华东师大版九年级数学下册 第26章二次函数导学案（Word无答案 24页）

26.1
二次函数
目标:1.知道二次函数的一般表达式;2.会利用二次函数概念分析解题;3.列二次函数表达式解实际问题.
重点：理解二次函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式；
难点：理解二次函数的概念。
预习案
1.回忆一下什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？
2.问题1：如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系.
问题2：要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形花圃，写出所围面积y与宽x的关系式.
问题3：
某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定，y与x之间的关系怎样表示?
问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点?
交流、讨论得出结论：经化简后都具有
的形式.
问题5：什么是二次函数？形如
.
问题6：函数y=ax?+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？
(3)它是正比例函数？
探究案
一、二次函数概念
1.观察:①y＝6x2;②y＝－2x2＋20x;③y＝20x2＋40x＋20.这三个式子中,虽然函数有一项的,两项的或三项的,但自变量的最高次项的次数都是____次.一般地,如果y＝ax2＋bx＋c(a.b.c是常数,a≠0),那么y叫做x的______.
2.一般地,形如______________的函数,叫做二次函数,其中x是________,a是_______,b是_______,c是_____.
练习：1.函数y＝(m－2)x2＋mx－3(m为常数).⑴当m_____时,该函数为二次函数;
⑵当m_______时,该函数为一次函数.
2.下列函数表达式中,哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数,请指出各项对应项的系数.
(1)y＝1－3x2
(2)y＝3x2＋2x
(3)y＝x(x－5)＋2
(4)y＝3x3＋2x2
(5)y＝x＋
二、例题
1.y＝(m＋1)x
m-m－3x＋1是二次函数,则m的值为_________________.
注意：二次函数的二次项系数必须是
的数。
2.已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7.求这个二次函数的解析式．(待定系数法)
练习案
1.下列函数中，_____________是二次函数.
⑴y=3x－1;
⑵y=3x2+2;
⑶y=3x3+2x2;
⑷y=2x2－2x+1;
⑸y=x2－x(1+x);
⑹y=x－2+x．
2.下列函数中是二次函数的是(
)
A.y＝x＋
B.
y＝3
(x－1)2
C.y＝(x＋1)2－x2
D.y＝－x
3.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则(
)
A.a＝1
B.a＝±1
C.a≠1
D.a≠－1
4.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为(
)
A.28米
B.48米
C.68米
D.88米
5.已知y与x2成正比例,并且当x＝－1时,y＝－3.
求:(1)函数y与x的函数关系式;(2)当x＝4时,y的值;(3)当y＝－时,x的值.
6.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积y与宽x之间的函数关系式.
7.已知二次函数y=x?+px+q，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为－5，求这个二次函数的解析式．
26.2二次函数y＝ax2的图象与性质
目标:1.知道二次函数的图象是一条抛物线;2.会画二次函数y＝ax2的图象;3.掌握二次函数y＝ax2的性质,并会灵活应用.
预习案
画二次函数y＝x2的图象.【提示:画图象的一般步骤:①____(取几组x.y的对应值;②_____(表中x.y的数值在坐标平面中描点(x,y);③_____(用平滑曲线).】
列表:
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
描点,并连线(右边作图)
图象可得二次函数y＝x2的性质:
1.二次函数y＝x2是一条曲线,把这条曲线叫做______________.
2.二次函数y＝x2中,二次函数a＝__,的图象开口________.
3.自变量x的取值范围是____________.
4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.
5.抛物线y＝x2与它的对称轴的交点(__,__)叫做抛物线y＝x2的_______.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_______.
6.抛物线y＝x2有____________点(填“最高”或“最低”)
.
探究案
例1.在同一直角坐标系中,画出函数y＝0.5x2,y＝x2,y＝2x2的图象.
解:列表并填:
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y＝0.5x2
…
…
x
…
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
…
y＝2x2
…
…
把它画出来.(画在草稿上)
归纳:抛物线y＝x2,y＝x2,y＝2x2的二次项系数a____0;顶点都是________;对称轴是______;顶点是抛物线的最____点(填“高”或“低”)
.
例2.请在直角坐标系中画出函数y＝－x2,y＝－x2,
y＝－2x2的图象.
