北师大版九年级下册数学 3.8圆内接正多边形 同步练习（Word版 含解析）

3.8圆内接正多边形
同步练习
一．选择题
1．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则正五边形中心角∠COD的度数是（　　）
A．60°
B．36°
C．76°
D．72°
2．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．24﹣4π
B．12+4π
C．24+8π
D．24+4π
3．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（　　）
A．18°
B．36°
C．54°
D．72°
4．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H．若该圆的半径为15厘米，则线段GH的长为（　　）
A．厘米
B．5厘米
C．3厘米
D．10厘米
5．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（　　）
A．90°
B．85°
C．84°
D．80°
6．圆内接正十边形的外角和为（　　）
A．180°
B．360°
C．720°
D．1440°
7．一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，则这个正多边形外接圆的半径可以表示为（　　）
A．sin15°
B．tan15°
C．
D．
8．如图，正五边形ABCDE内接于圆O，过点A作圆O的切线交对角线DB的延长线于点F，则下列结论不成立的是（　　）
A．AE∥BF
B．AF∥CD
C．
D．AB＝BF
9．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（　　）
A．8
B．10
C．12
D．16
10．如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得到，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．﹣4
B．2π﹣2
C．﹣3
D．﹣2
二．填空题
11．中心角为36°的正多边形边数为　
　．
12．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于　
　度．
13．正方形ABCD内接于⊙O，点F为CD的中点，连接AF并延长交⊙O于点E，连接CE，则sin∠DCE＝　
　．
14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M是边CD的中点，连结AM，若⊙O的半径为2，则AM＝　
　．
15．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为　
　．
三．解答题
16．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）求证：△ABC是等边三角形．
（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．
17．如图，⊙O的周长等于
8πcm，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
（1）求圆心O到AF的距离；
（2）求正六边形ABCDEF的面积．
18．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PB+PC；
（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：PA＝PC+PB．
参考答案
一．选择题
1．解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为＝72°，
故选：D．
2．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．
由题意，OA＝OB＝AB＝4，
∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，
∴S阴＝6?（S半圆﹣S弓形AmB）＝6?（?π?22﹣π+4）＝24﹣4π，
故选：A．
3．解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴，，∠BAE＝108°，
∴，
∴∠BAF＝∠BAE＝54°，
∴∠BDF＝∠BAF＝54°，
故选：C．
4．解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB交AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝OA＝（cm），
∴AC＝2AN＝15（cm），
∴GH＝AC＝5（cm），
故选：B．
5．解：由正五边形内角，得
∠I＝∠BAI＝＝108°，
由正六边形内角，得
∠ABC＝＝120°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABK＝60°，
∴由四边形的内角和，得
∠BKI＝360°﹣∠I﹣∠BAI﹣∠ABK
＝360°﹣108°﹣108°﹣60°
＝84°．
故选：C．
6．解：因为多边形的外角和为360°，
所以圆内接正十边形的外角和为360°，
故选：B．
7．解：如图所示：
，
∵一个正多边形的边长为2，每个外角为30°，
∴此正多边形的边数为＝12，
即多边形为12边形，
连接OA、OB，过O作ON⊥AB，
边AB对的圆心角AOB的度数为＝30°，
∵OA＝OB，ON⊥AB，
∴∠NOB＝∠AOB＝15°，AN＝BN＝AB＝1，
∴OB＝＝，
