第三章《轴对称图形》单元复习一（基础卷）
一、选择题
1.有六根细木棒，它们的长度分别是2，4，6，8，10，12(单位:cm).若从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这三根木棒的长度分别为
(
)
A.
2，4，8
B.
4，8，10
C.
6，8，10
D.
8，10，12
2.若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为(
)
A.
56
B.
48
C.
40
D.
32
3.在中，已知.若边上的高，则边的长为(
)
A.
21
B.
15
C.
6或9
D.
9或21
4.如图，每个小正方形的边长为1，若是小正方形的顶点，则的度数为(
)
A.
90?
B.
60?
C.
45?
D.
30?
（第4题）
（第5题）
（第6题）
5.如图，一架云梯长25
m,斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m.如果梯子的顶端下滑4
m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了(
)
A.
4
m
B.
6m
C.
8
m
D.
10
m
6.如图，在中，，，点在上，，，是上的动点，则的最小值为(
)
A.
4
B.
5
C.6
D.7
7．如图，一架云梯长25
m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7
m．如果梯子的顶端下滑4
m，那么梯子的底部在水平方向上滑动了
(
)
A．4
m
B．6
m
C．8
m
D．10
m
8．如图，∠BAC=∠DAF=90°，AB=AC，AD=AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE=45°，连接EF，BF，下列结论不正确的是
(
)
A．△AED≌△AEF
B．BE＋DC=DE
C．BE＋DC>DE
D．BE2+DC2=DE2
9．如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4．若分别用x，y表示直角三角形的两条直角边(x>y)，给出下列四个结论：①x2＋y2=49；②x－y=2；③2xy＋4=49；④x＋y=9．其中正确的结论是
(
)
A．①②
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
10．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE沿AE折叠．当点B的对应点B'落在∠ADC的角平分线上时，则点B'到BC的距离为
(
)
A．1或2
B．2或3
C．3或4
D．4或5
（第7题）
（第8题）
（第9题）
（第10题）
二﹑填空题
11.
如图，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，
AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________.
12.
如图，
等腰△ABC的底边BC为16,
底边上的高AD为6，则腰AB的长为____________.
13.
如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为____________________m.
（第11题）
（第12题）
（第13题）
14.
正方形的面积为18cm2,
则正方形对角线长为__________
cm.
15．在△ABC中，∠C=90°，若AB＝5，则++=__________.
16．已知a，b，c为三个正整数，如果a＋b＋c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是
．(填序号)
17．在△ABC中，AB=5
cm，BC=6
cm，若BC边上的中线AD=4
cm，则∠ADC=
．
18．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于
.
19．在锐角三角形ABC中．BC=，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是
．
20．如图，△ABC是边长为6
cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2
cm／s和1cm／s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t=
s时，△PBQ为直角三角形．
(第18题)
(第19题)
(第20题)
三、解答题
19.如图，在中，，为边上一点，且到两点
的距离相等.
(1)利用尺规，作出点的位置(不写作法，保留作图痕迹);
(2)连接，若，求的长.
20.
如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？
21．印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；
出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；
能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”
请用学过的数学知识解答这个问题.
如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
23.
如图，已知AB=12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．
24.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE=4，FC=3，求EF的长．
25.
如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
(1)
判断△ABE的形状，并证明你的结论；
(2)
用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3)
求证：a2＋b2=c2．
26.如图，△ABC中，∠ABC=
45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
(1)
线段BH与AC相等吗?
若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
(2)
求证：BG2－GE2=EA2．
第二章《轴对称图形》单元复习一（基础卷）
参考答案
一、选择题
1.C
2.B
3.D
4.C
5.C
6.B
7.C
8．B
9．B
10．A
[提示：过点B'作B'M⊥AD，垂足为点M，∵
点B'在∠ADC的角平分线上，∴
∠ADB'=45°，∴
B'M=DM．设B'M=DM=x，∵
B'M
2+AM
2=AB'
2，∴
x2+(7－x)2=25，解得x
=
3或x
=
4，即B'M
=
3或4
，∴
点B'到BC的距离为1或2]
二﹑填空题
11.7
12.10
13。480 14.6
15.50
16．①②③
17．90°
18．8
19．4
(提示：过点C作CE⊥AB，垂足为点E，线段CE的长即等于CM+MN的最小值)
20．或[提示：AP=2tcm，BP
=
(6－2t)cm，BQ
=tcn.