列表:
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y＝x2
…
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y=-0.5x2
…
…
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y＝－2x2
…
…
归纳:抛物线y＝－x2,y＝－x2,
y＝－2x2的二次项系数a____0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”)
.
理一理:1.抛物线y＝ax2的性质
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
有最高或最低点
增减性及最值
a＞0
在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点.当x＝___时,y有最___值,是______.
a＜0
在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点.当x＝___时,y有最___值,是______.
2.抛物线y＝x2与y＝－x2关于____对称,因此,抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于___对称,开口大小___.
3.当a＞0时,a越大,抛物线的开口越______;
当a＜0时,｜a｜
越大,抛物线的开口越_______;
因此,｜a｜越大,抛物线的开口越_____,反之,｜a｜
越小,抛物线的开口越______.
总结
开口方向
顶点
对称轴
有最高或低点
最值
y＝x2
当x＝____时,y有最_____值,是______.
y＝-8x2
练习案
1.若二次函数y＝ax2的图象过点(1,－2),则a的值是________.
2.二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下,则m____________.
3.如图,①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a，b，c，d的大小,用“＞”连接.__________
4.函数y＝x2的图象开口向___,顶点是_____,对称轴是____,当x＝____时,有最___值是_____.
5.二次函数y＝mx有最低点,则m＝_____.
6.二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为_____.
7.写出一个过点(1,2)的函数表达式_________________.
26.2
二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
目标:1.会画二次函数y＝ax2＋k的图象;2.掌握二次函数y＝ax2＋k的性质,并会应用;
3.知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系.
重点：画形如y=ax2+k的二次函数的图象。
难点：用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象以及探索二次函数性质
探究案
在同一直角坐标系中,画出二次函数y＝x2＋1,y＝x2－1的图象.
解:先列表
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x2＋1
…
…
y＝x2－1
…
…
描点并画图
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
y＝x2
y＝x2－1
y＝x2＋1
观察图象得:
2.可以发现,把抛物线y＝x2向____平移____个单位,就得到抛物线y＝x2＋1;
把抛物线y＝x2向_____平移____个单位,就得到抛物线y＝x2－1.
3.抛物线y＝x2,y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________.
理一理知识点
1.
y＝ax2
y＝ax2＋k
开口方向
顶点
对称轴
有最高(低)点
最值
a＞0时,当x＝______时,y有最____值为________;
a＜0时,当x＝______时,y有最____值为________.
增减性
练习案
1.填表
函数
草图
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝3x2
y＝-3x2＋1
y＝4x2-5
2.抛物线y＝2x2向上平移3个单位,就得到抛物线__________________;
抛物线y＝2x2向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.
因此,把抛物线y＝ax2向上平移k(k＞0)个单位,就得到抛物线_______________;
把抛物线y＝ax2向下平移m(m＞0)个单位,就得到抛物线_______________.
3.抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的,从而它们的形状__________,
由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________.
4.将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_____________.
5.写出一个顶点坐标为(0,－3),开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反,形状相同的抛物线解析式_____________.
6.抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________.
7.抛物线y＝－x2－2可由抛物线y＝－x2＋3向_______平移______个单位得到的.
8.抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为(0,2),则h＝_______________.
9.抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为___________,与x轴的交点坐标为_________.
10.二次函数y＝ax2与直线y＝2x－3交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
26.2
二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质
目标:1.会画二次函数y＝a(x-h)2的图象;2.掌握二次函数y＝a(x-h)2的性质,并要会灵活应用;
重点：画形如y=a(x-h)2的图象。难点：用描点法画出y=a(x-h)2的图象以及探索二次函数性质
探究案
画出二次函数y＝－(x＋1)2,y－(x－1)2的图象,并考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以及最值.增减性.
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y＝－(x＋1)2
…
—
—
…
y＝－(x－1)2
…
—
—
…
先列表:
描点并画图.
1.观察图象,填表:
函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2
y＝－(x－1)2
2.请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).
①抛物线y＝－(x＋1)2
,y＝－x2,y＝－(x－1)2的形状大小____________.
②把抛物线y＝－x2向左平移_______个单位,就得到抛物线y＝－(x＋1)2
;
把抛物线y＝－x2向右平移_______个单位,就得到抛物线y＝－(x＋1)2
.
