2020年人教版八年级数学上册期末专题复习：以等腰三角形为桥梁的几何题例析

新人教版八年数学上册期末专题复习资料
以等腰三角形为桥梁的几何题例析
新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，其中以等腰三角形为桥梁的题所占比例较大，在期末统考试题中高频出现，也是中考的热点题型；等腰三角形含特殊等腰三角形等边三角形和等腰直角三角形的“等对等关系”
和“三线合一”是桥梁作用的支撑.
题目一.
平分角添加“垂直”，“平行”元素构成等腰三角形的举例.
例1.
如图，⊿中，过点作出的平分线的垂线于点,交于点.
⑴.若，;求的度数；
⑵.若；求的长.
分析：
对于⑴问利用和，可
以得到：
；因为,结合，
可以求出.
⑵问结合⑴问可以得出
,所以.
例2.已知⊿中，，于点，平分，交于点，于点.求证:．
分析：
由平分，，可以得出：
；根据直角三角形的锐角互余和对顶角相等可以
得到,
,而
平分可以得到：
,所以
,所以；综上可证：.
点评：
例1、例2都是在平分线的基础上添加“垂直”条件，利用互余关系和平分角来得到同一个三角形的两角相等，从而得到等腰三角形为桥梁解决问题.
例3.如图，在⊿中,,平分交
于点
,于点;求证：.
解析：
过点作∥交的延长线于点
.
∴
，
∵平分交于点
∴
∵
∴
，则
∴
，则
∴,即
∵,
∴
∴
∵
∴
∴.
点评：
本题有3个等腰三角形，其中通过作平行线构建出的等腰⊿是关键的一环；当然本题方法不止一种.特别注意当有平行线和角平分线结合，往往要通过其中构建出的等腰三角形为桥梁解决问题.
追踪练习：
1.
如图，在△，的平分线交于点,过点作∥,分
别交于点两点，已知,则△
的周长为
（
）
A.
B.
C.
D.
2.
如图，⊿中，过点作出的平分线的垂线于点.
求证：
3.在四边形中，∥,平分,,
；求的长?
4.如图，∥
，以点为圆心，以小于长为半径作圆弧，分别交于点，再分别以点圆心，以大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点,作射线,交于点.
⑴.若,则的度数为
；
⑵.若,垂足为点.求证：△≌△.
5.如图，已知△是等腰直角三角形，
,平分,,垂足为点.
⑴.求证：;
⑵.如果
,求的长.
题目二.遇“垂直+中点”型以及“T字”型结构连起的等腰三角形举例.
例1.如图，在四边形中，点
是边的中点，点是边的中点，且有
.
⑴.求证:；
⑵.若
,求的度数.
解析：
⑴.连结.
∵点
是边的中点，
∴
（垂直平分线的性质）
同理
∴
⑵.∵
，且有。
∴
∴
即
∵,
∴.
注：求
的度数的途径不止一种.
例2.
如图，已知是的中点,
,垂足为;若∥
，判断是的角平分线吗？为什么？
解析：
是的角平分线.理由如下：
延长交
的延长线于点.
∵
∥,即∥
∴,
又是的中点
∴
∴⊿≌⊿（
）
∴
又，即
∴是的角平分线，即是的角平分线.（三线合一）
例3.如图，点
为线段的中点；点为线段下方
的一点，且有，.
求证：
解析：连接
在△和△中
∴⊿≌⊿
（
）
∴（全等三角形，对应边相等）
又点
为线段的中点
∴（三线合一）
点评：
遇“垂直+平分”容易根据垂直平分线的性质连接连城等腰三角形解决问题，例1就是这种类型,；例3含“T字型”结构，往往连城等腰三角形，利用“三线合一”解决问题.
例2可以看作隐含有“垂直+平分”，连接成等腰三角形后，再利用“三线合一”解决问题.
追踪练习：
1.对于任意⊿（见示意图）.若
是⊿的边上的
中线，
、的角平分线分别交、于点，
连接，
那么
之间的数量关系正确的是
（
）
A.
B.
C.
D.
2.如图，的平分线与的垂直平分线相交于点,
，垂足分别为，,，则的长为
.
3.
如图，点分别为AB,BC
的中点，且.
求证：.
4.如图，已知五边形中，
,点
为的中点，.
求证：
5.如图，已知在△中
，的的平分线与
的垂直平分线交于点,于点，
的延长线于.