当∠BQP=90°时，t
=
；当
∠BPQ
=
90°时，t
=
]
三、解答题
19.(1)作线段的垂直平分线，交于点,即为所求;
(2)
20.CD＝3
21.；
22.（1）作AP⊥BD，求出AP＝160＜200，会受影响。
（2）以A为圆心，以200为半径画弧交BF于C、D，连结AC，可求出CD＝240千米，受影响时间为6小时。
23．延长AE交BC于点F．∵
AB⊥BC，AB⊥AD，∴
AD∥BC，∴
∠D=∠C，∠DAE=∠CFE．又∵
点E是CD的中点，∴
DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C，
∠DAE=∠CFE，DE=CE，∴
△AED≌△FEC，∴
AE=FE，AD=FC．∵
AD=5，BC=10，∴
BF=5．在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=169，∴
AF=13，∴
AE=6．5
24.连接BD．∵
△ABC是等腰直角三角形，D为边AC的中点，∴
BD=DC，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC，∴
∠BDF+∠FDC=90°．又∵
DE⊥DF，∴
∠BDF+∠BDE=
90°，∴
∠FDC=∠BDE，∴
△BED≌△CFD，∴
BE=FC=3，BF=BC－FC=AB－BE=AE=4．∴
EF=5
25(1)
△ABE是等腰直角三角形．证明：∵
△ABC≌△AED，∴
AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴
∠BAE=90°，即△ABE是等腰直角三角形
(2)
S四边形ABFE=S四边形ACFE+S△ABC=
S四边形ACFE+S△AED=S四边形ACFD=b2
(3)
S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF=c2＋(b－a)(b＋a)，由(2)知S四边形ABFE=b2，即
c2＋(b－a)(b＋a)=b2，∴
a2＋b2－c2
26.(1)
相等
∵
∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，∴
∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，∴
DB=DC，∠ABE=∠DCA．在△DBH和△DCA中，∵
∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，∴
△DBH≌△DCA，∴
BH=AC
(2)连接CG．∵
F为BC的中点，DB=DC，∴
DF垂直平分BC，∴
BG=GG．∵
∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴
∠AEB=∠CEB．在△ABE和△CBE中，∵
∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，∴
△ABE≌△CBE，∴
EC=EA．在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2=CE2，∴
BG2－GE2=EA2八上第三章《勾股定理》单元复习一（提升卷）
一、选择题
1．若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为
(
)
A．56
B．48
C．40
D．32
2．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE．若EF=3，则AB的长为
(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
3．如图，每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
(
)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
（第2题）
（第3题）
（第4题）
4．如图，将一边长为a的正方形
(最中间的小正方形)
与四个边长为b的正方形
(其中b>a)
拼接在一起，则四边形ABCD的面积为
(
)
A．b2＋(b－a)2
B．b2＋a2
C．(b＋a)2
D．a2＋2ab
5．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为
(
)
A．2
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为
(
)
A．42
B．32
C．37或33
D．42或32
7．如图，一架长2.5
m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4
m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动(
)
A．0.4
m
B．0.8
m
C．1.2
m
D．不能确定
（第5题）
（第7题）
（第8题）
（第9题）
8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为
(
)
A．7
m
B．8
m
C．9
m
D．10
m
9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为
(
)
A．600
m
B．500
m
C．400
m
D．300
m
10．在一次课外社会实践中，王强想知道学校旗杆的高，但不能爬上旗杆也不能把绳子解下来，可是他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1
m，当他拿着绳子的下端沿水平方向走5m后，发现绳子下端刚好接触地面，则旗杆的高为
(
)
A．13
m
B．12
m
C．4m
D．10
m
二、填空题
11．一个三角形的两边长分别是3和5，若要使这个三角形成为直角三角形，则第三边边长的平方是
．
12．若等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为
．
13．如果△ABC的三边长a，b，c满足关系式
(a＋2b－60)2＋＋=0，那么△ABC的形状是
．
14．所谓的勾股数就是使等式a2＋b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m，n
(m>n)，取a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，则a，b，c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85
(三个数中最大)，84和
组成一组勾股数．
15．木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80
cm，宽为60
cm，对角线为100
cm，则这个桌面_______．（填“合格”或“不合格”）
16．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8
km，乙往南走了6
km，这时两人相距_______km．
17．如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了_______步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
（第17题）
（第18题）
18．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB＝a，则图中阴影部分的面积为_______．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，点D是BC上一点，AD＝BD，若AB＝8，BD＝5，则CD＝_______．
（第19题）
（第20题）
20．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BD＝5．如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A'处，折痕为PQ．当点A'在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A'在边BC上可移动的最大距离为_______．
三、解答题
21．做一做，如图每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的面积．
22.如图，在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点.
(1)求证:
;(2)若，，求的长.
23.
如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长.
24.
如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．
(1)
观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)
若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.
25.实践与探究
问题情境：勾股定理是一条古老的数学定理，它有多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定
理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
问题1
请你根据图①中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
探究2
以图①中的直角三角形为基础，可以构造出以a，b为底，以a＋b为高的直角梯形（如图②），请你利用图②，尝试验证证明勾股定理；
拓展3
利用图②中的直角梯形，我们可以证明<，其证明步骤如下：
∵BC＝a＋b，AD＝_______，
又在直角梯形ABCD中，BC_______AD（填“>”“<”或“＝”），
即_______．
∴<．
26.我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)如图①，请你在图中画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB：
(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？
八上第三章《勾股定理》单元复习一（提升卷）
参考答案
一、选择题
1．B
2．D
3．C
4．A
5.C
6.D
7.B
8.A
9.B
10.B
二、填空题
11．16或34
12．10或90
13．直角三角形
14．13
15．合格
16．
10
17．8
18．
19．1.4
20．2
三、解答题
21．解：∵S△ADC=5×2÷2=5，S△ABC=5×3÷2=7.5，
∴四边形ABCD的面积=S△ADC+S△ABC=5+7.5=12.5．
22.(1)提示：
(2)
23.
证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．
∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）解：又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形，
∴DE===13．
24．(1)
猜想：AP=CQ．证明：∵
∠ABP＋∠PBC=60°，∠QBC＋∠PBC=60°，
∴
∠ABP=∠QBC．又∵
AB=BC，BP=BQ，∴
△ABP≌△CBQ，∴
AP=CQ
(2)
由PA：PB：PC=3：4：5，可设PA=3a，PB=4a，PC=5a．连接PQ，
在△PBQ中，PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴
△PBQ为正三角形，
∴
PQ=4a．在△PQC中，
∵
PQ2＋QC2=16a2＋9a2=25a2=PC2，
∴
△PQC是直角三角形
25．(1)直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，用式子表示为在△ABC中，如果∠C＝90°，那么a2＋b2＝c2．(2)c
<
a＋b26．(1)如图①，勾股四边形OAMB(或OAM'B)．(2)是勾股四边形．