整理知识点
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a
(x-h)2
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
(对称轴左侧)
2.对于二次函数的图象,只要｜a｜相等,则它们的形状_________,只是_________不同.
练习案
图象(草图)
开口方向
顶点
对称轴
最值
对称轴右侧的增减性
y＝x2
y＝-5(x＋3)2
y＝3(x－3)2
2.抛物线y＝4(x－2)2与y轴的交点坐标是___________,与x轴的交点坐标为________.
3.把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为__________________.
把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后,得到的抛物线的表达式为________________.
4.将抛物线y＝－(x－1)x2向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为__________.
5.写出一个顶点是(5,0),形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________.
6.抛物线y＝2(x＋3)2的开口__________;顶点坐标为_________;对称轴是_________;
当x＞－3时,y______________;当x＝－3时,y有_______值是_________.
7.抛物线y＝m(x＋n)2向左平移2个单位后,得到的函数关系式是y＝－4(x－4)2,
则m＝__________,n＝___________.
8.若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后,得到的抛物线解析式为_______________.
9.若抛物线y＝m(x＋1)2过点(1,－4),则m＝_______________.
26.2
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质
目标:1.会画二次函数的顶点式y＝a
(x－h)2＋k的图象;2.掌握二次函数y＝a
(x－h)2＋k的性质;
3.会应用二次函数y＝a
(x－h)2＋k的性质解题.
重点：会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的理解性质。
难点：理解二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质。
预习案
1.理解记忆P8表的内容
2.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象,指出它的开口方向,对称轴及顶点,最值,增减性.列表:自己在草稿上
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
…
y＝－(x＋1)2－1
…
…
由图象归纳:
1.函数
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性
y＝－(x＋1)2－1
探究案
一.抛物线y＝－x2与y＝－(x＋1)2－1的关系.
二.说出函数y＝2x2，y＝2
(x＋2)2，y＝2(x－2)2和y＝2(x－2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
三.理一理知识点
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a
(x-h)2
y＝a
(x－h)2＋k
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴右侧)
抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状___________,位置________________.
练习案
1
y＝3x2
y＝－x2＋1
y＝(x＋2)2
y＝－4(x－5)2－3
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴左侧)
2.y＝6(x－1)2＋10的顶点坐标__________；y＝6(x＋1)2＋10的顶点坐标__________；
y＝6(x－1)2－10的顶点坐标__________；y＝6(x＋1)2－10的顶点坐标__________.
3.顶点坐标为(－2,3),开口方向和大小与抛物线y＝2x2相同的解析式为(
)
A.y＝2(x－2)2＋3
B.y＝2(x＋2)2－3
C.y＝2(x＋2)2＋3
D.y＝－2(x＋2)2＋3
4.将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为_________.
5.将抛物线y＝2(x＋1)2－3向右平移1个单位,再向上平移3个单位,则所得抛物线的表达式为______________.
6.若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上,且x＝1时,y＝－3,求a,k的值.
7.抛物线y＝－3(x＋4)2＋1中,当x＝_______时,y有最________值是________.
8.二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________.
9.若抛物线y＝a(x－1)2＋k上有一点A(3,5),则点A关于对称轴对称点A’的坐标为_________.
10.一条抛物线的对称轴是x＝1,与x轴有唯一的公共点,且开口方向向下,则这条抛物线的解析式为_______________.(任写一个)
26.2
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
目标:1.配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标,对称轴;
2.熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式;
3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象.
预习案
1．说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
⑴y=2x2;
⑵y=2x2-1;
⑶y=2(x-1)2;
⑷y=3(x-3)2+4;
⑸y=-2(x-1)2-2;
2．求二次函数y＝-x2＋x－的顶点坐标与对称轴.
(解:将函数等号右边配方:
y＝-x2＋x－=________________.
3.画二次函数y＝-x2＋x－的图象.(解:
y＝-x2＋x－配成顶点式为___________.)
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y＝-x2＋x－
…
…
列表:
探究案
1.用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点与对称轴.