求证：
6.已知：⊿中，高与相交于点,且,
分别是上的点，且，为的中点.
求证：
题目三.由全等三角形变换的基础上的构建起来的等腰三角形举例.
例1.
如图，在△和△中，点在边上，.
⑴.求证：△≌△
⑵.如果,求
的大小.
分析：
⑴.由.直接可以推出
△≌△（
）；
⑵.由△≌△可以得到：
∴
;∴
;又，即
；∴
，即
的大小为30°.
例2.如图，已知点
为等腰直角⊿内一点，，为
延长线上的一点，且
.
⑴.求证：平分;
⑵.若点在上，且，求证：.
分析：
⑴.利用题中条件可以推出：;
∴
；又,；
∴⊿≌⊿（
）
在此基础上可以得到：
,
∴
，即平分.
⑵.连接.
又
（即）,并结合
可以得到⊿是等边三角形.
结合等边⊿得到的结论，以及推出的可以推出：⊿≌⊿（
）
可以推出.问题解决.
点评：
例1和例2都是由全等三角形的基础上构建起来的等腰三角形（例1是75°底角的等腰⊿，例2是等边⊿
）,这两个等腰三角形在各自的题中起到了关键的桥梁作用.
要特别留意在“翻折”和“旋转”变换中构成的等腰三角形的桥梁作用.
追踪练习：
1.
如图，将△沿翻折得到△，则下列结论不正确
的是
（
）
A.平分
B.
C.垂直平分
D.△是等腰三角形
2.已知⊿中，
;将⊿绕点顺时针旋转至
△,若∥；则图中=
.
3.如图所示，△是将长方形纸片沿折叠的得到的;请问：图中是否有等腰三角形：如果有，请写出来并加以证明.
4.
如图，⊿是等腰直角三角形，其中；点在边上，连接;
点是延长线上一点，分别连接；若，求图中
的度数.
5.如图，点是线段的一点，分别以线段
为边向上作等边⊿和等边⊿,分别连接交于点,连接.
⑴.请写出图中所有的全等三角形，请选择一对全等三角形加以证明；
⑵.判断⊿的形状，并说明理由.
题目四.其他几何图形中等腰三角形的桥梁作用例举.
例1.
如图,，,;
则=
.
解析：
延长到使，连接.
∴
∵
,且
∴
∵，且,
∴
∴
∴
∴
∵,
∴
，即
∴
∴..故填写：40°。
点评：
本题采用的是截长补短的“补短法”，起到了“化折为直”的作用。从而构建起三个等腰三角形通过“等对等”几次转换解决问题，等腰三角形的桥梁作用十分明显.
例2.
如图，过边长为1上午等边⊿的边上一点
作于点
,为的延长线上一点，当时，连接交于点
，则=
.
解析：
过点
作∥交于点,即∥.
∴
,,,
∵⊿是等边三角形
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴⊿≌⊿（
）
∴
∴
即.
点评：
本题及其类型题都是等腰三角形搭建起来的，这类题主要是通过一条辅助平行线构造一个新的等腰三角形和一对全等三角形脸所蕴含的“相等或平分”关系解决问题，构造的等边三角形是本题的突破点，紧扣教材，实用性强.
例3.
如图，四边形中，，
在上分别有动点,
当△的周长最小时，则
的度数为
.
解析：如图，分别作点关于的对称点,按如图方式连接，其中分别与的脚垫就是求作的符合使“△的周长最小”的点.理由是“两点之间，线段最短”.
∵在△中，
∴
∵作点是分别关于的对称点
∴
∴
∵
∴.
点评：
本题主要是通过作对称点构建起来的等腰三角形的两个底角相等，再利用三角形的内角和及其推论解决问题，构思巧妙！
追踪练习：
1.如图，在△中，,；
求的度数
.
2.
如图，已知等腰⊿中，
,点为边
上的一点，点为
的延长线上一点，且
,
连接交于点;求证：点为
的中点.
3.
如图，在△中，，是△的平分线；
求证：.
4.如图，在△中，是边上的中线；,
.求的度数.
说明:
几何题中含等腰三角形类型很多，由于篇幅有限，这里不再例举；在以后学习的八年级数学下册和九年级数学中，其联结和桥梁将更加凸显.
郑宗平
2020.12.9
赵中八数上册专题复习：等腰三角形为桥梁
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7页（共
8页）
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