即这个正多边形的半径是，
故选：C．
8．解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠ABC＝∠C＝∠EDC＝∠E＝＝108°，BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB＝×（180°﹣∠C）＝36°，
∴∠ABD＝108°﹣36°＝72°，
∴∠EAB+∠ABD＝180°，
∴AE∥BF，故本选项不符合题意；
B、∵∠F＝∠CDB＝36°，
∴AF∥CD，故本选项不符合题意；
C、连接AD，过A作AH⊥DF于H，则∠AHF＝∠AHD＝90°，
∵∠EDC＝108°，∠CDB＝∠EDA＝36°，
∴∠ADF＝108°﹣36°﹣36°＝36°＝∠F，
∴AD＝AF，
∴FH＝DH，
当∠F＝30°时，AF＝2AH，FH＝DH＝AH，
此时DF＝AF，
∴此时∠F＝36°时，DF≠AF，故本选项符合题意；
D、连接OA、OB，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AOB＝＝72°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°﹣72°）＝54°，
∵FA切⊙O于A，
∴∠OAF＝90°，
∴∠FAB＝90°﹣54°＝36°，
∵∠ABD＝72°，
∴∠F＝72°﹣36°＝36°＝∠FAB，
∴AB＝BF，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．解：连接AO，BO，CO．
∵AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的一边，
∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，
∴∠BOC＝30°，
∴n＝＝12，
故选：C．
10．解：连接OB、OC、OD，
S扇形CAE＝＝2π，
S△AOC＝＝，
S△BOC＝＝，
S扇形OBD＝＝，
∴S阴影＝S扇形OBD﹣2S△BOC+S扇形CAE﹣2S△AOC＝﹣2+2π﹣2＝﹣4；
故选：A．
二．填空题
11．解：由题意可得：
∵360°÷36°＝10，
∴它的边数是10．
故答案为10．
12．解：连接OC、OD，如图所示：
∵ABCDE是正五边形，
∴∠COD＝＝72°，
∴∠CPD＝∠COD＝36°，
∵DG⊥PC，
∴∠PGD＝90°，
∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，
故答案为：54．
13．解：由圆周角定理得∠DCE＝∠DAE，
设正方形的边长为2a，
∵F为CD的中点，
∴FD＝a，
由勾股定理得：AF＝＝，
∴sin∠DCE＝sin∠DAE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：连接AC，OB交于点H．
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，OB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴＝，
∴OB⊥AC，
∴AH＝HC，∠ABH＝∠CBH＝60°，
∴AH＝AB?sin60°＝，
∴AC＝2AH＝2，
∵∠ACB＝∠BAC＝30°，∠BCD＝120°，
∴∠ACM＝90°，
∵CM＝MD＝1，AC＝2，
∴AM＝＝＝，
故答案为．
15．解：如图，取AB的中点K，以AB为直径作⊙K，
∵AF⊥BE，
∴∠AFB＝90°，
∵AK＝BK，
∴KF＝AK＝BK，
∵正方形ABCD的外接圆的半径为，
∴AB＝BC＝＝2，
∴KF＝AK＝KB＝1，
∵∠CBK＝90°，
∴CK＝＝＝，
∵CF≥CK﹣KF，
∴CF≥﹣1，
∴CF的最小值为﹣1．
故答案为﹣1．
三．解答题
16．（1）证明：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，
则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，
∵OB＝2，
∴OD＝1，
∴等边△ABC的边心距为1．
17．解：（1）连接OC、OD，作OH⊥CD于H，
∵⊙O的周长等于8πcm，
∴半径OC＝4cm，
∵六边形ABCDE是正六边形，
∴∠COD＝60°，
∴∠COH＝30°，
∴圆心O到CD的距离＝4×cos30°＝2，
∴圆心O到AF的距离为2cm；
（2）正六边形ABCDEF的面积＝×4×2×6＝24cm2．
18．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，
∵A、B、P、C四点共圆，
∴∠BAC+∠BPC＝180°，
∵∠BPC+∠EPC＝180°，
∴∠BAC＝∠CPE＝60°，
∵PE＝PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴CE＝PC，∠E＝60°；
又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，
∴∠BCE＝∠ACP，
∵△ABC、△ECP为等边三角形，
∴CE＝PC，AC＝BC，
在△BEC和△APC中，
，
∴△BEC≌△APC（SAS），
∴PA＝BE＝PB+PC；
（2）过点B作BE⊥PB交PA于E，连接OA，OB．如图2，
∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°
∴∠1＝∠3，
∵∠APB＝∠AOB＝45°，
∴BP＝BE，
∴PE＝PB，
在△ABE和△CBP中，
，
∴△ABE≌△CBP（SAS），
∴PC＝AE，
∴PA＝AE+PE＝PC+PB；