2．⑴画出函数y=x2-4x+10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？
⑵通过配方变形，说出函数y=-2x2+8x-8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？
理一理知识点:
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
y＝ax2＋bx＋c
开口方向
顶点
对称轴
最值
增减性(对称轴左侧)
练习案
1.求二次函数的对称轴和顶点坐标：⑴y＝－2x2－4x＋1；⑵y＝3x2＋2x；⑶y=2x2+4x；
⑷y=-2x2-3x；
⑸y=-3x2+6x-7；
⑹y=0.5x2-4x+5.
2.二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是(1,－2),则b＝________,c＝_________.
3.已知二次函数y＝－2x2－8x－6,当________时,y随x的增大而增大;当x＝________时,y有______值是_____.
4.用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝x2－2－1的顶点坐标.
5.二次函数y＝－x2＋mx中,当x＝3时,函数值最大,求其最大值.
6．先确定下列函数开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象：
⑴y=－2(x－1)2＋4；⑵y=(x＋2)2－5；⑶y=－x2－2x＋1；⑷y=x2－4x＋7.
26.2二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
目标:
1.懂得二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2.知道二次函数中a,b,c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
预习案
1.复习前一页“理一理知识点”的内容，并熟记.
2.填空：⑴二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为______,与x轴的交点坐标_______.
⑵二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为_________,对称轴为__________.
⑶一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝_________.
⑷二次函数y＝x2＋bx过点(1,4),则b＝________________.
⑸一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0),△＞0时,一元二次方程有_______________,
△＝0时,一元二次方程有___________,△＜0时,一元二次方程_______________.
探究案
1.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点(令y＝0,
则在函数值y＝0时,x的值是抛物线与x轴交点的横坐标).
例1
求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标.
2.求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点(令x＝0时,则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标).
例2
求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标.
3.a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响.
⑴a决定:开口方向、形状
⑵c决定与y轴的交点为(0,c)
⑶b与－共同决定b的正负性
⑷△＝b2－4ac
例3
如图,由图可得:a_______0,b_______0,c_______0,△______0
a+b+c____0;4a+2b+c____0;
例4
已知二次函数y＝x2＋kx＋9.
①当k为何值时,对称轴为y轴；②当k为何值时,抛物线与x轴有两个交点；
③当k为何值时,抛物线与x轴只有一个交点.
例5．看图填空
⑴方程ax2+bx+c=0的根为_______;⑵方程ax2+bx+c=-3的根为_______;
⑶方程ax2+bx+c=-4的根为_______;⑷不等式ax2+bx+c＞0的解集为______;
⑸不等式ax2+bx+c＜0的解集为______;⑹不等式-4＜ax2+bx+c＜0的解集为______;
练习案
1.抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为_______.
2.抛物线y＝x2－2x＋1与x轴交点坐标为__________,与y轴的交点坐标为_______.
3.抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上,则m＝__________.
4.若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点,求m的范围.
5.⑴如图1，由图可得:
a_______0,b_______0,c_______0,△＝b2－4ac______0
⑵如图2，由图可得:a
_______0,
b______0,　c______0,△＝b2－4ac_______0
⑶如图3，由图可得:a
_______0,
b______0,　c______0,△＝b2－4ac_______0
⑷如图4，由图可得:a
_______0,
b______0,　c______0,△＝b2－4ac_______0
6.若函数y=ax2+bx+c中a＜0，b＞0，c＜0，则其大致图象为(
)
26.2二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
目标:1.会用待定系数法求二次函数的解析式;2.实际问题中求二次函数解析式.
预习案
1.已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点(1,2),则m的值为________________.
2.已知点A(2,5),B(4,5)是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点,则这条抛物线的对称轴为_______.
3.将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,则所得抛物线的解析式为___________.
4.抛物线的形状.开口方向都与抛物线y＝－x2相同,顶点在(1,－2),则抛物线的解析式为_______________.
探究案
例1．已知抛物线经过点A(－1,0),B(4,5),C(0,－3),求抛物线的解析式.
例2．已知抛物线顶点为(1,－4),且又过点(2,－3).求抛物线的解析式.
例3．已知抛物线与x轴的两交点为(－1,0)和(3,0),且过点(2,－3).求抛物线的解析式.
归纳:用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法:
1.已知抛物线过三点,设一般式为_____________..
