的收费标准时：起步价5元，（即路程不超过3km的车费为5元），3km后每千米收费1.2元，某人乘出租车共付了11元，那么此人坐车行驶的路程最多是（ ）
A．8km B．9km C．6km D．10km
03．(南宁) 小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地二人都均速前进，已知二人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36km，到中午12时，二人又相距36km，求A、B两地间的路程?
【例４】(课本变形题) 有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来的及粉刷；同样时间内，5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40 m2墙面?每名一级技工比二级技工一天多粉刷10 m2墙面，求每名一级技工比二级技工一天各能粉刷多少平方米的墙面？
【解法指导】在工程运用问题中，通常要运用“工作量＝工作效率x工作时间”关系探求数量关系和相等关系，有时候工作总量可以看作1?
解：设每一名一级技工一天刷xm2的墙面，则每名二级技工一天刷(x－10) m2的墙面.
根据题意得＝
解得x＝122 则x－10＝122－10＝112
答：每一名一级技工一天刷122m2的墙面，则每名二级技工一天刷112 m2的墙面.
【变式题组】
01．(随州) 某城市计划用两年时间增加全市绿化面积，若平均每年绿化面积比上一年增长20%，则两年后城市绿化面积是原来的（ ）
?A．1.2倍 B．1.4倍 C．1.44倍 D．1.8倍
02．(天津) 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头，2小时可把空池灌满，单独开乙水龙头，3小时可把空池灌满，则灌满水池的2/3要同时开甲、乙两龙的时间（ ）
A．小时 B．小时 C．4小时 D．小时
03．(乐山) 某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售，该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天精加工、几天粗加工？
【例５】在一次有12个队参加的足球单循环赛中（每两队之间只比赛一场），规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队在打完循环赛后，所胜场数比负场数多2场，而总积分为18分，问：该队战平了几场？
【解法指导】根据题意分别用含一个未知数的式子表示胜的场次和负的场次，再根据总共几分列出方程?
解：设该队负x场，则胜(x+2)场，平的场数为11－x－(x+2)＝ (9－2x)场
根据题意得3(x+2)+1x(9－2x)＝18
解得x＝3 ∴9－2x＝9－2×3＝3
答：该队战平了3场.
【变式题组】
01．(长沙) 足球比赛的积分规则为胜一场得3分,平一场得1分，负一场得0分,一支足球队赛14场，负5场共得19分，那么这支球队胜了（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
02．在一场篮球比赛中，某队员得了23分（不含发球得分）已知他投进的3分球比2分球少4个，则他投进了几个3分球和几个2分球？
【例６】(聊城) 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元?
当地一家农工商公司收购这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜
进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季节等条件限制，公司必须在15天内将此批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制三种可行方案：
方案一：将蔬菜全部进行粗加工.
方案二：尽可能对蔬菜进行精加工，没来得及加工的在市场直接销售.
方案三：部分蔬菜精加工，其余蔬菜粗加工，并恰好15天完成.
你认为选择哪种获利多？为什么？
【解法指导】理解本题的题意是解本题的前提，按照三种方式分别计算出利润，在比较三种利润的大小即可求解?
解：对方案一：获利为4500X140＝630000(元)
对方案二：15天细加工：6X15＝90(吨) 说明还有50吨需要在市场上直接销售，故可获利7500X90+1000X50＝725000(元)
对方案三：设将x吨蔬菜进行细加工，则(140－x)吨进行粗加工，根据题意得
解得x＝60 140－x＝140－60＝80
故获利为7500×60+4500×80＝810000(元) 由此，选择方案三
【变式题组】
01．(第17届“希望杯”竞赛题)老师带两名学生到离校36千米的博物馆参观、老师骑一辆摩托车，车速为25千米/时，这辆摩托车可带一名学生，带人速度为20千米/时，学生步行速度为5千米/时，请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到博物馆的时间不超过3小时?
02.A市和B市分别有某种机器12台和6台，现决定支援C市10台，D市8台，已知从A市调一台到C市和D市的运输费分别为400元和800元；已知从B市调一台到C市和D市的运输费分别为300元和500元?问共有几种调运方案？其中最低费用是多少元？
【例７】(黄冈竞赛)某人沿电车路线行走，12分钟有一辆电车后面开来，4分钟迎面有一辆电车开来，假定此人和电车速度都是匀速前进，4分钟迎面有一辆电车开来，电车是每隔多少分钟从起点站开出一辆？
【解法指导】根据“路程＝速度×时间”，所以当路程相同时与时间成正比?
解：设站点每隔x分钟开出一辆 根据题意，得，解得x＝6
答：电车是每隔6分钟从起点站开出一辆?
【变式题组】
01．（美国纽约中学生数学竞赛）一列火车长x米，以等速前进，它进入300米的隧道经历了25秒，隧道顶部一盏固定的灯光在火车上照了10秒，求x?