2.已知抛物线顶点坐标及一点,设顶点式_________________..
3.已知抛物线与x轴有两个交点(或已知抛物线与x轴交点的横坐标),
设两根式:_____________
.(其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标)
二.实际问题中求二次函数解析式
例4
要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？
练习案
1.已知二次函数的图象过(0,1)，(2,4)，(3,10)三点,求这个二次函数的关系式.
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为(－2,－3),且图像过点(－3,－2),求这个二次函数的解析式.
3.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),求二次函数的顶点坐标.
5.已知二次函数的图像过点A(－1,0),B(3,0),C(0,3)三点,求这个二次函数解析式.
4.如图,在△ABC中,∠B＝90°,AB＝12cm,BC＝24cm,动点P从点A开始沿边AB向B以2cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围.
26.3
二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
一.阅读教科书:P15的探究
二.学习目标:几何问题中应用二次函数的最值.
三.课前基本练习
1.抛物线y＝－(x＋1)2＋2中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
2.抛物线y＝x2－x＋1中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,当x＝___________时,y有_______值是__________.
四.例题分析:(P15的探究)
用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大？
五.课后练习
1.已知直角三角形两条直角边的和等于8,两条直角边各为多少时,这个直角三角形的面积最大,最大值是多少？
2.从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的关系式是h＝30t－5t2.小球运动的时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
3.如图,四边形的两条对角线AC.BD互相垂直,AC＋BD＝10,当AC.BD的长是多少时,四边形ABCD的面积最大？
4.一块三角形废料如图所示,∠A＝30°,∠C＝90°,AB＝12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大,点E应造在何处？
六.目标检测
如图,点E.F.G.H分别位于正方形ABCD的四条边上,四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时,正方形EFGH的面积最小？
26.3
用函数观点看一元二次方程
目标:1.知道二次函数与一元二次方程的关系.
2.会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数.
预习案
1.直线y=2x-4与y轴交于点
，与x轴交于点
。
2.一元二次方程ax2＋bx＋c=0，当△
时，方程有两个不相等的实数根；
当△
时，方程有两个相等的实数根；当△
时，方程没有实数根；
3.解下列方程
⑴x2＋x－2=0
⑵x2－6x＋9=0
⑶x2－x＋1=0
2.观察图象:①_________;②_________;③_________.
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点,
而一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0;
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___个交点,
而一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_____0;
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴有_____公共点,
而一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0.
探究案
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac.
(1)当△＝b2－4ac＞0时?抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点;
(2)当△＝b2－4ac＝0时?抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点;
(3)当△＝b2－4ac＜0时?抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点.
例题
1.二次函数y＝x2－3x＋2,当x＝1时,y＝________;当y＝0时,x＝_______.
2.二次函数y＝x2－4x＋6,当x＝________时,y＝3.
3.如图1,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
4.如图2,一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________
5.如图3,填空:(1)a_____0
;(2)b_____0;
(3)c____0;
(4)b2－4ac_____0
练习案
1.特殊代数式求值:
①如图4,看图填空:
(1)a＋b＋c____0;
(2)a－b＋c___0;(3)2a－b___0
②如图5,2a＋b___0;4a＋2b＋c____0.
2.
如图6,利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________;
(2)方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________;
(3)方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________;
(4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________;
(5)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________;
(6)不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________.
3．如图7，根据图象填空:
(1)a_____0;(2)b_____0;(3)c______0;(4)△＝b2－4ac_____0;
(5)a＋b＋c_____0;(6)a－b＋c_____0;(7)2a＋b_____0;
(8)方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________;
(9)当y＞0时,x的范围为___________;
(10)当y＜0时,x的范围为___________;
4.已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上,则k＝____________.
5.已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点,则k的取值范围___________.
6.已知函数y＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,且a≠0)的图象如图8所示,则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是(
)
A.有两个不相等的正实数根
B.有两个异号实数根
C.有两个相等实数根
D.无实数根
7.如图9,为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象,在下列说法中:
①ac＜0;②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1,x2＝3;③a＋b＋c＞0;
④当x＞1时,y随x的增大而增大.正确的说法有__________(把正确的序号都填在横线上).