02．（武汉选拔赛）若关于x的方程||x－2|－1|＝a有三个整数解，则a的值为（ ）
A． 0 B． 2 C．1 D．3
3．（第16届江苏竞赛）如果|x－2|+x－2＝0,那么x的取值范围是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
演练巩固·反馈提高
01．（天津）东方商场把进价为1980元的商品按标价的八折出售，仍可获利10%,则该商品的标价为（ ）
A． 2160元 B．2613.6元 C．2640元 D．2722.5元
02．（武汉）某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．不赔不赚 B．赚了8元 C．赔了8元 D．赚了32元
03．（太原）国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息×20%，银行一年定期储蓄的年利率为2.25%，今年小刚取出一年到期的本息时，交纳了13.5元的利息税，则小刚一年前存入银行的本金为（ ）
A．1000元 B．2000元 C．4000元 D．3000元
04．（宁夏）某乡中学现有学生500人，计划一年后女生增加3%，男生在校生增加4%，这样在校学生将增加3.6%，那么该校现有女生和男生人数分别是（ ）
A．200和300 B．300和200 C．320和180 D．180和320
05．（石家庄）课外活动中，一些学生分别参加活动，原来每组8人，后来由于器材不够重新编组，每组12人，这样比原来少2组，问这些学生有（ ）
A． 48人 B．24人 C．36人 D．60人
06．（银川）一列火车通过890米的大桥需要55秒，同样的速度穿过690米隧道需要45秒，则这列火车长（ ）
A．210米 B．230米 C．250米 D．270米
07．（重庆）国家规定个人发表文章，出版著作所获稿费应纳税，其计算方法是：⑴稿费不高于800元不纳税；⑵稿费高于800元，但不高于4000元应缴纳超过800的那一部分的14%的税；⑶稿费高于4000元缴纳全部稿费的11%的税?今知王教授出版了一本著作获得了一笔稿费，他缴纳了550元的税，王教授的这笔稿费是 _______元?
08．（重庆）含有同种果蔬但浓度不同的A、B两种饮料，A种饮料重40千克，B种饮料重60千克，现从这两种饮料中各倒出一部分，且倒出部分的重量相同，再将每种饮料所倒出的部分与另一种饮料余下的部分混合?如果混合后的两种饮料所含的果蔬浓度相同，那么从每种饮料中倒出的相同的重量是_________千克?
09．（福州）小明去文具店购买2B铅笔，店主说“如果多买一些给你打八折?”小明算了一下，如果买50支，比按原价购买便宜6元，那么每支铅笔的原价是多少？
10．（北京）甲、乙两地相距416千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行32千米，汽车开出1小时后，一辆摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的1.5倍，摩托车开出几小时后，才能与汽车相遇？
11．（山西）某通信运营商的短信收费标准如下：发送网内短信0.1元/条，发送网际短信0.15元/条，该通信运营商的用户小王某月发送以上两种短信共计150条，依照该收费标准共支出短信费19元，小王该月发送网内、网际短息各多少条？
12．某种中药含有甲、乙、丙、丁四种草药成分，其质量比是0.7：1:2:4.7，现要配制这种中药2100克，四种草药成分分别需要多少克？
13．某企业生产一种产品，每件成本价是400元，销售价是500元，本季度销售了m件，为了进一步扩大市场，该企业决定在降低售价的同时降低生产成本，经过市场调查，预测下季度这种商产品每件销售价降低4%，销售量提高10%，要使利润保持不变，该产品每件的成本应该降低多少元？
14．某商品出售一种会员卡，花20元买这种会员卡后，凭会员卡在该品牌店享受折上折优惠，若1月份八折优惠，则什么情况下买会员卡购物合算?
15．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，学校计划将100500元钱全部用于从该公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你帮助设计购买方案，并说明理由?
培优升级·奥赛检测
01．（第十五届江苏省竞赛）某服装厂生产某种定型冬装，9月份销售冬装的利润是出厂价的25%，10月份将每件冬装的出厂价调低10%（每件冬装成本不变），销售数比9月份增加80%，那么该厂10月份销售这种冬装的利润比9月份的利润总额增长（ ）
A．2% B．8% C．40.5% D．60%
02．（北京市竞赛题）甲、乙两种茶叶，以x：y（重量比）相混合成一种混合茶，甲种茶叶的价格每公斤50元，乙种茶叶的价格每公斤40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，则x：y等于（ ）
A．1：1 B．5：4 C．4：5 D．5：6
03．（全国初中数学联赛题）某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费，已知某户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份这用户应交煤气费（ ）
A． 60元 B．66元 C．75元 D．78元
04．（四川省竞赛题）植树节时，某班平均每人植树6棵，如果只由女同学完成，每人应植树15棵；如果只由男同学完成，每人应植树（ ）棵?
A．9 B．10 C．12 D．14
05．已知四个矿泉水空瓶子可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空瓶子，若不交钱则最多可以喝矿泉水（ ）
A．3瓶 B．4瓶 C．5瓶 D．6瓶
06．某商场的电视机按原价9折销售，要使销售总收入不变，那么销售量应增加（ ）
A． B． C． D．
07．（黑龙江省竞赛题）一个六位数的3倍等于，则这个六位数为______
08．（“希望杯”邀请赛试题）某人以4千米/时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/时的速度从乙地返回甲地，那么此人往返一次平均速度是______千米/时?
09．（重庆市竞赛）某出租车汽车停车站已有6辆出租车，第一辆出租车出发后，每隔4分钟就有一辆出租车开出，在第一辆车开出2分钟后，有一辆出租车进站，以后每隔6分钟就有一辆出租车回站，回站的出租车，在原有的出租车依次开出之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：第一辆出租车开出后，经过最少多少时间，车站不能正常发车？
10．（第十三届“希望杯”邀请赛试题）为鼓励居民用电，某电力公司规定了如下电费计算方法：每月用电不超过100度，按每度0.5元元计算；每月用电超过100度，超出部分每度0.40元计算?
⑴若某用户2002年1月份交电费68元，那么该用户1月份用电多少度？
⑵若某用户2002年2月份平均每度电费0.48元，那么该用户2月份用电多少度？应交电费多少元？
11．（安徽）某人将甲、乙两种股票卖出，甲种股票卖价1200元，盈利20%，乙种股票卖家也是1200元，但亏损20%，此人此次交易共盈利多少元？
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