理一理知识点：
⑴a的符号由
决定：
①开口向
?
a
0；②开口向
?
a
0.
⑵b的符号由
决定：
①
在y轴的左侧?
a,b
；
②
在y轴的右侧?a,b
；
③
是y轴?b
0.
⑶c的符号由
决定：
①点（0，c）在y轴正半轴?c
0；
②点（0，c）在原点?c
0；
③点（0，c）在y轴负半轴?c
0.
⑷b2－4ac的符号由
决定：
①抛物线与x轴有
交点?
b2－4ac
0
?方程有
实数根；
②抛物线与x轴有
交点?b2－4ac
0
?方程有
实数根；
③抛物线与x轴有
交点?b2－4ac
0
?方程
实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的
点.
26.4
实际问题与二次函数——商品价格调整问题
目标:1.懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2.会应用二次函数的性质解决问题.
预习案
1.抛物线y＝－(x＋1)2＋2中,当x＝_______时,y有______值是_______.
2.抛物线y＝x2－x＋1中,当x＝_______时,y有______值是_________.
3.抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,当x＝_______时,y有_____值是_______.
4.用总长为60m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化,当l是多少时,场地的面积S最大？
探究案
例题：某商品现在的售价为每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映:如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件；每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大？
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况,用怎样的等量关系呢？
解:(1)设每件涨价x元,则每星期少卖_________件,实际卖出_________件,设商品的利润为y元.
(2)设每件降价x元,则每星期多卖_________件,实际卖出__________件.
练习案
1.某种商品每件的进价为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(100－x)件,应如何定价才能使利润最大？
2.蔬菜基地种植某种蔬菜,由市场行情分析知,1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x(月份)与市场售价P(元/千克)的关系如下表:
上市时间x/(月份)
1
2
3
4
5
6
市场售价P(元/千克)
10.5
9
7.5
6
4.5
3
这种蔬菜每千克的种植成本y(元/千克)与上市时间x(月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段(如图).
(1)写出上表中表示的市场售价P(元/千克)关于上市时间x(月份)的函数关系式；
(2)若图中抛物线过A、B、C三点,写出抛物线对应的函数关系式；
(3)由以上信息分析,哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？
最大值为多少？(收益＝市场售价－种植成本)
3.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?
4.某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品．现准备增加一批同类机器以提高生产总量．在试生产中发现，由于其他生产条件没有改变，因此，每增加一台机器，每台机器平均每天将减少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?
5.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空间.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定介增加x元,求:
(1)房间每天入住量y(间)关于x(元)的函数关系式；
(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式；
(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式,当每个房间的定价为多少元时,w有最大值？最大值是多少？
26.4
实际问题与二次函数
目标:1.会建立直角坐标系解决实际问题;2.会解决桥洞水面宽度问题.
预习案
1.画出y=ax2的图象，指出开口方向、对称轴、顶点、顶点.
2.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___________.
3.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y＝－x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是(
)
A.3m
B.2m
C.4m
D.9m
探究案
1.一个洞面抛物线形，如图所示，当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面距离为2.4m,这时离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m?
变式：有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
练习案
1、如图,某建筑的屋顶设计成横截面为抛物型(曲线AOB)的薄壳屋顶,它的跨度AB＝12m,拱高CO=1.5m,施工前要制造建筑模板,设计图中的曲线AOB是根据它的解析式画的,试求该抛物线的解析式。
2.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y＝ax2＋c的形式,请根据所给的数据求出a、c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
3.有一个抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m。现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中。
(1)求这条抛物线的解析式。
(2)在对称轴右边1m处,桥洞离水面的高是多少m？
4.如图,隧道的横截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是8m,宽是2m,抛物线的解析式为y＝－x2＋4.
(1)一辆货运车车高4m,宽2m,它能通过该隧道吗？
(2)如果该隧道内设双行道,中间遇车间隙为0.4m,那么这辆卡车是否可以通过？
5.如图,厂门的上门是一段抛物线,抛物线的顶点离地面的高度是3.8m,一辆装满货物的卡车,宽为1.6m,宽为2.6m,要求卡车的上端与门的铅直距离不小于0.2m,问这辆卡车能否通过厂门？
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